15第三章 第六节 二次函数的应用-【智乐星中考·中考备战】2025年数学讲练本（潍坊专版）

1 2 第六节　二次函数的应用 3 目 录 核心考点突破 好题随堂演练 4 命题点1 函数模型的选择问题6年4考　 例1 (2023·潍坊)为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据(0≤x≤20)，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示. 5 (1)从y=ax+21(a≠0)，y=(k≠0)，y=-0.04x2+bx+c中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下y随x变化的函数关系，并求出相应的函数表达式； (2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克.在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 6 【解题启发】 (1)一次函数、二次函数、反比例函数图象有哪些不同？观察图象， 应该用什么方法求函数表达式？ (2)该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长，实际上问的是当 y=　　　　时，比较　　　　的取值.  7 【规范解答】 解：(1)由题图知，场景A选择函数模型y=-0.04x2+bx+c.将点(10，16)和点(20，3)分别代入得 解得 ∴场景A下的函数表达式为y=-0.04x2-0.1x+21. 场景B选择函数模型y=ax+21(a≠0). 将点(5，16)代入得16=5a+21，解得a=-1， ∴场景B下的函数表达式为y=-x+21. 8 (2)由题图知，场景A下，当该化学试剂发挥作用的最低质量为3克时，时间为20分钟. 在场景B下，令y=-x+21=3，解得x=18， ∴该化学试剂发挥作用的时间最长为18分钟. 又∵20>18， ∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长. 9 【解题通法】 解函数模型问题的方法 (1)观察散点组成的大致图形形状，判断图形适用的函数模型； (2)代入点坐标，利用待定系数法求函数表达式； (3)根据题目要求，利用求出的函数表达式解决有关问题. 10 练1 (2024·潍坊寿光三模)数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用. 11 【实验过程】 如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x(单位：s)、运动速度v(单位：cm/s)、滑行距离y(单位：cm)的数据. 12 记录的数据如下： 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/(cm/s) 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离y/cm 0 19 36 51 64 75 … 13 【问题解决】 (1)根据v，y随x的变化规律，从所学的三种函数模型(一次函数、反比例函数、二次函数)中，选择适当的函数模型，分别求出v，y满足的函数关系式；(不用写出自变量的取值范围) (2)当小球在水平木板停下来时，求小球的滑行距离. 14 解：(1)由表格数据可知v与x的函数关系为一次函数关系， ∴设v=kx+c，分别代入点(0，10)，(2，9)得 解得， ∴v与x的函数关系式为v=-x+10. 由表格数据可知y与x的函数关系为二次函数关系. 设y=ax2+bx，分别代入点(2，19)，(4，36)得 解得 ∴y与x的函数关系式为y=-x2+10x. 15 (2)当v=-x+10=0时，解得x=20. 将x=20代入y=-x2+10x， 得y=-×202+10×20=100. ∴当小球在水平木板停下来时，此时滑行距离为100 cm. 16 命题点2 几何图形面积建模问题6年1考　 例2 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积比为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形的宽为x m(如图). (1)若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？ 最大值为多少？ 17 【解题启发】 (1)①栅栏总长度为24 m，指的是哪些线段的和？ ②两个面积比为1∶2的矩形，说明了　　　∶　　　为1∶2.  ③用含x的式子表示出矩形的宽为　　　　.  ④矩形的面积公式为　　　　　　，则列式为　　　　　　=36.  (2)矩形总面积的函数表达式为　　 　　　.  18 【规范解答】 解：(1)如图. ∵BC=x m，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍， ∴CD=2x m， ∴BD=3x m，AB=CF=DE=(24-BD)=(8-x) m， 依题意得3x(8-x)=36， 解得x1=2，x2=6(不合题意，舍去). 答：此时x的值为2. 19 (2)设矩形养殖场的总面积为S， 由(1)得S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48. ∵墙的长度为10 m，∴0<3x≤10， ∴0<x≤. ∵-3<0， ∴x<4时，S随着x的增大而增大， ∴当x=时，S有最大值，最大值为-3×(-4)2+48=(m2). 答：当x=时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2. 20 【解题通法】 解决几何图形面积问题的方法 (1)设未知数或利用题目已经设出的未知数表示图形中其他的边长； (2)利用图形的面积公式求出图形面积与未知数的关系式； (3)若给出图形面积，则解一元二次方程求出边长； (4)利用配方法求出图形面积的最大值. 21 练2 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠MON(∠MON=135°)的两边为边，用总长为120 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形OBDG为直角梯形. (1)若①②③区域的面积相等，则OB的长为　　　　m.  (2)设OB=x m，四边形OBDG的面积为y m2. ①求y与x之间的函数关系式，并注明自变量 x的取值范围； ②x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 22 解：(1)24 提示：由题意可知∠MON=135°，∠EOB=∠D=∠DBO=90°， ∴∠EGO=∠EOG=45°， ∴EG=EO=DB，DE=FC=OB. 设OB=CF=DE=x，则GE=OE=BD=(120-2x)=40-x. ∵①②③区域的面积相等， ∴(40-x)2=x·(40-x)， ∴x=24或x=60(舍去)， ∴BO=24 m. 23 (2)由题意可知∠MON=135°，∠EOB=∠D=∠DBO=90°. ∴∠EGO=∠EOG=45°. 设CF=DE=BO=x，则GE=OE=BD=(120-2x)=40-x. ①y=×(40-x)， 整理得y=-x2+x+800(0<x<60). ∴y与x之间的函数关系式为y=-x2+x+800(0<x<60). ②由①得y与x之间的函数关系式为y=-x2+x+800=-(x-15)2+900. ∵-<0，0<x<60， ∴当x=15时，y有最大值，最大值为900 m2. 24 命题点3 利润(费用)建模问题6年3考　 例3 (2024·潍坊)2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P(万元)与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式：P=10x.预计该商场每年的能源消耗费用T(万元)与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式：T=21-，其中0≤x≤9.设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y(万元). (1)若y=148万元，求该商场建造的隔热层厚度； (2)已知该商场未来8年的相关规划费用为t(万元)，且t=y+x2，当172≤t≤192时，求隔热层厚度x(cm)的取值范围. 25 【解题启发】 (1)求隔热层厚度，实际上求的是什么？ (2)规划费用与隔热层厚度的关系式是什么？ 26 【规范解答】 解：(1)由题意得y=P+8T=10x+8×[21-] 整理得y=-x2+4x+160. 当y=148时，则-x2+4x+160=148， 解得x1=6，x2=-2. ∵0≤x≤9，∴x=-2不符合题意，舍去，∴x=6. 答：该商场建造的隔热层厚度为6 cm. 27 (2)由(1)得y=-x2+4x+160. ∵t=y+x2， ∴t=-x2+4x+160+x2=4x+160(172≤t≤192). ∵4>0，∴t随x的增大而增大， ∵当t=172时，4x+160=172，解得x=3， 当t=192时，4x+160=192，解得x=8， ∴隔热层厚度x的取值范围为3≤x≤8. 28 练3 (2024·潍坊模拟)某市大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过50万件，该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图2所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元.(毛利润=销售额-生产费用) 29 (1)直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式：　　　　　　， 　　　　　　　　　；(不必写出自变量的取值范围)  (2)求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润 最大？最大毛利润是多少？ (3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过80万元，今年 最多可获得多少万元的毛利润？ 30 解：(1)y=x2　z=-x+20 提示：∵抛物线经过点(0，0)，(50，500)， ∴设抛物线的表达式为y=ax2(a≠0)， 将点(50，500)代入得500=2 500a， 解得a=. 31 ∴y与x之间的关系式为y=x2. ∵一次函数图象经过点(0，20)，(50，10)， 设z=kx+b，将两点的坐标分别代入得 解得 ∴z与x之间的函数关系式为z=-x+20. 32 (2)w=zx-y=-x2+20x-x2 =-x2+20x =-(x-25)2+250. ∵-<0， ∴当x=25时，w有最大值，最大值为250. 答：当年产量为25万件时，毛利润最大，最大毛利润为250万元. 33 (3)令y=80得x2=80， 解得x=20(负值已舍去). 由图象可知，当0<y≤80时，0<x≤20， 由w=-(x-25)2+250可知， 当0<x≤20时，w随x的增大而增大. ∴当x=20时，w有最大值，最大值为240. 答：今年最多可获得毛利润240万元. 34 命题点4 抛物线型建模问题6年0考　 例4 (2023·潍坊一模)如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度OH=1.5米.如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=2米，竖直高度EF=1米.下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到l的距离OD为d米. 35 (1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带(即矩形DEFC位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内)，求d的取值范围. 36 【解题启发】 (1)求OC的长度，重点在于求哪个点的坐标？ (2)下边缘抛物线的表达式是什么？ (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，传达了什么信息？ 37 【规范解答】 解：(1)由题意得点A的横坐标为2，纵坐标为1.5+0.5=2， ∴上边缘抛物线的顶点坐标为A(2，2). 设y=a(x-2)2+2. 又∵上边缘抛物线过点(0，1.5)， ∴1.5=4a+2，∴a=-， ∴上边缘抛物线的函数表达式为y=-(x-2)2+2， 当y=0时，0=-(x-2)2+2， 解得x1=6，x2=-2(舍去)， ∴喷出水的最大射程OC为6 m. 38 (2)∵下边缘抛物线可以看作是上边缘抛物线向左平移得到， ∴可设y=-(x+t-2)2+2， 将点(0，1.5)代入得t1=4，t2=0(舍去)， ∴下边缘抛物线的函数表达式为y=-(x+2)2+2， ∴当y=0时，0=-(x+2)2+2， 解得x1=2，x2=-6(舍去)， ∴点B的坐标为(2，0). 39 (3)∵EF=1， ∴点F的纵坐标为1， ∴1=-(x-2)2+2， 解得x1=2+2，x2=2-2(舍去)， ∴d的最大值为2+2-2=2， 当下边缘抛物线经过点B时，d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是2≤d≤2. 40 【方法指导】 解决抛物线型问题的方法 (1)利用待定系数法求出二次函数表达式； (2)根据题意代入自变量的值求出函数值，进而得出结论； (3)根据题意代入不同的自变量的值，求出函数值，进而判断结论. 41 建议用时：10分钟 1.(2024·潍坊一模)某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系，如图所示. 信息2：销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨) 之间存在正比例函数关系y=0.3x. 根据以上信息，解答下列问题； (1)求二次函数的表达式； (2)该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 1 题序 2 42 解：(1)设销售A种产品所获利润y与销售产品x之间的函数表达式为y=ax2+bx. 将点(1，1.4)，(3，3.6)分别代入表达式得 解得 ∴二次函数的表达式为y=-0.1x2+1.5x. 1 题序 2 43 (2)设购进A产品m吨，则购进B产品(10-m)吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为W万元. W=-0.1m2+1.5m+0.3(10-m) =-0.1m2+1.2m+3 =-0.1(m-6)2+6.6. ∵-0.1<0， ∴当m=6时，W取得最大值，最大值为6.6万元. 答：购进A产品6吨，购进B产品4吨时，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元. 1 题序 2 44 2.(2023·潍坊)工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示，经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB=3米，AF=BC=1米，∠A=∠B=90°，∠C=∠F=135°.MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？ 1 题序 2 45 解：如图，连接CF，分别交MH，GN于P，Q两点. ∵∠A=∠B=90°，∴AF∥BC. ∵AF=BC，∴四边形ABCF是平行四边形. 又∵∠A=90°，∴四边形ABCF是矩形， ∴CF=AB=3米，AB∥CF，∠AFC=∠BCF=90°. ∵∠AFE=∠BCD=135°， ∴∠EFC=∠DCF=45°. 1 题序 2 46 ∵AB∥DE，∴CF∥AB∥DE. ∵四边形MNGH是矩形，∴∠HMN=90°， ∴∠HPQ=90°，∴∠HPF=90°， ∴∠FHP=45°，∴PF=PH. 设MH=x(1≤x≤2). 易证四边形AMPF是矩形， ∴PM=AF=1米，PF=PH=(x-1)米， 同理可得CQ=GQ=(x-1)米， ∴PQ=CF-PF-CQ=3-2(x-1)=(5-2x)米. 1 题序 2 47 易证四边形MNQP是矩形， ∴MN=PQ=(5-2x)米， ∴S矩形MNGH=MH·MN=x(5-2x)=-2x2+5x=-2(x-)2+(1≤x≤2)， ∴当MH=米时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积为 平方米. 1 题序 2 48 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 49 $$