13第三章 第四节 二次函数的图象与性质-【智乐星中考·中考备战】2025年数学讲练本（潍坊专版）

1 2 第四节　二次函数的图象与性质 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 难点分层探究 4 知识点1 二次函数的概念及表达式 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作x的二次函数. 2.二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)； (3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴的交点的横坐标，a≠0. 5 3.待定系数法求表达式 (1)根据所给点(坐标)的特征设适当的表达式； (2)代入点的坐标：将已知点的坐标代入相应的表达式中，得到关于待定系数的方程(组)； (3)求解：解方程(组)求出待定系数的值，从而得出函数的表达式. 6 知识点2 二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 表达式 y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) 对称轴 (1)直接运用公式x=　 　　求解；  (2)配方法，将一般式化为顶点式y=a(x-h)2+k，则对称轴为直线　　　；  (3)对称轴x=(其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标) 顶　　点 (1)直接利用顶点坐标公式x=　　　　，y=　　　　求解；  (2)运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标为　　　　；  (3)将对称轴x=x0代入函数表达式求得对应的y0 a的符号 a　　　0  a　　　0  - x=h　 - (h，k)　 > < 7 图　　象 开口方向 开口向上 开口向下 最　　值 当x=-时， y最小= 当x=-时， y最大= 8 最　点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<-时(对称轴左侧)， y随x的增大而__________；  当x>-时(对称轴右侧)， y随x的增大而__________  当x<-时(对称轴左侧)，y随x的增大而 __________；当x>-时(对称轴右侧)， y随x的增大而__________ 　减小　 　增大　 　增大　 　减小　  9 2.根据二次函数表达式判断函数图象 字母 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向　　  a<0 开口向　　  b或 a与b b=0 对称轴为　　　轴  ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴　　　侧  ab<0(a与b异号) 对称轴在y轴　　　侧  c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 上 下 y 左 右 10 字母 字母的符号 图象的特征 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点) b2-4ac>0 与x轴有　　　个 交点 b2-4ac<0 与x轴没有交点 两 11 3.根据二次函数图象判断a，b，c和b2-4ac与0的关系 图象 (草图) 结论 a>0， b　　　0，  c　　　0，  b2-4ac　　0  a　　　0，  b　　　0，  c　　　0，  b2-4ac　　0  a<0， b　　　0，  c　　　0，  b2-4ac　　0  a　　　0，  b　　　0，  c　　　0，  b2-4ac　　0  = = = > > = > > < < < > = > 12 命题点1 确定二次函数的表达式6年0考　 例1 已知二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)的图象经过点(2，-3)，(-1，0)，求二次函数的表达式. 【解题启发】应设二次函数表达式的哪种形式？ 13 【规范解答】 解：将点(2，-3)，(-1，0)代入二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)得 解得 ∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3. 14 【解题通法】 确定二次函数表达式的步骤 (1)根据条件设表达式：对于二次函数y=ax2+bx+c，若系数a，b，c中有一个未知，则代入图象上任意一点坐标；若有两个未知， 则代入图象上任意两点坐标；若三个都未知，则根据下表所给点的坐标选择适当的表达式： 15 已知 所设表达式 顶点+其他点 y=a(x-h)2+k 与x轴的两个交点+其他点 y=a(x-x1)(x-x2) 与x轴的一个交点+对称轴+其他点 任意三个点 y=ax2+bx+c (2)代入点坐标：将已知点坐标代入相应表达式中，得到关于待定系数的方程(组). (3)求解：解方程(组)求出待定系数的值，从而得出函数的表达式. 16 练1 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为(2，4)，且经过点 (3，5)，求二次函数的表达式. 解：∵二次函数图象的顶点坐标为(2，4)， ∴设二次函数的表达式为y=a(x-2)2+4(a≠0). 将点(3，5)代入二次函数表达式得5=a(3-2)2+4， 解得a=1， ∴二次函数的表达式为y=(x-2)2+4=x2-4x+8. 17 练2 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴的交点坐标为(1，0)， (2，0)，且经过点(3，6)，求二次函数的表达式. 解：∵二次函数图象与x轴交于点(1，0)，(2，0)， ∴设二次函数的表达式为y=a(x-1)(x-2)(a≠0). 将点(3，6)代入二次函数表达式得6=a(3-1)×(3-2)， 解得a=3， ∴二次函数的表达式为y=3(x-1)(x-2)=3x2-9x+6. 18 练3 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1，8)，对称轴是直线 x=-2，且在x轴上截得的线段长为6，求二次函数的表达式. 解：∵二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，且在x轴上截得的线段长为6， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为(-5，0)，(1，0)， ∴设二次函数的表达式为y=a(x+5)(x-1)(a≠0). 将点(-1，8)代入二次函数表达式得 8=a(-1+5)(-1-1)，解得a=-1， ∴二次函数的表达式为y=-(x+5)(x-1)=-x2-4x+5. 19 练4 已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其表达式. 20 解：(1)∵x=-=1，∴抛物线的对称轴为直线x=1. (2)由(1)知抛物线的顶点坐标为(1，2a2-a-3). ∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a2-a-3=0， 解得a=或a=-1. 当a=时，其表达式为y=x2-3x+； 当a=-1时，其表达式为y=-x2+2x-1. 综上所述，二次函数的表达式为y=x2-3x+或 y=-x2+2x-1. 21 命题点2 二次函数的图象与性质6年3考　 考法❶　探究图象与性质　　　　　　　　　 例2 【一题串考点·原创题】已知二次函数y=ax2+bx+c，下表给出了两个变量x，y的对应关系. x … -1 0 1 2 3 4 … y … 0 -3 -4 -3 0 5 … 22 (1)该函数的图象开口向　　　　，对称轴为直线　　　　，顶点坐标 为　　　　　　，函数的最小值为　　　　，该二次函数的图象与y轴 的交点坐标为　　　　　，与x轴的交点坐标为　　　　.  (2)当-3≤x≤0时，y的最大值为　　　　，最小值为　　　　.  (3)当-1≤x≤2时，y的最大值为　　　　，最小值为　　　　　　.  (4)如果(-3，y1)，(2，y2)，(6，y3)在该二次函数图象上，那么y1，y2，y3 之间的大小关系是　　　　.(用“>”表示)  23 (5)已知点A(m，n)是抛物线上一点. ①若点A关于对称轴对称的点为B，且点B的坐标为(5，12)，则点A的 坐标为　　　　；  ②若点A与对称轴的距离d为5，则点A的坐标为　　　　　；当距离 d=4时，满足条件的点A有　　　　个；  (6)若(3，y1)，(a，y2)是抛物线上不同的两点，且y2=y1+5，则a的值为 　　　　　　　　　；  (7)二次函数的图象与x轴所围成的区域内(不含边界)整点(横、纵坐标都 为整数的点)的个数为　　　　.  24 【解题启发】此二次函数的表达式是什么？图象是什么样的？增减性怎么判断？ 25 解：(1)上　x=1　(1，-4)　-4　(0，-3)　 (3，0)或(-1，0) (2)12　-3 (3)0　-4 (4)y3 > y1 >y2 (5)①(-3，12)　②(6，21)或(-4，21)　2 (6)4或-2　 (7)7 26 练5 (多选题)(2023·潍坊)已知抛物线y=ax2-5x-3经过点(-1，4)， 则下列结论正确的是(　　 ) A.抛物线的开口向下 B.抛物线的对称轴是直线x= C.抛物线与x轴有两个交点 D.当t<-时，关于x的一元二次方程ax2-5x-3-t=0有实根 BC 27 练6 关于二次函数y=2x2+4x-3，下列说法正确的是(　　) A.y的最小值为5 B.图象与y轴的交点坐标为(0，-3) C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D.图象的对称轴在y轴的右侧 B 28 练7 (2023·邵阳)已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线y=ax2+4ax+3(a是常数， a≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2； ②点(0，3)在抛物线上；③若x1>x2>-2，则y1>y2；④若y1=y2，则x1+x2=-2， 其中正确结论的个数为(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 29 练8 【新考法】与新定义结合考查二次函数的图象与性质 定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的特征数，下面给出特征数为 [m，1-m，2-m]的二次函数的一些结论：①当m=1时，函数图象的对称轴是 y轴；②当m=2时，函数图象过原点；③当m>0时，函数有最小值；④如果 m<0，当x>时，y随x的增大而减小.其中所有正确结论的序号是　　　　.  ①②③　 30 考法❷　含未知参数的函数最值问题 例3 已知二次函数y=2x2-4x-1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值 为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解题启发】函数值大小与x的取值范围有什么关系？ D 31 【通用解法】 比较二次函数值的大小的方法 (1)代入比较法：若已知函数的表达式，则将几个点的横坐标分别代入，求出相应的函数值，再比较大小； (2)增减性比较法：当点在对称轴同侧时，直接根据函数的增减性比较大小；当点不在对称轴的同侧时，利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再比较； (3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大；当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小. 32 练9 已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时， 其对应的函数y的最大值为-1，则h的值为(　　) A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6 B 33 练10 (2023·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有(　　) A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值 D 34 命题点3 二次函数图象与系数a，b，c的关系 6年2考 【核心母题】在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0；②b2>4ac；③2a-b=0； ④a-b+c<0.其中正确的结论是　　　　　　.  ②④ 35 【解题启发】开口向下，则a　　0；对称轴为直线x=1，则　　=1；与y轴 交点在y轴上半轴，则c　　0；与x轴的交点有两个，则b2-4ac　　　　0.  36 【解题模板】 灵活探究二次函数图象与系数关系的技巧 (1)由开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a，b，c的符号； (2)由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac与0的关系； (3)由对称轴的位置判断2a±b的符号； (4)判断a±b+c，4a±2b+c的符号，令x=±1，x=±2，观察纵坐标； (5)判断a，c或b，c关系，利用对称轴与x等于某个值时y的式子联立求解； 37 (6)判断 (a+c)2与b2 的大小：先因式分解，再利用x等于某两个值的式子联立求解； (7)判断a+b与m(am+b)的大小，由二次函数的增减性判断有关m(am+b)的不等式； (8)判断二次函数与一元二次方程结合的根的情况，转化为抛物线与平行于x轴的直线的交点问题来求解. 38 【变式1】判断与a，b，c有关的式子的符号 判断下列结论的正误，在括号内正确的打“√”，错误的打“✕”. ⑤3a+c>0(　　) ⑥(a+c)2<b2(　　) ⑦4a-2b+c<0(　　) ⑧4a+2b+c>0(　　) × √ √ √ 39 【变式2】与增减性结合判断正误 判断下列结论的正误，在括号内正确的打“√”，错误的打“✕”. ⑨若m为任意实数，则有a+b≥m(am+b)(　　) ⑩若y≥0，则0≤x≤2(　　) √ × 40 【变式3】与一元二次方程结合考查根的情况 判断下列结论的正误，在括号内正确的打“√”，错误的打“✕”. ⑪关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-1，x2=3(　　) ⑫关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根(　　) ⑬关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根大于-1，一个根小于3(　　) × √ √ 41 建议用时：10分钟 1.已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0)，其中b>0，c>0，则该函数的图象可能 为(　　) C 1 3 5 7 题序 2 4 6 42 2.如图，二次函数y=a(x+2)2+k的图象与x轴交于A，B(-1，0)两点， 则下列说法正确的是(　　) A.a<0 B.点A的坐标为(-4，0) C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴为直线x=-2 D 1 3 5 7 题序 2 4 6 43 3.(多选题)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为 直线x=1.给出下列结论正确的是(　　 ) A.ac<0 B.b2-4ac>0 C.2a-b=0 D.a-b+c=0 ABD　 1 3 5 7 题序 2 4 6 44 4.(多选题)(2024·潍坊模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的部分图象如图所示，图象经过点(0，2)，其对称轴为 直线x=-1.下列结论中正确的为(　 　) A.3a+c>0 B.若点(-4，y1)，(3，y2)均在二次函数图象上，则y1>y2 C.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根 D.满足ax2+bx+c>2的x的取值范围为-2<x<0 BCD　 1 3 5 7 题序 2 4 6 45 5.(多选题)(2024·潍坊)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1， 且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0).下列结论正确的有(　 　) A.a-b+c>0 B.该抛物线与x轴的另一个交点坐标是(-3，0) C.若点(-1，y1)和(2，y2)在该抛物线上，则y1<y2 D.对任意实数n，不等式an2+bn≤a+b总成立 ACD　 1 3 5 7 题序 2 4 6 46 6.(2023·上海)一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称 轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是　　　　.  10 1 3 5 7 题序 2 4 6 47 7.当-1≤x≤3时，二次函数y=x2-4x+5有最大值m，则m=　　 　.  y=-x2+1(答案不唯一)　 1 3 5 7 题序 2 4 6 48 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 49 $$