09第三章 第一节 平面直角坐标系与函数初步-【智乐星中考·中考备战】2025年山东省济宁市中考数学精讲本

1 第一节　平面直角坐标系与函数初步 第一、二章 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 难点分层探究 3 知识点1 平面直角坐标系 1.定义：在平面内画两条互相_____、　 的数轴，组成平面直角坐 标系.水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴.  2.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫作有序数对.平面直角 坐标系中的点和有序数对是　 　对应的.经一点P分别向x轴、y轴作垂 线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫作点P的横坐标和纵坐标. 有序数对(a，b)叫作点P的坐标.  垂直　 原点重合　 一一 4 3.各象限内点的坐标特征 (1)第一象限：a>0，b>0. (2)第二象限：a　 　0，b　 　0.  (3)第三象限：a　 　0，b　 　0.  (4)第四象限：a　 　0，b　 　0.  < > < < > < 5 4.与坐标轴有关的点的坐标特征 (1)在x轴上：b=0. (2)在y轴上：a=0. (3)是原点：a=0且b=0. (4)若多个点在平行于x轴的直线上，则　 　相同，　 　不同.  (5)若多个点在平行于y轴的直线上，则　 　相同，　 　不同.  (6)点P在第一、三象限的夹角平分线上，则横、纵坐标相等，即x=y. (7)点P在第二、四象限的夹角平分线上，则横、纵坐标互为相反数， 即x=-y. 纵坐标　 横坐标　 横坐标　 纵坐标 6 5.对称点的坐标特征 (1)点P(a，b)关于x轴对称的点P1的坐标为　 　　 .  (2)点P(a，b)关于y轴对称的点P2的坐标为　 　　 .  (3)点P(a，b)关于原点对称的点P3的坐标为　 　　 .  (4)点P(a，b)关于直线y=x对称的点P4的坐标为　 　　 .  (5)点P(a，b)关于直线y=-x对称的点P5的坐标为　 　　   (6)点P(a，b)关于直线x=m对称的点P6的坐标为　 　　 .  (7)点P(a，b)关于直线y=m对称的点P7的坐标为　 　　 .  (a，-b)　 (-a，b)　 (-a，-b)　 (b，a)　 (-b，-a) (2m-a，b)　 (a，2m-b) 7 6.坐标系中点之间的距离 (1)点P(a，b)到x轴的距离为　 　;到 y轴的距离为　 　.  (2)点P(a，b)到原点的距离为　 .  (3)平行于x轴的直线上两点P(x1，y1)，Q(x2，y1)(x1<x2)之间的距离为　 　; 平行于y轴的直线上两点P(x1，y1)，Q(x1，y2)(y1<y2)之间的距离为　 　.  (4)平面内两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ中点G的坐标为()， P，Q两点间距离PQ=. |b| |a| x2-x1　 y2-y1 8 7.点的平移 (1)点P(a，b)沿水平向右方向平移m(m>0)个单位长度后坐标为(a+m，b);点P(a，b)沿水平向左方向平移m(m>0)个单位长度后坐标为(a-m，b). (2)点P(a，b)沿竖直方向向上平移n(n>0)个单位长度后坐标为(a，b+n);点P(a，b)沿竖直方向向下平移n(n>0)个单位长度后坐标为(a，b-n). 9 知识点2 函数及其相关概念 1.常量与变量：数值发生变化的量叫作变量，数值始终不变的量叫作常量. 2.函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 10 3.自变量取值范围的确定 函数解析式的形式 自变量的取值范围 整式型 全体实数 分式型y= 使分母不为0的全体实数，即B≠0 二次根式型y= 使被开方数大于或等于0的实数，即A≥0 零次幂或负整数次幂型 底数不为0 11 分式与二次根式结合型 y= B≠0且A≥0 y= B>0 注：(1)在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义. (2)兼其中两种或两种以上情况时，分别求出各自的取值范围，再求公共部分 12 4.函数的三种常见表示方法：关系式法、列表法、图象法，这三种方法有时可以互相转化. 5.函数的图象 (1)把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象. (2)画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线. 13 6.分析函数图象的基本要点 (1)分清函数图象的横、纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围. (2)找转折点、交点(与坐标轴的交点或两条线的交点)等特殊点，并弄清楚该点的含义. (3)判断不同段函数图象的增减性，注意平行于横轴的线的纵坐标是一个常数. 14 命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征 7地2考 考法❶　探索点的坐标特征 例1 【一题串考点 原创题】 已知P(m，2m-3)是平面直角坐标系内 的一点，试分别根据下列条件，直接求出点P的坐标. (1)若点P在y轴上，则点P的坐标为________;  (2)若点P在x轴上，则点P的坐标为________;  (3)若点P在第四象限内，则m的取值范围是________;  (4)若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为________;  (0，-3)　 (，0)　 0<m< (1，-1)　 15 (5)若点P在第一、三象限角平分线所在的直线上，则点P的坐标为________;  (6)若m=2，则点P关于y轴的对称点为________，关于x轴的对称点为________，关于原点的对称点为________;  (7)若m=-2，将点P向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到对应点的坐标为________.  【解题启发】 平面直角坐标系中点的坐标特征都有什么特点？ (3，3)　 (-2，1) (2，-1) (-2，-1)　 (0，-5) 16 【方法指导】 求对称点的技巧 (1)对于坐标轴，关于谁对称谁不变，另一个取相反数; (2)关于原点对称，横、纵坐标互为相反数; (3)关于直线y=x对称，横、纵坐标互换; (4)关于直线y=-x对称，横、纵坐标互换且分别互为相反数. 17 考法❷　计算点的距离 例2 【一题串考点 原创题】 已知，点P(2，3). (1)点P到x轴的距离是___;到y轴的距离是___;到原点的距离是______.  (2)若点P和点Q所在直线与x轴平行，且PQ=3，则点Q的坐标是 ________________.  (3)若点P和点M所在直线与y轴平行，且PM=5，则点M的坐标是 _________________.  (4)若点H(3，6)，则PH的长为_______;若点Q为线段PH的中点，则点Q 的坐标为________.  【解题启发】 直线与x轴或y轴平行，说明了什么？两点间的距离怎么求？ 3 2 (-1，3)或(5，3) (2，8)或(2，-2)　 () 18 (-1，3)或(5，3) 命题点2 函数自变量的取值范围 7地1考　 例3 (2023·广安)函数y=中，自变量x的取值范围是___________.  【解题启发】 分母中含自变量x，分子中含二次根式，需要注意什么问题？ x≥-2且x≠1　 19 【易错警示】 与二次根式有关的函数自变量 　　当二次根式在分子位置时，需要满足被开方数(式)是非负数;当二次根式在分母位置时，需要满足被开方数(式)是正数，这是最容易出错的地方. 20 练1 (2024·滨州)若函数y=的解析式在实数范围内有意义，则自 变量x的取值范围是________.  练2 (2024·济宁三模)函数y=中，自变量x的取值范围是________.  练3 (2024·齐齐哈尔)在函数y=+中，自变量x的取值范围是 ________________.  x≠1　 x≥2 x>-3且x≠-2　 21 命题点3 函数图象的分析与判断 7地0考　 例4(2023·滨州) 【跨学科·化学】由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性 的强弱程度，当pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性.若将给定的 NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH 与所加水的体积V之间对应关系的是(　　) 【解题启发】 pH的值与所加水的体积有什么关系？ B 22 练4 (2024· 河南) 【跨学科·物理】把多个用电器连接在同一个插线板上， 同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学 兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电 流I与用电器的总功率P的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q 与I的函数图象(如图2).下列结论中错误的是(　　) A.当P=440 W时，I=2 A B.Q随I的增大而增大 C.I每增加1 A，Q的增加量相同 D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 C 23 练5 (2024· 青海) 【跨学科·化学】 化学实验小组查阅资料了解到：某种 絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的. 实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正 确的是(　　) A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B.未加入絮凝剂时，净水率为0 C.絮凝剂的体积每增加0.1 mL， 净水率的增加量相等 D.加入絮凝剂的体积是0.2 mL时， 净水率达到76.54% D 24 命题点4 平面直角坐标系中点的规律 7地2考 例5 (2024·山东)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是 偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必 进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中， 将点(x，y)中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、 纵坐标，其中x，y均为正整数.例如，点(6，3)经过第1次运算得到点(3， 10)，经过第2次运算得到点(10，5)，以此类推，则点(1，4)经过2 024次 运算后得到点________.  【解题启发】 经过第一次运算后点的坐标是________;经过第二次运算后点的坐标是________;…多次运算后发现什么规律？  (2，1)　 25 【解题通法】 　　探究点的坐标变化规律，关键是分析出“变”的规律，即点的横、纵坐标与序数之间存在的关系.解题步骤一般为①求第一个点的横、纵坐标;②求第二、三、四个点的横、纵坐标;③观察横、纵坐标的变化，找到规律;④得出规律，解决问题. 26 练6 (2023·日照)数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”.据 传，他在计算1+2+3+4+…+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得 到1+2+3+4+…+100=.人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+…+n= (n是正整数).有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai(xi，yi)，其 中i=1，2，3，…，n，…且xi，yi是整数.记an=xn+yn，如A1(0，0)，即a1=0，A2(1，0)， 即a2=1，A3(1，-1)，即a3=0，…以此类推，则下列结论正确的是(　　) A.a2 023=40 B.a2 024=43 C.=2n-6 D.=2n-4 B 27 练7 (2024·东营)如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y=x，点 A1的坐标为(，0)，以点O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B1，过点 B1作直线l的垂线交x轴于点A2;以点O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于点 B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3;以点O为圆心，OA3为半径画弧，交 直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4;……按照这样的规律进行 下去，点A2 024的横坐标是________.  21 012　 28 考法❶　判断动点函数图象 【核心母题1】(2022·潍坊)如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在 ▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和 A→D→C 的方向以每秒1个单位 长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x， 能大致反映 y与x之间函数关系的图象是(　　) 【解题启发】 线段EF扫过的区域是怎么随着点E，F的运动变化的？ A 29 【解题模板】 函数图象的分析与判断 找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在对应的图象中对应点; 分析动点：分析动点在不同线段上时，函数值随自变量的变化情况，并判断函数图象是向上、向下还是水平线(表示函数值不变); 找特殊点：找交点或拐点，既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，说明图象中具体的对象在此处的某一数据相同或在此处将发生变化; 判断图象趋势：列出函数解析式，判断函数的增减性、图象等. 30 变式1 双动点，判断图象 (2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，BD是边AC上的高. 点E，F分别在边AB，BC上(不与端点重合)，且DE⊥DF.设AE=x，四边形DEBF的面 积为y，则y关于x的函数图象为(　　) A 31 变式2 动图，判断函数图象 (2024·烟台)如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，菱形EFGH的顶 点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=2 cm，∠E=60°.现将菱形 EFGH以1 cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这个运动过 程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系 图象大致是(　　) D 32 考法❷　由动点函数图象解决问题 【核心母题2】 (2024·济南)如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2，动 点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达点A后停止， 连接DP.设点P的运动时间为t(s)，DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数 图象如图2所示.有以下四个结论：①AB=3;②当t=5时，y=1;③当4≤t≤6时，1≤y≤3;④动 点P沿BC-CA匀速运动时，两个时刻t1，t2(t1<t2)分别对应y1和y2.若t1+t2=6，则y1>y2.其 中正确结论的序号是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.①②③ B.①② C.③④ D.①②④ 【解题启发】 根据几何图形和函数 图象你能获得什么信息？ D 33 【解题模板】 (1)看图：注意函数图象横、纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等; (2)看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况; (3)结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值; (4)计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解. 34 变式1 动点在三角形上运动，分析图象 (2023·烟台)如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速 运动至点A后停止.设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的 函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长 为________.  35 变式2 动点在四边形上运动，分析图象 (2023·大庆)如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，已知点P在边AB上， 以1 m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以 m/s的速度从点B向点C运动. 若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动. 图2是△BPQ的面积y(m2)与点P的运动时间t(s)之间的函数关系图象(点M为图象的最 高点)，则平行四边形ABCD的面积为(　　) A.12 m2 B.12 m2 C.24 m2 D.24 m2 C 36 建议用时：10分钟 1.(2024·滨州)若点P(1-2a，a)在第二象限，那么a的取值范围是(　　) A.a> B.a< C.0<a< D.0≤a< A 1 3 5 题序 2 4 6 37 2.(2023·武威)如图1，正方形ABCD的边长为4，点E为CD边的中点.动点P从 点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x， 线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为(　　)　　　　　 A.(4，2) B.(4，4) C.(4，2) D.(4，5) C 1 3 5 题序 2 4 6 38 3.(2023·绥化)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点M，N同时从点A 出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动;点N以每秒1个单位长 度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动. 设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关 系的图象是(　　) A 1 3 5 题序 2 4 6 39 4.(2024·牡丹江)函数y=中，自变量x的取值范围是_____________.  5.(2024·东营河口模拟)第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的 距离是5，则点P的坐标是________.  x≥-3且x≠0　 (5，-3)　 1 3 5 题序 2 4 6 40 6.(2024·聊城茌平一模)如图，在平面直角坐标系中，若干个横、纵坐标都是 整数的点，其顺序为(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…， 根据这个规律，第2 024个点的坐标为________.  (45，1)　 1 3 5 题序 2 4 6 41 $$