2025年九年级数学中考复习 圆综合解答题 考前冲刺专题提升训练

2025年春九年级数学中考复习《圆综合解答题》考前冲刺专题提升训练（附答案） 1．如图，在中，，以为直径作交于点D．点在线段上，．连接并延长交于． (1)求证：； (2)连接交于点．若，，求的半径． 2．如图，在中，，以为直径作，分别交于点，交于点，过作于，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接交于，若，，求的值． 3．如图，为线段上两点，且，，，过点作的垂线，与以为直径的交于点，作射线． (1)求证：为的切线； (2)为上一点，弦与直径交于点，当为中点时，求的长． 4．如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 5．【课本再现】如图1， 是的切线， 为切点， 是的直径．若， (1)求的度数． (2)【变式设问】如图2，是的直径， 与相切于点为上一 点，的延长线与射线相交于点D， 若，求证：． 6．如图，已知是的直径，都是的弦，于点G，交于点F，且，连结，分别交于点H，K． (1)求证：． (2)若，，求的直径． (3)若点F在半径上，，请直接写出的值． 7．如图，是的直径，是的弦，平分交于点D，过点D作 交的延长线于点 E，连接交于点 F，已知，． (1)求证：是的切线； (2)求的长度； (3)求的值． 8．如图，内接于是的直径，是的切线交的延长线于点于点是上的动点（不与点，重合），连接并延长到点，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，求四边形面积的最大值． 9．如图，⊙是的外接圆，是直径，，延长到点，使得，半径与交于点，连接与交于点． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，求的长度； (3)若是的中点，如图，求． 10．如图，四边形是平行四边形，点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，是的外接圆．已知，，点到的距离为． (1)若圆心在线段上，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作交于点，使，求证：是的切线； (3)若圆心不在线段上，当与平行四边形的某一边所在的直线相切时，试求线段的长． 11．如图，四边形内接于，，，，垂足为点E，是的直径，点P是上异于点A、D的一点，点Q在的延长线上，且，与交于点M，设，． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)若，，以下三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 12．如图，在中，，点P为线段上的一个动点（不与A，C重合），作点关于的对称点，连结，．是的外接圆并分别交，于点，，连结，．    (1)判断是否为等腰三角形，并说明理由． (2)证明：． (3)连结，若点为线段的三等份点且，，求的值． 13．已知的半径为是其内接三角形，． (1)如图1，求； (2)如图2，弦，连接分别交于点． ①求证：； ②若点为的中点，求的长． 14．如图，在中，直径，，是的切线，点为切点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，线段交于点，连结，若，求的长； (3)如图3，线段交于点，连结，若，求的长． 15．是的内接三角形，是的直径，是弦，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作于点，延长到，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求线段的长． 16．如图1，和是半径为2的的两条直径，点P是延长线上的一点．连接交于点E（点E在线段上，且不与点P、点C重合）． (1)当时，求证：； (2)连接，交半径于点M，已知． ①连接，如图2，当点M是的重心时，求的余弦值； ②连接、，当为等腰三角形时，求线段的长． 17．如图①，为 的直径，弦交于点 ( 在线段上），且． (1)若，用含有的代数式表示 ． (2)如图②，点在弧上，且 ，连结交于点 ，求证： ． (3)在（2）的条件下， ①若 ，求的长； ② 若，用含有的代数式表示． 18．已知，为的直径，弦交于点，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在弧上，连接，，延长交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，，求的半径． 19．如图，内接于，连接AO并延长交BC于点D，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点B作，交的延长线于点E，交于点F，连接CF．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作的平分线交于点G，连接并延长交于点M，交于点P，连接，若，求线段长． 20．已知：为的直径，，点C在上．联结OC、，过点O作，交于点D． (1)如图，联结，当时，求证：四边形是菱形； (2)作，垂足为E． ①如图，联结、，交半径于点F，当时，求线段的长； ②如图，联结、、，设的面积为，四边形的面积为，如果，求线段的长． 参考答案 1．（1）证明：如图，连接，设， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 由（1）可得，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 即的半径为． 2．（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线 （2）解：如图，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 3．解：（1）连接， ∵，，， ∴， ∴半径， ， ． ∵， ∴ 在中， ． 在中， ． ∵， ∴，，． ∵， ∴在中，，即． ∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：连接， ∵为中点，为直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵． ∴． ∴． 设，则． ∵，即， ． ， 将代入可得： ． 4．（1）证明：连接，交于点， ∵， ∴， ∵为的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 5．解：（1）是的切线 ． （2）根据题意， 如图，连接， 可得 ， 又 是的切线 ． 6．解：（1）连接， ∵是的直径， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）∵是的直径， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （3）连接， ∵是的直径， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是的中位线 ∴ 设，则， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 7．（1）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：如图，连接， 是的直径， ， 平分， ， 又， ， ， ， ，， ， ， （3）解：如图，连接、交于点， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 点、分别为、的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ． 8．（1）解：四边形是内接四边形， ∴， ∵， ． （2）证明：如图，连接． 是的切线， ∴， ． 又在中，， 是等边三角形， ∴． ， ， ， ∴， 是等腰三角形． ， 平分． （3）解：由（2）得在中，，， ． 是直径， 是直角三角形，且． ∴， ∴， ． 如图，过点作于点． 在中，为动点，为底边，当垂直平分时，的值最大， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ， ∴． 9．（1）证明：是的直径， ， ， ， ， 即， 是的直径， 是的切线； （2）解：， ，， 又， ， ， ， ， ； （3）解：为直径，， ， ， ， 、， ， 、， 又， 是的中位线， 设，则， ， ， 解得：， 则、， ， ， ， 则． 10．（1）解：∵是的外接圆，且圆心在线段上， ∴是的直径，点在上， ∴； （2）证明：如图1，连接，则， 在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，则，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：如图2，当与相切时，与只有一个交点，即为切点， 连接并延长与相交于点， ∴， ∵， ∴，则， ∴在中，， 由垂径定理得，， ∴； 如图3，当与BC相切时，设切点为，延长交于点， 过点作于点，于点，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴，则， 设的半径为，则， 在中，，即， 解得：， ∴， 连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同前可得，， ∴， ∵与有两个交点和，与有两个交点和， ∴与和所在的直线都不相切， 综上所述，当与平行四边形的某一边所在的直线相切时，线段的长为或． 11．（1）解：， ， 四边形内接于， ， ； （2）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 又， ， ， ， 又是的直径， 直线是的切线； （3）解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 在中，， , ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 12．（1）解：为等腰三角形； 理由：由翻折得， ， ， ， 为等腰三角形； （2）证明：， ， ，， ，， ，， ， ，， 又， ， ， 又， ， ； （3）解：过点A作于点H，交于点M，连结， ， ， 经过圆心O， ， ， ， ， 当时，，   ， ， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， 即， ， ，，， ， ， ， ， 设， 在和中，，， ， ， 解得， ， ； 当时，，   ， ， ， ， ， ， 同理， 求得， ， 设，则， ， 解得， ， ； 13．（1）解：在图①中，连接并延长交于点，连接， 是直径， ． 由题， 是所对的圆周角， ， （2）①证明：连接并延长交于点，连接， 在中，， ， ∴， 同理可证，， ∴， 则， ， 即． ②当点与点重合时，如下图，此时为直径， 于点． 由， 可得． 当点与点不重合时， 如下图，作，截取，连接． ， ， ． 由① ， 又， ， 又， ， 又 ， ． 设，则，，，． ， ∴， 由（1）知， 设，则，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ． 综上所述，或． 14．（1）证明：∵是的直径，， ∴是的切线． 又∵是的切线， ∴． （2）解：如图，连结， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，连结，，，， ∵，且， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（1）证明：∵， 设， 则， ∵ ∴ ． ∵ 是的直径 ， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴ ． ∴ ， ∴， ∴ ． （2）证明：连接． ∴为圆内接四边形， ∴， 由（1）得．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵，即 ， ∴ ，即 ． （3）解：连接，交于点P，设与交于点M， ∵是直径， ∴， ∴， ∵，交于M ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 延长到使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴，， ∴， 在中， ， ∴，即， ∴． 16．（1）解：连接， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：①过P作于H， 是直径， ， ， ∵点M是的重心， ， ∴， ∵，半径为2， ∴， ，， ， ∴； ②当时，如图， ， ， ， 由（1）知，不符合题意； 当时，连接，， 和是的两条直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， 当时，连接，设与交于G， ， ， ，， 是直径， ， ， ∴， ， ， ， 是的中位线， ， ， 是的中位线， ， ， ∴， ， ∴， 综上所述，线段的长或． 17．（1）解：如图①，连结，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，连结 ，延长交于， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：①∵， ∴， 连结，， ， ∴， ，即， ． ②由（2）可得，，， ∴，即是角平分线， ∴，且， ∴ ， ， 已知， 设，则， 设，由面积法可求得 ，则， ， 在等腰中，． 18．（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：连接，，设， 则由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如下图所示，过作于， ， ， ， ， ，于， ， 在和中，， ， ，， 连接，在上取点，使， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 延长交于，连接，则， ，， ， 则，， 的半径为． 19．（1）证明：如图1，连， ， ， ， 在中，， 为半径， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图2，连， ， 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 又， ， ； （3）解：如图3，连，过作于，连，由（2）得 ，又，且平分， ， 又， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 又， ， ， 设， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 20．（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 同理，是等边三角形，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． （2）解：①∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． ②过点O作于点H，得， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵在中，，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$