12题组十二 圆的综合题-【智乐星中考·中考备战】2025年数学加练本（潍坊专版）

1 2 题组十二　圆的综合题 3 1.如图，在☉O中，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，点P是的 中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D. (1)求证：DP是☉O的切线； (2)若AC=5，sin∠APC=，求AP的长. 1 3 题序 2 4 4 (1)证明：∵点P是的中点，∴=， ∴∠DAP=∠PAB. ∵OA=OP，∴∠APO=∠PAO， ∴∠DAP=∠APO，∴AD∥OP. ∵PD⊥AD，∴PD⊥OP. ∵OP为☉O的半径，∴DP是☉O的切线. 1 3 题序 2 4 5 (2)解：如图，连接BC交OP于点E. ∵线段AB为☉O的直径， ∴∠ACB=90°. ∵点P是的中点， ∴OP⊥BC，CE=BE， ∴四边形CDPE是矩形， ∴CD=PE，PD=CE. ∵∠APC=∠B， ∴sin∠APC=sin∠ABC==. 1 3 题序 2 4 6 ∵AC=5，∴AB=13， ∴BC==12，∴PD=CE=BE=6. ∵OE=AC=，OP=， ∴CD=PE=-=4，∴AD=9. 在Rt△APD中， AP===3. 1 3 题序 2 4 7 2.如图，四边形ACBD的对角线AB是其外接圆☉O的直径，与另一对角线CD相交于点F.过点C的切线与AE垂直，垂足为E，且与直径AB的延长线相交于点P. (1)若CD平分∠ACB，求证：PC=PF； (2)在(1)的条件下，若AD=5，PF=5，求阴影部分的面积. 1 3 题序 2 4 8 (1)证明：如图，连接OC，OD. ∵PC切☉O于点C，∴OC⊥PC， ∴∠PCO=90°，∴∠OCF+∠PCF=90°. ∵CD平分∠ACB，∴=，∴∠DOB=∠AOD=90°， ∴∠ODF+∠OFD=90°. ∵OC=OD，∴∠ODF=∠OCF，∴∠PCF=∠OFD. 又∵∠CFP=∠OFD，∴∠PCF=∠CFP，∴PC=PF. 1 3 题序 2 4 9 (2)解：由(1)知 =，∴AD=BD=5. ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°， ∴AB==10，∴OC=5. ∵PC=PF=5， ∴tan∠POC==，∴∠POC=60°. ∵S△PCO=OC·PC=×5×5=， S扇形BOC==，∴S阴影=S△PCO-S扇形BOC=-. 1 3 题序 2 4 10 3.如图，以AB为直径的☉O与平行四边形ABCD的边CD相切于点E，与BC相交于点F，连接EF，AE，AF，其中∠C=112.5°. (1)求证：BF2=CF·AF； (2)若AB=4，请求出图中阴影部分的面积. 1 3 题序 2 4 11 (1)证明：如图，连接OE，OF. ∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=112.5°， ∴AB∥CD，∠OBF=67.5°. ∵OB=OF，∴∠BFO=∠OBF=67.5°，∴∠BOF=45°. ∵☉O与CD相切于点E，∴OE⊥CD， ∴∠BOE=∠OEC=90°， ∴∠BOF=∠EOF=45°，∴BF=EF. ∵AB是☉O的直径，∴∠AFB=90°=∠AFC. 1 3 题序 2 4 12 ∵∠AFE=∠AOE=45°， ∴∠CFE=∠AFC-∠AFE=45°=∠AFE. ∵∠CEF=180°-∠C-∠CFE=180°-112.5°-45°=22.5°， ∠EAF=∠EOF=×45°=22.5°， ∴∠CEF=∠EAF，∴△FCE∽△FEA，∴=， ∴EF2=CF·AF，∴BF2=CF·AF. 1 3 题序 2 4 13 (2)解：如图，过点E作EH⊥OF于点H. ∵AB=4，∴OA=OB=OE=OF=2. 在Rt△OHE中，EH=OE·sin 45°=2×=， ∴S阴影=S扇形EOF-S△EOF=-×2×=-， ∴阴影部分的面积是-. 1 3 题序 2 4 14 4.(2024·潍坊寿光二模)如图，已知▱ABCD的对角线AC与BD交于点E， 以AD为直径作☉O，与边CD交于点F，点E在☉O上. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若点G为CF的中点，连接EG.求证：EG是☉O的切线； (3)在(2)的条件下，若AD=4，EF=2，求CF的长. 1 3 题序 2 4 15 (1)证明：∵AD为☉O的直径，∴∠AED=90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形. (2)证明：如图，连接OE，OF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠EDA=∠FDE，AE=CE， ∴=，∴∠EOA=∠FOE， ∴AE=EF，∴CE=EF. 1 3 题序 2 4 16 ∵点G为CF的中点，∴EG⊥CD. ∵CE=AE，且点O是直径AD的中点， ∴OE是△CAD的中位线，∴OE∥CD，∴GE⊥OE. 又∵OE是☉O的半径，∴EG是☉O的切线. 1 3 题序 2 4 17 (3)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD=4，AE=EF=CE=2. ∵AD=CD，∴∠EAD=∠ECG. ∵∠AED=∠CGE=90°，∴△AED∽△CGE， ∴=，解得CG=， ∴CF=2CG=. 1 3 题序 2 4 18 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 19 $$