01第一章 第一节 实数及其运算-【智乐星中考·中考备战】2025年数学讲练本（潍坊专版）

1 2 第一章　数与式 第一节　实数及其运算 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 实数的分类 1.按定义分类 分数　 有限小数或无限循环小数　 无限不循环小数 5 2.按性质分类 6 知识点2 实数的有关概念 1.数轴 (1)概念：规定了　　　、　 　　和　 　的直线叫作数轴.  (2)性质：①实数与数轴上的点是　 　的；  ②离原点越远的数的绝对值越　 　.  原点 正方向　 单位长度　 一一对应　 大 7 2.相反数：如果两个数只有__________不同，那么称其中一个数为另一个 数的相反数，也称这两个数互为相反数.特别地，0的相反数还是0； a+b=0⇔a，b互为相反数；在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点 两侧，且与原点的距离__________.　  3.倒数：如果两个数的_____________，那么称其中一个数是另一个数的倒 数，也称这两个数互为倒数.用数学语言表述为若ab=1，则a，b互为倒数. 特别地，1和-1的倒数还是它本身，0没有倒数.  　符号　 　相等　 　乘积为1　 8 4.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的__________叫作 这个数的绝对值.互为相反数的两个数的绝对值__________.  实数a的绝对值可以表示为|a|= 　距离　 　相等　 9 5.平方根、算术平方根、立方根 (1)平方根：一般地，如果一个数x的__________等于a，即x2=a，那么这个 数x就叫作a的平方根(也叫作二次方根)，记作__________.正数的平方根 有两个，它们互为____________，0的平方根是0，负数没有平方根.  (2)算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这 个正数x就叫作a的算术平方根，记为，读作“根号a”.正数的算术平 方根是正数，算术平方根是它本身的有0，1.  (3)立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x 就叫作a的立方根(也叫作三次方根)，记作_______.正数的立方根是正数， 0的立方根是0，负数的立方根是负数，每个实数有且只有一个立方根.  　平方　 　±　 　相反数　 　  　 10 知识点3 近似数与科学记数法 1.近似数：与实际完全符合的数称为___________，与实际接近的数称为 ____________.  2.精确度：一个近似数的最后一位是哪一位，就说这个近似数精确到 哪一位. 3.科学记数法：一般地，一个大于10的数可以表示为a×10n的形式， 其中1≤|a|<10，n是正整数，这种记数方法叫作科学记数法. 　准确数 　近似数　 11 4.常见单位换算 将含有计数(量)单位的数用科学记数法表示时，应先把计数(量)单位 换算为数字，然后用科学记数法来表示，常考的计数单位有1千=103， 1万=________，1亿=________；常考的计量单位有1 mm=10-3 m， 1 μm=_________ m，1 nm=_________m.  　104　 　108　 　10-6　 　10-9　 12 知识点4 实数的大小比较 1.数轴比较法：在数轴上，右边点表示的数比左边点表示的数________.  2.法则比较法：正数_______0，负数_______0，正数_______一切负数； 两个负数比较大小，绝对值大的反而小.  3.作差比较法 (1)若a-b>0，则a_______b；  (2)若a-b=0，则a_______b；  (3)若a-b<0，则a_______b.  　大　 　>　 　<　 大于 　>　 　=　 　<　 13 4.作商比较法 (1)若a>0，b>0，则>1⇔a>b；=1⇔a=b；<1⇔a<b. (2)若a<0，b<0，则>1⇔a<b；=1⇔a=b；<1⇔a>b. 5.平方比较法：若()2>()2，即a>b≥0，则>. 适用条件：适用于含根号的无理数与其他数比较大小或二次根式的估值. 6.倒数比较法：若ab>0，则< ⇔ a>b. 7.特殊值法：含有字母时，给字母取特殊值更加简便快捷. 14 知识点5 实数的运算 1.实数的运算法则 (1)四则运算 ①加法：同号两数相加，取____________符号，并把________________.异号 两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取_________________ 的符号，并用较大的绝对值__________较小的绝对值；互为相反数的两数 相加得_______；一个数同0相加，仍得这个数.  　相同的　 　绝对值相加　 绝对值较大的数　 　减去　 　0　 15 ②减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+_________.  ③乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0相乘，积仍为0，即a·b=ab；(-a)·(-b)=________；a·(-b)=-ab；0·a=_______.  ④除法：除以一个数(0除外)等于乘这个数的__________.两个有理数相除， 同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何非0的数都得0， 0不能作除数.a÷b=a·(b≠0)；0÷b=0(b≠0).  　(-b)　 　ab　 　0　 　倒数　 16 (2)乘方运算：an= . (3)零指数幂与负整数指数幂 ①a0=　 　(a≠0)；  ②a-p=　　　(a≠0，p为正整数).  1 17 (4)绝对值：|a-b|= (5)几个非负数的和为零的问题：若|a|+b2+=0，则a=0，b=0，c=0. 文字叙述为非负数+非负数=0，只有0+0=0. a-b　 b-a 18 2.实数混合运算的顺序 (1)先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号内的， 注意一定先计算各小项的值； (2)没有括号的，在同一级运算中，要按从左至右的顺序依次运算. 3.有理数的运算律 (1)加法的交换律：a+b=b+a； (2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； (3)乘法的交换律：ab=ba； (4)乘法的结合律：(ab)c=a(bc)； (5)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac. 19 知识点6 计算器的使用 1. 计算器的主要按键符号及功能说明 ON/C(开机/清除)；OFF(关机键)；2ndF(第二功能转换键)；ANS(最终答 案存储器)；x-1(倒数)；yx(乘幂运算)；x2(平方)；(方根运算)； (开平方)；(开立方)； (分数输入). 20 2. 键盘上有些键的上方还注明这个键的其他功能(称为第二功能)，这个功能通常用不同的颜色标明以区别于这个键的第一功能，所有第二功能的使用，均应先按一下2ndF，再按一下第二功能对应的键. 由于计算器的类型不一样，操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作. 21 命题点1 实数的有关概念6年2考　 例1 (2023·潍坊临朐一模)若实数a的相反数是-1，则a+1等于(　　) A.2 B.-2 C.0 D. 【解题启发】什么是相反数？ A 22 练1 (2024·济宁)-3的绝对值是(　　) A.3 B. C.-3 D.- 练2 -的倒数的相反数是(　　) A.- B.3 C.-3 D. A B 23 命题点2 科学记数法与近似数6年4考　 考法❶　科学记数法与近似数结合 例2 第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10 152.7万人， 将10 152.7万用科学记数法(精确到十万位)表示为(　　) A.1.02×108 B.0.102×109 C.1.015×108 D.0.101 5×109 【解题启发】精确到十万位是哪一位？ C 24 【方法指导】 (1)表示形式：a×10n. (2)a的确定：1≤|a|<10. (3)n的确定：①当原数的绝对值≥10时，n为正整数，且等于原数的整数位数减1. ②当0<原数的绝对值<1时，n是负整数，且它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前面的那一个). 25 练3 某小区改进用水设施，2年内该小区的居民累计节水39 600吨， 将39 600用科学记数法表示(结果保留2个有效数字)应为(　　) A.4.0×104 B.3.96×104 C.3.96×103 D.3.9×104 A 26 考法❷　较小数的科学记数法 例3 (2024·烟台)目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米， 约是A4纸厚度的六分之一，已知1毫米=1百万纳米，0.015毫米等于多少 纳米？将结果用科学记数法表示为(　　) A.0.15×103纳米 B.1.5×104纳米 C.15×10-5纳米 D.1.5×10-6纳米 【解题启发】纳米与毫米怎样换算？ B 27 练4 信息技术发展的今天，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻 技术水平已突破到28 nm，已知1 nm=10-9 m，则28 nm用科学记数法 表示是(　　) A.2.8×10-8 m B.2.8×10-9 m C.28×10-9 m D.2.8×10-10 m A 28 考法❸　较大数的科学记数法 例4 (2024·潍坊)2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作报告》. 截至2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无 人机的企业达1.9万家.将126.7万用科学记数法表示为(　　) A.1.267×105 B.1.267×106 C.1.267×107 D.126.7×104 【解题启发】如何用科学记数法表示带单位的大数？ B 29 练5 (2024·潍坊一模)爱达·魔都号，是中国第一艘国产大型邮轮，全长 323.6米，总吨位为13.55万吨，可搭载乘客5 246人.将13.55万吨用科学 记数法表示为(　　) A.1 355×104吨 B.1.355×105吨 C.1.355×104吨 D.0.135 5×109吨 B 30 命题点3 数轴6年3考　 例5 (多选题)(2022·潍坊)如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧， 下列各式成立的是(　 　) A.||>1 B.-a<b C.a-b>0 D.-ab>0 【解题启发】a，b的大小关系是什么？ AD 31 练6 (2024·潍坊一模)如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中， 错误的是(　　) A.a<b B.a+b>0 C.|b|<|a| D.(a+1)(b-1)>0 练7 (2023·潍坊)实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确 的是(　　) A.-c<b B.a>-c C.|a-b|=b-a D.|c-a|=a-c C C 32 命题点4 实数的大小比较6年1考　 例6 (2023·潍坊)在实数1，-1，0，中，最大的数是(　　) A.1 B.-1 C.0 D. 【解题启发】正数和负数谁大？和1怎么比较大小？ D 33 练8 下列各数的相反数中，最大的是(　　) A. B.1 C.- D.-2 练9 (2024·潍坊一模)在实数1，-1，中，最大的数是(　　) A.1 B.-1 C. D. D D 34 命题点5 平方根、算术平方根、立方根6年1考　 例7 的立方根是(　　) A.-1 B.0　 C.1　 D.±1 【解题启发】-1的平方是　　　　，它的立方根是　　　　.  C 35 练10 (2024·潍坊模拟)的算术平方根为(　　) A.9 B.±9 C.3 D.±3 练11 计算的平方根为(　　) A.4 B.2 C.±4 D.±2 C D 36 命题点6 实数的运算6年3考　 例8 (2022·潍坊节选)在计算时，小亮的计算过程如下： 解： = = =-2 37 小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误.请你找出其他错误，参照①~③的格式写在横线上，并依次标注序号： ①-22=4；②(-1)10=-1；③|-6|=-6； 　　　　　.  请写出正确的计算过程. 【解题启发】实数的运算顺序是什么？ 【规范解答】 解：④ tan 30°=；⑤(-2)-2=22；⑥(-2)0=0 原式==28. 38 练12 计算：(-2 021)0++(1-3-2×18). 解：原式=1+3+(1-×18)=1+3-1=3. 39 练13 (2024·滨州)计算：2-1+(-2)×(-)-. 解：原式=+1-=0. 40 练14 (2024·潍坊)计算：+-|-3|. 解：原式=-2+4-3=-1. 41 练15 【新考法】策略开放性，自由组合进行计算 (2024·贵州节选)在①22；②|-2|；③(-1)0；④×2中任选3个代数式求和. 解：选取①②③这3个数进行求和. 　22+|-2|+(-1)0 =4+2+1 =7.(答案不唯一) 42 建议用时：10分钟 1.(改编题)在，π，-1，-这四个数中，比-2小的数是(　　) A. B.π C.- D.-1 C 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 43 2.(2024·日照)实数-，0，，1.732中无理数是(　　) A.- B.0 C. D.1.732 C 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 44 3.(2024·潍坊一模)从国家统计局网站获悉，2024年1~2月份，全国规模以 上工业企业实现利润总额9 140.6亿元，同比增长10.2%.将9 140.6亿用科 学记数法表示为(　　) A.9.140 6×108 B.91.406×1010 C.9.140 6×1011 D.9.140 6×1012 C 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 45 4.(多选题)下列说法正确的是(　 　) A.的算术平方根是 B.1的平方根是它本身 C.的平方根是± D.若一个数的平方根等于它的立方根，则这个数为1 AC 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 46 5.(多选题)(2024·潍坊潍城一模改编)实数a，b在数轴上的位置如图所示， 则下列判断错误的是(　 　) A.ab>0 B.> C.|a|=|b| D.a-2<b-2 ABC 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 47 6.化简：3=　　　　.  7.若(a-2)2+|b+3|=0，则ab=　　　　.  8.填空：-3的相反数是　　　　，绝对值是　　　　， |-2|=　　　　.  2 -6 3-　 3-　 2 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 48 9.计算：|-3|+(π-2 024)0-2sin 30°+()-1. 解：原式=3+1-2×+3=6. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 49 10.计算：(3.14-π)0+|-1|+()-1-. 解：原式=1+-1+2-2=2-. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 50 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 51 $$