湖北省黄冈中学2025届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题

湖北省黄冈中学2025届高三第三次模拟考试 数学 答题卡 考场/座位号：         姓名：                班级：                贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 客观题(1~8为单选题;9~11为多选题) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. （13分） 续15 . 16. （15分） 17. （15分） 18. （17分） 续18. 19. （17分） 续19. 湖北省黄冈中学2025届高三第三次模拟考试 数学试卷 考试时间：2025年5月24日下午15:00-17:00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位， ，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在平面直角坐标系中，对应的点在第一象限 2. 已知等腰直角的斜边AB长为2，设，，，那么（    ） A．6 B． C．4 D． 3. 将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（    ） A．底面半径为，高为的圆柱体 B．底面直径为，高为的圆锥体 C．半径为的球体 D．各棱长均为的四面体 4. 若,是关于的方程的两个不相等实根，则过、两点的直线与双曲线的公共点个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5. 已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝( 　) A．2 B．10 C．11 D．56 6. 已知函数，则的最小值是( ) A． B． C． D． 7. 6个车位分别停放了辆不同的车，现将所有车开出后再按的次序停入这6个车位，则在车停入了车原来的位置的条件下，停放结束后恰有辆车停在原来位置上的概率是（   ） A． B． C． D． 8. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身。平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”。则曲线C：（其中e是自然对数的底数）的伴随曲线长为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 在本场考试中，多选题可能有2个或3个正确的选项。全部选对得6分，若有3个正确的选项则每选对一个得2分；若有2个正确的选项则每选对一个得3分；有选错或未选的得0分。若因完全不会做某道题目而必须随机选择1 - 3项选项。设该题恰有3个正确选项的概率为，得分设为随机变量 ,则下列说法正确的是（ ） A．若随机选择一项，则为定值 B．若 ，则随机选择两项比选择一项更优 C．存在使随机选择三项的得分期望大于随机选择一项的得分期望 D．存在使随机选择三项的得分期望大于随机选择两项的得分期望 10. 已知数列的前项和为， 。则下列式子的值可以确定的是（    ） A． B． C． D． 11. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、4、6的直线，给出下列四个结论，其中正确的结论有（    ） A．存在使得是直角三角形 B．存在使得是等边三角形 C．存在使得四面体存在一个顶点处的三条棱两两垂直 D．存在使得四面体对棱互相垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知，则________。 13. 在三角形ABC中，，设，，则________。 14. 如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第行第列的数为，已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公比相同的等比数列。则= ；若，则 。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题13分） 如图，一个正八面体八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为。记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”。 （1） 请写出具体的样本空间； （2） 请证明：但不满足两两独立； （3） 连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率。 16.（本题15分） 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，且。 （1） 若，求； （2） 求△ABC面积的最大值。 17.（本题15分） 如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是边长为2的正三角形。O是边AB的中点，平面ABC， 。 （1） 在直线PB上是否存在一点M，使得直线PA//平面MOC? （2） 若平面POC平面PAC,求直线PB与平面PAC所成角的正弦值。 18.（本题17分） 已知双曲线左顶点到其渐近线的距离为 。过右焦点F的直线分别交双曲线的左，右两支及直线 于M，N, P三点，过N作平行于轴的直线交直线AP于点G，点G满足 。 （1）求的方程； （2）证明：直线MH过定点. 19.（本题17分） 对给定的实数a，b，q，其中，.如果函数，满足：（1）对任意的，；（2）对任意的，.则称为在区间上的一个“q-压缩函数”。区间上所有“q-压缩函数”构成的集合记作。 (1)判断下列函数是否属于集合？（请直接写出结论） ① ② (2)设，若,求实数a的取值范围； (3)设，若对任意的，，均有。求M的最小值，并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省黄冈中学2025届高三第三次模拟考试（答案版） 一、单选题 1． 【答案】D 【详解】虚数不能比较大小。 2． 【答案】D 【详解】 ,故 ，故选D 3. 【答案】B 【详解】A，C半径不超过5cm ，D.棱长不超过. 4. 【答案】D 【详解】由得, 则或, 不妨设 ,, 则则的斜率,即的方程为, 而双曲线的渐近线方程为, 则是双曲线的一条渐近线, ∴过、两点的直线与双曲线的公共点个数是0个,故选D。 5. 　   【答案】A 【详解】令 ,即, ,选A。 6． 【答案】B 【详解】由题的一个周期为,故只需考虑在上的值域, , 令,解得或,可得此时或或（非变号零点，舍）, 所以的最值只能在点或和边界点中取到, 因为,,,所以的最小值为，选B 7. 【答案】C 【详解】依题意，车停入了车原来的位置的事件为样本空间，，5辆车停放的方法数为， 从中任取一辆车停在原来位置上有种方法。若B停在A处，则D，E，F三阶错位，有2种方法；若B不停在A处，则等价于四阶错位，有9种方法。则停放结束后恰有辆车停在原来位置上的事件含有基本事件数为11， 所以停放结束后恰有辆车停在原来位置上的概率为 8. 【答案】B 【详解】由题意，曲线C的伴随曲线为其两条过原点切线之间单位圆弧， 因为，所以该函数在单调递减，在单调递增. 过原点作的切线，设切点， 由，则切线的斜率为， 直线过，故，， 即，由函数与的图象在有且只有一个交点， 且当时满足方程，故方程有唯一解，则； 过原点作的切线，设切点，由，得切线的斜率，则切线过原点，则有，∴， 则，则有， ∴两切线垂直，故伴随曲线长为 二、多选题 9． 【答案】AB 【详解】（1）随机选一项，分布列为 0 2 3 P ; （2）随机选两项，分布列为 0 4 6 P ; （3）随机选三项，分布列为 0 6 P ; 通过计算： , , , 可知选AB。 10． 【答案】BCD 【详解】由题意得， , , , ,， 有 ，， 由此可得数列中相邻两奇数项的和可以确定，相邻两偶数项的和可以确定，其中，的值不确定. A.，其中的值不确定，故选项A错误. B.，每一组数都可以确定，故选项B正确. D.，每一组数都可以确定，故选项D正确. C. 由于 ，故 为定值， 又确定，故为定值，故选项C正确. 故选：BCD. 11． 【答案】ABD 【详解】如图，选项A ,B正确； 选项C，如图所示．为方便书写，称三条两两垂直的棱的公共顶点为共垂点． （1）如图，假设是共垂点，不妨，显然 ，若 则 ，有；过作，连接。 可得 ，，舍。 （2）同理可知，不存在四点（j＝1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体． 选项D，不妨,如图让在上移动，移动的过程中可以实现 ，由对称性可知。 故选ABD。 三、填空题 12． 【答案】 【详解】分别赋值可得。 13． 【答案】 【详解】记 ，则， ，，故 14． 【答案】(1)10 ;(2) 【详解】（1）设数表第一行构成等差数列的公差为，各列构成等比数列的公比均为. 因为数表中各项均为正数，因此. 由表中已知数据可得，解得. 所以=10. （2）若，则，即为奇数. 因为, 所以, j=63. 实数对. 四、解答题 15． 【答案】(1) ; (2)答案见详解；（3）。 【详解】（1）………………………………（2分） （2） 事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：.故事件所含的样本点为：，所以，又，所以.………………………………（5分） 又事件所含的样本点为：，所以，又， 所以，所以事件不独立，即两两独立错误。………………………………（9分） （3）依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立， 记为第次抛掷这个正八面体发生事件，则， 所以事件只发生1次的概率为 。………………………………（13分） 16. 【答案】（1） 【详解】（1）若 ，则 ， 。则 ， ………………………………（7分） (2) ， ………………………………（9分） 有, 故 ………………………………（11分） 有, 即, . ………………………………（14分） 当且仅当 时等号成立 ..………………………………（15分） 17． 【答案】（1）证明见详解；（2） 【详解】（1）存在M点是PB的中点。理由如下： 当M点是PB的中点时，OM是三角形PBA的中位线， 所以又， 所以。 ………………………………（4分） （2）过A作于D，若D与C不重合， 平面POC平面PAC 平面ABC ， ，矛盾。 故D与C重合，，。 ………………………………（8分） 以C为原点，过C作OP的平行线为z轴，以CA,CO所在的直线分别为x,y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 , , , , ………………………………（10分） 设平面PAC的法向量为 则，令 ，得。…………（13分） 设直线PB与平面PAC所成的角为，则 ， 即直线PB与平面PAC所成角的正弦值是…………（15分） 18. 【答案】(1) (2) 【详解】(1)解：因为C的一条渐近线方程为,所以点A到渐近线的距离为，所以，所以双曲线的方程是 ………………………………（4分） （2)解：由题意双曲线C的右焦点F（2，0），直线PF的斜率不为0,故可设直线PF的方程为，因为直线PF与双曲线左，右两支分别交于M，N两点，所以，…………………（6分） 设，将直线PF的方程代入， 得 ， 则 ,，所以…………………（9分） 直线PF的方程,又直线 ，联立可得， 所以直线AP的方程为 ， 又直线GN的方程是，联立可得G ， 又，所以H的坐标是，…………………（11分） 所以直线MH的方程是： …………………（13分） 令，由，，得 所以直线MH过定点。…………………（17分） 19． 【答案】(1)①属于集合，②不属于集合 (2) (3)3，理由见解析 【详解】（1）①属于集合，②不属于集合.………………………………（4分） ①，，则；1， 表示任意两点斜率的绝对值，所以最大为，所以符合题意； ②，，则；1， ，而，所以不符合题意； (2)若，时，单调递增。 令 ， 则需， 即需 单调递减，………………………………（7分） ， ,即 ； 若，显然符合题意； 此时； 综上，………………………………（10分） （3）M的最小值为3. 一方面，令，则，. 对任意的，，，不妨设. （a）若，则 （b）若，则 （c）若，则 所以. 综上，.由，得.………………………………（14分） 另一方面，设，对任意的 （a）当时， （b）当时，由，得，故； （c）当时，由，得，故； （d）当时， 综上，恒成立. 综上，的最小值为3.………………………………（17分） 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$