2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习专题10——整式乘法的运用（巩固练习）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册 期末复习专题10——整式乘法的运用 （巩固练习） 【典型例题】 【例1】通过计算下列图形中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式是（ ） A B. C. D. 【例2】从边长为的大正方形纸板正中央挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A. B. C. D. 【例3】如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积 为 ． 【例4】如图，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，，，那么阴影部分的面积等于 ． 【例5】如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、． （1）用含、的代数式表示________________； （2）若两个正方形的面积之和为60，且，求图中线段的长； （3）记的面积为，则______________（用字母表示）． 【例6】数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． （1）观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片多少张，号卡片多少张，号卡片多少张． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求值． 【举一反三】 【变式1】如图的正方形分割方案，可以验证（ ） A. B. C. D. 【变式2】如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④．你认为正确的有（    ） A． ①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【变式3】已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是 ． 【变式4】如图，两个四边形均为正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：　　． 【变式5】如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成． (1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________； (2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？ 【变式6】数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2 的结果． 【形成结论】 （1）探究2中（a+b+c）2＝　 　； 【应用结论】 （2）利用（1）问所得到的结论求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，求的值． 【巩固练习】 1.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 2.我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（     ） A． B． C． D． 3.如图，有A、B、C三种类型的卡片若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要A类、B类、C类卡片的张数分别为（ ） A. 5，3，6 B. 6，7，2 C. 6，2，7 D. 5，2，6 4.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（     ） A．24 B．29 C．41 D．45 5.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式： ．你根据图乙能得到的数学公式是 ．    6. 用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为2a+b的正方形，需要B类卡 片 张．    7.小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上．若AB=5，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 ． 8.如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________； （2）利用（1）中的结论，若，，求的值； （3）如图3，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、，当时，的面积记为，当时，的面积记为，以此类推，当时，的面积记为，计算的值． 9.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图 2， 请你写出下列三个代数式：之间的等量关系：为_______； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片 张，B 号卡片_____张，C号卡片____张； (3)解答问题：若则的值为_______； (4)两个正方形 如图 3 摆放,边长分别为 . 若 ,则图中阴影部分面积的和为_____. 10.【阅读材料】 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以 ， 【尝试应用】 （1）利用材料中得到的因式分解等式计算：_____； （2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____； 【拓广探索】 （3）若，，且，．求的值． 11.如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．    （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为__________；（多项式乘积的形式） （3）比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式__________； （4）结合（3）的公式，计算：①； ②． 【拓展】 直接写出结果的个位数字． 12. 【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则______； （4）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4①表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为y的小正方体，小明由图2操作得到启发，请你根据分割如图4②的操作，写出一个数学等式：______． （5）【解决问题】分解因式：______，______． 答案解析 【典型例题】 【例1】通过计算下列图形中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【例2】从边长为的大正方形纸板正中央挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【例3】如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积为 ． 【答案】 【例4】如图，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，，，那么阴影部分的面积等于 ． 【答案】48 【例5】如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、． （1）用含、的代数式表示________________； （2）若两个正方形的面积之和为60，且，求图中线段的长； （3）记的面积为，则______________（用字母表示）． 【答案】（1） （2）解：∵两个正方形的面积之和为60， ∴， ， ， ； 【小问3详解】 解： ． 故答案为：． 【例6】数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． （1）观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片多少张，号卡片多少张，号卡片多少张． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求值． 【答案】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：； 因此有； 【小问2详解】 解：， 需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张， 【小问3详解】 解：①，，， ， ，即的值为； ②令， . . . ， . . . ， ， ， 解得． ． 【举一反三】 【变式1】如图的正方形分割方案，可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【变式2】如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④．你认为正确的有（    ） B． ①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【变式3】已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是 ． 【答案】7 【变式4】如图，两个四边形均为正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：　　． 【答案】（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【变式5】如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成． (1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________； (2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？ 【答案】（1）解：根据题意得：梯形的面积为， 或：； 故答案为：或； （2）解：方法一：用梯形面积乘以4，即； 方法二：用大正方形的面积减去小正方形的面积，即． 【变式6】数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2 的结果． 【形成结论】 （1）探究2中（a+b+c）2＝　a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac　； 【应用结论】 （2）利用（1）问所得到的结论求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）∵等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方， ∴等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和． ∵组成大正方形的各个部分的面积分别为：a2，ab，ac，ab，b2，bc，ac，bc，c2， ∴它们的和为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac． 故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ∴2（ab+bc+ca）＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）． ∴ab+bc+ca＝． ∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4， ∴ab+bc+ca＝﹣2； （3）由（1）得：（ab+bc+ca）2＝a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+2abc2+2a2bc， ∴a2b2+b2c2+c2a2＝（ab+bc+ca）2﹣2ab2c﹣2abc2﹣2a2bc ＝（﹣2）2﹣2abc（a+b+c） ＝4﹣2abc×0， ＝4． ∵a+b+c＝0， ∴c＝﹣a﹣b． ∵a2+b2+c2＝4， ∴a2+b2+（﹣a﹣b）2＝4． 即 2a2+2b2+2ab＝4 ∴a2+b2+ab＝2 ∴原式＝＝2． 【巩固练习】 1.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，有A、B、C三种类型的卡片若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要A类、B类、C类卡片的张数分别为（ ） A. 5，3，6 B. 6，7，2 C. 6，2，7 D. 5，2，6 【答案】C 4.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（     ） A．24 B．29 C．41 D．45 【答案】C 5.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式： ．你根据图乙能得到的数学公式是 ．    【答案】 ． 7. 用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为2a+b的正方形，需要B类卡 片 张．    【答案】4 7.小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上．若AB=5，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 ． 【答案】6 8.如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________； （2）利用（1）中的结论，若，，求的值； （3）如图3，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、，当时，的面积记为，当时，的面积记为，以此类推，当时，的面积记为，计算的值． 【答案】（1）故答案为：； 【小问2详解】 由（1）中公式可得： ． 同理可得： ； 【小问3详解】 连接， 在正方形和正方形中，， ， ∴和的边上的高相等， ． 当时，， 当时，， …… 当时，， ∴ ． 9.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图 2， 请你写出下列三个代数式：之间的等量关系：为_______； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片 张，B 号卡片_____张，C号卡片____张； (3)解答问题：若则的值为_______； (4)两个正方形 如图 3 摆放,边长分别为 . 若 ,则图中阴影部分面积的和为_____. 【答案】（1）解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为 故答案为：； （2）解： ∵A种纸片的面积为B种纸片的面积为C种纸片的面积为， ∴需A种纸片2张，B种纸片3张，C种纸片7张， 故答案为：； （3）解：∵ ∴， ∴； （4）阴影部分的面积和为： 10.【阅读材料】 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以 ， 【尝试应用】 （1）利用材料中得到的因式分解等式计算：_____； （2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____； 【拓广探索】 （3）若，，且，．求的值． 【答案】（1）9800； （2）棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积， 甲的体积为：， 乙的体积为：， 丙的体积为：， ∴剩余部分的体积为甲、乙、丙的体积之和，即， ∴， 故答案为：； [拓广探索] （3）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 根据（2）的计算得到， 同理，， ∴． 11.如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．    （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为__________；（多项式乘积的形式） （3）比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式__________； （4）结合（3）的公式，计算：①； ②． 【拓展】 直接写出结果的个位数字． 【答案】（1）由图1可知，阴影部分的面积为， 故答案为：； （2）由图1可知，长方形的长为，宽为， 图2中长方形的面积为， 故答案为：； （3）由题意可知，图1中阴影面积与图2长方形面积相等， ， 故答案为：； （4）① ； ② ； 拓展： ， ，，，，，，，…… 结果的个位数字4次为一个循环， ， 结果的个位数字为6． 12. 【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则______； （4）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4①表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为y的小正方体，小明由图2操作得到启发，请你根据分割如图4②的操作，写出一个数学等式：______． （5）【解决问题】分解因式：______，______． 【答案】（1） （2）∵，， ∴； 【小问3详解】 ∵ ∴，，， ∴， 故答案为： 小问4详解】 由题意可得： 故答案为： 【小问5详解】 ， 故答案为：；． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$