12方法专题一 平面直角坐标系中的面积问题-【智乐星中考·中考备战】2025年数学全练本（潍坊专版）

1 2 方法专题一 直角坐标系中的面积问题 3 1.如图，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C为OB上一点，且∠1=∠2，则△ABC=　　　　. 3 1 3 5 7 题序 2 4 6 4 2.已知直线I经过A(6，0)和B(0，12)两点，且与直线y=x交于点C，点P(m，0)在x轴上运动. (1)求直线l的表达式； (2)过点P作l的平行线交直线y=x于点D，当m=3时，求△PCD的面积. 1 3 5 7 题序 2 4 6 5 解：(1)设直线l的表达式为y=kx+b. 将A，B两点坐标代入可得 解得 ∴.直线l的表达式为y=-2x+12. 1 3 5 7 题序 2 4 6 6 (2)联立解得 ∴点C的坐标为(4，4). 设直线PD的表达式为y=-2x+n. 将P(3，0)代入可得0=-6+n，解得n=6， ∴直线PD的表达式为y=-2x+6. 1 3 5 7 题序 2 4 6 7 联立解得 ∴点D的坐标为(2，2)， ∴S△POD=×3×2=3，S△POC=×3×4=6， ∴S△PCD=S△POC-S△POD=6-3=3. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 3.如图，一次函数y=-x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC. (1)求△ABC的面积； (2)如果在第二象限内有一点P(a，)，请用含a的式子表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值. 1 3 5 7 题序 2 4 6 9 解：(1)y=-x+1与x轴、y轴交于A，B两点， ∴A(，0)，B(0，1). ∵△AOB为直角三角形，∴AB==2， ∴S△ABC=×22=. 1 3 5 7 题序 2 4 6 10 (2)∵点P的坐标为(a，)， ∴S四边形ABPO=S△ABO+S△BOP=OA·OB+OB×|a|=××1+×1×|a|. ∵点P在第二象限，∴S四边形ABPO=-. ∵S△ABP=-S△AOP=(-)-OA×， ∴S△ABP=--=-=S△ABC=， ∴a=-. 1 3 5 7 题序 2 4 6 11 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴上，AB=AC.反比例函数y=(x>0)的图象与边AC交于点E(1，4)和点F(2，n).点M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N.连接OE，OF，OM和ON. (1)求反比例函数的表达式和点A的坐标； (2)求△OEF的面积； (3)求△OMN面积的最大值. 1 3 5 7 题序 2 4 6 12 解：(1)将点E(1，4)代入反比例函数y=可得k=4， ∴反比例函数的表达式为y=. 将F(2，n)代入y=可得n=2，∴F(2，2). 设直线AC的表达式为y=k'x+b. 将E(1，4)，F(2，2)分别代入y=k'x+b得 解得 ∴y=-2x+6，∴点A的坐标为(0，6). 1 3 5 7 题序 2 4 6 13 (2)S△OEF=S△AOF-S△AOE=×6×2-×6×1=3. (3)∵直线AC的表达式为y=-2x+6，△ABC为等腰三角形，AB和AC为腰， ∴由对称性易得直线AB的表达式为y=2x+6. ∵点M在直线AB上，点N在反比例函数图象上， ∴设点M的坐标为(，t)，点N的坐标为(，t). ∵S△OMN=t·(-)=-(t-3)2+， ∴当t=3时，△OMN面积有最大值，最大值为. 1 3 5 7 题序 2 4 6 14 5.(2024·巴中)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1. (1)求k的值及点B的坐标； (2)P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当S△BPO=S△ABO时，求PM的最小值. 1 3 5 7 题序 2 4 6 15 解：(1)把x=1代入y=x+2得y=3， ∴A(1，3)，∴k=1×3=3， ∴反比例函数的表达式为y=. 联立解得或 ∴B(-3，-1). 1 3 5 7 题序 2 4 6 16 (2)∵S△BPO=S△ABO，∴点P是AB的中点.∴P(-1，1)， 当PM取得最小值时，PM⊥OB. ∵直线OB的表达式为y=x， ∴设直线PM的表达式为y=-3x+b， 代入P(-1，1)得3+b=1，解得b=-2， ∴直线PM的表达式为y=-3x-2. 1 3 5 7 题序 2 4 6 17 联立解得 ∴M(-，-)， ∴PM的最小值为=. 1 3 5 7 题序 2 4 6 18 6.如图，反比例函数y=(m≠0)与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于点A(1，3)，点B(n，1)，一次函数y=kx+b(k≠0)与y轴相交于点C. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接OA，OB，求△OAB的面积. 1 3 5 7 题序 2 4 6 19 解：(1)∵点A(1，3)，点B(n，1)在反比例函数y=(m≠0)的图象上， ∴m=1×3=n×1，∴m=3，n=3， ∴反比例函数的表达式为y=，点B(3，1). 将A，B两点的坐标代入y=kx+b得 解得 ∴一次函数的表达式为y=-x+4. 1 3 5 7 题序 2 4 6 20 (2)令x=0，则y=-x+4=4， ∴C(0，4)， ∴S△AOB=S△BOC-S△AOC=×4×(3-1)=4. 1 3 5 7 题序 2 4 6 21 7.(2024·苏州)如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°， A(-2，0)，C(6，0)，反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象 与AB交于点D(m，4)，与BC交于点E. (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数y=(k≠0，x>0)图象上一动点(点P在D，E之间运动，不与D，E重合)，过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标. 1 3 5 7 题序 2 4 6 22 解：(1)∵A(-2，0)，C(6，0)，∴AC=8. 又∵AC=BC，∴BC=8，∴B(6，8). 设直线AB的函数表达式为 y=ax+b. 将点A(-2，0)，B(6，8)分别代入 y=ax+b得 解得 ∴直线AB的函数表达式为 y=x+2， 1 3 5 7 题序 2 4 6 23 ∴将点D(m，4)代入y=x+2得m=2，∴D(2，4). 将点D(2，4)代入反比例函数y=得 4=，解得k=8. (2)如图，延长NP交y轴于点Q，交AB于点L. ∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=45°. ∵PN∥x轴， ∴∠BLN=∠BAC=45°，∠NQM=90°. 1 3 5 7 题序 2 4 6 24 ∵AB∥MP， ∴∠MPL=∠BLP=45°，∠QMP=∠QPM=45°， ∴QM=QP. 设点P的坐标为(t，)，则PQ=t，PN=6-t，MQ=PQ=t， ∴S△PMN=PN·MQ=(6-t)·t=-(t-3)2+， ∴当t=3时，S△PMN有最大值 ，此时P(3，). 1 3 5 7 题序 2 4 6 25 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 26 $$