4第四章达标测试卷 几何初步与三角形-【智乐星中考·中考备战】2025年数学加练本（潍坊专版）

1 2 第四章达标测试卷　几何初步与三角形 时间：100分钟　　满分：100分 3 一、单项选择题(共10小题，每小题3分，共30分.每小题的四个选项中只有一项正确) 1.已知∠A=55°，则它的余角是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.25° B.35° C.45° D.55° 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 4 2.下列说法正确的是(　　) A.射线PA和射线AP是同一条射线 B.射线OA的长度是3 cm C.直线ab，cd相交于点P D.两点确定一条直线 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 5 3.若长度分别是a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是 (　 ) A.1 B.2 C.4 D.8 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 6 4.两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M.若BC∥EF，则∠BMD的大小为(　　) A.60° B.67.5° C.75° D.82.5° 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 7 5.已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足+(2a+3b-13)2=0，则此等腰三角形的周长为(　　) A.8 B.6或8 C.7 D.7或8 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 8 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，点E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为(　　) A.3 B.3 C.6 D.6 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 9 7.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何.”(丈、尺是长度单位，1丈=10尺)其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度是多少？则水深为(　　) A.10尺 B.11尺 C.12尺 D.13尺 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 10 8.如果两个相似三角形对应边的比为4∶5，那么它们对应中线的比是 (　　) A.2∶ B.2∶5 C.4∶5 D.16∶25 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 11 9.如图，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为(　　) A. B.2 C. D.3 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 12 10.如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16 m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于(　　) A.8(+1)m B.8(-1)m C.16(+1)m D.16(-1)m 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 13 二、多项选择题(共3小题，每小题4分，共12分.在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 11.下列命题是假命题的是(　　) A.任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边 B.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 C.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定 相等 D.一组对边平行的四边形是平行四边形 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 14 12.如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件能判定△ABC≌△BAD的是(　　) A.AC=BD B.∠CAB=∠DBA C.∠C=∠D D.BC=AD 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 15 13.如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，则下列四个结论正确的有(　　) A.△AEF∽△CAB B.tan∠CAD= C.DF=DC D.CF=2AF 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 16 三、填空题(共4小题，每小题4分，共16分.只写最后结果) 14.已知α，β均为锐角，且满足|sinα-|+=0， 则α+β=　　　　. 75° 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 17 15.如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，=，DE=6，则EF=　　　　.  9 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 18 16.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=4，D是AC上一点.若tan∠DBA=，则BD的长为　　　　. 5 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 19 17.如图，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=　　　　.  1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 20 四、解答题(共5小题，共42分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(本题8分)如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F. (1)证明：△ADF是等腰三角形； (2)若∠B=60°，BD=4，AD=2，求EC的长. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 21 (1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵FE⊥BC，∴∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°， ∴∠F=∠BDE. 又∵∠BDE=∠FDA，∴∠F=∠FDA， ∴AF=AD，∴△ADF是等腰三角形.………………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 22 (2)解：∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°. ∵∠B=60°，BD=4，∴BE=BD=2. ∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=AD+BD=6，∴EC=BC-BE=4.………………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 19.(本题8分)如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，D为BC上 一点，DE⊥AC于点E. (1)求证：△ADC∽△BEC； (2)若点D为BC的中点，AB=4，求BE的长. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 24 (1)证明：∵在四边形ABDE中，∠ABD+∠AED=180°， ∴∠BAE+∠BDE=180°， ∴点A，B，D，E四点共圆，∴∠DAC=∠EBC. 又∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BEC.………………4分 (2)解：∵AB=4，∠C=30°，∠ABC=90°， ∴BC=4. ∵点D为BC的中点， ∴BD=DC=2. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 25 在Rt△ABD中，AD==2. 在Rt△CDE中，∠C=30°，CD=2，∴CE=3. ∵△ADC∽△BEC， ∴=，即=， ∴BE=.………………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 26 20.(本题8分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB. (1)求证：△BDE∽△EFC； (2)设=， ①若BC=12，求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 27 (1)证明：∵DE∥AC，∴∠DEB=∠FCE. ∵EF∥AB，∴∠DBE=∠FEC，∴△BDE∽△EFC.………………2分 (2)解：①∵EF∥AB， ∴==. ∵EC=BC-BE=12-BE，∴=， 解得BE=4.………………5分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 28 ②∵=，∴=. ∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC， ∴=()2=()2=， ∴S△ABC=S△EFC=×20=45.………………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 29 21.(本题8分)如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形. 探究发现 (1)△BCD与△ACE是否全等？若全等， 加以证明；若不全等，请说明理由； 拓展运用 (2)若B，C，E三点不在一条直线上，∠ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长； (3)若B，C，E三点在一条直线上(如图2)，且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 30 解：(1)全等. 证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE. 在△BCD和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE(SAS).………………2分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 31 (2)由(1)得△BCD≌△ACE，∴BD=AE. ∵△DCE是等边三角形， ∴∠CDE=60°，CD=DE=2. ∵∠ADC=30°， ∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°. 在Rt△ADE中，AD=3，DE=2， ∴AE===，∴BD=.………………5分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 32 (3)如图，过点A作AF⊥CD于点F. ∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴∠BCA=∠DCE=60°. ∵B，C，E三点在一条直线上， ∴∠ACD=60°. 在Rt△ACF中，sin∠ACF=， ∴AF=AC·sin∠ACF=1×=， ∴S△ACD=CD·AF=×2×=.………………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 33 又∵CF=AC·cos∠ACF=1×=， ∴FD=CD-CF=2-=. 在Rt△AFD中，AD2=AF2+FD2=()2+()2=3， ∴AD=.………………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 34 22.(本题10分)如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，DE=DF，∠EDF=90°，点D为BC边的中点，连接AF，且A，F，E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE. (1)求证：AF=CE； (2)猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明； (3)若CH=2，AH=4，请直接写出线段AC，AE的长. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 35 (1)证明：如图，连接AD. ∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD， ∴AD⊥CB，AD=DB=DC. ∵∠ADC=∠EDF=90°， ∴∠ADF=∠CDE. ∵DF=DE，∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴AF=CE.………………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 36 (2)解：结论：CE2+BF2=BC2. 证明如下：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，∠DFE=∠DEF=45°. ∵△ADF≌△CDE(SAS)， ∴∠AFD=∠DEC=135°，∠DAF=∠DCE. ∵∠BAD=∠ACD=45°，∴∠BAD+∠DAF=∠ACD+∠DCE， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 37 ∴∠BAF=∠ACE. ∵AB=CA，AF=CE，∴△BAF≌△ACE(SAS)，∴BF=AE. ∵∠AEC=∠DEC-∠DEF=135°-45°=90°， ∴AE2+CE2=AC2，∴BF2+CE2=BC2.………………6分 (3)解：AC=+，AE=.………………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 38 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 39 $$