拓展02 平面向量数量积及其应用4考点复习指南-【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 拓展02 平面向量数量积及其应用 4考点复习指南 【问题背景】 高考数学中，平面向量数量积及其应用是核心考点，聚焦于利用向量工具解决几何度量问题，如求数量积、模长、夹角、最值与范围等。这类问题融合向量的代数运算与几何意义，考查学生对向量线性运算、坐标表示及几何性质的综合应用能力，需从代数和几何双视角分析，体现数形结合思想。 【处理角度】 1. 几何意义分析：利用数量积的几何定义（投影、夹角）、模长与垂直关系，将问题转化为几何图形的线段长度、角度或位置关系求解。 2. 坐标代数运算：通过建立坐标系，将向量问题转化为坐标运算，利用代数方法（如函数最值、方程求解）解决几何问题。 3.向量线性分解：选择合适基底表示向量，结合运算律化简表达式，或利用共线、垂直条件建立方程。 【解法策略】 1. 求数量积 ①直接利用定义，结合已知夹角与模长计算； ②利用向量线性运算（如加法、数乘）将目标向量分解为已知向量的组合，再用分配律展开计算； ③借助几何图形性质（如中点、平行四边形、垂直关系）简化运算，或通过坐标法将数量积转化为坐标乘积之和。 2. 数量积的最值与范围 ①几何法：分析动点轨迹，利用投影的几何意义（如动点在直线、圆上时投影的最值）或图形位置关系（如距离、角度极值）求解； ②代数法：建立坐标系，设动点坐标，将数量积表示为变量的函数，通过函数性质（如二次函数最值、不等式）求范围； ③利用向量不等式：结合模长与数量积的关系放缩求解。 3. 利用数量积求模 ①通过模长公式，将模长问题转化为数量积运算； ②对向量表达式平方，利用数量积的运算律展开，结合已知条件（如夹角、模长、垂直关系）解方程求模； ③借助几何图形构造直角三角形或利用平面几何定理（如余弦定理）间接求模。 4. 利用数量积求夹角 ①直接利用夹角公式，计算数量积及模长后求夹角； ②通过几何图形分析夹角的位置，结合向量方向判断角度范围； ③利用垂直关系（数量积为 0）判断夹角是否为直角，或通过投影方向确定锐角、钝角。 考点1 求数量积 1．（浙江省台金七校联盟2024-2025学年高一学期5月期中联考数学试题）已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ． 2．（2025高一·湖北荆州·期中）已知向量，在上的投影向量为，则（   ） A． B．8 C．4 D． 3．（2025·湖北模拟预测）已知圆O的半径为2，弦，D为圆O上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江模拟预测）在菱形中，为边的中点，若，则 . 5．（2025高三·全国月考）已知点O为的外心（各边中垂线的交点），，则 ． 6．（2025高一·山东德州月考）如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则 7．（2025高三·重庆沙坪坝月考）在中，是直线上一点且，则（    ） A．-2 B． C． D．0 考点2 平面向量数量积的最值与范围 8．（2025高三·新疆喀什月考）已知是边长为的正方形边上的三点，则的最大值为 ，最小值为 . 9．（2025高一·山东济宁·期中）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为 . 10．（2025高一·河北承德·期中）如图，在等腰中，，，点是边上的动点，则有关的值的说法正确的是（   ） A．为定值16 B．不为定值，有最大值16 C．为定值32 D．不为定值，有最小值32 11．（2025高二·山西忻州月考）已知P是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），则 的取值范围是 . 12．（2025·重庆模拟预测）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 13．（2025高一·北京海淀·期中）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2025高一·北京·期中）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为是线段的中点，为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为 . 考点3 利用数量积求模 15．（2025·甘肃金昌模拟预测）已知，，则（   ） A．2 B． C． D．3 16．（2025高一·甘肃定西·期中）已知向量 和 的夹角为 ，，，则 ． 17．（2025·湖北襄阳模拟预测）已知平面向量，满足，，则的最大值为 . 18．（2025·重庆模拟预测）已知两个非零向量，，若，，，则 . 19．（2025高三·全国月考）设，是单位向量，若，则 ． 20．（2025高三·全国月考）已知向量满足，，，若向量c满足，则的取值范围是 . 考点4 利用数量积求夹角 21．（2025·辽宁模拟预测）在中，，为的中点，为上一点，且，，则（   ） A．0或 B． C． D．0或 22．（2025高一·浙江杭州月考）已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围 . 23．（2025高一·安徽阜阳月考）已知，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·黑龙江辽宁模拟预测）已知向量，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·河北模拟预测）已知正三角形的边长为2，点满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（2025·广东佛山模拟预测）已知的内角的对边分别为，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建泉州模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 4．（2025高一·湖南长沙月考）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ）    A． B．5 C．3 D．4 5．（2025高三·江西月考）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2025高二·广东月考）设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．（2025高三·天津滨海新月考）如图，梯形，且，，，则 ，E在线段上，则的最小值为 . 8．（2025高一·全国月考）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为 . 9．（2025高一·福建宁德·期末）已知，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中；），则 ． 10．（2025高三·天津南开·期末）在中，为线段上一点.，则 ；若在线段上运动，则的取值范围是 . 11．（2025高一·北京·期中）已知向量和，且，求： (1)的值 (2)的值 (3)的夹角的余弦值. 12．（2025高一·江苏盐城·期中）在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 13．（2025高一·四川内江·期中）在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． (1)若，AE与BF交于点N，，求的值； (2)求的最小值． 14．（2025高一·江西·期中）如图，已知菱形的边长为，，为的中点，点在对角线上，且，设，． (1)用向量，表示，； (2)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 拓展02 平面向量数量积及其应用 4考点复习指南 【问题背景】 高考数学中，平面向量数量积及其应用是核心考点，聚焦于利用向量工具解决几何度量问题，如求数量积、模长、夹角、最值与范围等。这类问题融合向量的代数运算与几何意义，考查学生对向量线性运算、坐标表示及几何性质的综合应用能力，需从代数和几何双视角分析，体现数形结合思想。 【处理角度】 1. 几何意义分析：利用数量积的几何定义（投影、夹角）、模长与垂直关系，将问题转化为几何图形的线段长度、角度或位置关系求解。 2. 坐标代数运算：通过建立坐标系，将向量问题转化为坐标运算，利用代数方法（如函数最值、方程求解）解决几何问题。 3.向量线性分解：选择合适基底表示向量，结合运算律化简表达式，或利用共线、垂直条件建立方程。 【解法策略】 1. 求数量积 ①直接利用定义，结合已知夹角与模长计算； ②利用向量线性运算（如加法、数乘）将目标向量分解为已知向量的组合，再用分配律展开计算； ③借助几何图形性质（如中点、平行四边形、垂直关系）简化运算，或通过坐标法将数量积转化为坐标乘积之和。 2. 数量积的最值与范围 ①几何法：分析动点轨迹，利用投影的几何意义（如动点在直线、圆上时投影的最值）或图形位置关系（如距离、角度极值）求解； ②代数法：建立坐标系，设动点坐标，将数量积表示为变量的函数，通过函数性质（如二次函数最值、不等式）求范围； ③利用向量不等式：结合模长与数量积的关系放缩求解。 3. 利用数量积求模 ①通过模长公式，将模长问题转化为数量积运算； ②对向量表达式平方，利用数量积的运算律展开，结合已知条件（如夹角、模长、垂直关系）解方程求模； ③借助几何图形构造直角三角形或利用平面几何定理（如余弦定理）间接求模。 4. 利用数量积求夹角 ①直接利用夹角公式，计算数量积及模长后求夹角； ②通过几何图形分析夹角的位置，结合向量方向判断角度范围； ③利用垂直关系（数量积为 0）判断夹角是否为直角，或通过投影方向确定锐角、钝角。 考点1 求数量积 1．（浙江省台金七校联盟2024-2025学年高一学期5月期中联考数学试题）已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ． 【答案】6 【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解. 【解析】向量，且与的夹角为， 则， . 故答案为：6 2．（2025高一·湖北荆州·期中）已知向量，在上的投影向量为，则（   ） A． B．8 C．4 D． 【答案】A 【分析】由数量积的几何意义可判断选项正误. 【解析】由得，根据在上的投影向量为，可知在上的投影的数量为， 故根据数量积的几何意义，等于与在上的投影的数量的乘积， 故． 故选：A． 3．（2025·湖北模拟预测）已知圆O的半径为2，弦，D为圆O上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】思路一：用坐标法，表示出，，将问题转换为三角函数最值来处理即可；思路二：由投影向量定义、数量积的定义求解即可. 【解析】方法一：建立如图所示的直角坐标系， 则，，， 所以，. 所以. 当时，取最小值. 故选：B 方法二：如图，作圆的直径，过E作的延长线，垂足为C. 而可以看作在上的投影向量与的数量积. 由圆的性质知，当D与E重合时，取得最小值. 因为，所以， 则. 所以的最小值为. 故选：B. 4．（2025·黑龙江模拟预测）在菱形中，为边的中点，若，则 . 【答案】 【分析】方法一：根据数量积的运算律得到，由对称性易知，即可得解；方法二：设在上的投影向量分别为，易知，根据数量积的几何意义计算可得. 【解析】方法一：， ，且由对称性易知， . 方法二：设在上的投影向量分别为，易知， 由数量积的几何意义可知，， . 故答案为：. 5．（2025高三·全国月考）已知点O为的外心（各边中垂线的交点），，则 ． 【答案】 【分析】设的中点为，得到，结合，即可求解. 【解析】如图所示，设的中点为，连接，则， 所以． 故答案为：. 6．（2025高一·山东德州月考）如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则 【答案】 【分析】建系，根据平面向量的线性运算的坐标表示求的坐标，进而结合数量积的坐标运算求解. 【解析】以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，建立直角坐标系，则，， 设，可得， 因为，则，可得， 即，解得，即的坐标为， 设，则，， 由可得，解得， 则，，可得 所以． 故答案为：. 7．（2025高三·重庆沙坪坝月考）在中，是直线上一点且，则（    ） A．-2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求出，再利用数量积的运算律及定义计算得解. 【解析】由，，得，由共线， 得，解得，则，， 所以. 故选：B 考点2 平面向量数量积的最值与范围 8．（2025高三·新疆喀什月考）已知是边长为的正方形边上的三点，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 2 / 【分析】建立直解坐标系，设，利用不等式，考虑极限情况求范围. 【解析】建立如图所示的平面直解坐标系，易知， 不妨设，其中， 则， 当且仅当或时，等号成立， 又， 当且仅当，即或时，等号成立. 故答案为：，. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算，将几何问题代数化，再利用基本不等式，考虑极限情况即可求解. 9．（2025高一·山东济宁·期中）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由得，根据正弦定理、余弦定理化简可得的外接圆半径为，根据向量数量积几何意义可知当点与点重合时，有最小值. 【解析】因为，，且， 则， 利用正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，则， 又因为，可得的外接圆半径为， 可知点在优弧上运动（不包括端点）， 过外接圆圆心作，当点与点重合时，在方向上的投影最小， 此时，，. 根据数量积的几何意义可知：的最小值为. 故答案为：. 10．（2025高一·河北承德·期中）如图，在等腰中，，，点是边上的动点，则有关的值的说法正确的是（   ） A．为定值16 B．不为定值，有最大值16 C．为定值32 D．不为定值，有最小值32 【答案】C 【分析】先记的中点为，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量数量积的几何意义求解即可. 【解析】在等腰中，，，点是边上的动点． 如图，取的中点，连接， 由题意可知，，则，， 所以． 故选：C． 11．（2025高二·山西忻州月考）已知P是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【解析】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故答案为： 12．（2025·重庆模拟预测）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【解析】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 13．（2025高一·北京海淀·期中）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义可得，通过求解在上的投影的范围即可求解的范围. 【解析】， 当点与点或点重合时，最小，最小值为， 当点与点或点重合时，最大，最大值为， 所以. 故选：. 14．（2025高一·北京·期中）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为是线段的中点，为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，结合图形，利用向量数量积的几何意义，数形结合求得答案. 【解析】过点作直线，交于点，，如图， ， 其中是在直线上投影的数量， 要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大， 观察图形知，当点在线段上时在直线上投影的数量最大， 而，由对称性知，， 在中，，由，解得， 则，所以的最大值为. 故答案为： 考点3 利用数量积求模 15．（2025·甘肃金昌模拟预测）已知，，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用，即可求解. 【解析】，故. 故选：B. 16．（2025高一·甘肃定西·期中）已知向量 和 的夹角为 ，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意可求，再利用模长公式可求. 【解析】， ， 故答案为：. 17．（2025·湖北襄阳模拟预测）已知平面向量，满足，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】把向量，放在单位圆内，确定定点，，用，在单位圆上选择动点，用，结合向量加法法则及向量夹角的概念确定的最大值. 【解析】 如图所示：圆为单位圆，点在单位圆上且，， 所以，符合条件， 在单位圆上再取一点，令， 易知弦所对的圆心角，弦所对的圆周角， 因为，符合条件， 所以当线段为圆的直径时最大，最大值为. 故答案为： 18．（2025·重庆模拟预测）已知两个非零向量，，若，，，则 . 【答案】2 【分析】先对进行平方，再结合向量数量积的运算性质以及已知条件求出. 【解析】对进行平方，可得. 已知，， ，. 将上述值代入可得：.即. 已知，所以. 又因为，所以.可得. 因为为非零向量，所以，可得. 故答案为：2. 19．（2025高三·全国月考）设，是单位向量，若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用向量垂直求出数量积，结合模长公式可求答案. 【解析】因为，是单位向量，且， 所以，解得， 所以，所以． 故答案为： 20．（2025高三·全国月考）已知向量满足，，，若向量c满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过已知条件先求出的值，再利用绝对值不等式来确定的取值范围，进而得到的取值范围. 【解析】由，，，得， 又，即,.即， 即 故答案为：. 考点4 利用数量积求夹角 21．（2025·辽宁模拟预测）在中，，为的中点，为上一点，且，，则（   ） A．0或 B． C． D．0或 【答案】A 【分析】根据求出，令，求出的表达式，在中使用余弦定理求出. 【解析】因为， 所以，令， 则， 即，在中，由余弦定理得，即，解得或. 故选：A. 22．（2025高一·浙江杭州月考）已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围 . 【答案】 【分析】根据已知及数量积的运算律求得，，，再应用数量积的夹角公式求的范围. 【解析】由， 所以，故， 又，， 所以 ，而，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知得到为关键. 23．（2025高一·安徽阜阳月考）已知，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求出，再根据即可求得. 【解析】由题意可得， 又，则， 故与的夹角是. 故选：B 24．（2025·黑龙江辽宁模拟预测）已知向量，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积运算律计算得出，再应用夹角余弦公式计算求解. 【解析】因为向量，所以， 所以，所以， 设向量与的夹角为，， 所以. 故选：C. 1．（2025·河北模拟预测）已知正三角形的边长为2，点满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算可得的表达式，即可根据数量积的运算律求解. 【解析】因为，所以， ， 故选：C 2．（2025·广东佛山模拟预测）已知的内角的对边分别为，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合投影向量的定义可得，角为钝角，从而可判断A，C；作出图象，无法确定角的大小，从而判断B；在和中，利用勾股定理表示，即可得到的关系，从而判断D. 【解析】过作，交直线于点，则在方向上的投影向量. 结合已知得，所以方向相反，所以，故A错误； 在方向上的投影向量为，如图所示： 由，所以，无法确定角的大小，故B错误； 因为，角为钝角，所以，故C错误； 在中，， 在中，， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 3．（2025·福建泉州模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，，由已知可得，由向量的加法和模的坐标运算结合基本不等式求解即可. 【解析】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，， 则，，， 所以， 当且仅当时等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：C. 4．（2025高一·湖南长沙月考）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ）    A． B．5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，表示各点坐标，利用平面向量的线性运算表示向量，结合平面向量的数量积运算，即可得. 【解析】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，    由题意，，，， 设，（）， 设，（）， 由，则，， ， ， 解得，则， ，， 又， ， 因为，所以， 的最大值为，的最小值为， 的最大值与最小值的差为：4 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的坐标表示，向量的数量积平面向量数量积的坐标运算，关键是由，得出M坐标，结合平面向量的数量积运算即可. 5．（2025高三·江西月考）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意，得到点的轨迹，然后利用向量计算即可. 【解析】因为 得，即 所以点在的角平分线上，设的中点为    因为，所以点在线段上， 不妨设， 所以 易知 所以 因为 所以 因为 所以 故选：B 【点睛】关键点点睛：表示了两个向量的角平分线. 6．（2025高二·广东月考）设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用余弦定理证明的内角都为锐角即可. 【解析】设， 因为， 所以， 因此 从而， 即的三个内角都为锐角，因此是锐角三角形， 故选：. 7．（2025高三·天津滨海新月考）如图，梯形，且，，，则 ，E在线段上，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】取平面的一个基底，利用向量线性运算及数量积的运算律求出可得；作，以为原点建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算，结合二次函数求出最小值. 【解析】在梯形中，且，，则， 于是 ，则，又，所以； 作于，以为原点，正方向为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，， 令，则， ，， 因此， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种： ①利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题； ②建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解. 8．（2025高一·全国月考）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值. 【解析】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则， 设，其中，则， 因为，所以，即， 因为， 当且仅当时等号成立. 所以. 又， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 9．（2025高一·福建宁德·期末）已知，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中；），则 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知是边长为2的菱形，由可得，根据向量的数量积定义即可求解. 【解析】由已知， 如图示可知：是边长为2的菱形，且， ， 所以, 所以. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据已知条件结合向量的线性运算得到是边长为2的菱形，然后再结合向量数量积的定义求解即可. 10．（2025高三·天津南开·期末）在中，为线段上一点.，则 ；若在线段上运动，则的取值范围是 . 【答案】 / 【分析】根据三点共线的知识来求得，设，利用向量数量积运算求得的表达式，然后根据二次函数的性质来求得 【解析】依题意，， 所以， 由于三点共线，所以. 因为，且，所以. 设. 由向量减法的三角形法则可得. 那么. . 已知，，，根据向量数量积公式（为与的夹角）， 可得. 展开得： ， 把，，代入上式： ， 展开并整理： ， 合并同类项得. 令，，这是一个二次函数，二次项系数， 图象开口向上，对称轴为. 当时，取得最小值，. 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 故答案为：； 11．（2025高一·北京·期中）已知向量和，且，求： (1)的值 (2)的值 (3)的夹角的余弦值. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【解析】（1）. （2）， （3）， 12．（2025高一·江苏盐城·期中）在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）根据图形用表示出，即可得参数值； （2）令且，进而得，，再应用向量数量级的运算律求得，即可得范围. 【解析】（1）由， 又，即，故； （2）如下图，令且， ， ， 所以， 所以. 13．（2025高一·四川内江·期中）在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． (1)若，AE与BF交于点N，，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，以，为基底表示，结合平面向量基本定理列方程求，，由此可得，再求，，由此可得结论； （2）以，为基底表示，，再根据数量积运算律和数量积的定义求，结合二次函数性质求其最小值. 【解析】（1）当时，，即为的中点， 因为三点共线， 设，则 ， 因为三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得 所以，又，则 所以. （2）因为，， 所以 ， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 14．（2025高一·江西·期中）如图，已知菱形的边长为，，为的中点，点在对角线上，且，设，． (1)用向量，表示，； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）根据条件，利用向量的线性运算，即可求解； （2）利用（1）中结果，由向量数量积的定义和运算律，即可求解. 【解析】（1）因为，，所以； 因为，，所以， 所以． （2）由题知，，，的夹角为， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$