16第三章 第七节 二次函数的综合应用-【智乐星中考·中考备战】2025年数学全练本（潍坊专版）

1 2 第三章　函数 第七节　二次函数的综合应用 建议用时：60分钟 3 【拔高练 能力提升】 1.(2024·济南)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点 A(0，2)，B(2，2)，顶点为D；抛物线C2：y=x2-2mx+m2-m+2(m≠1)，顶点为Q. (1)求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标； (2)如图1，连接AD，E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，F是抛物线C2上一点.若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值； (3)如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点(不与点A重合)，过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 4 图1 图2 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 5 解：(1)∵将点(0，2)，B(2，2)分别代入抛物线y=x2+bx+c得解得 ∴抛物线C1的表达式为y=x2-2x+2， ∴顶点D(1，1). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 6 (2)如图，连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于点H'，设点E的横坐标为t. 设直线AD的表达式为y=kx+b. 由题意知解得 ∴直线AD的表达式为 y=-x+2. ∵E(t，t2-2t+2)，G(t，2-t)， ∴EG=t2-t. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 7 ∵▱ADFE的面积为12， ∴S△ADE=S▱ADFE=6， S△ADE=S△AGE-S△DGE=EG·H'D=6. ∵H'D=1，∴EG=12， ∴t2-t=12， 解得t1=4，t2=-3 (舍去)，∴E(4，10). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 8 ∵点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点F， ∴F(5，9). 将点F(5，9)代入y=x2-2mx+m2-m+2(m≠1)， 得m2-11m+18=0， 解得m1=2，m2=9. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 9 (3)如图，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，与DK交于点K，设 M(h，h2-2h+2)，h<1且h≠0，N(n，0). ∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2， ∴抛物线C2的顶点Q(m，2-m)， ∴DK=|1-(2-m)|=|m-1|，KQ=|m-1|， ∴DK=KQ，∠DQK=45°. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 10 ∵MN∥DQ ，KQ∥NP，易得∠MNP=∠DQK=45°， ∴∠NMP=45°，∴MP=NP，∴n-h=h2-2h+2， ∴n=h2-h+2=(h-)2+， ∴当h=时，n=， ∴点N横坐标的最小值为n=，此时点N到直线BD距离最小，△BDN的面积最小， 最小距离即边BD上的高，高为×=， ∴△BDN面积的最小值为S△BDN=××=. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 11 2.如图1，抛物线y=x2+bx与x轴交于点A，与直线y=x交于点B(4，4)，点C(0，4)在y轴上.点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止. (1)求抛物线y=x2+bx的表达式； (2)在图1中，过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，当四边形OCPD是平行四边形时，求BP的长； 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 12 (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发沿x轴正方向匀速运动，速度是点P速度的2倍，点P停止运动时点Q也停止运动.连接BQ，PC，求2CP+BQ的最小值. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 13 解：(1)∵抛物线y=x2+bx过点B(4，4)，将点B的坐标代入y=x2+bx中得16+4b=4，∴b=-3， ∴抛物线的表达式为y=x2-3x. (2)∵OC⊥x轴， PD⊥x轴，∴PD∥OC. ∵四边形OCPD是平行四边形，∴PD=OC. ∵C(0，4)，∴PD=OC=4. ∵点P在y=x上，设P(a，a)，∴D(a，a2-3a)， ∴PD=a-(a2-3a)=-a2+4a=4，解得a=2， ∴P(2，2)，∴PB=2. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 14 (3)如图，连接BC. 由题意得2BP=OQ. 在OA下方作△OMQ，使得∠MOQ=45°，OM=2BC. ∵OC=BC=4， BC⊥OC， ∴∠CBP=45°，∴∠CBP=∠MOQ. ∵==2，∠CBP=∠MOQ， ∴△CBP∽△MOQ， ∴MQ=2CP， 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 15 ∴2CP+BQ=MQ+BQ≥MB(当M，Q，B三点共线时最短)， ∴2CP+BQ的最小值为MB的长. ∵∠MOB=∠MOQ+∠BOQ=45°+45°=90°，OB=BC=4， ∴MB===4， 即2CP+BQ的最小值为 4. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 16 3.(2024·内江)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式. (2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. (3)点F是第一象限内抛物线上的动点(不与 点D重合)，过点F作x轴的垂线交AB于点G， 连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点 D的横坐标. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 17 解：(1)令y=0，则x=3；令x=0，则y=6， ∴A(3，0)，B(0，6). 把点A(3，0)，B(0，6)分别代入y=-x2+bx+c 得解得 ∴抛物线所对应的函数表达式为y=-x2+x+6. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 18 (2)存在点D，使得△BDE和△ACE相似. 设D(t，-t2+t+6)，则E(t，-2t+6)，C(t，0)， ∴EC=-2t+6，AC=3-t，DE=-t2+3t. ∵△BDE和△ACE相似，∠BED=∠AEC， ∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE. ①如图，当△ACE∽△BDE时， ∠BDE=∠ACE=90°， ∴BD∥AC，∴点D的纵坐标为6，∴-t2+t+6=6， 解得t=0(不合题意，舍去)或t=1，∴D(1，6)； 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 19 ②如图，当△ACE∽△DBE时，∠BDE=∠CAE. 过点B作BH⊥DC于点H， ∴H(t，6)，BH=t，DH=-t2+t，∠BHD=90°， ∴=tan∠BDE=tan∠CAE=， ∴==2，∴-2t2+2t=t， 解得t=0(不合题意，舍去)或t=，∴D(). 综上所述，点D的坐标为(1，6)或(). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 20 (3)∵四边形EGFD为菱形， ∴DE∥FG，DE=FG，ED=EG. 设D(m，-m2+m+6)，E(m，-2m+6)， F(n，-n2+n+6)，G(n，-2n+6)， ∴DE=-m2+3m，FG=-n2+3n，∴-m2+3m=-n2+3n， 即(m-n)(m+n-3)=0. ∵m-n≠0，∴m+n-3=0，∴n=3-m. ∵A(3，0)，B(0，6)，∴AO=3，BO=6， ∴AB==3. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 21 如图，过点G作GK⊥DE于点K，∴KG∥AC，∴∠EGK=∠BAC， ∴=cos∠EGK=cos∠BAC=， 即=，∴EG=(n-m)=(3-2m). ∵DE=EG，∴-m2+3m=(3-2m)， ∴m2-(3+2)m+3=0， 解得m1=(不合题意，舍去)， m2=，∴m=，∴点D的横坐标为 . 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 22 4.如图，二次函数y=x2-2mx-2m-1(m>0)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F.连接AC，BD. (1)若m=1，求点B和点C的坐标； (2)若∠ACO=∠CBD，求m的值； (3)若在第一象限内二次函数y=x2-2mx-2m-1(m>0)的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°.请结合函数的图象，直接写出m的取值范围. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 23 解： (1)当m=1时， y=x2-2x-3. 当y=0时， x2-2x-3=0， 解得x1=-1，x2=3，∴B(3，0). 令x=0，则y=-3，∴C(0，-3). (2)当y=0时， x2-2mx-2m-1=0， 解得 x1=-1，x2=2m+1. ∵点A在点B的左侧， 且m>0， ∴A(-1，0)，B(2m+1，0). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 24 ∵当x=0时， y=-2m-1， ∴C(0，-2m-1)， ∴OB=OC=2m+1. ∵∠BOC=90°，∴∠OBC=45°. 如图， 连接AE. ∵y=x2-2mx-2m-1=(x-m)2-(m+1)2， ∴D(m，-m2-2m-1)，F(m，0)， ∴DF=(m+1)2，OF=m，BF=m+1. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 25 ∵A，B关于对称轴对称，∴AE=BE， ∴∠EAB=∠OBC=45°. ∵∠ACO=∠CBD，∠OCB=∠OBC， ∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC， 即∠ACE=∠DBF. ∵EF∥OC，∴tan∠ACE====. ∵tan∠DBF==m+1=tan∠ACE， ∴=m+1，∴m=1 或-1. ∵m>0，∴m=1. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 26 (3)0<m<. 提示：如图， 设 PC 交x轴于点 Q. 当点P在第一象限时， 点Q总是在点B的左侧， 此时∠CQA>∠CBA，即∠CQA>45°，∠ACQ=75°， ∴∠CAO<60°，∴2m+1<， ∴m<，∴0<m<. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 27 5.(2023·自贡)如图，抛物线y=-x2+bx+4与x轴交于A(-3，0)，B两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线表达式及B，C两点坐标. (2)以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标. (3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 28 解：(1)∵抛物线y=-x2+bx+4与x轴交于点A(-3，0)， ∴-×(-3)2-3b+4=0，解得 b=-， ∴抛物线的表达式为y=-x2-x+4. 当x=0时，y=4，∴C(0，4). 当y=0时，0=-x2-x+4 解得 x1=-3，x2=1，∴B(1，0). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 29 (2)设D(m，n). ∵以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分以下3种情况： 当AB为对角线时，解得∴D(-2，-4)； 当AC为对角线时，解得∴D(-4，4)； 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 30 当BC为对角线时，解得 ∴D(4，4). 综上所述，以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为(-2，-4)，(-4，4)或(4，4). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 31 (3)存在.理由如下： ∵tan∠ACO==<1，∴∠ACO<45°， ∴点E不可能出现在直线AC下方，也不可能在直线AC上. 当点E在直线AC上方时，∠ACE=45°. 如图，过点E作EM⊥AC于点M. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 32 根据点A(-3，0)和点C(0，4)可得直线AC的表达式为y= x+4，设直线AC与对称轴交于点H， ∴H(-1，)，HC=. ∵EH∥y轴，∴∠EHM=∠HCO， ∴tan∠EHM=tan∠HCO===，∴EM=HM. ∵∠ACE=45°，∴EM=CM， ∴HC=HM+CM，即=HM+HM， 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 33 解得HM=，∴EM=. 在Rt△EMH中，EH=，解得EH=， ∴点E的纵坐标为+=， ∴点E的坐标为(-1，). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 34 6.(2023·泰安)如图1，二次函数y=ax2+bx+4的 图象经过点A(-4，0)，B(-1，0). (1)求二次函数的表达式. (2)如图1，在抛物线的对称轴上，是否存在 一点P，使△BCP的面积为5？若存在，求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，小明经过探究发现，位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使∠DAB与∠ACB互为余角.你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 35 解：(1)将A(-4，0)，B(-1，0)两点分别代入y=ax2+bx+4得解得 ∴二次函数的表达式为y=x2+5x+4. (2)存在.由抛物线y=x2+5x+4可知，其对称轴为直线x=-，C(0，4)，设直线BC的表达式为y=kx+c. 将点B(-1，0)，C(0，4)分别代入得解得 ∴直线BC的表达式为y=4x+4. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 36 此时，如图，作PQ∥x轴，交BC于点Q，连接BP，CP. ∵点P在二次函数对称轴上， ∴设P(-，m)，则Q(，m)， ∴PQ=|-(-)|=||， ∴S△BCP=PQ·(yC-yB)=×||×4=||， ∴||=5，解得m=4或m=-16， ∴点P的坐标为(-，4)或(-，-16). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 37 (3)正确，点D的坐标为(-，-). 理由如下：如图，设AC与对称轴交点为K，对称轴与x轴交点为H，连接BK，延长AD与对称轴交于点M. 由(1)(2)可得OA=OC=4，∠AOC=90°， ∴∠CAO=45°，AC=4. 根据抛物线的对称性得AK=BK， ∴∠KAB=∠KBA=45°，∠AKB=90°. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 38 ∵AB=3，∴AK=BK=，∴CK=AC-AK=. 在Rt△CKB中，tan∠CBK==. ∵∠CBK+∠ACB=90°，∠DAB+∠ACB=90°， ∴∠DAB=∠CBK， ∴tan∠DAB=tan∠CBK=， ∴在Rt△AHM中，=.　 ∵AH=--(-4)=，∴HM=×=，∴M(-，-). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 39 设直线AM的表达式y=sx+t. 将点A(-4，0)，M(-，-)分别代入解得 ∴直线AM表达式为y=-x-. 联立解得或(舍去) ∴小明说法正确，点D的坐标为(-，-). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 40 7.如图，抛物线M过点E(-2，3)，与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(-1，4). (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段AC上一动点，求△DEF周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q.若∠PDQ=4∠DPQ，直接写出点P的坐标. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 41 解：(1)∵顶点D的坐标为(-1，4)， ∴设抛物线M的表达式为y=a(x+1)2+4. 将点E(-2，3)代入得a=-1， ∴抛物线M的表达式为y=-(x+1)2+4. 当y=0时，x=-3或1. ∵点A在点B左侧，∴点A的坐标为(-3，0). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 42 (2)当x=0时，y=3，∴点C的坐标为(0，3)， ∴直线AC的表达式为y=x+3. 如图，作点E关于AC的对称点E'，则EE'⊥AC，设垂足为G，则点G为EE'的中点. ∵直线AC的表达式为y=x+3， ∴EE'的表达式为y=-x+1. 联立可得点G的坐标为(-1，2)， ∴点E'的坐标为(0，1). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 43 ∵D(-1，4)，E(-2，3)，E'(0，1)， ∴DE==，DE'==， ∴C△DEF=DE+DF+EF=DE+DF+FE'≥DE+DE'=+， 即△DEF周长的最小值为+. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 44 (3)点P的坐标为(-1，7)或(--1，7). 提示：∵抛物线N由抛物线M平移得到， 设抛物线N的表达式为y=-x2+nx+m， 将点D(-1，4)代入得m=n+5， ∴抛物线N的表达式为y=-x2+nx+n+5， ∴顶点P的坐标为(n2+n+5). 将x=代入y=-(x+1)2+4得y=-n2-n+3， ∴Q(，-n2-n+3). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 45 如图，过点D作DH⊥PQ于点H，则H(，4). ∵×[n2+n+5+(-n2-n+3)]=4， ∴点H为PQ的中点，∴PD=QD，∴∠DQP=∠DPQ. 又∵∠PDQ=4∠DPQ，∴∠DPQ=30°. 在Rt△DPH中，∠DPH=30°， ∴PH=DH， 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 46 ∴n2+n+5-4=(+1)或n2+n+5-4=(-1-)， ∴解第一个方程可得n1=-2(舍去)，n2=2-2， 解第二个方程可得n1=-2(舍去)，n2=-2-2， ∴点P的坐标为(-1，7)或(--1，7). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 47 8.(2024·潍坊一模)抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点A(1，0)，点B(5，0)，与y轴交于点C，直线y=x+3经过点C且与抛物线交于点D，点P是第四象限内抛物线上的动点，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M，N，如图1. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 48 (1)填空：a=　　　，b=　　　，c=　　　；  (2)连接CA，AP，PD，在点P运动过程中，求四边形CAPD的面积的最大值； (3)连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为Q，如图2，直接写出使得△CNQ与△PBM相似的点P的坐标. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 49 解：(1)　-　3 提示：由一次函数的表达式知点C(0，3)，∴c=3. 设抛物线的表达式为y=a(x-1)(x-5)=a(x2-6x+5)， 则5a=3， 解得a=， ∴该抛物线对应的函数表达式为y=x2-x+3，∴b=-. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 50 (2)如图，连接AD交直线PM于点T，交y轴于点R. 联立解得或 ∴D(7，). 易得直线AD的表达式为y=x-， ∴R(0，-). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 51 设P(t，t2-t+3)，则T(t，t-)， 则PT=t--(t2-t+3)=-t2+t-， S△ACD=CR·(xD-xA)=×(3+)×(7-1)=， ∴S四边形CAPD=S△ACD+S△PAD =+PT·(xD-xA) =+×(-t2+t-)×(7-1) =-t2+t=-(t-4)2+. ∵-<0，∴四边形CAPD的面积有最大值，最大值为. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 52 (3)P(2，-)或(，-) 提示：设P(t，t2-t+3)， ∵∠CQN=∠PMB=90°， ∴当△CNQ与△PBM相似时，有=或=两种情况. ∵CQ⊥PM，垂足为Q， ∴Q(t，3)，C(0，3)，N(t，t+3)， ∴CQ=t，NQ=t+3-3=t，∴=， 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 53 由点B，M，P的坐标得BM=5-t，PM=-(t2-t+3)=-t2+t-3， 即-t2+t-3=(5-t)或5-t=(-t2+t-3)， 解得t=2或t=5(舍去)或， 综上可知，存在满足条件的点P，其坐标为(2，-)或(，-). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 54 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 55 $$