1.1 集合（4大考点+9大题型）（讲义）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

1.1 集合 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、 集合的含义与表示 3 二、集合间的基本关系 3 三、集合的基本运算 3 四、常用二级结论 4 03 探究核心题型 5 题型一：集合的含义与表示 5 题型二：元素与集合的基本关系 6 题型三：集合元素的特征 8 题型四：集合间的基本关系 9 题型五：集合的基本运算 12 题型六：集合与排列组合的综合应用 14 题型七：韦恩图表达集合的关系及运算 16 题型八：容斥问题 18 题型九：集合中的创新问题 20 1、了解集合的含义，了解全集、空集的含义. 2、理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系. 3、会求两个集合的并集、交集与补集. 4、能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算. 一、 集合的含义与表示 1、元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性． 2、元素与集合的关系：，； 3、集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. 4、常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 二、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 三、集合的基本运算 1、①并集：； ②交集：； ③补集：． ④全集：一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 2、运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 四、常用二级结论 （1）若集合中有个元素，则集合的所有子集个数为，所有非空子集的个数是，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是． （2）包含关系的各种等价表示：①；②；③；④；⑤． （3）容斥原理 ． （4）牢记两个注意点 ①在应用条件时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论. ②在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制. 题型一：集合的含义与表示 【例1】（2025·重庆·三模）已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】集合，则， 所以集合C的元素个数为3个. 故选：C 【方法技巧与总结】 (1)确定集合中的代表元素. (2)确定元素的限制条件. (3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾. 【变式1-1】（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 【变式1-2】（2025·四川成都·模拟预测）现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，所得结果构成的集合为. 故选：A. 【变式1-3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【答案】C 【解析】由集合，，且， 因为，，可得集合，所以集合的子集有个. 故选：C. 题型二：元素与集合的基本关系 【例2】（2025·重庆·二模）已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为全集，，可得， 所以，，，. 故选：D. 【方法技巧与总结】 明确元素与集合的“属于”或“不属于”关系。判断时，看元素是否满足集合定义条件。若满足，则元素属于该集合；若不满足，则不属于。此关系用于界定元素与集合的归属，是集合论的基础。 【变式2-1】（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以. 故选：C 【变式2-2】（2025·河南·三模）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，且， 则． 所以，，，. 故选：C. 【变式2-3】（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 题型三：集合元素的特征 【例3】（2025·广东深圳·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】根据已知条件，等差数列的通项公式为：. 根据三角函数的性质，. 这说明数列的周期为3. 因为集合，即有三个不同的值. 设时，；时，； 时，. 根据三角函数两角和公式可得： . . 则 故选：B. 【方法技巧与总结】 利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 【变式3-1】（2025·高三·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【解析】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 【变式3-2】（2025·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由得或，解得：或， 若，则，不符合题意； 若，，从而， 所以中所有元素之和为4. 故选：C. 【变式3-3】已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【解析】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B 题型四：集合间的基本关系 【例4】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为表示所有奇数，表示部分奇数， 所以. 故选：. 【方法技巧与总结】 （1）在判定两个集合之间的关系时，我们通常会采用两种主要方法。第一种是逻辑分析法，此方法要求我们先对集合的表达式进行化简处理，再通过分析化简后的表达式来明确两个集合之间的逻辑关系。第二种方法则是列举法，具体操作是分别将两个集合中的所有元素列举出来，然后通过对比这些元素来直观地判断两个集合之间的关系。 （2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 【变式4-1】（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 错误，错误，错误， ， 所以，D正确， 故选：D 【变式4-2】（2025·河北保定·二模）已知集合，则的真子集的个数为（      ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】D 【解析】因为的对称轴为，顶点为，且过点, 当时，上的点为， 作，的图象，如图， 由图可知，的图象与抛物线有4个不同的交点， 则有4个元素，从而的真子集的个数为. 故选：D 【变式4-3】（2025·四川成都·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，所以， 故选：D 【变式4-4】（2025·辽宁·模拟预测）已知复数，若集合，则的子集个数是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】方法一：由，复数， ，即， ，解得， 所以， 所以集合，含有两个元素，所以A的子集有个； 方法二：，所以由求根公式得， 所以集合，含有两个元素，所以A的子集有个； 方法三：因为，∴有且仅有2个虚数根， 所以含有两个元素，所以A的子集有个. 故选：C. 题型五：集合的基本运算 【例5】（2025·宁夏银川·三模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，， ，又， 所以. 故选：C. 【方法技巧与总结】 在处理集合的交、并、补运算时，可视元素特性选择合适表示方法。若元素为离散型，可借助Venn图直观展示集合关系；若元素连续分布，则宜用数轴表示，同时需特别留意数轴端点的包含或排除情况。 【变式5-1】（2025·山西朔州·二模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，则，解得， 所以，则， 所以. 故选：D 【变式5-2】（2025·湖南长沙·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】全集，∴， 又∵，∴，，∴集合． 故选：C. 【变式5-3】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，即，解得， 所以， 由，即，解得， 所以， 所以，则. 故选：B 【变式5-4】（多选题）（2025·江西萍乡·二模）已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．集合可能是 D． 【答案】BCD 【解析】由题意知 所以， 对于 A，因为，且，所以，A 选项错误； 对于B，由于，所以，B 选项正确； 对于C，已知，这意味着既属于A又属于B， 若，当时， 此时满足所有已知条件，故C选项正确； 对于D，因为，又，所以，D选项正确； 故选：BCD. 题型六：集合与排列组合的综合应用 【例6】（2025·北京朝阳·模拟预测）已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（   ）个． A．36 B．48 C．64 D．81 【答案】D 【解析】因为，， 当时，又，故， 当集合中有一个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有两个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有三个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有四个元素时，又，这样的集合对有， 所以集合对共有. 故选：D. 【方法技巧与总结】 在运用排列与组合理论处理集合相关问题，或求解集合中元素数量时，关键在于灵活运用分析与转化的策略。通过深入剖析问题本质，将其转化为排列组合模型，从而高效地找到解决方案。 【变式6-1】（2025·山西·模拟预测）现从一含10个元素的集合的子集中随机选出2个不同的子集，被选出的子集之间必须满足包含或被包含的关系，则满足该选取条件的选法有 种. 【答案】 【解析】不妨设子集有个元素，子集有个元素. 当时，选法有种； 当时，选法有种； 当时，选法有种； 依此类推，当时，选法有种.. 故满足该选取条件的选法种数为 . . 故答案为： 【变式6-2】设集合A是由所有满足下面两个条件的有序数组构成：①；②；则集合A中的元素共有 个. 【答案】232 【解析】当时，有五个数是0， 另一个数为1或，这样有个； 当时，中有四个数是0， 另两个数为两个1或两个或一个1和一个， 这样有个； 当时，中有三个数是0， 另三个数为三个1或三个或一个1和两个或两个1和一个， 这样有个； 综上集合A中的元素共有232个. 故答案为：232 【变式6-3】设集合，若I的非空子集满足，我们称有序集合对为I的“互斥集合对”，则集合I的“互斥集合对”的个数为 .（用数字作答） 【答案】602 【解析】若中只有一个元素，有种选择，此时对应的为的补集中个元素的非空子集有个，故有， 若中只有2个元素，有种选择，此时对应的为的补集中4个元素的非空子集有个，故有， 若中只有3个元素，有种选择，此时对应的为的补集中3个元素的非空子集有个，故有， 若中只有4个元素，有种选择，此时对应的为的补集中2个元素的非空子集有个，故有， 若中只有5个元素，有种选择，此时对应的为的补集中1个元素的非空子集有个，故有， 所以共有， 故答案为：602 题型七：韦恩图表达集合的关系及运算 【例7】（2025·山东枣庄·二模）已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出Venn图，如图， 对于A，，故A错误； 对于B，与集合交集是空集， 若，则不是的子集，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，与集合交集是空集， 若，则不是的子集，故D错误； 故选：C. 【方法技巧与总结】 Venn 图是一种借助平面几何图形来直观表示集合的工具，通常以封闭曲线（多为矩形等）的内部区域来代表集合。这种图形化表达方式生动形象，能将抽象的集合问题具象化。借助 Venn 图的直观特性，可深入领会集合概念与运算公式，清晰呈现集合间的关联。 【变式7-1】（2025·安徽合肥·三模）已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】由题意得，图中阴影部分表示的集合为， 因为集合，可得， 所以阴影部分所示集合的元素个数为个. 故选：B． 【变式7-2】（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 【变式7-3】（多选题）（2025·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 【变式7-4】（多选题）（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合均为的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为集合 均为的子集，且， 画出韦恩图，如图所示： 结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误； 由 ，所以C错误；由，所以D正确. 故选：AD. 题型八：容斥问题 【例8】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【答案】C 【解析】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为， 则楼下食堂用午餐的学生数大约为， 原本在楼上食堂且留下的学生：占比，即， 从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的，即， 所以，解得. 所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为. 故选：C 【方法技巧与总结】 容斥原理 ． 【变式8-1】（多选题）（2025·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【解析】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 【变式8-2】“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【解析】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 【变式8-3】学校举办运动会，高三班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y， 只参加球类比赛的人数为z， 只参加游泳比赛的有人， 作出韦恩图， 由韦恩图得，解得，， 只参加田径一项比赛的人数为 所以从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈， 则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为 故选：A 题型九：集合中的创新问题 【例9】（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的形式表示和除以的余数相同．已知集合满足，，．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，则， 因，则， 又，， 则 又，则，故A正确； ，则，故B正确； ，则，故D正确； 不妨取，不满足，故C错误. 故选：C. 【方法技巧与总结】 数学思维创新代表着思维品质的顶尖水准，而在新高考命题趋势中，以集合知识为载体的创新题型备受瞩目。这类题目往往围绕“问题”展开，鼓励学生通过“探究”过程，最终达成“发现”新知的成果，全面考察学生应对创新问题的理解力与解决能力。 【变式9-1】（多选题）（2025·四川·三模）已知集合，则称集合为分集．下列说法正确的是（   ） A．当时，是唯一的分集 B．对任意，总存在至少一个分集 C．若是分集，则 D．若是分集，则 【答案】AD 【解析】由得，当且仅当时等号成立. 即 对于A， 当时，则，又，故，故A正确； 对于B，时，，不符合，故B不正确； 对于C， 当时，，所以，故C不正确； 对于D，当时，， 又，所以，解得，.故D正确. 故选：AD. 【变式9-2】（2025·安徽芜湖·二模）已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为.若集合，且，则正整数n的值是 . 【答案】2025 【解析】若集合，则集合， 故，解得. 故答案为： 【变式9-3】（2025·湖南·三模）已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有 个元素. 【答案】921 【解析】先说明连续11项中集合中最多选取5项， 以为例. 构造抽屉，，，，，，. ①同时选，因为具有性质和， 所以选5则不选；选6则不选；选7则不选； 则只剩，故中属于集合的元素个数不超过5个. ②选2个， 若只选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则只能从中选，但不能同时选， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. ③中只选1个， 又四个集合，，，每个集合至多选1个元素， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个， 如取. 因为，则把每11个连续自然数分组，前184组每组至多选取5项，余一个数2025. 给出如下选取方法：从中选取； 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造184次. 此时集合的元素为：；；；； ，共个元素，而取也满足题意， 经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个. 故答案为：921. 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、 集合的含义与表示 3 二、集合间的基本关系 3 三、集合的基本运算 3 四、常用二级结论 4 03 探究核心题型 5 题型一：集合的含义与表示 5 题型二：元素与集合的基本关系 5 题型三：集合元素的特征 6 题型四：集合间的基本关系 7 题型五：集合的基本运算 7 题型六：集合与排列组合的综合应用 8 题型七：韦恩图表达集合的关系及运算 9 题型八：容斥问题 10 题型九：集合中的创新问题 11 1、了解集合的含义，了解全集、空集的含义. 2、理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系. 3、会求两个集合的并集、交集与补集. 4、能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算. 一、 集合的含义与表示 1、元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性． 2、元素与集合的关系：，； 3、集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. 4、常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 二、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 三、集合的基本运算 1、①并集：； ②交集：； ③补集：． ④全集：一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 2、运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 四、常用二级结论 （1）若集合中有个元素，则集合的所有子集个数为，所有非空子集的个数是，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是． （2）包含关系的各种等价表示：①；②；③；④；⑤． （3）容斥原理 ． （4）牢记两个注意点 ①在应用条件时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论. ②在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制. 题型一：集合的含义与表示 【例1】（2025·重庆·三模）已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 (1)确定集合中的代表元素. (2)确定元素的限制条件. (3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾. 【变式1-1】（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【变式1-2】（2025·四川成都·模拟预测）现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 题型二：元素与集合的基本关系 【例2】（2025·重庆·二模）已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 明确元素与集合的“属于”或“不属于”关系。判断时，看元素是否满足集合定义条件。若满足，则元素属于该集合；若不满足，则不属于。此关系用于界定元素与集合的归属，是集合论的基础。 【变式2-1】（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·河南·三模）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 题型三：集合元素的特征 【例3】（2025·广东深圳·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【方法技巧与总结】 利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 【变式3-1】（2025·高三·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【变式3-2】（2025·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 题型四：集合间的基本关系 【例4】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）在判定两个集合之间的关系时，我们通常会采用两种主要方法。第一种是逻辑分析法，此方法要求我们先对集合的表达式进行化简处理，再通过分析化简后的表达式来明确两个集合之间的逻辑关系。第二种方法则是列举法，具体操作是分别将两个集合中的所有元素列举出来，然后通过对比这些元素来直观地判断两个集合之间的关系。 （2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 【变式4-1】（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·河北保定·二模）已知集合，则的真子集的个数为（      ） A．3 B．4 C．7 D．15 【变式4-3】（2025·四川成都·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2025·辽宁·模拟预测）已知复数，若集合，则的子集个数是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型五：集合的基本运算 【例5】（2025·宁夏银川·三模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 在处理集合的交、并、补运算时，可视元素特性选择合适表示方法。若元素为离散型，可借助Venn图直观展示集合关系；若元素连续分布，则宜用数轴表示，同时需特别留意数轴端点的包含或排除情况。 【变式5-1】（2025·山西朔州·二模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·湖南长沙·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（多选题）（2025·江西萍乡·二模）已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．集合可能是 D． 题型六：集合与排列组合的综合应用 【例6】（2025·北京朝阳·模拟预测）已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（   ）个． A．36 B．48 C．64 D．81 【方法技巧与总结】 在运用排列与组合理论处理集合相关问题，或求解集合中元素数量时，关键在于灵活运用分析与转化的策略。通过深入剖析问题本质，将其转化为排列组合模型，从而高效地找到解决方案。 【变式6-1】（2025·山西·模拟预测）现从一含10个元素的集合的子集中随机选出2个不同的子集，被选出的子集之间必须满足包含或被包含的关系，则满足该选取条件的选法有 种. 【变式6-2】设集合A是由所有满足下面两个条件的有序数组构成：①；②；则集合A中的元素共有 个. 【变式6-3】设集合，若I的非空子集满足，我们称有序集合对为I的“互斥集合对”，则集合I的“互斥集合对”的个数为 .（用数字作答） 题型七：韦恩图表达集合的关系及运算 【例7】（2025·山东枣庄·二模）已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 Venn 图是一种借助平面几何图形来直观表示集合的工具，通常以封闭曲线（多为矩形等）的内部区域来代表集合。这种图形化表达方式生动形象，能将抽象的集合问题具象化。借助 Venn 图的直观特性，可深入领会集合概念与运算公式，清晰呈现集合间的关联。 【变式7-1】（2025·安徽合肥·三模）已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【变式7-2】（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-3】（多选题）（2025·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式7-4】（多选题）（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合均为的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 题型八：容斥问题 【例8】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【方法技巧与总结】 容斥原理 ． 【变式8-1】（多选题）（2025·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【变式8-2】“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【变式8-3】学校举办运动会，高三班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 题型九：集合中的创新问题 【例9】（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的形式表示和除以的余数相同．已知集合满足，，．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 数学思维创新代表着思维品质的顶尖水准，而在新高考命题趋势中，以集合知识为载体的创新题型备受瞩目。这类题目往往围绕“问题”展开，鼓励学生通过“探究”过程，最终达成“发现”新知的成果，全面考察学生应对创新问题的理解力与解决能力。 【变式9-1】（多选题）（2025·四川·三模）已知集合，则称集合为分集．下列说法正确的是（   ） A．当时，是唯一的分集 B．对任意，总存在至少一个分集 C．若是分集，则 D．若是分集，则 【变式9-2】（2025·安徽芜湖·二模）已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为.若集合，且，则正整数n的值是 . 【变式9-3】（2025·湖南·三模）已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有 个元素. 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$