1.1 集合（9大题型）（精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

1.1 集合 目录 01 题型归纳 2 题型一：集合的含义与表示 2 题型二：元素与集合的基本关系 2 题型三：集合元素的特征 3 题型四：集合间的基本关系 4 题型五：集合的基本运算 5 题型六：集合与排列组合的综合应用 6 题型七：韦恩图表达集合的关系及运算 7 题型八：容斥问题 9 题型九：集合中的创新问题 10 02 真题、模拟题 12 题型一：集合的含义与表示 1．已知，且，则（   ） A．0 B． C．0或3 D．或3 【答案】D 【解析】由题意知n为方程的根，当时，； 当时，一元二次方程有两个相同的根，则，解得， 此时，即． 综上所述：或． 故选：D． 2．（2025·西藏拉萨·一模）集合中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，该集合中的元素有个， 故选：B. 3．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可得，所以. 故选：A. 题型二：元素与集合的基本关系 4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知， 故A正确，BC错误， 集合不是集合的子集，故D错误. 故选：A. 5．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知且 解得. 故选：C. 6．已知集合，若集合中至少有2个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合中至少有2个元素， 所以，解得， 故选：D． 题型三：集合元素的特征 7．已知集合，则集合中的元素的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，； 当时，； 当时，． 所以，共有个元素． 故选：C. 8．若，则的可能取值有（   ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【答案】C 【解析】时，可得，符合题意； 时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题意； 时，可得，符合题意. 或均可以． 故选：C. 9．（2025·高三·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 【答案】C 【解析】由题意得， 当时，解得或， 当时，满足要求， 当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去， 当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 题型四：集合间的基本关系 10．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则. 故选：B. 11．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】因为， 故子集个数为， 故选：C. 12．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，所以， 故选：B 13．已知集合，，若，，则集合的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【解析】由题意知，则集合为，，，共4个. 故选：B． 题型五：集合的基本运算 14．已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为全集，集合，则， 且集合，所以. 故选：D. 15．已知全集，集合，，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由题可得或，则或． 故选：A. 16．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 题型六：集合与排列组合的综合应用 17．若，则符合条件的有序集合对的个数为（    ） A．81 B．90 C．108 D．114 【答案】A 【解析】当时，满足条件的有序集合对有1个； 当为单元集合时，例如， 则满足条件的集合可看成由的子集与集合的并集，共有个， 所以为单元集合时，满足条件的有序集合对有个； 当为二元集合时，满足满足条件的有序集合对有个； 当为三元集合时，满足满足条件的有序集合对有个； 当为四元集合时，满足满足条件的有序集合对有个. 综上，符合条件的有序集合对的个数为. 故选：A 18．满足的集合、共有 组． 【答案】9 【解析】当时，， 当时，或， 当时，或， 当当时，或或或， 故共有9组， 故答案为：9 19．（2025·高三·河北·开学考试）已知是三个集合，且满足，则满足条件的有序集合对的总数是 .（用数字作答） 【答案】1024 【解析】集合的子集共有个， 因为， 所以集合有32种情况，集合有32种情况， 所以满足条件的有序集合对的总数是. 故答案为：1024. 题型七：韦恩图表达集合的关系及运算 20．若集合、、满足：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 由韦恩图可知，，，，， 故选：C. 21．（多选题）图中阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】 如图， A选项：①+②，则②，故A正确； B选项：①+④，则④， 故B错误； C选项：③，①+②+④，则②，故C正确； D选项：①，故D错误. 故选：AC. 22．（多选题）（2025·高三·江苏南京·期中）若表示集合和关系的图如图所示，则可能是（   ） A． B． C．， D． 【答案】AD 【解析】由可知, 对于A,满足,故A正确， 对于B, ，此时不满足,故B错误， 对于C, ，当且仅当取等号，故，此时,故C错误， 对于D，或，故,D正确， 故选：AD 题型八：容斥问题 23．用表示有限集合中元素的个数，例如，，则.对于任意两个有限集合，若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】A 【解析】由已知作集合的韦恩图，则 故选：A 24．今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（    ）个同学． A．45 B．48 C．53 D．43 【答案】C 【解析】设集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素， 集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素， 表示两科均在90分以上的学生，则集合中有40个元素， 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知中有个元素， 又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人， 故选：C． 25．向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（    ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对都赞成的有21人 D．对都不赞成的有8人 【答案】B 【解析】赞成A的人数为，赞成B的人数为.记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示， 设对事件A，B都赞成的学生人数为x， 则对A，B都不赞成的学生人数为.赞成A而不赞成B的人数为， 赞成B而不赞成的人数为.依题意，解得. 所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人. 故选：B 题型九：集合中的创新问题 26．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 【答案】19 【解析】当时， 若为二元集：如，共有15种， 若为三元集：如共有4种， 所以总共有：种； 故答案为：19. 27．（2025·山西临汾·三模）已知集合，其中，，．表示中所有不同值的个数．若集合，则 ；若集合，则 ． 【答案】 5 【解析】由，得； ∵最多有个值， ∴， 又集合，任取，， 当时，不妨设，则， 即， 当时，， ∴当且仅当时，， 即所有的值两两不同， ∴． 故答案为：5； 28．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【解析】由题设，，，…，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使最大，则各集合中（）尽量小， 可知集合，，，…，的元素个数尽量少且数值尽可能连续， 不妨设， 可得， 可得，解得：或（舍去）， 所以的最大值为16. 故选：B. 1．（2024年天津高考数学真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，， 所以， 故选：B 2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为整数集，，所以，． 故选：A． 3．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【解析】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 故选：B 4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 5．（2023年天津高考数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，而， 所以. 故选：A 6．（2025·河北秦皇岛·三模）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 而，故， 故， 故选：D. 7．（2025·湖北黄冈·二模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合表示直线上所有点的集合，其元素是点， 集合表示直线上所有点的横坐标的集合，其元素是数， 所以. 故选：D. 8．（2025·山东济南·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意有，， 所以， 故选：C. 9．（2025·江苏盐城·三模）设集合，，则的元素个数为（    ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】因为，， 所以,有3个元素. 故选：B. 10．（2025·四川自贡·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，， 所以. 故选：D. 11．（2025·湖南·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式，解得， 不等式，解得， 所以集合，，， 故选：D. 12．（2025·河北张家口·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， 所以， 故选：A 13．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【解析】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 14．（多选题）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【解析】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 15．（多选题）（2025·四川绵阳·三模）已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（    ） A．4个 B．7个 C．9个 D．10个 【答案】AB 【解析】当时，不满足集合元素的互异性，排除. 不妨设（效果一样），已知，则. 将其变形为关于的表达式： ，移项可得，进一步得到. 因为且，所以，那么. 由此可知，所以集合至多有中的一个整数，若有两个，取较小者为，会与不等式矛盾. 令，对求导，可得，所以在上是递增函数. 假设存在且，令，， 由的单调性可知，这与矛盾， 所以中至多只有中的一个整数. 因为，所以集合至多只有中的一个整数. 因为，所以集合至多有中的一个整数. 因为，所以集合至多有中的一个整数. 又因为，，，所以集合中可以同时存在，，.   综上，集合至多有个元素. ，符合条件，说明集合的元素个数可以是个或个. 故选：AB. 16．（多选题）（2025·河北·三模）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】已知集合， 当时，；当时，；当时，， 对于A，由对集合分析知，故A不正确， 对于C，由对集合分析知，故C正确； 对于B，当时，，此时，故B正确； 对于D，当时，，故D正确. 故选：BCD. 17．（多选题）（2025·河南开封·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】， 对A，若，则，则根据有，显然矛盾，故A错误； 对B，假设，则，根据有，显然矛盾，则，故B正确； 对C，由A知，，则，故C正确； 对D，显然，必有，故D错误； 故选：BC. 18．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 【答案】 【解析】，， 显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是. 故答案为：. 19．（2025·四川凉山·三模）已知集合，则满足的有序集组的个数为 ．（用数字作答） 【答案】729 【解析】设集合B的元素个数为，则集合B的个数有个， 可知集合B的子集有个，即集合A的个数有个； 所以有序集组的个数为个. 故答案为：729. 20．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得，又因为， 所以，解得． 故答案为：. 21．（2025·河北·模拟预测）已知集合或，若，则 ． 【答案】0 【解析】由得，，因为或， 所以，所以和2是方程的两根， 所以，解得，所以． 故答案为：. 22．（2025·吉林·模拟预测）已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序构成数列，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】设， 则， 等式左侧为3的倍数，为3的倍数， 所以也为3的倍数， 故为大于1的奇数，所以. 故答案为：. 23．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ． 【答案】968 【解析】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素， 按子集中元素的个数分类， ①当元素个数为2时，不满足定义的子集有： ，共9个； 此时满足定义的子集有个， ②当元素个数为3时，不满足定义的子集有： ，共8个； 此时满足定义的子集有个， ③当元素个数为4时，不满足定义的子集有： ，共7个； 此时满足定义的子集有个， ④当元素个数为5时，不满足定义的子集有： ，共6个； 此时满足定义的子集有个， ⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有： ，共5个； 此时满足定义的子集有个， ⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有： ，共4个； 此时满足定义的子集有个， ⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有： ，共3个； 此时满足定义的子集有个， ⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有： ，共2个； 此时满足定义的子集有个， 综上所述，满足题意的子集共有个. 故答案为：968. （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合 目录 01 题型归纳 2 题型一：集合的含义与表示 2 题型二：元素与集合的基本关系 2 题型三：集合元素的特征 2 题型四：集合间的基本关系 3 题型五：集合的基本运算 3 题型六：集合与排列组合的综合应用 4 题型七：韦恩图表达集合的关系及运算 4 题型八：容斥问题 5 题型九：集合中的创新问题 5 02 真题、模拟题 6 题型一：集合的含义与表示 1．已知，且，则（   ） A．0 B． C．0或3 D．或3 2．（2025·西藏拉萨·一模）集合中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 题型二：元素与集合的基本关系 4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，若集合中至少有2个元素，则（   ） A． B． C． D． 题型三：集合元素的特征 7．已知集合，则集合中的元素的个数为（   ） A． B． C． D． 8．若，则的可能取值有（   ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 9．（2025·高三·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 题型四：集合间的基本关系 10．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 11．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 12．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知集合，，若，，则集合的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 题型五：集合的基本运算 14．已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 15．已知全集，集合，，则（   ） A．或 B．或 C． D． 16．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 题型六：集合与排列组合的综合应用 17．若，则符合条件的有序集合对的个数为（    ） A．81 B．90 C．108 D．114 18．满足的集合、共有 组． 19．（2025·高三·河北·开学考试）已知是三个集合，且满足，则满足条件的有序集合对的总数是 .（用数字作答） 题型七：韦恩图表达集合的关系及运算 20．若集合、、满足：，则（   ） A． B． C． D． 21．（多选题）图中阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 22．（多选题）（2025·高三·江苏南京·期中）若表示集合和关系的图如图所示，则可能是（   ） A． B． C．， D． 题型八：容斥问题 23．用表示有限集合中元素的个数，例如，，则.对于任意两个有限集合，若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．18 24．今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（    ）个同学． A．45 B．48 C．53 D．43 25．向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（    ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对都赞成的有21人 D．对都不赞成的有8人 题型九：集合中的创新问题 26．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 27．（2025·山西临汾·三模）已知集合，其中，，．表示中所有不同值的个数．若集合，则 ；若集合，则 ． 28．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 1．（2024年天津高考数学真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 3．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023年天津高考数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北秦皇岛·三模）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北黄冈·二模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东济南·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏盐城·三模）设集合，，则的元素个数为（    ） A． B．3 C．2 D．1 10．（2025·四川自贡·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·湖南·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·河北张家口·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 14．（多选题）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 15．（多选题）（2025·四川绵阳·三模）已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（    ） A．4个 B．7个 C．9个 D．10个 16．（多选题）（2025·河北·三模）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（多选题）（2025·河南开封·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 18．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 19．（2025·四川凉山·三模）已知集合，则满足的有序集组的个数为 ．（用数字作答） 20．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 21．（2025·河北·模拟预测）已知集合或，若，则 ． 22．（2025·吉林·模拟预测）已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序构成数列，则数列的通项公式为 . 23．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ． （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$