10第三章 第二节 一次函数-【智乐星中考·中考备战】2025年数学讲练本（潍坊专版）

1 2 第二节　一次函数 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 一次函数和正比例函数的概念 1.一次函数：若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b 为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.其结构特征： (1)k________；(2)x的次数是_______；(3)常数项b可以为任意实数.  2.当b=_______时，y=kx(k≠0)为正比例函数，正比例函数是一种特殊的 一次函数.  　≠0　 　1　 　0　 5 知识点2 一次函数的图象与性质 函数 正比例函数 一次函数 表达式 y=kx(k≠0) y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 图象形状及特点 过原点的一条直线 过点(0，b)且平行于y=kx 的一条直线 作图方法 过点(0，0)，(1，k) 作直线 过点(0，b)，(-，0)作直线 6 函数 正比例函数 一次函数 图象、性质 k>0 时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大 k>0时， 图象恒过 第一、 三象限， y随x的 增大而 ____ b>0时， 图象经过 第_________ 　 象限  b<0时， 图象经过 第_________ 　　 象限  增大 一、二、三 一、三、四　 7 函数 正比例函数 一次函数 图象、性质 k<0 时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 k<0时， 图象恒过 第二、四 象限，y随 x的增大而 _____ b>0时， 图象经过 第__________ 　　 象限  b<0时， 图象经过 第__________ 　　 象限  减小 一、二、四　 二、三、四 8 知识点3 确定一次函数的表达式 1.待定系数法 (1)设：设一次函数的表达式为y=kx+b(k为常数，k≠0)； (2)代：将两点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)代入表达式中，得到关于k，b的方程组； (3)解：解方程组，求得k，b的值； (4)还原：将k，b的值代回表达式中，从而得到一次函数的表达式. 9 2.一次函数图象的平移 平移前表达式为y=kx+b. 平移方向(a>0) 平移后表达式 向左平移a个单位长度 y=k(x+a)+b 向右平移a个单位长度 y=k(x-a)+b 向上平移a个单位长度 y=kx+b+a 向下平移a个单位长度 y=kx+b-a 10 【方法指导】 一次函数图象的变化与表达式的确定 (1)一次函数图象的平移，可记为“左加右减、上加下减”.注意与点的平移的区分，点的平移是“左减右加，上加下减”； (2)若一次函数y1=k1x+b1，y2=k2x+b2平行，则k1=k2且b1≠b2. 3.一次函数图象的旋转 (1)旋转90°：旋转后的函数表达式中的k2值与旋转前函数表达式中的k1值的乘积为-1，再代入原函数图象上一点关于旋转中心的对应点的坐标即可； (2)旋转180°：旋转前后的k值相等，再代入原函数图象上一点关于旋转中心的对称点的坐标即可. 11 知识点4 一次函数与方程(组)、不等式的关系 1.一次函数与方程(组)的关系 (1)一次函数y=kx+b的表达式是一个二元一次方程； (2)一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标是方程kx+b=0的根； (3)一次函数y=k1x+b1与一次函数y=k2x+b2的图象的交点坐标就是方程组 　　　 　　的解.  12 2.一次函数与不等式的关系 (1)直线y=kx+b在x轴上方的点的横坐标就是不等式____________的解集；  (2)直线y=kx+b在x轴下方的点的横坐标就是不等式____________的解集；  　kx+b>0　 　kx+b<0　 13 (3)直线l1：y1=k1x+b1，l2：y2=k2x+b2的图象在平面直角坐标系的位置与函数值之间的关系：如图，当直线l1在直线l2上方时，y1>y2；当直线l1在直线l2下方时，y1<y2. 14 命题点1 一次函数的图象与性质6年3考　 例1 【一题串考点·原创题】已知函数y=(3a-1)x+2a+3(a≠). (1)若 y是关于x的正比例函数，则a的值为　　；  (2)若该函数的值y随着自变量x的增大而增大，则a的取值范围为　　；  (3)当a<时，若(-3，y1)，(-1，y2)，(2，y3)都是该函数图象上的点， 则y1，y2， y3的大小关系为　　　　　　；(用“>”表示)  - a> y1>y2>y3 15 (4)当a=1时，该函数图象与x轴的交点坐标为　　　　，与y轴的交点 坐标为　　　　，关于x的方程(3a-1)x+2a+3=0的解为　　　　；  (5)若该函数图象与y轴的交点为(0，-3)，则a的值为　　　　，此时 图象不经过第　　　象限；  (6)若该函数经过第一、二、四象限，则a的取值范围为　 　　　；  (7)当-1≤x≤5时，y=(3a-1)x+2a+3的最大值为6，则a的值为　　　　　.  (-，0)　 (0，5)　 x=- -3 一 -<a< -2或 16 【解题启发】什么是正比例函数？一次函数图象与坐标轴的交点坐标怎么求？怎么判断一次函数的增减性？一次项系数与函数图象的倾斜度和方向有什么关系？ 17 练1 (2024·潍坊)请写出同时满足以下两个条件的一个函数： 　　　　 　.  ①y随着x的增大而减小； ②函数图象与y轴正半轴相交. 练2 甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下： 甲：函数的图象经过点(0，1)； 乙：y随x的增大而减小； 丙：函数的图象不经过第三象限. 根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 　　　 　.  y=-x+2(答案不唯一)　 y=-x+1(答案不唯一) 18 命题点2 确定一次函数的表达式6年0考　 例2 (2022·铜仁)在平面直角坐标系内有三点A(-1，4)，B(-3，2)，C(0，6). (1)求过其中两点的直线的函数表达式(选一种情形作答)； (2)判断A，B，C三点是否在同一直线上，并说明理由. 【解题启发】怎么利用待定系数法求表达式？ 19 【规范解答】 解：(1)设A(-1，4)，B(-3，2)两点所在直线的表达式为y=kx+b，∴解得 ∴直线AB的表达式为y=x+5.(答案不唯一) (2)当x=0时，y=0+5≠6， ∴点C(0，6)不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一条直线上. 20 练3 (2024·山西)生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾 长x(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为(　　) 尾长x(cm) 6 8 10 体长y(cm) 45.5 60.5 75.5 A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5 C.y=15x D.y=15x+45.5 A 21 练4 (改编题)如图，直线y=x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A'，经过点A'和y轴上的点B(0，2)的直线的函数表达式设为y=kx+b. (1)求点A'的坐标； (2)确定直线A'B对应的函数表达式. 22 解：(1)令y=0，则x+1=0， ∴x=-2，∴A(-2，0). ∵点A关于y轴的对称点为A'，∴A'(2，0). (2)将A'(2，0)，B(0，2)两点分别代入y=kx+b得 解得 ∴直线A'B对应的函数表达式为y=-x+2. 23 命题点3 一次函数与方程(组)、不等式的关系 6年0考 例3(2023·德州)已知直线y=3x+a与直线 y=-2x+b交于点P，若点P的横坐标 为-5，则关于x的不等式3x+a<-2x+b的解集为(　　) A.x<-5 B.x<3 C.x>-2 D.x>-5 【解题启发】两直线图象与不等式有什么联系？ A 24 练5 如图，直线y=x+b和 y=kx+4与x轴分别相交于点A(-4，0)、 点B(2，0)，则的解集为(　　) A.-4<x<2 B.x<-4 C.x>2 D.x<-4或x>2 A 25 练6 (2024·扬州)如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x轴、y轴交 于A，B两点.若OA=2，OB=1，则关于x的方程kx+b=0的解为　　　　.  x=-2　 26 命题点4 一次函数的实际应用6年0考　 考法❶　文字问题 例4 某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹(tái)共100吨.第一批蒜薹价格为 4 000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1 000元/吨.这两批蒜薹共 用去16万元. (1)求两批次购进蒜薹各多少吨； (2)公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1 000元.要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍.为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？ 27 【解题启发】 (1)你能列出什么方程？ (2)求最大利润实际上求的是函数的最大值，最大值怎么求？ 28 【规范解答】 解：(1)设第一批购进蒜薹x吨，第二批购进蒜薹y吨. 由题意得 解得 答：第一批购进20吨，第二批购进80吨. (2)设蒜薹精加工m吨，总利润为w元，则粗加工(100-m)吨. 由题意得m≤3(100-m)，解得m≤75. 利润w=1 000m+400(100-m)=600m+40 000. ∵w随m的增大而增大， ∴当m=75，即精加工75吨时，w取最大值，最大利润为 85 000 元. 29 考法❷　表格问题 例5 秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张.每天需从社区外调运饮用水120吨.有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂每天最多可调出80吨，乙厂每天最多可调出90吨.从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程和运费如表： 厂家 到凤凰社区供水 点的路程(千米) 运费 (元/吨·千米) 甲厂 20 12 乙厂 14 15 30 (1)若某天调运水的总运费为26 700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？ (2)设从甲厂调运饮用水x吨，总运费为w元.试写出w关于x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？ 【解题启发】 (1)从表格中得到的信息，能列出什么方程？ (2)总运费与饮用水之间的数量关系是什么？ 31 【规范解答】 解：(1)设从甲厂调运了a吨饮用水，从乙厂调运了b吨饮用水. 由题意得 解得 ∵50<80，70<90，∴符合条件， ∴从甲、乙两水厂各调运了50吨、70吨饮用水. 32 (2)从甲厂调运饮用水x吨，则需从乙厂调运饮用水(120-x)吨. ∵x≤80，且120-x≤90， ∴30≤x≤80， ∴总运费w=20×12x+14×15(120-x)=30x+25 200. ∵w随x的增大而增大， ∴当x=30时，w最小，w最小=26 100元， ∴每天从甲厂调运30吨，从乙厂调运90吨，每天的总运费最省. 33 考法❸　图象问题 例6 (2024·潍坊模拟)小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练， 4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公 园后立即以原来速度折返回到家中，两人离家的距离y(单位：米)与出发 时间x(单位：分钟)的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间 隔为　　　　.  3分钟　 34 【解题启发】你能否区分小王与爸爸各自离家的距离与出发时间的函数图象？ 35 练7 (2023·济南)学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步 行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进. 如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s(km)和时间t(h)的关系， 则出发　　　　h后两人相遇.  0.35　 36 练8 (2024·威海)同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间.甲、 乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变，乙车中 途休息一段时间，继续行驶.如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间 x(h)的函数关系.下列结论正确的是(　　) A.甲车行驶 h与乙车相遇 B.A，C两地相距220 km C.甲车的速度是70 km/h D.乙车中途休息36 min A 37 建议用时：15分钟 1.一次函数y=(2m-1)x+2的函数值y随x的增大而增大，则点P(-m，m) 所在的象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 38 2.将直线y=2x+1向上平移2个单位长度，相当于(　　) A.向左平移2个单位长度 B.向左平移1个单位长度 C.向右平移2个单位长度 D.向右平移1个单位长度 B 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 39 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+a2与y=a2x+a的图象可能 是(　　) D 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 40 4.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=ax(a≠0)的图象相交于点M(1，2)，下列判断错误的是(　　) A.关于x的方程ax=kx+b的解是x=1 B.关于x的不等式ax≥kx+b的解集是x>1 C.当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=ax的值大 D.关于x，y的方程组的解是 B 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 41 5.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象 分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是(　　) A.k1k2<0 B.k1+k2<0 C.b1-b2<0 D.b1b2<0 D 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 42 6.已知一次函数y=kx-k的图象过点(-1，4)，则下列结论正确的是(　　) A.k=2 B.y随x增大而增大 C.图象不经过第一象限 D.函数的图象一定经过点(1，0) D 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 43 7.(多选题)(2022·潍坊二模)张华、李颖两人沿同一条笔直的公路相向而行，张华 从甲地前往乙地，李颖从乙地前往甲地.张华先出发3 min后李颖才出发，当张华 行驶到6 min时发现重要物品忘带，立刻以原来速度的掉头返回甲地.拿到物品后 以提速后的速度继续前往乙地，二人相距的路程y(m)与张华出发的时间x(min)之 间的关系如图所示，下列说法正确的是(　　 ) A.李颖的速度是张华提速前速度的 B.李颖的速度为240 m/min C.两人第一次相遇的时间是 min D.张华最终达到乙地的时间是 min ABC　 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 44 8.若一次函数y=kx-2的函数值y随着自变量x值的增大而增大， 则k=　　　 　.(写出一个满足条件的值)  2(答案不唯一)　 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 45 9.(2024·临沂沂水二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(2，m)在直线y=2x-上，过点A的直线交y轴于点B(0，3). (1)求m的值和直线AB的函数表达式； (2)若点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t-1，y2) 在直线y=2x-上，求y1-y2的最大值. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 46 解：(1)把点A(2，m)代入y=2x-得m=. 设直线AB的函数表达式为y=kx+b.将点A(2，)， B(0，3)分别代入得解得 ∴直线AB的函数表达式为y=-x+3. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 47 (2)∵点P(t，y1)在线段AB上， 点Q(t-1，y2)在直线y=2x-上， ∴y1=-t+3(0≤t≤2)， y2=2(t-1)-=2t-， ∴y1-y2=-t+3-(2t-)=-t+. ∵-<0， ∴y1-y2的值随t的增大而减小， ∴当t=0时，y1-y2取最大值，最大值为. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 48 10.(2024·广安)某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元. (1)求A，B两种花卉的单价； (2)该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10 000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 49 解：(1)设A种花卉的单价为x元，B种花卉的单价为y元. 由题意得解得 答：A种花卉的单价为3元，B种花卉的单价为5元. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 50 (2)设采购A种花卉m株，则采购B种花卉(10 000-m) 株，总费用为W元. 由题意得W=3m+5(10 000-m)=-2m+50 000. ∵m≤4(10 000-m)，∴m≤8 000. 在W=-2m+50 000中， ∵-2<0，∴W随m的增大而减小， ∴当 m=8 000时，W的值最小， W=-2×8 000+50 000=34 000， 此时10 000-m=2 000. 答：当A种花卉采购8 000株，B种花卉采购2 000株时，总费用最少，最少总费用为34 000元. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 51 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 52 $$