19第四章 第三节 特殊三角形-【智乐星中考·中考备战】2025年数学讲练本（潍坊专版）

1 2 第三节　特殊三角形 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 等腰三角形 1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形. 2.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形两条腰　　　　，两个底角　　　，简称“等边对等角”.  (2)等腰三角形顶角的　　 　、底边上的　　 　、底边上的高互相 重合，简称“三线合一”.  (3)等腰三角形是轴对称图形，一般地，有　 　条对称轴.  相等　 相等　 平分线　 中线　 1 5 3.等腰三角形的判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形. (2)有两个　 　相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”.  角 6 知识点2 等边三角形 1.等边三角形的定义：三条边均相等的三角形是等边三角形. 2.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三条边都相等，每个角都等于　 　.  (2)等边三角形是轴对称图形，有　 　条对称轴.  3.等边三角形的判定 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角等于60°的　 是等边三角形.  (4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形. 60°　 3 等腰三角形　 7 知识点3 直角三角形 1.勾股定理及其逆定理 (1)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边 的平方.如图，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直 角边和斜边，那么a2+b2=c2. (2)逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形. 8 2.直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角互余. (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的　 　.  (3)直角三角形中30°所对的直角边等于　　 　　.  (4)直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边 所对的角等于　 .  一半　 斜边的一半　 30° 9 3.直角三角形的判定 (1)有一个角是__________的三角形是直角三角形.  (2)有两个角__________的三角形是直角三角形.  (3)如果三角形一边上的__________等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形.  (4)通过勾股定理的逆定理判定. 　90°　 　互余　 　中线　 10 命题点1 等腰三角形的性质与判定6年1考　 例1 【一题串考点·原创题】如图1，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，连接AD， DE. 11 (1)若△ABC的一边长为2，周长为8，则AB=　　，△ABC的面积 为　　　　；  (2)若∠BAC=50°，∠BAD=40°，AD=AE，则∠B的度数为　　　，∠EDC的度数为　　　　；　  (3)如图2，在△ABC中，AB=AC，E是AC 边上的点，D为BC边上一点，AB=10，BC=16. ①若AD平分∠BAC时，AD的长为　　　　；  ②当AD⊥BC，DE⊥AC时，DE的长为　 .  【解题启发】等腰三角形的有哪些性质？ 3 2 65°　 20° 6 12 练1 (2023·潍坊)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为E，过点E作 EF∥BC，交AC于点F，点G为BC的中点，连接FG.求证：FG=AB. 13 证明：∵EF∥BC，∴∠CEF=∠BCE. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE， ∴∠CEF=∠ACE，∴EF=CF. ∵AE⊥CD，∴∠AEC=90°， ∴∠ACE+∠CAE=90°，∠AEF+∠CEF=90°， ∴∠CAE=∠AEF，∴EF=AF， ∴CF=AF，即点F为AC的中点. 又∵点G为BC的中点，∴FG是△ACB的中位线， ∴FG=AB. 14 命题点2 等边三角形的性质与判定6年0考　 例2 【一题串考点·原创题】在△ABC 中，AB=AC，∠ABC=60°. 15 (1)如图1，点 D，F分别是△ABC 的边 AC，BC上的点，连接AF，BD交 于点O，且CD=BF.若AF=3，则BD=　　，∠ABD+∠BAF=　 .  (2)如图2，若点D，F分别为AC，BC的中点，BF=5，则△ABC的面积为 　　 　；在此条件下，若点E为AB的中点，则△AED的周长为　　.　  (3)如图3，若AB=4，F为BC边上任意一点，过点F分别作FE⊥AB， FD⊥AC，垂足分别为E，D，则FE+FD=　　　　 .  (4)如图4，若AB=6，AF⊥BC，点D在边AC上，且AD=2，点M是AF上 一个动点，连接MD，MC，DM+MC 的最小值为　　　　.  【解题启发】等边三角形的性质有哪些？ 3 60° 25 15 2 2 16 练2 (多选题)(2022·潍坊高密一模)在等边三角形ABC中，AB=1，AD是边 BC上的中线，E是BD上一点(不与点B，D重合)，F是AC上一点，连接EF 交AD于点G，CF=2BE，以下结论正确的是(　　 )　　　　　　　　　　　 A.当EF∥AB时，BE= B.当EF⊥AC时，CE=4BE C.EG=FG D.点G可能是AD的中点 ABC　 17 练3 如图，在等边三角形ABC中，已知点E在直线AB上(不与点A，B重合)，点D在直线BC上，且ED=EC. (1)若点E为线段AB的中点，试说明DB=AE； (2)若△ABC的边长为2，AE=1，求CD的长. 18 解：(1)∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点， ∴∠ABC=60°，∠BCE=30°，BE=AE. ∵ED=EC，∴∠EDB=∠BCE=30°. ∵∠ABD=180°-60°=120°， ∴∠DEB=30°，∴DB=EB，∴DB=AE. 19 (2)①如图1，当点E在线段AB上时. ∵AB=2，AE=1， ∴点E是AB的中点. 由(1)知BD=AE=1， ∴CD=BC+BD=3； 20 ②如图2，当点E在线段BA的延长线上时. ∵AE=1，AB=2，∴BE=3. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠BCA=60°， AB=BC=AC=2. 过点E作EH∥AC交BC的延长线于点H， ∴∠BEH=∠BHE=60°， ∴△BEH是等边三角形， ∴EH=BH=BE=3，∠B=∠H=60°. 21 ∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD， ∴∠B+∠BED=∠H+∠HEC，∴∠BED=∠HEC. 在△BDE和△HCE中， ∴△BDE≌△HCE(SAS)，∴BD=HC=BH-BC=3-2=1， ∴CD=BH-BD-HC=3-1-1=1. 综上所述，CD的长为1或3. 22 命题点3 直角三角形的证明及有关计算6年1考　 考法❶　直角三角形的性质与判定 例3 【一题串考点·原创题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°. 23 (1)若AC=8，AB=10，则BC=　　，△ABC的面积为　　　　.  (2)若点D是AB边上的中点，∠A=50°，则∠DCB=　　　　.  (3)若点D是AB的中点，点E在BC上，且CE=AB，连接DE.若∠A= 50°，则∠ADE=　 .  (4)若CD⊥AB，DE⊥BC，∠B=30°，AB=10，则BD=　　　， DE=　　　.  【解题启发】在直角三角形中，看到斜边中点能想到什么？看见30°角能想到什么？ 6 24 40°　 150°　 24 练4 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边AC的 中点，BD=2，则BC的长为(　　)　　　　　　　 A. B.2 C.2 D.4 C 25 练5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，DE为△ABC的中 位线，延长BC至点F，使CF=BC，连接FE并延长交AB于点M.若BC=a， 则△FMB的周长为　　　　.  a 26 考法❷　勾股定理及其逆定理 例4 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=15，BD= 25，求AC的长. 【解题启发】能否直接利用勾股定理求出AC？不能的话，怎样利用角平分线的条件作辅助线？ 27 【规范解答】 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵AD是角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=15. 在Rt△DEB中，BE==20. 在Rt△ACD和Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)， ∴AC=AE. 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即AC2+402=(AC+20)2， 解得AC=30. 28 练6 如图，在Rt△ACB中，已知∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AB=13，CD=6，求AC+BC的长. 29 解：∵S△ABC=AB·CD=AC·BC，AB=13，CD=6， ∴AC·BC=13×6=78. ∵△ABC为直角三角形， ∴根据勾股定理得AB2=AC2+BC2=169， ∴(AC+BC)2=AC2+2AC·BC+BC2=169+156=325， ∴AC+BC==5. 30 练7 如图，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=20，AD=8，BC=12，E为AB上一点，且DE=CE，求AE的长. 解：由勾股定理得AD2+AE2=DE2，BC2+BE2=CE2. ∵DE=CE，∴AD2+AE2=BC2+BE2，即64+AE2=144+BE2. 又∵AE+BE=20，解得BE=8，AE=12. 31 练8 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，D是边BC上一点，AB=17，AD=10，BD=9，求AC的长. 32 解：在Rt△ADC和Rt△ABC中， 由勾股定理得AD2-CD2=AC2，AB2-BC2=AC2. 设DC=x，BC=9+x，则102-x2=172-(9+x)2，解得x=6， ∴AC==8. 33 建议用时：10分钟 1.(多选题)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数可以 是(　　 ) A.55°，55° B.70°，55° C.70°，40° D.55°，40° AC　 1 3 5 7 题序 2 4 6 34 2.如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=6，tan C=2，则边AB的长 为(　　) A.3 B.3 C.3 D.6 D 1 3 5 7 题序 2 4 6 35 3.若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长 是(　　) A.8 cm B.13 cm C.8 cm或13 cm D.11 cm或13 cm D 1 3 5 7 题序 2 4 6 36 4.(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上， 且CD=AB，则BD的长是(　　) A.- B.- C.2-2 D.2- B 1 3 5 7 题序 2 4 6 37 5.(2024·贵州)如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画 弧，交BC于点D，连接AD.若AB=5，则AD的长为　　　　.  5 1 3 5 7 题序 2 4 6 38 6.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A=50°，∠ACE=30°. (1)求证：CE=CM； (2)若AB=4，求线段FC的长. 1 3 5 7 题序 2 4 6 39 (1)证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点， ∴MC=MA=MB，∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B. ∵∠A=50°，∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°， ∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°. ∵∠ACE=30°，∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°， ∴∠MEC=∠EMC，∴CE=CM. (2)解：∵AB=4，∴CE=CM=AB=2. ∵EF⊥AC，∠ACE=30°， ∴FC=CE·cos 30°=. 1 3 5 7 题序 2 4 6 40 7.如图，已知等边三角形ABC，CD⊥AB于点D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE=AF，连接BE，BF，EG⊥BF于点G，连接DG. (1)求证：BE=BF； (2)试说明DG与AF的位置关系和数量关系. 1 3 5 7 题序 2 4 6 41 (1)证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=CB，∠BAC=∠ABC=60°. ∵CD⊥AB，AF⊥AC， ∴∠CDB=∠CAF=90°， ∴∠FAB+∠BAC=∠ECB+∠ABC=90°， ∴∠FAB=∠ECB. 又∵AF=CE，∴△FAB≌△ECB(SAS)，∴BE=BF. 1 3 5 7 题序 2 4 6 42 (2)解：DG∥AF，DG=AF. 理由如下：由(1)得△FAB≌△ECB， ∴∠FBA=∠EBC， ∴∠FBA+∠DBE=∠EBC+∠DBE=∠ABC=60°， 即∠GBE=60°. ∵EG⊥BF，∴∠BGE=90°，∴∠BEG=30°， ∴BG=BE=BF， ∴点G为线段BF的中点. 1 3 5 7 题序 2 4 6 43 在等边三角形ABC中，∵CD⊥AB，∴BD=AD， ∴点D为线段AB的中点， ∴DG为△FAB的中位线，∴DG∥AF，DG=AF. 1 3 5 7 题序 2 4 6 44 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 45 $$