09第三章 第一节 平面直角坐标系与函数初步-【智乐星中考·中考备战】2025年数学讲练本（潍坊专版）

1 2 第三章　函　数 第一节　平面直角坐标系与函数初步 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 难点分层探究 4 知识点1 平面直角坐标系 1.定义：在平面内，两条互相________且有____________的数轴组成平面 直角坐标系.其中，水平的数轴叫作x轴或横轴，铅直的数轴叫作y轴或 纵轴.  2.有序实数对：平面直角坐标系中的点和有序实数对是________对应的. 经过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别 叫作点P的横坐标、纵坐标.有序实数对(a，b)叫作点P的坐标.  垂直　 公共原点　 一一　 5 3.各象限内点的坐标特征 (1)若点P(a，b)在第一象限，则a>0，b>0； (2)若点P(a，b)在第二象限，则a_______0，b_______0；  (3)若点P(a，b)在第三象限，则a_______0，b_______0；  (4)若点P(a，b)在第四象限，则a_______0，b_______0.  　<　 　>　 　<　 　<　 　>　 　<　 6 4.与坐标轴有关的点的坐标特征 (1)若点P(a，b)在x轴上，则b=0； (2)若点P(a，b)在y轴上，则a=0； (3)若点P(a，b)是原点，则a=0且b=0； (4)若多个点在平行于x轴的直线上，则________相同，__________不同；  (5)若多个点在平行于y轴的直线上，则________相同，__________不同.  (6)点P在第一、三象限的夹角平分线上，则横、纵坐标相等，即x=y. (7)点P在第二、四象限的夹角平分线上，则横、纵坐标互为相反数， 即x=-y. 纵坐标 横坐标　 横坐标 纵坐标　 7 5.对称点的坐标特征 (1)点P(a，b)关于x轴的对称点P1的坐标为____________；  (2)点P(a，b)关于y轴的对称点P2的坐标为____________；  (3)点P(a，b)关于原点的对称点P3的坐标为____________；  (4)点P(a，b)关于直线y=x的对称点P4的坐标为___________；  (5)点P(a，b)关于直线y=-x的对称点P5的坐标为____________；  (6)点P(a，b)关于直线x=m对称的点P6的坐标为____________；  (7)点P(a，b)关于直线y=m对称的点P7的坐标为____________.  　(a，-b)　 　(-a，b)　 　(-a，-b)　 　(b，a)　 　(-b，-a)　 (2m-a，b)　 (a，2m-b)　 8 6.坐标与距离 (1)P(a，b)到x轴的距离为________，到y轴的距离为_______，到原点的 距离为____________.  (2)平行于x轴的直线上两点P(x1，y1)，Q(x2，y1)(x1<x2)之间的距离为_______； 平行于y轴的直线上两点P(x1，y1)，Q(x1，y2)(y1<y2)之间的距离为________.  7.平面内两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ中点G的坐标为()， P，Q两点间距离PQ=. 　|b|　 　|a|　  　 x2-x1　 y2-y1　 9 8.点平移的坐标特征 (1)点P(a，b) 点P'_________； (2)点P(a，b) 点P'__________； (3)点P(a，b) 点P'_________； (4)点P(a，b) 点P'_________. 简记：左减右加，上加下减. (a-m，b) (a+m，b) (a，b+n) (a，b-n) 10 知识点2 函数及其相关概念 1.常量与变量：在变化过程中数值始终不变的量叫作常量，数值变化的 量叫作变量. 2.函数：一般地，如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变 量x的每一个值，变量y都有　　 　的值与它对应，那么我们就称y是x 的函数，其中x是自变量，y是因变量.  唯一 11 3.自变量取值范围的确定 函数表达式的形式 自变量的取值范围 整式型 全体实数 分式型y= 使分母不为0的全体实数，即B≠0 二次根式型y= 使被开方数大于或等于0的实数，即A≥0 零次幂或负整数次幂型 底数不为0 12 分式与二次根式结合型 y= B≠0且A≥0 y= B>0 注：(1)在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义. (2)兼其中两种或两种以上情况时，分别求出各自的取值范围，再求公共部分 13 4.函数的三种常见表示方法：列表法、关系式法、图象法，这三种方法有时可以互相转化. 5.函数的图象 (1)把一个函数的自变量x与对应的因变量y分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象； (2)画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线. 14 6.分析函数图象的基本要点 (1)分清函数图象的横、纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围. (2)找转折点、交点(与坐标轴的交点或两条线的交点)等特殊点，并弄清该点的含义. (3)判断不同段函数图象的增减性，注意平行于横轴的线的纵轴值是一个常数. 15 命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征6年0考 考法❶　探索点的坐标特征 例1 【一题串考点·原创题】已知P(m，2m-3)是平面直角坐标系内的 一点，试分别根据下列条件，直接求出点P的坐标. (1)若点P在y轴上，则点P的坐标为　　　 　；  (2)若点P在x轴上，则点P的坐标为　　　 　；  (3)若点P在第四象限内，则m的取值范围是　　 　　；  (0，-3)　 (，0)　 0<m< 16 (4)若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为　　　　　；  (5)若点P在第一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为　　　　；  (6)若m=2，则点P关于y轴的对称点为　　　　，关于x轴的对称点为 　　　　　，关于原点的对称点为　　　　；  (7)若m=-2，将点P向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度对应的 点的坐标为　　　　.  【解题启发】平面直角坐标系中点的坐标特征都有什么特点？ (1，-1)　 (3，3)　 (-2，1) (2，-1) (-2，-1) (0，-5) 17 【方法指导】 求对称点的技巧 (1)对于坐标轴，关于谁对称谁不变，另一个取相反数； (2)关于原点对称，横、纵坐标互为相反数； (3)关于直线y=x对称，横、纵坐标互换； (4)关于直线y=-x对称，横、纵坐标互换且分别互为相反数. 18 考法❷　计算点之间的距离 例2 【一题串考点·原创题】已知，点P(2，3). (1)点P到x轴的距离是　　　；到y轴的距离是　　　；到原点的距离 是　　　　；  (2)若点P和点Q所在直线与x轴平行，且PQ=3，则点Q的坐标是　 　　　.  (3)若点P和点M所在直线与y轴平行，且PM=5，则点M的坐标是　　 　　.  (4)若点H(3，6)，则PH的长为　　　　.若点Q为线段PH的中点，则点Q的 坐标为　　 　　.  【解题启发】直线与x轴或y轴平行，说明了什么？两点间的距离怎么求？ 3 2 (-1，3)或(5，3)　 (2，8)或(2，-2)　 () 19 练1 (2024·潍坊一模)我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角 坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB与x轴平行，对角线交点是坐 标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴 上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为(　　)  A.(2，-1) B.(2，) C.(2，2-) D.(+1，1) A 20 命题点2 函数自变量的取值范围6年0考　 例3 函数y=的自变量x的取值范围是(　　) A.x≠5 B.x>2且x≠5 C.x≥2 D.x≥2且x≠5 【解题启发】求自变量的取值范围时需要注意什么？ D 21 练2 函数y=的自变量x的取值范围是(　　) A.x≠3 B.x≥3 C.x≥-1且x≠3 D.x≥-1 练3 要使代数式有意义，则x的取值范围为　　　　.  C x>4 22 命题点3 函数图象的分析与判断6年4考　 例4 (2022·潍坊)地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的 伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同.观察图中数据， 你发现(　　) A.海拔越高，大气压越大 B.图中曲线是反比例函数的图象 C.海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D.图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 【解题启发】你能从图象中得到哪些信息？ D 23 练4 (2024· 河南)【跨学科·物理】把多个用电器连接在同一个插线板上， 同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学 兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电 流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量 Q与I的函数图象(如图2).下列结论中错误的是(　　) A.当P=440 W时，I=2 A B.Q随I的增大而增大 C.I每增加1 A，Q的增加量相同 D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 C 24 练5 (多选题)甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20 m高的楼顶起飞， 两架无人机同时匀速上升10 s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的关系如图所示.下列说法正 确的是(　 　) A.5 s时，两架无人机都上升了40 m B.10 s时，两架无人机的高度差为20 m C.乙无人机上升的速度为4 m/s D.10 s时，甲无人机距离地面的高度是60 m BC　 25 命题点4 平面直角坐标系中点的规律 6年1考 例5 在直角坐标系中，点A1从原点O出发，沿如图所示的方向运动，到达位 置的坐标依次为A2(1，0)，A3(1，1)，A4(-1，1)，A5(-1，-1)，A6(2，-1)， A7(2，2)，…若到达终点An(506，-505)，则n的值为　　　　.  【解题启发】你能发现点A的坐标有什么规律吗？ 2 022　 26 练6 (2024·山东)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶 数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循 环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中，将点(x，y) 中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中 x，y均为正整数.例如，点(6，3)经过第1次运算得到点(3，10)，经过第2次 运算得到点(10，5)，以此类推，则点(1，4)经过2 024次运算后得到点 　　　 　.  (2，1)　 27 命题点5 动点问题的函数图象6年1考　 考法❶　判断动点函数图象 【核心母题1】(2022·潍坊)如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2， AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和 A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段 EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关 系的图象是(　　) 28 【解题启发】线段EF扫过的区域，是怎么随着点E，F的运动变化的？ 29 【解题模板】 函数图象的分析与判断 找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在对应的图象中对应点； 分析动点：分析动点在不同线段上时，函数值随自变量的变化情况，并判断函数图象是向上、向下还是水平线(表示函数值不变)； 找特殊点：找交点或拐点，既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，说明图象中具体的对象在此处的某一数据相同或在此处将发生变化； 判断图象趋势：列出函数表达式，判断函数的增减性、图象等. 30 【变式1】双动点，判断图象 (2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，BD是 边AC上的高.点E，F分别在边AB，BC上(不与端点重合)，且DE⊥DF. 设AE=x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为(　　) A 31 【变式2】动图，判断函数图象 (2024·烟台)如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，菱形EFGH的 顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=2 cm，∠E=60°.现将 菱形EFGH以1 cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这 个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之 间的函数关系图象大致是(　　) D 32 考法❷　由动点函数图象解决问题 【核心母题2】 (2024·济南)如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2，动点P以 每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC→CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP. 设点P的运动时间为t(s)，DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所 示.有以下四个结论：①AB=3；②当t=5时，y=1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC→CA匀速运动时，两个时刻t1，t2(t1<t2)分别对应y1和y2，若t1+t2=6，则y1>y2.其中正确 结论的序号是(　　) A.①②③ B.①② C.③④ D.①②④ 【解题启发】根据几何图形和函数图象 你能获得什么信息？ 图1　　　　　　　　图2 D 33 【变式1】动点在三角形上运动，分析图象 (2023·烟台)如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA 匀速运动至点A后停止.设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是 y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的 高CG的长为　　　　.  　 34 【变式2】动点在四边形上运动，分析图象 (2023·大庆)如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，已知点P在 边AB上，以1 m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以 m/s的 速度从点B向点C运动.若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好 到达点C处，此时两点都停止运动.图2是△BPQ的面积y(m2)与点P的运动 时间t(s)之间的函数关系图象(点M为图象的最高点)，则平行四边形ABCD 的面积为(　　) A.12 m2 B.12 m2 C.24 m2 D.24 m2 C 35 建议用时：10分钟 1.(2024·滨州)若点P(1-2a，a)在第二象限，那么a的取值范围是(　　) A.a> B.a< C.0<a< D.0≤a< A 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 36 2.大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着 水，沉思一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦 喝到了水.从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x，水位高度变 量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是(　　) D 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 37 3.(多选题)甲、乙二人相约去科技创新大厦.如图表示的是他们在行走的过 程中，离单位的距离y(单位：米)和行走的时间x(单位：分)间的关系.下列 说法正确的是(　　 ) A.甲、乙二人第一次相遇，停留了10分钟 B.甲先到达目的地 C.甲停留10分钟之后提高了行走速度 D.甲行走的平均速度比乙行走的平均速度快 ABD 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 38 4.如图，菱形ABCD的边长是4 cm，∠B=60°，动点P以1 cm/s的速度自 点A出发沿AB方向运动至点B停止，动点Q以2 cm/s的速度自点B出发沿 折线BCD运动至点D停止.若点P，Q同时出发运动了t s，记△BPQ的面积 为S cm2，则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是(　　) D 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 39 5.(多选题)如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10 cm，点P、点Q同 时从点B出发，点P以2 cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发 t s时，△BPQ的面积为y cm2.已知y与t的函数关系的图象如图2(曲线OM和 MN均为抛物线的一部分)，给出以下结论：①AC=6 cm；②曲线MN的表 达式为y=-t2+t(4≤t≤7)；③线段PQ的长度的最大值为 cm；④若 △PQC与△ABC相似，则t= s，其中正确的说法是(　 　) A.① B.② C.③ D.④ ABD 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 40 6.(2024·牡丹江)函数y=中，自变量x的取值范围是　　 　 　.  7.(2024·东营河口模拟)第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离 是5，则点P的坐标是　　　　.  x≥-3且x≠0　 (5，-3)　 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 41 8.(2024·聊城茌平一模)如图，在平面直角坐标系中，若干个横、纵坐标 都是整数的点，其顺序为(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)， (2，2)，…，根据这个规律，第2 024个点的坐标为　　　 　.  (45，1)　 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 42 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 43 $$