06第二章 第二节 一元二次方程及其应用-【智乐星中考·中考备战】2025年数学讲练本（潍坊专版）

1 2 第二节　一元二次方程及其应用 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程：含有________个未知数，且未知数的最高次数为_______ 的__________方程.  2.一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0).其中ax2，bx，c分别称为 二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数. 3.一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边__________的未知数 的值叫作一元二次方程的解(根).  　一　 　2　 　整式　 　相等　 5 知识点2 一元二次方程的解法 直接开 平方法 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，两边开平方转化为两个一元一次方程求解 配方法 把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方化成(x+m)2=n(n≥0)的形式，再直接开平方 公式法 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，利用求根公式x=求解 因式分 解法 一元二次方程的一边为0，另一边易分解成两个一次因式的乘积，即可化为a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的形式 6 知识点3 一元二次方程根的判别式 b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.判别式与0的 关系决定了方程根的情况，即 (1)Δ>0⇔方程有两个____________的实数根；  (2)Δ=0⇔方程有两个__________的实数根；  (3)Δ<0⇔方程__________实数根；  (4)Δ≥0⇔有实根. 　不相等　 　相等　 　没有　 7 知识点4 一元二次方程根与系数的关系 1.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2， 则x1+x2=　　　，x1x2=　　　.  - 8 【易错警示】 口诀记忆 遇两根，想三个前提，一般形式是其一，a不为0是其二，第三要想Δ. 2.根与系数关系常见的恒等变形： +=(x1+x2)2-2x1x2；+=；|x1-x2|=.　 9 知识点5 一元二次方程的应用 应用题中常见的等量关系 (1)增长率等量关系：增长率=增长量÷基础量×100%； 一般类型：设原来量为a，平均增长(下降)率为x，则一次增长(下降) 后的值为__________，两次增长(下降)后的值为___________.  　a(1±x) 　a(1±x)2 10 (2)利润等量关系：利润=售价-成本(进价)，利润率=×100%. 一般类型：设原售价每件m元，销售量n件，售价每提高(降低)a元，销售量减少(增加)b件，若提高(降价)x元，则销售量减少(增加)件，则售价=(m±x)元；销售量=(n∓)件；利润=(m±x-进价)(n∓)元；利润率=×100%. 11 (3)利息等量关系：利息=本金×利率×期数， 本息和=本金+利息. (4)行程等量关系：路程=速度×时间. (5)循环问题：①单循环问题(比赛、握手)：设x个队进行m场比赛，每两个队进行1场比赛，则m=(x≥2). ②双循环问题(送礼物)：设全班x人，每人向其他人赠送一张照片，共赠送m张照片，则m=x(x-1)(x≥2). 12 (6)面积问题：如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影=　　 　 　　 ；  如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白=　　　　　　；  如图3，设阴影部分的宽为x，则S空白=　　　　　　.  (a-2x)(b-2x)　 (a-x)(b-x)　 (a-x)(b-x) 13 命题点1 解一元二次方程6年3考　 例1 已知关于x的一元二次方程(m-2)x2-4x+3=0，请回答下列问题： (1)m的取值范围是　　　　；  (2)若m的值为3，请用三种方法求出此方程的解. 【解题启发】 (1)m为何值时，此方程才是一元二次方程？ (2)解一元二次方程有哪三种方法？ 14 【规范解答】 解：(1)m≠2 (2)当m=3时，一元二次方程为x2-4x+3=0. 公式法：∵a=1，b=-4，c=3， ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×3=4>0， ∴x===， ∴x1=3，x2=1. 15 配方法：∵x2-4x+3=0，∴x2-4x=-3， ∴x2-4x+4=-3+4， ∴(x-2)2=1， ∴x-2=±1，∴x1=3，x2=1. 因式分解法：∵x2-4x+3=0，∴(x-3)(x-1)=0， ∴x1=3，x2=1. 16 【方法指导】 灵活选择适当的方法解方程 首先运用直接开平方法或因式分解法； 其次用公式法(通用解法)； 最后有特殊要求的，按指定方法解方程. 17 练1 若菱形两条对角线的长度是方程x2-6x+8=0的两根，则该菱形的 边长为(　　) A. B.4 C.2 D.5 练2 (2023·潍坊)用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ， 显示结果为 .借助显示结果，可以将一元二次方程x2+x-1=0 的正数解近似表示为　　　　.(精确到0.001)  A 0.618　 18 练3 (2024·滨州节选)解方程：x2-4x=0. 解：∵x2-4x=0，∴x(x-4)=0， ∴x=0或x-4=0， ∴x1=0，x2=4. 19 命题点2 一元二次方程根的判别式6年2考　 例2 (2024·潍坊)已知关于x的一元二次方程x2-mx-n2+mn+1=0，其中m，n 满足m-2n=3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是(　　) A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 【解题启发】怎么判断含m，n的判别式与0的关系？ C 20 练4 关于x的一元二次方程x2+(k-3)x+1-k=0根的情况，下列说法正确的 是(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 A 21 练5 (2022·潍坊潍城一模)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是 关于x的一元二次方程x2-6x+n+1=0的两个根，则n的值为(　　) A.7 B.8 C.7或8 D.8或9 练6 (2024·山东)若关于x的方程4x2-2x+m=0有两个相等的实数根， 则m的值为　　　　.  B 22 命题点3 一元二次方程根与系数的关系6年0考 例3 关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和 为12，则m的值为(　　) A.-2 B.3 C.3或-2 D.-3或2 【解题启发】一元二次方程根与系数有什么关系？ A 23 【易错警示】 运用根与系数关系的注意点 (1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化成一般形式； (2)运用x1+x2=-时，不要漏“-”； (3)运用根与系数关系公式的前提：①二次项系数a≠0；②判别式b2-4ac≥0. 24 练7 已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+=0有两个不相等的实数根 x1，x2.若+=4m，则m的值是(　　) A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在 练8 (多选题)(2024·潍坊寿光三模)一元二次方程x2-3x+2=0的两根为x1和 x2，则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=-3 B.x1x2=2 C.|x1-x2|=1 D.+=7 A BC　 25 练9 【新考法】由两个根的关系还原一元二次方程 (2024·绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在 化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简 过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5，则原来 的方程是(　　) A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 B 26 命题点4 一元二次方程的应用6年0考　 例4 【原创题】2024年巴黎奥运会开幕，为感受体育精神，某社区组织 了一次乒乓球友谊赛，比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比 赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？(　　) A.8　 　 B.10　 　 C.7　 　 D.9 【解题启发】题目中有什么等量关系？ B 27 练10 (2024·潍坊一模)某厂生产一种产品起初的成本为225元/件，经过两 次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了29元.设每次技术 改进产品的成本下降率均为x，根据以上信息列关于x的一元二次方程为 　　　　　 　.  225(1-x)2=225-29 28 建议用时：10分钟 1.(改编题)已知a>0，c<0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的 情况为(　　) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判定 B 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 29 2.(改编题)已知m为方程x2+3x-2 024=0的根、那么m3+2m2-2 027m+2 024 的值为(　　) A.-2 022 B.0 C.2 022 D.4 044 B 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 30 3.(2023·黑龙江地区)如图，在长为 100 m、宽为 50 m 的矩形空地上修 筑四条宽度相等的小路.若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 3 600 m2，则小路的宽是(　　) A.5 m B.70 m C.5 m或70 m D.10 m A 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 31 4.(2023·眉山)已知方程x2-3x-4=0的根为x1，x2，则(x1+2)(x2+2)的值为 　　　　.  5.对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)◎(m-3) =24，则m=　　　　.  6 4或-3　 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 32 6.(改编题)解方程：(1)x2+4x-12=0； (2)x(2x+1)=4x+2； (3)(x+1)(x-1)=4； (4)(y+1)(y-1)=y. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 33 解：(1)∵x2+4x+4-12=4，∴(x+2)2-12=4， ∴(x+2)2=16，∴x+2=±4，∴x1=2，x2=-6. (2)x(2x+1)=4x+2， 去括号、移项得2x2+x-4x-2=0， 合并同类项得2x2-3x-2=0， ∴(2x+1)(x-2)=0， ∴x1=-，x2=2. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 34 (3)(x+1)(x-1)=4， 去括号得x2-1=4， 移项、合并同类项得x2=5， 解得x1=，x2=-. (4)(y+1)(y-1)=y， 去括号得y2-1=y， 移项得y2-y-1=0. ∵a=1，b=-1，c=-1， ∴b2-4ac=1+4=5>0， ∴y===， ∴y1=，y2=. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 35 7.【新题型】结合分式化简以解答题的形式考查一元二次方程 (2024·广州)关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)化简：÷·. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 36 解：(1)根据题意得Δ=(-2)2-4(4-m)>0， 解得m>3. (2)∵m>3，∴m-3>0， ∴原式=··=-2. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 37 8.(2024·潍坊潍城二模)小亮和小刚对关于x的一元二次方程ax2+bx-a-=0进行了如下分析： 小亮：“对于任意实数a，b，该方程总有两个不相等的实数根.” 小刚：“该方程的两个实数根的符号不相同.” 请判断小亮和小刚的说法是否正确并说明理由. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 38 解：小亮和小刚的说法均正确.理由如下： ∵方程ax2+bx-a-=0是关于x的一元二次方程， ∴Δ=b2-4a(-a-)=b2+4a2+4>0， ∴对于任意实数a，b，该方程总有两个不相等的实数根， ∴小亮的说法正确； 设方程的两根为x1，x2， ∴x1x2==-1-<0， ∴该方程的两个实数根的符号不相同，∴小刚的说法正确. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 39 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 40 $$