16第三章 第七节 二次函数的综合应用-【智乐星中考·中考备战】2025年数学讲练本（潍坊专版）

1 2 第七节　二次函数的综合应用 3 目 录 核心考点突破 好题随堂演练 4 命题点1 二次函数的性质探究6年1考　 例1 (2022·潍坊)为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点(-1，-1)，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式. 【观察发现】 请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象； 5 【思考交流】 小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧.” 小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方.” 你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明； 6 【概括表达】 小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法. 请你探究这个方法，写出探究过程. 7 【解题启发】 【观察发现】大致的图象是什么样的？ 【思考交流】怎么举例验证小亮和小莹的说法正误？ 【概括表达】你想怎么进行探究？ 【规范解答】 8 解：y=-x2.(答案不唯一) 【观察发现】 如图. 9 【思考交流】 不认同他们的说法.理由如下： ∵抛物线的对称轴为x=-，a<0， ∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，也可以是y轴. 例如：y=-x2的图象的对称轴是y轴，∴小亮的说法不正确. 例如：y=-x2的图象经过x轴， ∴二次函数的图象不一定在x轴的下方，∴小莹的说法不正确. 10 【概括表达】 ∵二次函数的图象不经过第一象限，∴a<0，c≤0. ∵经过点(-1，-1)，∴a-b+c=-1， ∴a=b-c-1<0，∴b-c<1，∴b<1+c. ∵c≤0，∴b<1. 综上所述，a<0，b<1，c≤0且a-b+c=-1. 11 练1 (2024·山东)在平面直角坐标系xOy中，点P(2，-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x=m. (1)求m的值； (2)若点Q(m，-4)在y=ax2+bx-3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象.当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； (3)设y=ax2+bx-3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1<x2).若4<x2-x1<6，求a的取值范围. 12 解：(1)∵点P(2，-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上， ∴4a+2b-3=-3，解得b=-2a， ∴抛物线的表达式为y=ax2-2ax-3， ∴抛物线的对称轴为直线x=-=1， ∴m=1. 13 (2)由(1)得m=1，∴Q(1，-4). ∵点Q(1，-4)在y=ax2-2ax-3的图象上， ∴a-2a-3=-4，解得a=1， ∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4. 将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的表达式为y=(x-1)2-4+5=(x-1)2+1. ∵0≤x≤4，∴当x=1时，函数有最小值1， 当x=4时，函数有最大值(4-1)2+1=10， ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11. 14 (3)∵y=ax2-2ax-3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1<x2)， ∴x1+x2=2，x1x2=-. ∵x2-x1=， ∴x2-x1==2. ∵4<x2-x1<6，∴4<2<6，即2<<3， 解得<a<1. 15 命题点2 二次函数与几何综合6年3考　 例2 (2024·济宁)已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过 (0，-3)，(-b，c)两点，其中a，b，c 为常数，且ab>0. (1)求a，c的值. (2)若该二次函数的最小值是-4，且它的图象与x轴交于点A，B(点 A 在点B 的左侧)， 与y轴交于点C. ①求该二次函数的表达式，并直接写出点A，B 的坐标. ②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D， 与直线AC 交于点E，连接PC，CB，BE.是否存在点P，使=？若存在， 求此时点 P的横坐标；若不存在，请说明理由. 16 【解题启发】 (1)如何求系数？ (2)①用待定系数法求表达式，设什么形式的表达式求解最简便？ ②如何表示出S△PCE和S△CBE？ 17 【规范解答】 解：(1)∵二次函数的图象过(0，-3)，(-b，c)两点， ∴c=-3，ab2-b2-3=-3， ∴(a-1)b2=0. ∵ab>0，∴a≠0，b≠0， ∴a-1=0，∴a=1. 18 (2)①∵a=1，c=-3， ∴y=x2+bx-3=(x+)2-(b2+3). ∵函数存在最小值为-4， ∴-(b2+3)=-4，解得b2=4. ∵ab>0，a=1，∴b>0，∴b=2， ∴y=x2+2x-3. 令y=0，则x2+2x-3=0， 解得x1=-3，x2=1， ∴A(-3，0)，B(1，0). 19 ②存在. 设直线AC的表达式为y=kx+t. ∵A(-3，0)，C(0，-3)，代入y=kx+t得 解得 ∴直线AC的表达式为y=-x-3. 当点P在点A右侧时， 设P(m，m2+2m-3)，则E(m，-m-3)，D(m，0)， ∴DE=m+3. 20 ∵AB=4， ∴S△ABE=AB·DE=2(m+3)，S△ABC=AB·OC=6， ∴S△CBE=S△ABC-S△ABE=6-2(m+3)=-2m， S△PCE=OD·PE=(-m)·[-m-3-(m2+2m-3)]=. ∵=，∴=， 解得m1=，m2=， ∴此时点P的横坐标为或； 21 如图，当点P在点A的左侧时， ∴DE=-m-3. ∵AB=4， ∴S△ABE=AB·DE=2(-m-3)， S△ABC=AB·OC=6， ∴S△CBE=S△ABC+S△ABE=6+2(-m-3)=6-2m-6=-2m. S△PCE=OD·PE=(-m)·[m2+2m-3-(-m-3)]=-. 22 ∵=，∴=， 解得m3=，m4=(不符合题意，舍去)， 此时点P的横坐标为. 综上所述，存在点P，使=，点P的横坐标为或或. 23 【解题通法】 面积的求法 (1)利用面积公式 三角形、平行四边形、梯形等都有相应的面积公式，如果能够顺利地求得(或表示)相应的线段长，则可以直接利用面积公式求(或表示)图形的面积. 24 (2)利用割补法、铅垂法、等底等高法 图形 面积 S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD　 25 图形 面积 S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·h1+BD·h2= BD·(h1+h2)，即S△ABC=×水平宽×铅垂高 26 图形 面积 过△PBC的顶点P作所对的边BC的平行线l， 则直线l上任一点P'与BC组成的三角形的面积 等于△PBC的面积 27 练2 (2024·东营)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(2，0)两点，与y轴交于 点C，点D是抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的表达式； (2)当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E， 设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自 变量t的取值范围； (3)在(2)的条件下，连接AD，交BC于点F，求的最大值. 28 解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(2，0)两点， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y=x2-x-2. 29 (2)在抛物线y=x2-x-2中，令x=0，则y=-2， ∴C(0，-2). 设直线BC的表达式为y=kx+m(k≠0). 将点B(2，0)，C(0，-2)分别代入得解得 ∴直线BC的表达式为y=x-2. ∵过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t， ∴D(t，t2-t-2)，E(t，t-2)， ∴l=DE=t-2-(t2-t-2)=-t2+2t. ∵点D在直线BC下方的抛物线上， ∴0<t<2. 30 (3)点D的横坐标为t. 如图，当0<t<2时，过点A作AG∥DE，交BC于点G， ∴△DEF∽△AGF，∴=. 把x=-1代入y=x-2得y=-3， ∴AG=3，∴==-(t-1)2+， ∴当t=1时，()最大=. 又∵=，∴()最大=. 31 建议用时：10分钟 1.(2024·泰安)如图，抛物线C1：y=ax2+x-4经过点 D(1，-1)，与x轴交于点A、点B. (1)求抛物线C1的表达式. (2)将抛物线C1向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线 C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上. (3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形？ 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 1 题序 2 32 解：(1)将点D(1，-1)代入抛物线表达式得-1=a+-4， 解得a=， ∴抛物线C1的表达式为y=x2+x-4. (2)由题意得C2：y=(x-1)2+(x-1)-4+3=(x-)2-， ∴当x=1时，y=(x-)2-=×(1-)2-=-1， 故点D在抛物线C2上. 1 题序 2 33 (3)存在.理由如下：令x2+x-4=0，解得x1=，x2=-2， ∴A(，0)，B(-2，0). 当∠BDP为直角时，如图，过点D作DE⊥BD且DE=BD，则△BDE为等腰直角三角形，过点E作EH∥y轴，过点B作BG∥y轴，过点D作DH⊥EH，DG⊥BG，垂足分别为H，G. ∵∠BDG+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°， ∴∠BDG=∠DEH. 1 题序 2 34 ∵∠DGB=∠EHD=90°，∴△DGB≌△EHD(AAS)， ∴BG=DH=1，DG=EH=1+2=3， ∴E(2，2). 当x=2时，y=(x-)2-=×(2-)2-=2， ∴点E在抛物线C2上， ∴点P即为点E，其坐标为(2，2)； 1 题序 2 35 当∠DBP为直角时，如图， 同理可得△DHB≌△BGE(AAS)， ∴DH=BG=3，BH=GE=1， ∴E(-1，3). 当x=-1时，y=(x-)2-=×(-1-)2-=3， ∴点E在抛物线C2上， ∴点P即为点E，其坐标为(-1，3)； 1 题序 2 36 当∠BPD为直角时，如图. 设点E(x，y)， 同理可得△EHB≌△DGE(AAS)， ∴EH=x+2=GD=y+1且BH=y=GE=1-x， 解得x=0且y=1，∴E(0，1). 当x=0时，y=(x-)2-=×(0-)2-=-≠1， ∴点E不在抛物线C2上. 综上所述，点P的坐标为(2，2)或(-1，3). 1 题序 2 37 2.(2024·烟台)如图，抛物线y1=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC=OA，AB=4，对称轴为直线l1：x=-1，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2. 1 题序 2 38 (1)分别求抛物线y1和y2的表达式. (2)如图1，点F的坐标为(-6，0)，动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN.求FM+MN+DN的最小值. (3)如图2，点H的坐标为(0，-2)，动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH=2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 1 题序 2 39 解：(1)如图，设对称轴与x轴交于点G. 由题意得AG=BG=2. ∵对称轴为直线x=-1，∴B(1，0)，A(-3，0)， ∴OC=OA=3，∴C(0，3). 1 题序 2 40 将点A，B，C的坐标分别代入y1=ax2+bx+c 得解得 ∴y1=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，顶点坐标为(-1，4). ∵抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2， ∴抛物线y2的顶点坐标为(1，-4)， ∴抛物线y2的表达式为y2=(x-1)2-4，即y2=x2-2x-3. 1 题序 2 41 (2)如图，将点F向右平移2个单位长度至点F'，则FF'=2，F'(-4，0)，过点D作直线l2的对称点为点D'，连接F'N，F'D'，ND'， ∴ND=ND'. ∵y2=(x-1)2-4， ∴直线l2的表达式为x=1. ∵MN∥x轴， ∴MN=1-(-1)=2. 1 题序 2 42 对于抛物线y2=x2-2x-3，令x=0，则y2=-3，∴D(0，-3). ∵点D与点D'关于直线x=1对称， ∴D'(2，-3). ∵MN∥x轴，FF'=MN=2， ∴四边形FF'NM为平行四边形， ∴MF=NF'，∴FM+MN+DN=NF'+2+ND'≥2+F'D'， 当F'，N，D'三点共线时，FM+MN+DN取得最小值， 此时F'D'==3， ∴FM+MN+DN的最小值为2+3. 1 题序 2 43 (3)点P的坐标为(3，0)或(，-). 提示：①当点P在直线l2右侧抛物线上时，如图. ∵抛物线y2=(x-1)2-4，∴E(1，-4). ∵l2∥y轴，∴∠DHE=∠1. ∵∠PEH=2∠DHE， ∴∠PEH=2∠1=∠1+∠2， ∴∠1=∠2. 1 题序 2 44 作点H关于直线l2的对称点H'，则点H'在直线PE上. ∵点H的坐标为(0，-2)，直线l2为x=1， ∴H'(2，-2). 设直线PE的表达式为y=kx+t(k≠0). 将点H'(2，-2)，E(1，-4)分别代入y=kx+t 得解得 ∴直线PE的表达式为y=2x-6.联立 解得x=3或x=1(舍去)，∴P(3，0)； 1 题序 2 45 ②当点P在直线l2左侧抛物线上时，延长EP交y轴于点N，作HN的垂直平分线交HE于点Q，交y轴于点M，过点E作EK⊥y轴于点K，则QM∥EK，如图. ∵QM垂直平分HN，∴QH=QN， ∴∠QHN=∠QNH，∴∠NQE=2∠NHE. ∵∠PEH=2∠DHE，∴∠NQE=∠PEH，∴NQ=NE. 由H(0，-2)，E(1，-4)得EK=1，KH=2. ∵QM∥EK，∴△HMQ∽△HKE， ∴=，∴=. 1 题序 2 46 设HM=2m，MQ=m， ∴MN=HM=2m，NK=2-4m. 在Rt△QMN和Rt△ENK中， 由勾股定理得QM2+MN2=NK2+KE2， ∴m2+(2m)2=(2-4m)2+12，解得m=或m=1(舍去)， ∴NK=2-=， ∴ON=4-=，∴N(0，-). 1 题序 2 47 设直线PE的表达式为y=a1x+b1(a1≠0)， 将点N(0，-)，E(1，-4)分别代入y=a1x+b1 得解得 1 题序 2 48 ∴直线PE的表达式为y=-x-. 联立解得x=或x=1(舍去)， ∴P(，-). 综上所述，存在符合条件的点P，点P的坐标为(3，0)或(，-). 1 题序 2 49 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 50 $$