11第三章 第三节 反比例函数-【智乐星中考·中考备战】2025年数学讲练本（潍坊专版）

1 2 第三节　反比例函数 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 难点分层探究 4 知识点1 反比例函数的概念及表达式 1.一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=(k为常数，k≠0) 的形式，那么称y是x的反比例函数.其中反比例函数的自变量x的取值范围 是___________的全体实数.  　不为0　 5 2.反比例函数表达式的三种形式： (1)y=(k为常数，k≠0)； (2)y=kx-1(k为常数，k≠0)； (3)xy=k(k为常数，k≠0). 6 知识点2 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，它有两个分支且关于 __________对称，与坐标轴无限接近，但永不相交.  2.画反比例函数图象的一般步骤 (1)列表；(2)描点；(3)连线. 　原点　 7 3.图象与性质 k的符号 k>0 k<0 图象的 位置 所在象限 第____________象限  第____________象限  性质 在每一象限内，y随 x的增大而__________  在每一象限内，y随x的 增大而__________　  　一、三　 　二、四　 　减小　 　增大　 8 知识点3 反比例函数中k的几何意义 1.从双曲线y=(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线段，两垂线段与坐标轴 围成的矩形面积为　 　.如图1和图2，S矩形OAPB=PA·PB=|y|·|x|=|xy|=|k|， 同理可得S△OPA=S△OPB=|xy|=|k|.  |k| 9 2.反比例函数图象中有关图形的面积 S△AOP=|k| S△OBP=|k| 10 S△APP'=2|k| S△ABC=|k| 11 S矩形OAPB=|k| S▱ABCD=|k| 12 知识点4 确定反比例函数的表达式 1.方法：待定系数法(常常还会利用k的几何意义求表达式，具体见上述知识点) 2.步骤 (1)设所求反比例函数表达式为y=(k为常 数，k≠0)； (2)找出满足反比例函数表达式的点P(a，b)； (3)将P(a，b)代入表达式得k=ab； (4)确定反比例函数表达式y=. 13 命题点1 确定反比例函数的表达式6年0考　 例1 (2024·山东)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与y=部分自变量与函数值的对应关系： 14 (1)求a，b的值，并补全表格； (2)结合表格，当y=2x+b的图象在y=的图象上方时，直接写出x的取值范围. 【解题启发】怎样求函数表达式？ x - a 1 2x+b a 1 　　　  　　　  　　　  7 15 【规范解答】 解：(1)当x=-时，2x+b=a，即-7+b=a， 当x=a时，2x+b=1，即2a+b=1， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y=2x+5. 当x=1时，y=7， ∴y==7，即k=7， ∴反比例函数的表达式为y=. 16 当x=-时，y=7÷(-)=-2； 当x=-2时，y=-. 补全的表格如下. x - -2 1 2x+b -2 1 7 -2 - 7 17 (2)-<x<0或x>1. 提示：由表格信息可得两个函数图象的交点坐标分别为(-，-2)，(1，7)， ∴当y=2x+b的图象在y=的图象上方时，x的取值范围为-<x<0或x>1. 18 练1 (2023·青岛)反比例函数y= 的图象经过点A(m，)，则反比例函数 的表达式为　　　　.  y= 19 命题点2 反比例函数的图象与性质6年1考　 例2 【一题串考点·原创题】已知反比例函数y=(k≠-1). (1)若该反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大， 则k的取值范围为　　　　；  (2)当k=2时，此反比例函数图象在第　　　　象限，关于直线 　　　 　对称；  (3)若点A(3，2)，B(a，6)在反比例函数y=(k≠-1)的图象上， 则k=　　　　，a=　　　　；  k<-1　 一、三　 y=-x或y=x　 5 1 20 (4)若k>0，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数的图象上， 且x1<0<x2<x3，则y1，y2，y3的大小关系是　　 　　；(用“<”表示)  (5)若点P(x，y)在反比例函数y=的图象上，则点 Q(-x，-y) 　　　(填“在”或“不在”)反比例函数y=的图象上.  【解题启发】反比例函数的图象是　　　　　，关于　　　　成中心 对称，反比例函数增减性如何判断？  y1<y3<y2　 在 21 【易错警示】 判断反比例函数增减性的注意点 　　正确理解反比例函数的增减性，注意自变量的取值范围，不能笼统地说y随x的增大而增大(或减小)，应指明在某一象限内函数的增减变化情况. 22 练2 一次函数y=ax+b与反比例函数y=，其中ab<0，a，b为常数， 它们在同一坐标系中的图象可以是(　　) C 23 练3 (2024·济宁)已知点 A(-2，y1)，B(-1，y2)，C(3，y3)在反比例函数 y=(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 C 24 练4 小红同学在研究函数y=|x|+的图象时，发现有如下结论：①该函数 有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当x>0时，y随x的增大而增 大；④该函数图象关于y轴对称；⑤直线y=8与该函数图象有两个交点， 则上述结论中正确的个数为(　　)　　　　　　　　 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 B 25 命题点3 反比例函数k的几何意义6年1考　 例3 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y=与y=(a>b>0)在第 一象限的图象分别为曲线C1，C2，P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴 的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB= 　　　.(结果用a，b表示)  【解题启发】如何利用反比例函数表达式表示△AOB的面积？ 26 练5 (2022·日照)如图，矩形OABC与反比例函数y1=(k1是非零常数，x>0) 的图象交于点M，N，与反比例函数y2=(k2是非零常数，x>0)的图象交于 点B，连接OM，ON.若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2的值为(　　) A.3 B.-3 C. D.- B 27 练6 (2022·烟台)如图，A，B是双曲线y=(x>0)上的两点，连接OA，OB， 过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D.若点D为AC的中点，△AOD的面积 为3，点B的坐标为(m，2)，则m的值为　　　　.  6 28 命题点4 反比例函数与一次函数的综合6年4考 例4 如图，直线y=3x-5与反比例函数y=的图象相交于A(2，m)， B(n，-6)两点，连接OA，OB. (1)求k和n的值； (2)求△AOB的面积. 【解题启发】 (1)m和n的值能通过哪个函数表达式求解？ (2)求△AOB的面积，以哪条边为底求面积最简便？ 29 【规范解答】 解：(1)∵点B(n，-6)在直线y=3x-5上， ∴-6=3n-5，解得n=- ，∴B(-，-6). ∵反比例函数y=的图象也经过点B(- ，-6)， ∴k-1=-6×(-)=2，解得k=3. 30 (2)如图，设直线y=3x-5分别与x轴、y轴相交于点C、点D. 当y=0时，即3x-5=0，x=，∴OC=. 当x=0时，y=3×0-5=-5，∴OD=5. ∵点A(2，m)在直线y=3x-5上， ∴m=3×2-5=1，即A(2，1)， ∴S△AOB=S△AOC+SODC+S△BDO=×(×1+×5+×5)=. 31 练7 (2023·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x-2与反比例 函数y2=的图象交于A，B两点，下列结论正确的是(　　) A.当x>3时，y1<y2 B.当x<-1时，y1<y2 C.当0<x<3时，y1>y2 D.当-1<x<0时，y1<y2 B 32 练8 (多选题)(2022·潍坊诸城一模)如图，反比例函数y=与一次函数y=x+5的图象交于A，B两点，一次函数y=-2x的图象经过点A.下列 结论正确的是(　 　) A.k=-8 B.点B的坐标为(-8，2) C.连接OB，则S△AOB=15 D.点C为y轴上一动点，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是(0，) AC　 33 练9 (2024·潍坊)如图，正比例函数y=-x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点是A(m，).点P(2，n)在直线y=-x上，过点P作y轴的平行线，交反比例函数y=的图象于点Q. (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求△OPQ的面积. 34 解：(1)将点A(m，)代入y=-x得=-m， ∴m=-3，∴A(-3，). 将点A(-3，)代入y=得=，∴k=-3， ∴反比例函数的表达式为y=-. 35 (2)将点P(2，n)代入y=-x得n=-2， ∴P(2，-2). ∵PQ∥y轴，∴点Q的横坐标为2. 把x=2代入y=-得y=-， ∴Q(2，-)，∴PQ=--(-2)=， ∴S△OPQ=××2=. 36 命题点5 反比例函数与几何图形结合6年2考　 【核心母题1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数y=(x>0)的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D，若点D的坐标为(4，m)，AD=3. 37 (1)求反比例函数y=的表达式； (2)经过C，D两点的直线的表达式是　　　　；  (3)设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，则△OEF面积的最大值是　　　　.  【解题启发】 (1)点A的坐标为　　　　，点C的坐标为　　　　；  (2)你怎么利用待定系数法求直线的函数表达式？ (3)你有几种方法可以求△OEF面积的最大值？ 38 【规范解答】 解：(1)∵AD=3，D(4，m)， ∴A(4，m+3). ∵点C是OA的中点， ∴C(2，). ∵点C，D在双曲线y=上， ∴∴∴反比例函数的表达式为y=. 39 (2)y=-x+3 提示：∵m=1， ∴C(2，2)，D(4，1). 设直线CD的表达式为y=ax+b， ∴解得 ∴直线CD的表达式为y=- x+3. 40 (3) 提示：如图，由(2)知直线CD的表达式为y=-x+3. 设点E(n，-n+3)， 由(2)知C(2，2)，D(4，1)， ∴2<n<4. ∵EF∥y轴交双曲线y=于点F，∴F(n，)， ∴EF=-n+3-， ∴S△OEF=(-n+3-)·n=(-n2+3n-4)=-(n-3)2+. ∵2≤n≤4， ∴当n=3时，S△OEF最大，最大值为. 41 【解题通法】 (1)求反比例函数表达式的方法： ①求反比例函数图象经过一点的坐标，利用代入法； ②利用几何图形的数量关系来确定； ③利用实际问题中的数量关系来确定. (2)从反比例函数y=的图象上一点，作两坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为|k|； (3)反比例函数y=图象上的两个点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1y1=x2y2=k. 42 【变式1】与直角三角形结合，求点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，点A的坐标为(4，4)，反比例函数y=(x>0)的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D，设点E是x轴上的动点，请求出使△OCE为直角三角形时点E的坐标. 43 解：当∠OEC=90°时，点E的横坐标与点C的横坐标相等，∵C(2，2)，∴E(2，0). 当∠OCE=90°时，∵C(2，2)，∴∠COB=45°， ∴△OCE为等腰直角三角形，∴E(4，0). 综上所述，点E的坐标为(2，0)或(4，0). 44 【变式2】与直角三角形结合，求锐角三角比 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，点A的坐标为(4，4)，反比例函数y=(x>0)的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D，求cos∠OAB的值. 45 解：∵点A的坐标为(4，4)， ∴OB=4，AB=4. 在Rt△ABO中，∵OB=4，AB=4，∠ABO=90°， ∴OA==4， ∴cos∠OAB===. 46 【变式3】与直角三角形结合，求特殊三角形存在 在平面直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO=10，sin∠AOB=，反比例函数y=(k>0)的图象经过AO的中点C且与AB交于点D. (1)求k的值； (2)在x轴上是否存在点P，使得△OCP为等腰三角形？ 若存在，求出点P的坐标. 47 解：(1)如图，过点C作CE⊥OB于点E. ∵AB⊥OB，CE⊥OB， ∴CE∥AB. 又∵点C为OA的中点， ∴点E为OB的中点，即CE为△AOB的中位线， ∴CE=AB，OE=OB. 48 又∵点C为OA的中点， ∴点E为OB的中点，即CE为△AOB的中位线， ∴CE=AB，OE=OB. 在Rt△AOB中，AO=10，sin∠AOB=， ∴sin∠AOB=，即AB=10×=6， 根据勾股定理得OB==8， ∴OE=4，CE=3， ∴点C的坐标是(4，3)， 将C(4，3)代入y=中得k=12. 49 (2)存在.理由如下： 当OC=PC时， ∵OA=10，CO=5，CE⊥OB，AB⊥OB， ∴CE是△OAB的中位线， ∴CE是OB的垂直平分线， ∴点P与点B重合， ∴P1(8，0)； 50 当OC=OP时， ∵OC=5， ∴P2(-5，0)，P3(5，0)； 当OP=PC时，设点P的坐标为(x，0). ∵C(4，3)， ∴x2=(x-4)2+32，解得x=， ∴P4(，0). 综上所述，点P的坐标为(8，0)或(-5，0)或(5，0)或(，0). 51 命题点6 反比例函数的实际应用6年0考　 【核心母题2】 (青岛版九下P26练习14改编)某一蓄水池中有水若干吨，若单一个排水管，排水速度v(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的对应值关系如下表： 排水速度v(m3/h) 1 2 3 4 6 8 所用的时间t(h) 12 6 4 3 2 1.5 52 (1)在如图的平面直角坐标系中，用描点法画出相应函数的图象； (2)写出t与v之间的函数关系式；如果增加排水管，使每小时能够排水 Q m3，那么将蓄水池中的水排空所需的时间t将如何变化？ (3)若5 h内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是多少？ (4)已知排水管的最大排水量为每小时12 m3，那么最少多长时间可将满池水全部排空？ 53 【解题启发】通过观察所画函数图象，能得出v与t之间是什么函数关系？ 54 【规范解答】 解：(1)函数图象如图所示. 55 (2)根据图象的形状，选择反比例函数模型进行尝试. 设v=(k≠0)，选(1，12)代入得k=12， ∴v=. ∵其余点的坐标代入验证，符合关系式v=. ∴所求的函数表达式是v=(t>0). ∵Qt=12，Q与t成反比例关系. ∴Q增大，t将减少. 56 (3)由题意得当0<t≤5时，v≥2.4，∴每小时的排水量至少应该是2.4 m3. (4)当Q≤12时，由Qt=12， 解得t≥1，∴最少用1 h可将满池水全部排空. 57 【变式1】改变情境，考查电流与电阻的关系 如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电 阻控制电流的变化来实现.如图2是该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例 函数的图象，该图象经过点P(880，0.25).根据图象可知，下列说法正确 的是(　　) A.当R<0.25时，I<880 B.I与R的函数关系式是I=(R>0) C.当R>1 000时，I>0.22 D.当880<R<1 000时，I的取值范围是0.22<I<0.25 D 58 【变式2】改变情境，考查反比例函数的实际应用 (2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其 最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器狗 载重后总质量m=60 kg时，它的最快移动速度v=6 m/s；当其载重后总质 量m=90 kg时，它的最快移动速度v=　　　　m/s.  4 59 建议用时：10分钟 1.(青岛版九下P26练习11改编)关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位 同学都正确地说出了该函数的一个特征. 甲：函数图象不经过原点； 乙：函数图象经过点(-1，1)； 丙：在每个象限内，y随x的增大而增大. 则这个函数表达式可能是(　　)　　　　　　　 A.y=-x B.y= C.y=x2 D.y=- D 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 60 2.对于反比例函数y=-，下列说法错误的是(　　) A.图象经过点(1，-5) B.图象位于第二、四象限 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.当x>0时，y随x的增大而增大 C 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 61 3.如图是反比例函数y=的图象，A(x，y)是反比例函数图象上任意一点， 过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是(　　) A.1 B. C.2 D. B 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 62 4.(2024·德州模拟)【跨学科·物理】已知蓄电池的电压U(单位：V)为定值， 使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系， 它的图象如图所示.下列说法不正确的是(　　) A.当I≤10 A时，R≤4 Ω B.蓄电池的电压是40 V C.当R=8 Ω时，I=5 A D.函数的表达式是I=(R>0) A 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 63 5.(改编题)在同一平面直角坐标系中，若正比例函数 y=k1x 与反比例函数 y=的图象没有交点，则k1k2的取值范围是(　　) A.k1k2<-1 B.k1k2>-1 C.k1k2<0 D.-1<k1k2<0 C 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 64 6.(2024·潍坊模拟)点(2a-1，y1)，(a，y2)在反比例函数y=(k>0)的图象上. 若0<y1<y2，则a的取值范围是(　　) A.a<1 B.a>1 C.a<-1 D.a>-1 B 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 65 7.已知反比例函数y=-的图象经过点(4，a)，则a的值为　　　　.  - 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 66 8.(2024·潍坊一模)如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数 y=(k≠0，x>0)的图象上，点C在y轴上，AB=AC，AC∥x轴，BD⊥AC 于点D.若点A的横坐标为10，BD=3CD，则k=　　　　.  15 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 67 9. 如图所示，直线y=k1x+b与双曲线y=交于A，B两点，已知点B的纵坐标为-3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D(0，-2)，OA=，tan∠AOC=. (1)求直线AB的表达式； (2)若P是第二象限内反比例函数图象上的一点， △OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标； (3)直接写出不等式k1x+b≤的解集. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 68 解：(1)如图，过点A作AE⊥x轴于点E. ∵tan∠AOC=，OA=， ∴AE=1，OE=2，∴点A的坐标为(-2，1)， ∴双曲线的表达式为y=-. 把点A(-2，1)，D(0，-2)分别代入y=k1x+b得 解得 ∴直线AB的表达式为y=-x-2. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 69 (2)如图，连接OB. 把y=-3代入y=-x-2得x=， ∴点B的坐标为(，-3)， ∴S△ODB=×2×=， ∴S△OCP=2S△ODB=. 把y=0代入y=-x-2得x=-， ∴点C的坐标为(-，0). 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 70 设点P的坐标为(x，y)，连接PC，PO. ∵S△OCP=×y=，∴y=2. ∵y=-，∴点P的坐标为(-1，2). (3)-2≤x<0或x≥. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 71 10.在平面直角坐标系中，已知一次函数y1=k1x+b的图象与坐标轴分别交于A(5，0)，B(0，)两点，且与反比例函数y2=的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当y2>y1时，求x的取值范围； (3)若点C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 72 解：(1)∵一次函数y1=k1x+b的图象与坐标轴分别交于A(5，0)，B(0，)两点， 将两点坐标分别代入得解得 ∴一次函数的表达式为y1=-x+. ∵△OAP的面积为，∴OA·yP=，∴yP=. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 73 ∵点P在一次函数的图象上， ∴令-x+=，解得x=4，∴P(4，). ∵点P在反比例函数y2=的图象上，∴k2=4×=2， ∴一次函数的表达式为y1=-x+，反比例函数的表达式为y2=. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 74 (2)令-x+=，解得x=1或x=4，∴K(1，2). 由图象可知，当y2>y1时，x的取值范围为0<x<1或x>4. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 75 (3)如图，作点P关于x轴的对称点P'，连接KP'，线段KP'与x轴的交点即为点C. ∵P(4，)，∴P'(4，-)， ∴PP'=1， ∴直线KP'的表达式为y=-x+. 令y=0，解得x=， ∴C(，0)， 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 76 ∴S△PKC=(xC-xK)·PP'=×(-1)×1=， ∴当PC+KC最小时，△PKC的面积为. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 77 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 78 $$