02第一章 第二节 代数式及整式(含因式分解)-【智乐星中考·中考备战】2025年数学讲练本（潍坊专版）

1 2 第二节　代数式及整式(含因式分解) 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 代数式 1.代数式 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式.特别地，单独一个数或字母也是代数式. 2.代数式的值 一般地，用数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫作代数式的值. 5 3.代数式求值的一般方法 (1)直接代入法：把字母所表示的数值直接代入，计算求值. (2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式；②通过因式分解、提公因式等，将所求代数式变形，使其与已知代数式成倍数关系；③把已知代数式看成一个整体代入求值. 6 知识点2 整式的相关概念 1.整式 数字因数　 指数和　 和　 最高 7 2.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项. 3.合并同类项：把同类项合并成一项，叫作合并同类项. 法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变. 8 知识点3 整式的运算 1.整式的加减 (1)几个整式相加减，有括号的先去括号，然后再合并同类项. (2)去括号法则 ①括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号 ______________，如a+(b-c)=a+b-c，a+(b+c)=a+b+c；  ②括号前是“-”，把括号和它前面的“-”去掉后，原括号里各项的符号 ______________，如a-(b-c)=a-b+c，a-(b+c)=a-b-c.  　都不改变　 　都要改变　 9 2.幂的运算法则 (1)同底数幂相乘：am·an=_________；  (2)同底数幂相除：am÷an=_________(a≠0)；  (3)幂的乘方：(am)n=________；  (4)积的乘方：(ab)n=_________.  　am+n　 　am-n　 　amn　 　anbn　 10 3.整式的乘法 (1)单项式乘单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，如3xy·4x2z=12x3yz； (2)单项式乘多项式：根据分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，如a(b+c-d)=ab+ac-ad； (3)多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. 11 4.整式的除法 (1)单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，如3a2b÷ac2=(3÷)a2-1·bc-2=9abc-2. (2)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，如(4a3b+5ab2)÷3ab=4a3b÷3ab+5ab2÷3ab=a2+b. 12 知识点4 因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫作 因式分解. 2.因式分解与整式乘法互为逆运算，即多项式 整式的积. 3.因式分解的方法 (1)提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c). (2)公式法：①平方差公式：a2-b2=____________；  ②完全平方公式：a2±2ab+b2=____________.  (a+b)(a-b)　 　(a±b)2　 13 (3)十字相乘法： x2+(a+b)x+ab _____________.  (4)分组分解法：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以把它前两项 分成一组，提出公因式a，后两项分成一组，提出公因式b，从而得到 a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)， 此方法适用于四项及以上的多项式的因式分解. 　(x+a)(x+b) 14 命题点1 代数式及代数式的值6年1考　 例1 若m2+2m=1，则4m2+8m-3的值是(　　)　　　 A.4　　　　 B.3　　　　 C.2　　　　 D.1 【解题启发】4m2+8m与m2+2m之间有什么关系？ D 15 练1 若2a2-b=2，则6-a2+b=　　　　.  练2 (2024·广安)若x2-2x-3=0，则2x2-4x+1=　　　　.  5 7 16 命题点2 整式的相关概念6年0考　 例2 (2024·泰安)单项式-3ab2的次数是　　　　.  【解题启发】什么是单项式的次数？ 3 17 练3 若-4xm+2y4与2x3yn-1为同类项，则m-n的值为(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 练4 (2023·江西)单项式-5ab的系数为　　　.  A -5 18 命题点3 因式分解6年2考　 例3 因式分解：x2y-9y=　　　 　　.  【解题启发】有没有公因式？有的话先提公因式，再用到什么公式？ y(x+3)(x-3)　 19 【方法指导】 因式分解的一般步骤 一提：如果多项式各项都有公因式，应先提公因式，别忘记负号、系数等； 二套：观察多项式的特点，考虑使用平方差公式、完全平方公式、十字相乘法； 三分组：若多项式为四项及以上时，考虑分组分解法，常用的有二二分组和一三分组； 四检查：检查是否正确，检查是否分解彻底. 20 练5 (2024·山东)因式分解：x2y+2xy=　　　　.  练6 (2024·威海)因式分解：(x+2)(x+4)+1=　　　　.  练7 (2023·东营)因式分解：3ma2-6mab+3mb2=　　 　　.  xy(x+2)　 (x+3)2　 3m(a-b)2 21 命题点4 整式的运算6年4考　 例4 (多选题)(2023·潍坊)下列运算正确的是(　 　) A.=4 B.=2 C.(-3a)2=9a2 D.a2·a3=a6 【解题启发】幂的运算与积的乘方有什么区别？ BC　 22 练8 下列运算正确的是(　　) A.2a+3b=5ab B.a3·a2=a5 C.(a+b)2=a2+b2 D.(a2b)3=a6b 练9 (多选题)下列运算正确的是(　 　) A.(a-)2=a2-a+ B.(-a-1)2= C.= D.=2 B AB 23 练10 (多选题)(2024·潍坊寿光二模)下列运算正确的是(　 　) A.x2·=x-6 B.5a2b÷ab=5a C.(-2x+1)(-2x-1)=4x2-1 D.(-2x3)3=-8x6 BC 24 练11 【新考法】结合同底数幂的加法和乘法运算 (2024·河北)若a，b是正整数，且满足 ， 则a与b的关系正确的是(　　) A.a+3=8b B.3a=8b C.a+3=b8 D.3a=8+b A 25 命题点5 规律的探索6年4考　 考法❶　数式规律的探索 例5 (2024·潍坊)将连续的正整数排成如图所示的数表.记a(i，j)为数表中 第i行第j列位置的数字，如a(1，2)=4，a(3，2)=8，a(5，4)=22.若a(m，n)=2 024， 则m=　　　　，n=　　　　.  【解题启发】你能发现什么规律？ 45 2 26 练12 (2024·潍坊模拟)若把第n个位置上的数记为xn，则称x1，x2，x3，…， xn有限个有序放置的数为一个数列A.定义数列A的“伴生数列”B是y1，y2， y3，…，yn，其中yn是这个数列中第n个位置上的数，n=1，2，…，k且 yn=并规定x0=xn，=x1.如果数列A只有四个数， 且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是(　　) A.0，1，0，1 B.1，0，1，0 C.1，0，0，1 D.0，1，1，0 A 27 考法❷　图形规律的探索 例6 (2023·潍坊昌乐模拟)如图1，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边 延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得 到正方形A2B2C2D2(如图2)；……以此下去，则正方形A2 023B2 023C2 023D2 023 的面积为　　　　.  52 023　 28 【解题启发】正方形A1B1C1D1的面积为　　　　，正方形A2B2C2D2的面积为　　　　，……你从中发现的规律是什么？  29 练13 (2024·潍坊模拟改编)如图，作边长为4的等边三角形OA1B1，延长 A1B1至点A2，使得B1A2=A1B1，再以B1A2为边作等边三角形B1A2B2.延长 A2B2至点A3，使得B2A3=2A2B2，再以B2A3为边作等边三角形B2A3B3， ……以此类推，若点C，C1，C2，C3，…分别是OA1，A1B1，A3B2， A3B3，……的中点，则CC2 024的长度为　　　　.  6 072 30 建议用时：10分钟 1.下列整式与ab2为同类项的是(　　) A.a2b B.-2ab2 C.ab D.ab2c B 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 31 2.(多选题)下列计算结果正确的是(　　 ) A.a2·a4=a8 B.(a+b)2=a2+b2 C.a6÷a2=a4 D.(-a3b5)2=a6b10 CD 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 32 3.下列因式分解正确的是(　　) A.ax+ay=a(x+y)+1 B.3a+3b=3(a+b) C.a2+4a+4=(a+4)2 D.a2+b=a(a+b) B 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 33 4.【原创题】已知x2-4x-15=0，则代数式-2x2+8x+5的值是(　　) A.25 B.-25 C.35 D.-35 B 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 34 5.已知(x+2)(x-2)-2x=1，则2x2-4x+3的值为(　　) A.13 B.8 C.-3 D.5 A 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 35 6.(2024·潍坊模拟)分解因式：2m2n-18n=　　　 　　.  7.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数 为“和谐数”，如8=32-12，16=52-32，即8，16均为“和谐数”.在不超过2 024 的正整数中，所有“和谐数”之和等于　　 　　.　  2n(m+3)(m-3)　 257 048　 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 36 8.(2023·遂宁)【跨学科·化学】烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生 产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护.通常用碳原子 的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷(当碳原子数目超过10个时即用汉 文数字表示，如十一烷、十二烷……)等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式 为C2H6，丙烷的化学式为C3H8，……其分子结构模型如图所示，按照此规律， 十二烷的化学式为　　 　　.  C12H26 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 37 9.(2024·陕西)先化简，再求值：(x+y)2+x(x-2y)，其中x=1，y=-2. 解：原式=x2+2xy+y2+x2-2xy =2x2+y2. 当x=1，y=-2时，原式=2×12+(-2)2=6. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 38 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 39 $$