专题06 复数（10题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题06 复数 题型概览 题型01复数的概念 题型02复数与点的对应关系 题型03复数的运算 题型04复数的运算与共轭复数 题型05复数运算与复数的模 题型06复数运算与复数的几何意义 题型07复数运算与复数概念 题型08实系数一元二次方程的解 题型09复数的综合问题 题型10复数新定义问题 优选提升题 ( 题型01 ) 复数的概念 1．（23-24高一下·云南·期末）若实数，满足，则（    ） A． B．3 C． D．1 ( 题型02 ) 复数与点的对应关系 1．（23-24高一下·云南楚雄·期末）在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一下·云南·期末）若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ( 题型03 ) 复数的运算 1．（23-24高一下·云南玉溪·期末），则（    ） A． B． C． D． ( 题型04 ) 复数的运算与共轭复数 1．（23-24高一下·云南·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·云南·期末）已知复数是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南·期末）已知满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·云南·期末）已知复数，则的虚部为（    ） A． B．7 C． D． 6．（23-24高一下·云南·期末）在复平面内，复数的共轭复数的虚部为 （    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·云南昆明·期末）在复平面内，复数 （为虚数单位）的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·云南·期末）已知复数（为虚数单位），则的虚部为 . ( 题型0 5 ) 复数运算与复数的模 1．（23-24高一下·云南·期末.2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．（23-24高一下·云南·期末）若复数，，则（    ） A． B． C．2 D．5 3．（23-24高一下·云南大理·期末）若复数，则（    ） A．25 B．5 C． D．2 4．（23-24高一下·云南·期末）求复数的模为（   ） A． B． C． D．2 ( 题型0 6 ) 复数运算与复数的几何意义 1．（23-24高一下·云南·期末）已知复数，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一下·云南曲靖·期末）在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为 ( 题型0 7 ) 复数运算与复数概念 1．（23-24高一下·云南曲靖·期末）若复数为纯虚数，则的虚部为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ( 题型0 8 ) 实系数一元二次方程的解 1．（多选）（23-24高一下·云南昆明·期末）在复数范围内，方程的两个根分别为，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 9 ) 复数的综合问题 1．（多选）（23-24高一下·云南·期末）若复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（   ） A．的虚部为 B．的实部为1 C．在复平面上对应的点位于第一象限 D． 2．（多选）（23-24高一下·云南·期末）已知复数，为的共轭复数，则下列各选项正确的是（    ） A．是虚数 B．的虚部为 C． D． 3．（多选）（23-24高一下·云南昭通·期末）下列命题正确的是（    ） A．复数的共轭复数是 B．复数是纯虚数，则 C．复数所对应的点在第二象限，则 D．已知，则 4．（多选）（23-24高一下·云南·期末）若复数，则（    ） A． B． C．复数的实部与虚部不相等 D．复数在复平面内对应的点在第四象限 5．（多选）（23-24高一下·云南·期末）已知复数（为虚数单位），若，则（    ） A．在复平面上对应的点位于第一象限 B．的对应向量与轴正半轴同向的单位向量的夹角为 C． D． 6．（多选）（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知复数满足，则（    ） A．的虚部为2 B． C． D．为纯虚数 7．（23-24高一下·云南·期末）已知，复数是虚数单位. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. ( 题型 10 ) 复数新定义问题 1．（23-24高一下·云南曲靖·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 1．（23-24高一下·云南·期末）已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为 . 2．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知复数，并且，则的最大值为 ，此时的实部为 . 3．（23-24高一下·云南·期末）已知复数． (1)若，且，求实数的值； (2)若为纯虚数，且，求复数的模． 4．（23-24高一下·云南·期末）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数及. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 复数 题型概览 题型01复数的概念 题型02复数与点的对应关系 题型03复数的运算 题型04复数的运算与共轭复数 题型05复数运算与复数的模 题型06复数运算与复数的几何意义 题型07复数运算与复数概念 题型08实系数一元二次方程的解 题型09复数的综合问题 题型10复数新定义问题 优选提升题 ( 题型01 ) 复数的概念 1．（23-24高一下·云南·期末）若实数，满足，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等的充要条件求出，的值，即可得解. 【详解】因为实数，满足， 所以，则. 故选：B ( 题型02 ) 复数与点的对应关系 1．（23-24高一下·云南楚雄·期末）在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据其几何意义确定所在象限即可. 【详解】在复平面内对应的点在第四象限, 故选：D. 2．（23-24高一下·云南·期末）若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的几何意义可解. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 其位于第二象限. 故选：B ( 题型03 ) 复数的运算 1．（23-24高一下·云南玉溪·期末），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】根据复数代数形式的乘、除运算法则计算可得. 【详解】. 故选：B． ( 题型04 ) 复数的运算与共轭复数 1．（23-24高一下·云南·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】利用复数除法求出复数，再利用共轭复数的意义求解即得. 【详解】依题意，，所以 故选：D 2．（23-24高一下·云南·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的四则运算法则求出复数，再求其共轭复数即得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选:C． 3．（23-24高一下·云南·期末）已知复数是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的四则运算法则及共轭复数的概念计算即可. 【详解】由复数的四则运算可得：，则有. 故选：D. 4．（23-24高一下·云南·期末）已知满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的相等、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】假设，利用复数的除法运算与共轭复数的定义，结合复数相等的性质得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】依题意，设，则， 因为， 所以由，可得， 则， 所以，解得， 所以. 故选：A. 5．（23-24高一下·云南·期末）已知复数，则的虚部为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】先对复数化简，然后求出其共轭复数，从而可求出的虚部 【详解】因为， 所以，所以的虚部为. 故选：D. 6．（23-24高一下·云南·期末）在复平面内，复数的共轭复数的虚部为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据题意求复数，再根据共轭复数以及虚部的定义分析求解. 【详解】根据题意可知， 则，所以其虚部为. 故选：B. 7．（23-24高一下·云南昆明·期末）在复平面内，复数 （为虚数单位）的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】根据复数的四则运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 8．（23-24高一下·云南·期末）已知复数（为虚数单位），则的虚部为 . 【答案】/0.5 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的运算法则可得，进而，结合复数的有关概念即可求解. 【详解】， 所以， 则的虚部为. 故答案为： ( 题型0 5 ) 复数运算与复数的模 1．（23-24高一下·云南·期末.2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】求复数的模 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 2．（23-24高一下·云南·期末）若复数，，则（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的减法运算和复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，， 所以． 故选：B 3．（23-24高一下·云南大理·期末）若复数，则（    ） A．25 B．5 C． D．2 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 4．（23-24高一下·云南·期末）求复数的模为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法可得，进而即得. 【详解】法一：∵， ∴； 法二：， 故选：A. ( 题型0 6 ) 复数运算与复数的几何意义 1．（23-24高一下·云南·期末）已知复数，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】复数的乘方、判断复数对应的点所在的象限、复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘方运算和加减法法则计算出，得到对应的点坐标，得到答案. 【详解】，故在复平面内对应的点坐标为， 所以在复平面内对应的点在第一象限. 故选：A． 2．（23-24高一下·云南曲靖·期末）在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为 【答案】/ 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、复数的向量表示 【分析】先利用复数的几何意义求出和的坐标，从而求出的坐标，由此得解. 【详解】因为复数与所对应的向量分别为和， 所以，， 所以，即对应的复数为. 故答案为： ( 题型0 7 ) 复数运算与复数概念 1．（23-24高一下·云南曲靖·期末）若复数为纯虚数，则的虚部为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的分类及辨析、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据纯虚数的定义，求出，结合复数四则运算以及复数虚部定义求解即可 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，解得，则， 所以，则其虚部为4， 故选：B ( 题型0 8 ) 实系数一元二次方程的解 1．（多选）（23-24高一下·云南昆明·期末）在复数范围内，方程的两个根分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】求复数的模 【分析】在复数范围内，方程的两个根分别为，根据韦达定理和求根公式计算判断各个选项； 【详解】对于A,B，在复数范围内，方程的两个根分别为， 根据韦达定理可得，故A错误B正确; 对于C,D，在复数范围内，方程的两个根分别为， 根据求根公式可得， 从而， 故C错误D正确; 故选：BD. ( 题型0 9 ) 复数的综合问题 1．（多选）（23-24高一下·云南·期末）若复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（   ） A．的虚部为 B．的实部为1 C．在复平面上对应的点位于第一象限 D． 【答案】BC 【知识点】求复数的模、求复数的实部与虚部、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据乘方的周期性以及复数除法法则化简复数，再判断选项即可. 【详解】因为复数， 对于A,B,的虚部为5，实部为1，故A错误，B正确； 对于C，，所以在复平面上对应的点为，位于第一象限，故C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 2．（多选）（23-24高一下·云南·期末）已知复数，为的共轭复数，则下列各选项正确的是（    ） A．是虚数 B．的虚部为 C． D． 【答案】AD 【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的实部与虚部、复数的分类及辨析、求复数的模 【分析】结合复数及共轭复数的概念，复数模的公式，复数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，所以， A选项中，由于虚部不为0，所以是虚数，A正确； B选项中，的虚部为1，B错误； C选项中，当复数的虚部不为零时，不能比大小，C错误； D选项中，，，，D正确． 故选：AD． 3．（多选）（23-24高一下·云南昭通·期末）下列命题正确的是（    ） A．复数的共轭复数是 B．复数是纯虚数，则 C．复数所对应的点在第二象限，则 D．已知，则 【答案】BCD 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】根据共轭复数的概念判断A；由纯虚数概念列式计算求出a，判断B；根据复数的几何意义判断C；根据复数的乘法运算判断D. 【详解】对于A，复数的共轭复数是，故A错误； 对于B，复数是纯虚数， 则，解得，故B正确； 对于C，复数所对应的点在第二象限， 则，解得，故C正确； 对于D，，则，故D正确， 故选：BCD. 4．（多选）（23-24高一下·云南·期末）若复数，则（    ） A． B． C．复数的实部与虚部不相等 D．复数在复平面内对应的点在第四象限 【答案】BCD 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】对于A，由复数的四则运算以及模的计算公式直接验算即可；对于B，由共轭复数的概率和复数加法验算即可；对于C，直接由复数的实部、虚部的概念即可判断；对于D，由复数的几何意义即可判断. 【详解】对于A，由题意知，则，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，复数的实部为，虚部为，故C正确； 对于D，复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故D正确， 故选：BCD. 5．（多选）（23-24高一下·云南·期末）已知复数（为虚数单位），若，则（    ） A．在复平面上对应的点位于第一象限 B．的对应向量与轴正半轴同向的单位向量的夹角为 C． D． 【答案】AC 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限、复数的向量表示 【分析】AB选项，根据复数运算得到，然后判断象限和夹角即可；C选项，根据共轭复数的定义和乘法法则计算；D选项，根据复数减法和模的计算公式计算. 【详解】因为，所以， 所以，所以，所以． 所以z在复平面上对应的点位于第一象限，所以A正确； z的对应向量与轴正半轴同向的单位向量的夹角的余弦值为，夹角不为，所以B错误； ，所以C正确； ，所以D错误． 故选：AC． 6．（多选）（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知复数满足，则（    ） A．的虚部为2 B． C． D．为纯虚数 【答案】ACD 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【详解】先求出，借助于相关概念即可判断各选项. 根据题意可得， 对于A，显然 的虚部为2，故A正确； 对于B，由可得，，故B错误； 对于C，因则，故C正确； 对于D，为纯虚数，故D正确． 故选：ACD. 7．（23-24高一下·云南·期末）已知，复数是虚数单位. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征、判断复数对应的点所在的象限、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解； （2）利用复数的几何意义列不等式组求解. 【详解】（1）因为是纯虚数， 所以 解得； （2）在复平面内对应的点为， 由题意可得 解得，即的取值范围是. ( 题型 10 ) 复数新定义问题 1．（23-24高一下·云南曲靖·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【答案】ABD 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】对于A，B，由代入运算即可判断，对于C，代入，得其对应的点坐标，进行判断即可；对于D，将代入化简，再求即可判断. 【详解】对于A：由题意得：，故A正确； 对于B：由题意得：，故B正确； 对于C：由题意得：，则其对应的点为， ∵，则， ∴对应的点位于第三象限，故C错误； 对于D：由题意可得： ，故正确. 故选：ABD. 1．（23-24高一下·云南·期末）已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的向量表示 【分析】依题意设，，，即可表示出，再由复数的模、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为且，所对应的向量，满足，即， 不妨令，，则，， 又，设，即 则， 所以 ， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 2．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知复数，并且，则的最大值为 ，此时的实部为 . 【答案】 0 【知识点】基本不等式求和的最小值、求复数的实部与虚部、复数的相等、共轭复数的概念及计算 【分析】由题意可得，由复数的相等可列出方程组，结合基本不等式即可求解的最大值；把代入方程组即可解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为； 当时，，解得，所以此时的实部为. 故答案为：0；. 3．（23-24高一下·云南·期末）已知复数． (1)若，且，求实数的值； (2)若为纯虚数，且，求复数的模． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的相等、求复数的模、已知复数的类型求参数、复数的除法运算 【分析】（1）代入求出，利用复数相等可得答案； （2）根据为纯虚数求出，代入，再求可得答案． 【详解】（1）若，则， ∵，∴， 可得； （2）＝＝＝， ∵为纯虚数，∴，可得， ， ∴， ∴． 4．（23-24高一下·云南·期末）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数及. 【答案】(1)； (2)，. 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）根据共轭复数的定义和复数的乘法运算，结合纯虚数的定义，即可求得结果； （2）根据（1）中所求，结合复数的除法运算，求得，再求及即可. 【详解】（1），则，， 又其为纯虚数，故，解得，故. （2）， 则，. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$