清单03 勾股定理（6个考点清单+9个题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

清单03 勾股定理 清单01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 清单02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 清单03 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 清单04 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 清单05 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 清单06 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 【考点题型一】勾股数的判断（） 例题：（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．10，15，20 D．7，24，25 2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）下列各组数据的三个数，是勾股数的有（   ） ①，，②6，8，10③7，24，25④，，⑤1.5，2，2.5 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 【考点题型二】以直角三角形三边为边长的图形面积（） 例题：（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　） A．25 B．36 C．49 D．64 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B． C． D． 【考点题型三】用勾股定理解三角形（） 例题：（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图，在中，，，， (1)求； (2)求的长． 2．（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米． (1)求小路的长； (2)求小路的长． 3．（23-24八年级下·江西抚州·期末）细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； … (1)请用含有n（n为正整数）的式子填空：______，______； (2)在线段，，，…，中，长度为正整数的线段共有______条 (3)求的值； 【考点题型四】勾股定理与网格问题（） 例题：（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)线段的长为 ，线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)的面积是 ． 2．（23-24八年级下·云南昆明·期末）定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上， (1)求的度数； (2)求格点四边形的面积． 3．（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，完成下列问题： (1)______；______；______； (2)求的面积 (3)求边上的高 【考点题型五】勾股定理与折叠问题（） 例题：（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中是矩形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求： (1)线段和的长度； (2)点和点的坐标． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为______； （2）如果，可得的度数为______； 操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在矩形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【考点题型六】勾股定理的应用（） 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）每年的月日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为米． (1)求云梯顶端与墙角的距离的长； (2)现云梯顶端下方米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料，回答问题． 社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案： 步骤一：测得秋千静止时的底端与地面的距离； 步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度，再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离． (1)若设秋千的高度，则_____（用含的代数式表示）； (2)根据上述测量方案和数据，求秋千的高度． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）庆庆家附近有一条东西走向的公路，一天一辆宣传车从这条路上经过．如图，从监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离为，与这辆宣传车的起始位置B的距离为，且，过点C作于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为的圆形区域内会听到宣传车的声音． (1)求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离； (2)若这辆宣传车的行驶速度为，则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？ 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 【考点题型七】判断能否构成直角三角形（） 例题：（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）满足下列条件的中，不是直角三角形的是(    ) A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是（   ） A．如果，那么是直角三角形且 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【考点题型八】利用勾股定理的逆定理求解（） 例题：（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北邯郸·期末） 如图， 在四边形中．， ， (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 2．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 3．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 【考点题型九】勾股定理的应用（） 例题：（23-24八年级下·陕西渭南·期末）实践探索：检测某雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直与底边． 素材及工具只：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺分别测量边，边和的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有更科学的方法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）已知是三边的长，且满足关系式． (1)求的值； (2)若，判断的形状，并说明理由． 2．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于洪水原因，由C到A的路损坏，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（点A，D，B在同一直线上），并修建一条路，测得，，． (1)问是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明． (2)求新路比原来的路少多少米？ 3．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 勾股定理 清单01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 清单02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 清单03 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 清单04 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 清单05 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 清单06 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 【考点题型一】勾股数的判断（） 例题：（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．分a为最长边，12为最长边两种情况讨论，根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①a为最长边，，13是正整数，符合题意； ②12为最长边，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．10，15，20 D．7，24，25 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数的定义．判断是否为勾股数，首先这三个数都要是正整数，同时还需验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故选项符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）下列各组数据的三个数，是勾股数的有（   ） ①，，②6，8，10③7，24，25④，，⑤1.5，2，2.5 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此解答即可． 【详解】解：①，所以①不是勾股数； ②，所以②是勾股数； ③，所以③是勾股数； ④，所以④不是勾股数； ⑤，但其不是正整数，所以⑤不是勾股数． 综上所述②③是勾股数，共2个． 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查勾股定理、勾股数，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴；； ； ． A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意； C． ，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【考点题型二】以直角三角形三边为边长的图形面积（） 例题：（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　） A．25 B．36 C．49 D．64 【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：正方形和正方形的面积之和为， 在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆面积的计算等知识点，先根据勾股定理得到三角形的三边关系，再用圆面积的计算方法得到三个半圆的面积的关系，进而求得结论； 【详解】解：∵在Rt中，, ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意； 故选：A 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据和勾股定理求出，，再求出，即可得到答案． 【详解】解：∵以为斜边在外侧作，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：C 【考点题型三】用勾股定理解三角形（） 例题：（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识． （1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得； （2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得； ②分两种情况：当点在线段上时，由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同理，即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； （2）解：①在中，由勾股定理得：． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②分两种情况： 如图，当点在线段上时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在线段的延长线上时． ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图，在中，，，， (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握勾股定理． （1）过点作于点，再根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式求解即可； （2）先根据线段的和差求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点， ，， ， ， ； （2），， ， ． 2．（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米． (1)求小路的长； (2)求小路的长． 【答案】(1)小路的长为12米 (2)小路的长为7.2米 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用以及三角形面积，根据勾股定理求出AD、AC的长是解题的关键． （1）由勾股定理求出AD的长即可； （2）由勾股定理求出AC的长，再由三角形面积求出DE的长即可． 【详解】（1）， ， （米）， 答：小路的长为12米； （2）在中，由勾股定理得：（米）， ，， （米）， 答：小路的长为7.2米． 3．（23-24八年级下·江西抚州·期末）细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； … (1)请用含有n（n为正整数）的式子填空：______，______； (2)在线段，，，…，中，长度为正整数的线段共有______条 (3)求的值； 【答案】(1)n， (2)45 (3)18 【知识点】用勾股定理解三角形、二次根式的应用、用代数式表示数、图形的规律 【分析】考查了新定义的理解，二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算． （1）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可； （2）通过分析数据不难发现当边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数．分析2025最接近哪个正整数的平方． （3）代入化简整理求值即可； 【详解】（1）观察所给式子：，，，以此类推，可得． 对于，，，所以（n为正整数）． 故答案为：n，． （2）解：∵， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， … 当（k为正整数）时，， ∵，， ∴1到2025有45个完全平方数， ∴线段，，，…，中，长度为正整数的线段共有45条． 故答案为：45． （3）解：∵，，， ∴原式 ． 【考点题型四】勾股定理与网格问题（） 例题：（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【答案】2 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 的面积， ， ． 故答案为：2． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)线段的长为 ，线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)的面积是 ． 【答案】(1)，，； (2) 【知识点】利用网格求三角形面积、勾股定理与网格问题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了网格中求三角形面积，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：由网格知识可得： ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·云南昆明·期末）定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上， (1)求的度数； (2)求格点四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用网格求三角形面积、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理、三角形面积的计算等知识点，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形． （1）如图：连接，运用勾股定理可得的长，然后根据勾股定理的逆定理判断出为等腰直角三角形即可解答； （2）根据以及三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图：连接，根据勾股定理，，， ∴，， ∴， 是直角三角形， ． （2）解：． 3．（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，完成下列问题： (1)______；______；______； (2)求的面积 (3)求边上的高 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】坐标与图形、与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理与网格，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理与网格的联系，列式作答即可； （2）根据网格的特征，利用割补法列式作答； （3）运用等面积法，进行列式作答即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解：的面积， （3）解：的面积边上的高， 即边上的高． 【考点题型五】勾股定理与折叠问题（） 例题：（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中是矩形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求： (1)线段和的长度； (2)点和点的坐标． 【答案】(1)， (2)点坐标为，点坐标为 【知识点】勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形、坐标与图形 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，坐标与图形，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质得 ，进而利用勾股定理即可得解； （2）由，，得，即可求得．设，则，在中，由．得，求解即可得解． 【详解】（1）解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，， ， ． （2）解： ，， ， ． 又， 设，则， 在中，． ， ，即， ． 综上，点坐标为，点坐标为． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为______； （2）如果，可得的度数为______； 操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长． 【答案】操作一：（1）；（2）；操作二： 【知识点】三角形折叠中的角度问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理： 操作一：（1）由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式求解即可； （2）由折叠的性质可得，则，再根据三角形内角和定理结合已知条件求解即可； 操作二：由勾股定理得，由折叠的性质可得，利用等面积法求出，进而求出，则． 【详解】解：操作一：（1）由折叠的性质可得， ∴的周长， 故答案为：； （2）由折叠的性质可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 操作二：在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在矩形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 【答案】操作一∶；操作二：的长为． 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查直角三角形，矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程． (1)求出，，设，可得∶ ，即可解得答案∶ (2)求出，设，可得，即可解得的长． 【详解】操作一：在中，，，， ， 由翻折可得，，， ， 设，则，， 在中，，由勾股定理得：， 解得： ， ∴； 操作二：在长方形中，，， 根据折叠的性质得，， 在中，， 根据勾股定理可得，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 的长为． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【知识点】勾股定理与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 【考点题型六】勾股定理的应用（） 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)5小时 (2)符合航行安全标准，理由见解析 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)、与方向角有关的计算题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为10海里/小时，则（小时），即可作答． 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为10海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）每年的月日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为米． (1)求云梯顶端与墙角的距离的长； (2)现云梯顶端下方米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1)的长为 (2)为 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理即可得到求解； （2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 答：云梯顶端与墙角的距离的长为； （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料，回答问题． 社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案： 步骤一：测得秋千静止时的底端与地面的距离； 步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度，再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离． (1)若设秋千的高度，则_____（用含的代数式表示）； (2)根据上述测量方案和数据，求秋千的高度． 【答案】(1) (2)秋千的高度为 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)、列代数式 【分析】本题考查勾股定理的实际应用： （1）根据即可求解； （2）过点作，利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：过点作，垂足为， 则，， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， 答：秋千的高度为． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面处折断 (2)在距离旗杆底部米处有被砸伤的风险 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键． （1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意，知． 因为， 设长为，则长， 则， 解得． 故旗杆距地面处折断； （2）解：如图： 因为点P距地面， 所以， 所以， 则距离旗杆底部周围的范围内有被砸伤的风险， 所以在距离旗杆底部处有被砸伤的风险． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）庆庆家附近有一条东西走向的公路，一天一辆宣传车从这条路上经过．如图，从监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离为，与这辆宣传车的起始位置B的距离为，且，过点C作于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为的圆形区域内会听到宣传车的声音． (1)求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离； (2)若这辆宣传车的行驶速度为，则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？ 【答案】(1)监测点与宣传车的起始位置之间的距离为500 (2)庆庆家能听到8min的宣传车声音 【知识点】三线合一、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据的面积求得，以为圆心，长为半径画弧，交于点，，则当时，正好能听到宣传车的声音．根据勾股定理求得的长，进而得到的长，即可求出听到宣传车声音的时间． 【详解】（1）解：，，， ． 答：监测点与宣传车的起始位置之间的距离为． （2）解：，， ， ， ． 如图，以为圆心，长为半径画弧，交于点，， 则当时，正好能听到宣传车的声音． 在中， ， ． 宣传车的行驶速度为， ． 答：庆庆家能听到的宣传车声音． 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 【答案】（1）见解析；（2）25；（3）6.3125千米；（4）20 【知识点】勾股定理的证明方法、求最短路径(勾股定理的应用)、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，，则，分别用含，，的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图2所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理即可求解； （3）如图3所示，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；利用勾股定理得，，进而得，再根据千米，千米，千米得千米，即可解答； （4）根据轴对称最短路线的求法即可求出． 【详解】（1）证明：根据题意，，，，， 则， 四边形的面积， ， ， ； （2）解：如图2所示，连接，过点作于点，   ，， ， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， （千米）， 由勾股定理得：（千米）， 则两个村庄之间的距离为25千米． 故答案为：25； （3）解：如图3所示，连接，作线段的垂直平分线交于，则点即为所求；    连接，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在（2）的背景下，则千米，千米，千米， 千米， ， 千米． 即的长为6.3125千米； （4）解：如图4，， 设，则， 先作出点关于的对称点，连接，过点作于点，    则， 当点三点共线时，有最小值， 由轴对称可得：， 的最小值为， 即：就是代数式的最小值． 代数式的最小值为． 故答案为：20． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 【考点题型七】判断能否构成直角三角形（） 例题：（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．利用三角形内角和定理求得的值，即可判断选项A、C；利用勾股定理的逆定理判断选项B、D即可． 【详解】解：A. ∵， ∴， ∴， 解得，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意； B. ∵， ∴，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，可设， 则有， ∴， ∴该三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D. ∵，可设， 则有，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）满足下列条件的中，不是直角三角形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：、，， ∴， 不是直角三角形，符合题意； 、，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 、，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴设，，， ∵， ∴； ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、直角三角形的定义、勾股定理的逆定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．利用三角形的内角和定理、直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：、，，故是直角三角形，不符合题意； 、，，，故是直角三角形，不符合题意； 、，，故不是直角三角形，符合题意； 、，，故是直角三角形，不符合题意． 故选：． 3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是（   ） A．如果，那么是直角三角形且 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】A 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：A、如果，即，那么是直角三角形且，选项错误，符合题意； B、如果，由，可得，那么是直角三角形，选项正确，不符合题意； C、如果，满足，那么是直角三角形，选项正确，不符合题意； D、如果，由，可得，那么是直角三角形，选项正确，不符合题意； 故选：A． 【考点题型八】利用勾股定理的逆定理求解（） 例题：（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】根据，，可以得到为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，从而可以求得，进而可求得的度数．本题考查勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出和的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ， ∴ 为等边三角形， ∴，， 又∵， ，， ∴，   ，   ， ∴ ∴为直角三角形， ∴ ， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北邯郸·期末） 如图， 在四边形中．， ， (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】等腰三角形的定义、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由勾股定理得：，由，可得，即是直角三角形，，由， ，可得，根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：由题意知，， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)这块空地的面积为 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【详解】（1）解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． （3）解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 3．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）过点A作，垂足为E，先利用角平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）解：过点A作，垂足为E，，    ∵平分，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：， ∴的面积为． 【考点题型九】勾股定理的应用（） 例题：（23-24八年级下·陕西渭南·期末）实践探索：检测某雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直与底边． 素材及工具只：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺分别测量边，边和的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有更科学的方法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 【答案】(1),理由见解析 (2)见解析 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查的是勾股定理逆定理的应用，熟记勾股定理逆定理是解题的关键. （1）根据勾股定理进行检验即可； （2）在上取点厘米, 在线段上取厘米, 连接, 测量出的长即可得出结论. 【详解】（1）,理由： ∵厘米, 厘米，厘米, ， ∴是直角三角形, ∴； （2）能, 在上取点厘米, 在线段上取厘米, 连接, 测量出厘米, 则, 证明： 如图， ∵厘米, 厘米, 厘米, ， ∴是直角三角形, ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）已知是三边的长，且满足关系式． (1)求的值； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形，理由见详解 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、等腰三角形的性质和判定、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了算数平均数的非负数的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定． （1）根据可得，由二次根式非负数的性质即可求出答案． （2）由（1）可得，再证明，得到．则是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，． （2）是等腰直角三角形， 理由：∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形． 2．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于洪水原因，由C到A的路损坏，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（点A，D，B在同一直线上），并修建一条路，测得，，． (1)问是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明． (2)求新路比原来的路少多少米？ 【答案】(1)是从村庄到河边最近的路，理由见解析 (2)新路比原来的路少49米 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设，则．在中根据勾股定理求出的长即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴是从村庄到河边最近的路； （2）解：， 设，则． ∵， ， ∴，即， 解得：． ， ， ， 即新路比原来的路少49米． 3．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【答案】(1)公路与垂直，计算见解析 (2)818万元 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直． （2）解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$