第二十三章 概率初步【单元卷·考点卷】（15大核心考点）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十三章 概率初步【单元卷·考点卷】（15大核心考点） 考点一 事件的分类（共4题） 1．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．检测一把圆珠笔芯的质量，从中随机抽出的一支不合格 B．将一滴花生油滴入水中，油浮在水面上 C．小明投篮训练中，投出一球投中篮框 D．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为1 2．下列事件中是确定事件的是 （填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 3．下列事件：①5天后太阳将从西方升起；②打开电视，正在播广告；③在平面内，任意画一个三角形，其内角和小于．其中随机事件是 （填序号） 4．给你提供3个红球、3个蓝球（这6个球除了颜色外其他完全相同）和一只不透明的口袋，请设计摸球游戏，使得游戏分别满足下列条件： (1)任意摸出1个球，一定是红球； (2)任意摸出2个球，一定都不是红球； (3)任意摸出2个球，一定是1个红球和1个蓝球； (4)任意摸出3个球，可能是2个红球和1个蓝球． 考点二 判断事件发生的可能性大小（共4题） 5．如图，甲、乙、丙三位球员分别站在足球门前的点处射门，点都在同一个以为弦的圆上，若球员面对足球门的视角越大踢进足球的可能性越大，则下列说法正确的是（　　） A．甲踢进足球的可能性最大 B．乙踢进足球的可能性最大 C．丙踢进足球的可能性最大 D．三位球员踢进足球的可能性一样大 6．把红、黄、蓝种颜色的袜子各只混在一起．如果让你闭上眼睛，至少拿出（   ）只才能保证一定有2双不同色的袜子．（指一双袜子为其中一种颜色，另一双袜子为另一种颜色） A．8 B．9 C．10 D．11 7．某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为 ，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为 8．用一副扑克牌中的张牌设计一个翻牌游戏，要求同时满足下列三个条件，请写出你所用的张牌． （1）要求翻出“红桃”与“方块”的可能性相同； （2）要求翻出“梅花”的可能性比翻出“方块”的可能性小； （3）要求翻出黑颜色牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性大． 考点三 列举随机试验的所有可能结果（共4题） 9．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 10．在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 11．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为 ． 4 12．求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 考点四 概率的意义理解（共4题） 13．关于概率意义的理解，下列说法正确的是（   ） A．一种彩票中奖概率是，因此买100张这种彩票，一定会有5张中奖 B．做抛图钉的试验5次，有3次钉尖着地，因此钉尖着地的概率为 C．掷一枚质地均匀的硬币3次，有2次正面朝上．若再掷一次，则正面朝上的概率仍是 D．射击试验中，射击一次有“中靶”和“脱靶”两种结果，因此“中靶”与“脱靶”的概率都是 14．抛一枚质地均匀的六面体骰子，连续抛次，落地时有次点朝上，如果第次抛掷这枚骰子，那么点朝上的概率为（   ） A． B． C． D． 15．小明同学抛一枚硬币10次，其中8次正面朝上，2次反面朝上，则第11次抛正面朝上的概率为 ． 16．完成下列各题： (1)写出下列命题的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题． ①面积相等的两个三角形全等； ②同角的补角相等； ③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等． (2)任意投掷一枚均匀的骰子． ①掷出的点数小于4的概率是多少？ ②掷出的点数是奇数的概率是多少？ ③掷出的点数是7的概率是多少？ ④掷出的点数小于7的概率是多少？ (3)现有足够多除颜色外均相同的球，请你从中选12个球设计摸球游戏． ①使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等； ②使摸到红球、白球、黑球的概率都相等； ③使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率． 考点五 根据概率公式计算概率（共4题） 17．一个不透明的袋子中装有2个红球、4个黑球，这些球除颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是 ． 18．不透明袋子中装有个红球和个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，恰好摸出个红球和1个黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 19．小华有一个密码小宝箱，他忘记位数密码的一部分，且密码每一个数字和其他数字都不重复现在小华想要打开他的宝箱，最多需要尝试 次 20．五一假期，小明、小李两家均计划到云南旅游，小明家计划从大理、丽江、西双版纳三个旅游城市中随机选择一个游玩，且每个城市被选到的可能性相等；小李家想从大理、丽江两个旅游城市中随机选择一个游玩，且每个城市被选到的可能性相等．选择大理记为A，选择丽江记为B，选择西双版纳记为C．记小明家的选择为x，小李家的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求两位同学家选择旅游城市相同的概率P． 考点六 根据概率作判断（共4题） 21．一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 22．在一个不透明的袋子里装有1个红球、2个白球、3个黄球、6个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后任意摸出一个球，则下列事件中发生的可能性的最大的是（    ） A．摸到红球 B．摸到黄球 C．摸到白球 D．摸到蓝球 23．一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件： ． 24．综合与实践 某商场制成了一个如图1所示的转盘(十二等份)游戏，取名为“开心大转盘”．游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“A”，则打九折；若指针指向字母“B”，则打八折；若指针指向字母“C”，则不打折． (1)(不打折)_________ (2)小明分两次来商场分别购买了价值200元的商品，两次都参加了该活动，且一共付了360元，请你分析小明这两次获得优惠的情况． (3)商场为了吸引顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打九折的概率是；打八折的概率是；不打折的概率是．(在十二等份扇形中标明字母A，B，C)； 考点七 已知概率求数量（共4题） 25．在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 26．一个不透明的袋子中装有2个黑球和n个红球，这些球除颜色外其他都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.8附近摆动，则n的值最可能是（   ） A．8 B．6 C．5 D．2 27．布袋中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，如果从布袋中随机摸出球，摸出的是白球的概率是，那么布袋中白球的个数是 ． 28．五一期间，某商场举办了一个“幸运抽奖”活动，抽奖箱里共有16个小球，其中有8个黄球、6个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，小明和小红参与了这个活动： (1)从中任意摸出一球，若摸到黄球小明获得奖励，若摸到黑球小红获得奖励，这个活动对双方公平吗？请说明你的理由； (2)现在要从箱中取出若干个黄球，再放入相同数量的黑球，使得这个活动对双方公平，则要取出多少个黄球？ 考点八 几何概率（共4题） 29．如图，转盘中六个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是（    ） A．1 B． C． D． 30．如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 31．如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ． 32．课间，小兰用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏，转盘被分成两个扇形，分别为红色区域和蓝色区域，且红色区域和蓝色区域所在扇形的面积之比为；转盘被分成三个面积相等的扇形，分别为红色区域、黄色区域、蓝色区域．游戏者同时转动两个转盘，如果两个转盘的指针分别指向蓝色区域和红色区域，那么游戏者就获胜了（指针指向区域分界线则重新转动转盘）． (1)转动转盘，转到红色区域的概率为______． (2)请用画树状图或列表的方法，求游戏者获胜的概率． 考点九 列举法求概率（共4题） 33．从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上． (1)从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ； (2)从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率． 34．在4张同样的纸片上各写一个正整数，从中随机抽取2张，并将这两张纸片上的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到． (1)请你猜想并验证后，直接写出这4张纸片上的正整数； (2)若2，3，4，4或2，3，3，5从这4张纸片中随机抽取3张，求抽到的纸片上的数的和是9的概率． 35．做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． (1)若投入一个小球，求它通过管道的概率． (2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 最先填满的是甲盒； 个盒子中的小球的数量一样多； 甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； 乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． 36．字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎先从四张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底，卡片不放回，然后，小麦再从剩下的三张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底． (1)小虎抽出A卡片的概率是________； (2)若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底．请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 考点十 列表法或树状图法求概率（共4题） 37．不透明的袋子中有2个红色小球和2个黄色小球，小球除颜色外无其他差别．从中随机摸取2个小球，则这2个小球颜色相同的概率是（   ） A． B． C． D． 38．斗兽棋是一种传统棋类，双方各有八枚棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，甲手中还剩有的棋子为狮、虎、狼、猫，乙手中还剩有的棋子为象、豹、狗、鼠，若双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 共有种等可能出现的结果，其中甲获胜的结果有种， ∴甲获胜的概率为， 故选：D． 39．非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．安徽省非物质文化遗产有黄梅戏、徽剧、凤阳花鼓、淮北梆子戏等．小聪和小颖商定从“黄梅戏”“徽剧”“凤阳花鼓”“淮北梆子戏”四种中，各随机选择一种用于宣传安徽的非物质文化遗产，则两人恰好选中同一种的概率是 ． 40．小明买了4颗混装风信子种球，颜色分别为红色、紫色、蓝色、白色，种球形状、大小无差别，小明随机将这4颗种球分别用4个玻璃瓶进行水培，其中2个玻璃瓶是彩色的，2个玻璃瓶是无色透明的． (1)其中1个彩色玻璃瓶装有1颗风信子种球是______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)请用列表或画树状图的方法，求红色风信子种球刚好培养在彩色玻璃瓶中的概率． 考点十一 游戏的公平性（共4题） 41．一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 42．五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 43．如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 44．围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 考点十二 求某事件的频率（共4题） 45．林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 46．某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 47．数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 48．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 0.82 0.83 (1)填空：______，______，______； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_____（精确到0.1）； (3)根据估计的概率，该运动员投篮150次，请通过计算估计他命中的次数． 考点十三 由频率估计概率（共4题） 49．如图是小明用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在某个数附近，可以估计“钉尖向上”的概率是（   ） A． B． C． D． 50．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 1503 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 51．八路军太行纪念馆，是全国中小学生研学实践教育基地．某校有名学生，随机调查了名学生，其中有名学生去过八路军太行纪念馆．在该校随机调查一名学生，他去过八路军太行纪念馆的概率约是 ． 52．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 命中的次数 命中的频率 (1)填空：______，______； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_______（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮次，则他命中的次数大约是_______次； 考点十四 用频率估计概率的综合应用（共4题） 53．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________； (2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 54．大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ (2)为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 55．下表为某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1 000 2 000 5 000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1 906 4 745 发芽频率 0.940 0.955 0.950 b 0.953 0.949 (1)求出a，b的值； (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率．（结果精确到0.01） 56．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b (1)完成上述表格：______，______； (2)这种树苗成活的概率估计值为______； (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 考点十五 概率的其他应用（共4题） 57．某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 58．某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 59．在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 60．某市林业局积极响应习总书记“青山绿水就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．    请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在___________附近，估计成活概率为___________．（精确到0.1） (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵树； ②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 概率初步【单元卷·考点卷】（15大核心考点） 考点一 事件的分类（共4题） 1．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．检测一把圆珠笔芯的质量，从中随机抽出的一支不合格 B．将一滴花生油滴入水中，油浮在水面上 C．小明投篮训练中，投出一球投中篮框 D．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为1 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件、必然事件，正确掌握相关定义是解题的关键． 直接利用在一定条件下，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，分别分析得出答案． 【详解】A．检测一把圆珠笔芯的质量，随机抽出一支，有可能合格，也有可能不合格 ，结果具有不确定性，属于随机事件，不是必然事件，故本选项不符合题意； B．由于花生油的密度比水小，根据物理原理，将一滴花生油滴入水中，油必然会浮在水面上，这是一定会发生的，属于必然事件，故本选项符合题意； C．小明投篮训练中，投出一球是否投中篮框受到多种因素影响，比如投篮的力度、角度、当时的状态等，投中与否是不确定的，属于随机事件，故本选项不符合题意； D．掷一枚质地均匀的骰子，骰子有1、2、3、4、5、6、这6种点数情况，掷出的点数为1只是其中一种可能，具有随机性，属于随机事件． 故选：B． 2．下列事件中是确定事件的是 （填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了确定事件和随机事件的定义，掌握确定性事件包括不可能事件和必然事件成为解题的关键． 根据确定事件和随机事件的定义逐个判断即可． 【详解】解：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意； ②对于实数、，有，是不可能事件，是确定性事件，符合题意； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； ④14人中至少有2人在同一个月过生日是必然事件，是确定性事件，符合题意． 故答案为：②④． 3．下列事件：①5天后太阳将从西方升起；②打开电视，正在播广告；③在平面内，任意画一个三角形，其内角和小于．其中随机事件是 （填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了随机事件的定义，根据随机事件的定义，即可求解，熟练掌握随机事件的定义是解题的关键． 【详解】解：①5天后太阳将从西方升起，是不可能事件， ②打开电视，正在播广告，是随机事件， ③在平面内，任意画一个三角形，其内角和小于，是不可能事件， 故答案为：． 4．给你提供3个红球、3个蓝球（这6个球除了颜色外其他完全相同）和一只不透明的口袋，请设计摸球游戏，使得游戏分别满足下列条件： (1)任意摸出1个球，一定是红球； (2)任意摸出2个球，一定都不是红球； (3)任意摸出2个球，一定是1个红球和1个蓝球； (4)任意摸出3个球，可能是2个红球和1个蓝球． 【答案】(1)在袋中只放3个红球（答案不唯一） (2)在袋中放3个蓝球（答案不唯一） (3)在袋中放1个红球和1个蓝球 (4)在袋中放3个红球和3个蓝球（答案不唯一） 【分析】本题考查了确定事件与随机事件，熟练掌握确定事件与随机事件的定义是解题的关键．根据确定事件与随机事件的定义，分别设计摸球游戏即可． 【详解】（1）解：在袋中只放3个红球，则任意摸出1个球，一定是红球， 在袋中只放3个红球，即满足题意（答案不唯一）． （2）解：在袋中放3个蓝球，则任意摸出2个球，一定都不是红球， 在袋中只放3个蓝球，即满足题意（答案不唯一）． （3）解：在袋中放1个红球和1个蓝球，则任意摸出2个球，一定是1个红球和1个蓝球， 在袋中放1个红球和1个蓝球，即满足题意． （4）解：在袋中放3个红球和3个蓝球，则任意摸出3个球，可能是2个红球和1个蓝球， 在袋中放3个红球和3个蓝球，即满足题意（答案不唯一）． 考点二 判断事件发生的可能性大小（共4题） 5．如图，甲、乙、丙三位球员分别站在足球门前的点处射门，点都在同一个以为弦的圆上，若球员面对足球门的视角越大踢进足球的可能性越大，则下列说法正确的是（　　） A．甲踢进足球的可能性最大 B．乙踢进足球的可能性最大 C．丙踢进足球的可能性最大 D．三位球员踢进足球的可能性一样大 【答案】D 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等的应用，判断可能性的大小；掌握此性质是解题的关键；分别连接三点与A、B两点的线段，得到三个圆周角，同弧所对的圆周角相等即可判断． 【详解】解：如图，分别连接三点与A、B两点的线段， 则； ∵球员面对足球门的视角越大踢进足球的可能性越大， ∴三位球员踢进足球的可能性一样大； 故选：D． 6．把红、黄、蓝种颜色的袜子各只混在一起．如果让你闭上眼睛，至少拿出（   ）只才能保证一定有2双不同色的袜子．（指一双袜子为其中一种颜色，另一双袜子为另一种颜色） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了事件发生的可能性，理解题意，找出可能情况是关键． 根据题意，当前6只是同一颜色，在剩下的两种颜色种再取2只，1只即可得到． 【详解】解：红、黄、蓝种颜色的袜子各只混在一起， 假设前6只是同一种颜色，则在剩下两种颜色种再取2只，且这2只种，最不利的情况为仍是同一颜色，则再取1只，即可得到有2双不同色的袜子， ∴至少拿出只才能保证一定有2双不同色的袜子， 故选：B ． 7．某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为 ，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为 【答案】 16 58 【分析】此题考查了事件的可能性，首先求出魔方获得优秀奖的积分为7分，然后分两种情况讨论：华容道和数独都获得优秀奖和华容道获得参与奖，数独获得卓越奖，即可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高得分，然后按照获得卓越奖的项目分4种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖， ∴小明在“九连环”项目中可能获得参与奖或优秀奖 ∵小明在“魔方”项目中获得了优秀奖， ∴魔方获得优秀奖的积分为7分 ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖 ∴当华容道和数独都获得优秀奖时，得分为（分）， 当华容道获得参与奖，数独获得卓越奖时，得分为（分）， ∴可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为16分； ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖， ∴①当只七巧板获得卓越奖时，九连环获得参与奖，其他项目获得优秀奖， ∴总积分为（分）； ②当七巧板，二十四点获得卓越奖， ∴九连环，五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； ③当五子棋获得卓越奖，二十四点获得优秀奖， ∴九连环获得优秀奖，七巧板获得参与奖， ∴总积分为（分）； ④当二十四点获得卓越奖，九连环，七巧板获得优秀奖， ∴五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； 综上所述，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为58分． 故答案为：16，58． 8．用一副扑克牌中的张牌设计一个翻牌游戏，要求同时满足下列三个条件，请写出你所用的张牌． （1）要求翻出“红桃”与“方块”的可能性相同； （2）要求翻出“梅花”的可能性比翻出“方块”的可能性小； （3）要求翻出黑颜色牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性大． 【答案】张牌是“黑桃”张，“梅花”张，“方块”张，“红桃”张 【分析】本题考查等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是正确解答的关键．根据各种花色的扑克牌被翻到的可能性的大小，推断出各种花色的扑克牌的张数，再根据总张数为张，每一种都是整数，进而得出答案． 【详解】解：一共有张扑克牌，满足（1），说明“红桃”和“方块”的张数相同；满足（2）说明“方块”的张数比“梅花”的张数多； 满足（3）说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、方块）的张数要多， 因此黑颜色的牌要多于张，最少为张， 因此，张牌是“黑桃”张，“梅花”张，“方块”张，“红桃”张 考点三 列举随机试验的所有可能结果（共4题） 9．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】A 【分析】本题主要考查了列举法求随机事件所有出现的结果等知识点，利用已知条件，通过分类求解即可，熟练掌握用列举法求随机事件所有出现的结果是解决此题的关键． 【详解】解：设无人机三种颜色为A，B，C， 由题意知，编号1至5号的无人机颜色和编号7、8号的无人机颜色之间可以相同，但编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同， ∴可画树状图如下， ∴共有12种． 故选：A． 10．在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【答案】D 【分析】本题考查列举法（树状图法）．利用树状图法首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后确定对应的白球的个数即可． 【详解】解：画树状图如图所示： 则取法的种数是16． 故选：D． 11．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为 ． 4 【答案】 6 9182 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1，2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182． 12．求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）36，见解析 【分析】（1）仔细分析题意，可先取出一个数，根据取出的这个数来确定另一个数的可能取值，取第一个数为10，则第二个数可以为1，2,……，9,同理第一个数取9，可以发现若第一个数为10，则可能的取法有9种，若第一个数取9，则可能的取法有7种，若第一个数取8，可能的取法有5种，……，将所有类别的取法相加，即可求得结果； （2）利用类似于（1）的方法进行分析即可解答； （3）提一个类似于（1）（2）的问题即可； （4）结合（1）、（2）的方法，注意要考虑两边相等的情况 【详解】（1）根据题意每次取的两个数之和大于10，可能取法为： 10+1、10+2、10+3、…10+9，共9种 9+2、 9+3、 9+4、 …9+8，共7种 8+3、8+4、8+5、8+6、8+7，共5种 7+4、7+5、7+6，共3种 6+5，共1种 所以可能的取法共有9+7+5+3+1=（种） （2）同理可得可能的取法的种数为=2500（种） （3）（答案不唯一）在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？ （4）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于11，有10+8+6+4+2=30种不同的取法； ②若另两个数相同，则6+6，7+7，…，11+11，共6种不同的取法；所以各边长都是整数，最大边长为11的三角形有：30+6=36（个）． 它与上述两个问题都类似，区别这个问题要考虑两个数相同时的情况． 【点睛】此题考查分类加法计数原理的运用.分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+……+mn种不同的方法.注意分类后，寻找规律，避免大量运算，其次注意分类讨论要不重不漏． 考点四 概率的意义理解（共4题） 13．关于概率意义的理解，下列说法正确的是（   ） A．一种彩票中奖概率是，因此买100张这种彩票，一定会有5张中奖 B．做抛图钉的试验5次，有3次钉尖着地，因此钉尖着地的概率为 C．掷一枚质地均匀的硬币3次，有2次正面朝上．若再掷一次，则正面朝上的概率仍是 D．射击试验中，射击一次有“中靶”和“脱靶”两种结果，因此“中靶”与“脱靶”的概率都是 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义，解决本题的关键是掌握概率的意义． 【详解】A．一种彩票中奖概率是，买100张这种彩票，只是说中奖的可能性较大，但不是一定会有5张中奖．因为每次购买彩票都是独立的随机事件，有可能买100张中奖张数不是5张，甚至可能一张都不中奖，该选项错误，故不符合题意； B．做抛图钉的试验5次，3次钉尖着地，只是这5次试验中钉尖着地的频率，而概率是在大量重复试验下，某一事件发生的稳定值，仅5次试验次数太少，不能据此确定钉尖着地的概率，该选项错误，故不符合题意； C．掷一枚质地均匀的硬币，无论之前掷的结果如何，每次掷硬币正面朝上和反面朝上的概率都是，因为硬币质地均匀，这两种结果出现的可能性是相等的，该选项正确，故符合题意； D．射击试验中，“中靶”与“脱靶”的概率不一定都是．概率大小取决于射击者的技术水平、射击环境等多种因素，不是简单的两种结果就各占，该选项错误，故不符合题意； 故选：C． 14．抛一枚质地均匀的六面体骰子，连续抛次，落地时有次点朝上，如果第次抛掷这枚骰子，那么点朝上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了概率的意义以及概率公式，明确概率的意义以及概率的计算方法是解答的关键． 直接利用概率的意义分析得出答案． 【详解】解：∵概率是频率（多个）的波动稳定值，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率， 抛六面体骰子次的结果不是概率， 抛六面体骰子有种情况， 点朝上的概率为， 故选：B． 15．小明同学抛一枚硬币10次，其中8次正面朝上，2次反面朝上，则第11次抛正面朝上的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．根据抛硬币正面朝上与反面朝上出现的可能性即可求解． 【详解】解：抛一枚硬币，正面朝上与反面朝上出现的可能性相同， 其概率是这个事件本身属性，与抛掷次数无关， 所以抛正面朝上的概率为． 故答案为：． 16．完成下列各题： (1)写出下列命题的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题． ①面积相等的两个三角形全等； ②同角的补角相等； ③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等． (2)任意投掷一枚均匀的骰子． ①掷出的点数小于4的概率是多少？ ②掷出的点数是奇数的概率是多少？ ③掷出的点数是7的概率是多少？ ④掷出的点数小于7的概率是多少？ (3)现有足够多除颜色外均相同的球，请你从中选12个球设计摸球游戏． ①使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等； ②使摸到红球、白球、黑球的概率都相等； ③使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率． 【答案】(1)见解析 (2)①      ②   ③    ④ (3)见解析 【分析】（1）把命题写成“如果……，那么……”的形式，写出题设和结论，并判断真假即可解题； （2）根据概率的球阀，找准全部情况的总数和符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率，求出比值即可； （3）①设计红球和白球的个数相同即可；②设计红球，黑球和白球数量相同即可；③让红球和白球数量相同，且小于黑球的数量即可 【详解】（1）①条件：两个三角形的面积相等． 结论：这两个三角形全等 它是假命题； ②条件：两个角是同一个角的补角 结论：这两个角相等 它是真命题； ③条件：两个三角形有两角分别相等且其中一组等角的对边相等 结论：这两个三角形全等 它是真命题． （2）投掷一枚均匀的骰子，可以得到种等可能结果，即， ①掷出的点数小于4的有种结果，即概率是； ②掷出的点数是奇数的有种结果，即概率是； ③不可能掷出的点数是7，即有概率是； ④掷出的点数小于7的种结果，即概率是； （3）①使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等； 白球，红球各个，摸到红球和白球的概率均为； ②使摸到红球、白球、黑球的概率都相等； 白球，红球，黑球各个，摸到黑球、红球和白球的概率均为； ③使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率． 白球，红球各放个，黑球放个，此时摸到白球，红球的概率为，而摸到黑球的概率为． 【点睛】本题考查命题的题设和结论，概率公式的应用和计算，解题的关键是掌握在总数一定的情况下，相应数量越多，概率越大． 考点五 根据概率公式计算概率（共4题） 17．一个不透明的袋子中装有2个红球、4个黑球，这些球除颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是 ． 【答案】 【分析】根据简单概率公式计算概率即可． 本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：一共有6种等可能性，其中摸到红球的可能性有2种， 故摸到红球的概率是． 故答案为： 18．不透明袋子中装有个红球和个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，恰好摸出个红球和1个黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列树状图或表格求概率，概率公式．先根据题意列出树状图，再分别得出所有可能的情况数和满足摸出个红球和1个黄球的情况数，结合概率公式即可求解． 【详解】解：列树状图，如图： 有图可知，随机摸出两个小球，所有等可能的情况有种，其中满足摸出个红球和1个黄球的情况有种， ∴恰好摸出个红球和1个黄球的概率为． 故选：B． 19．小华有一个密码小宝箱，他忘记位数密码的一部分，且密码每一个数字和其他数字都不重复现在小华想要打开他的宝箱，最多需要尝试 次 【答案】5 【分析】题目主要考查数字的排列，根据题意得出还有7，5，3，6，1共五个数字未用，列出所有可能出现的结果即可得出答案． 【详解】解：根据题意得出还有7，5，3，6，1共五个数字未用， ∴最多需要尝试5次． 故答案为5． 20．五一假期，小明、小李两家均计划到云南旅游，小明家计划从大理、丽江、西双版纳三个旅游城市中随机选择一个游玩，且每个城市被选到的可能性相等；小李家想从大理、丽江两个旅游城市中随机选择一个游玩，且每个城市被选到的可能性相等．选择大理记为A，选择丽江记为B，选择西双版纳记为C．记小明家的选择为x，小李家的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求两位同学家选择旅游城市相同的概率P． 【答案】(1)所有可能出现的结果共有6种； (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）列表得出所有等可能的情况数即可； （2）根据表格得出两位同学选择旅游城市相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：列表如下， ∴由表可知，所有可能出现的结果共有6种；它们可能性相等． 答：所有可能出现的结果共有6种； （2）解：由表可以看出，小明、小李两位同学选择旅游城市相同的情况有2种， ∴小明、小李两位同学选择旅游城市相同的概率． 考点六 根据概率作判断（共4题） 21．一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析． 三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 【详解】解：∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每种球的概率均相等， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 22．在一个不透明的袋子里装有1个红球、2个白球、3个黄球、6个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后任意摸出一个球，则下列事件中发生的可能性的最大的是（    ） A．摸到红球 B．摸到黄球 C．摸到白球 D．摸到蓝球 【答案】D 【分析】分别求出各选项事件的概率，即可作答． 【详解】总计有球：（个）， 则摸到红球的概率为：， 则摸到白球的概率为：， 则摸到黄球的概率为：， 则摸到蓝球的概率为：， 经过比较，可知：摸到蓝球，是所有事件中发生的可能性最大， 故选：D． 【点睛】本题考查了可能性的大小，解题的关键是分别求得各个选项中事件发生的概率． 23．一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件： ． 【答案】摸出红球 【分析】根据概率公式确定答案即可． 【详解】一共有3个球，其中红球有1个，所以摸出红球的概率是． 故答案为：摸出红球． 【点睛】本题主要考查了概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． 24．综合与实践 某商场制成了一个如图1所示的转盘(十二等份)游戏，取名为“开心大转盘”．游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“A”，则打九折；若指针指向字母“B”，则打八折；若指针指向字母“C”，则不打折． (1)(不打折)_________ (2)小明分两次来商场分别购买了价值200元的商品，两次都参加了该活动，且一共付了360元，请你分析小明这两次获得优惠的情况． (3)商场为了吸引顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打九折的概率是；打八折的概率是；不打折的概率是．(在十二等份扇形中标明字母A，B，C)； 【答案】(1) (2)①两次都打九折；②一次不打折，一次打八折 (3)见解析 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中指针指向字母“”结果有种，利用概率公式可得答案． （2）根据，可得出答案． （3）结合概率公式可得转盘中字母“”有6个，字母“”有1个，字母“”有5个，由此画图即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中指针指向字母“”结果有种， ∴(不打析)， 故答案为：． （2）解：， 小明这两次获得优惠的情况为：①两次都打九折；②一次不打折，一次打八折． （3）解：∵打九折的概率是；打八折的概率是；不打折的概率是； ∴转盘中字母“”有个，字母“”有个，字母“”有个． 如图2所示． 考点七 已知概率求数量（共4题） 25．在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查概率公式．根据题意和题目中的数据，可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得， 黑球的个数为： ， 故选：B． 26．一个不透明的袋子中装有2个黑球和n个红球，这些球除颜色外其他都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.8附近摆动，则n的值最可能是（   ） A．8 B．6 C．5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．根据题意可得红球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在， ， 解得：，经检验是方程的解， 即n的值最可能是． 故选：A． 27．布袋中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，如果从布袋中随机摸出球，摸出的是白球的概率是，那么布袋中白球的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了概率的概念：所有等可能的结果有n个，其中某事件占m个，则这个事件的概率．根据概率的概念建立等量关系，解方程即可． 【详解】解：设布袋中有n个白球， 根据题意，得， 解得：， 则布袋中白球有4个； 故答案为：4． 28．五一期间，某商场举办了一个“幸运抽奖”活动，抽奖箱里共有16个小球，其中有8个黄球、6个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，小明和小红参与了这个活动： (1)从中任意摸出一球，若摸到黄球小明获得奖励，若摸到黑球小红获得奖励，这个活动对双方公平吗？请说明你的理由； (2)现在要从箱中取出若干个黄球，再放入相同数量的黑球，使得这个活动对双方公平，则要取出多少个黄球？ 【答案】(1)不公平，理由见解析 (2)取出个黄球 【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）利用概率公式分别求出小明和小红获胜的概率，进而得出答案； （2）直接利用当黑球与黄球个数相等时，游戏公平，求出答案． 【详解】（1）解：不公平． ∵抽奖箱里共有16个小球，其中有8个黄球、6个黑球和2个红球，摸到黄球小明获得奖励，摸到黑球小红获得奖励， ∴小明获胜的概率为：，小红获胜的概率为：； ， ∴活动对双方不公平； （2）由题意可得：设取出了x个黄球，则 ， 解得：. 答：取出个黄球． 考点八 几何概率（共4题） 29．如图，转盘中六个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求概率， 先确定一共有6个等面积的扇形，阴影部分有3个扇形，再根据概率公式计算得出答案． 【详解】解：一共有6个扇形，阴影部分有3个扇形， 所以指针落在阴影区域的概率是． 故选：D． 30．如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，则有，，然后证明，则有，故，然后用概率即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴它落在阴影部分的概率是， 故选：． 31．如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，飞镖击中阴影部分的概率等于阴影部分面积与正方形总面积之比，掌握几何概率的求法是解题的关键． 【详解】解：，， ∴飞镖击中阴影部分的概率是， 故答案为：． 32．课间，小兰用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏，转盘被分成两个扇形，分别为红色区域和蓝色区域，且红色区域和蓝色区域所在扇形的面积之比为；转盘被分成三个面积相等的扇形，分别为红色区域、黄色区域、蓝色区域．游戏者同时转动两个转盘，如果两个转盘的指针分别指向蓝色区域和红色区域，那么游戏者就获胜了（指针指向区域分界线则重新转动转盘）． (1)转动转盘，转到红色区域的概率为______． (2)请用画树状图或列表的方法，求游戏者获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何概率，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接用红色区域的面积除以整个圆的面积即可得到答案； （2）通过画树状图或列表的方法，列出所有可能情况，再找到两个转盘的指针分别指向蓝色区域和红色区域的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵转盘A中，红色区域和蓝色区域所在扇形的面积之比为， ∴转动转盘，转到红色区域的概率为； （2）解：把转盘A的蓝色区域等分成3份，分别记作“蓝1”“蓝2”“蓝3”． 根据题意，列表如下： B盘A盘 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 蓝1 （蓝1，红） （蓝1，黄） （蓝1，蓝） 蓝2 （蓝2，红） （蓝2，黄） （蓝2，蓝） 蓝3 （蓝3，红） （蓝3，黄） （蓝3，蓝） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中游戏者获胜的结果有4种， 游戏者获胜的概率为． 考点九 列举法求概率（共4题） 33．从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上． (1)从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ； (2)从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求概率： （1）直接根据概率公式解答即可； （2）根据题意，列出所有可能出现的结果，可得满足两张牌数字相同的结果有3种，再根据概率公式解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是． 故答案为： （2）解：从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：共有12种，它们出现的可能性相同． 所有结果中，满足两张牌数字相同的结果有3种， 所以抽出的两张牌数字相同的概率为． 34．在4张同样的纸片上各写一个正整数，从中随机抽取2张，并将这两张纸片上的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到． (1)请你猜想并验证后，直接写出这4张纸片上的正整数； (2)若2，3，4，4或2，3，3，5从这4张纸片中随机抽取3张，求抽到的纸片上的数的和是9的概率． 【答案】(1)2，3，3，5或2，3， 4，4； (2)或． 【分析】本题主要考查组合数的性质及概率计算，需要根据给定条件逆向推理出四个正整数，并计算特定条件下的概率． （1）首先假设这四个数字分别为∶A，B，C，D且A≤B≤C≤D，进而得出符合题意的答案； （2）通过列举可能的组合，排除不符合条件的情况，最终确定唯一解． 【详解】（1）解：四个数只能是2，3，3，5或2，3，4，4 理由∶设这四个数字分别为∶A，B，C，D且．故，， （1）当时，得， ， ，不合题意舍去，所以， （2）当时，得， 当时，， 当时， ， ． 故综上所述∶这四个数只能是∶2，3，3，5或2，3，4，4． （2）当数字为2，3，4，4时，随机抽取三张的情况如下： 或或或， 满足条件的有两种，． ②当数字为2，3，3，5时，随机抽取三张的情况如下： 或或或，此时． 抽到的纸片上的数的和是9的概率或． 35．做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． (1)若投入一个小球，求它通过管道的概率． (2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 最先填满的是甲盒； 个盒子中的小球的数量一样多； 甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； 乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是正确理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． （）依据题意先用列举法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率； （）根据画出树状图，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】（1）解：如图， 将第一层的两个管道分别记为，，小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有种，即，，，，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足小球通过管道（记为事件）的结果有种，分别是，， ∴； （2）解：如图， 画树状图， ∴落在甲盒的概率为，落在乙盒的概率为，落在丙盒的概率为，落在丙盒的概率为， 最先填满的是乙盒或丙盒，原选项错误； 个盒子中的小球的数量不可能一样多，原选项错误； 甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量，原选项正确； 乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等，原选项正确； ∴正确， 故答案为：． 36．字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎先从四张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底，卡片不放回，然后，小麦再从剩下的三张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底． (1)小虎抽出A卡片的概率是________； (2)若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底．请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列举法或列表法来求概率，解题关键是掌握概率的计算公式． （1）利用概率公式，将其中抽出A的情况数除以所有情况数即可求解； （2）列表求出12种情况，将符合条件的情况数5除以12即可求解． 【详解】（1）解：小虎抽出的卡片为A、B、C、D共4种情况，其中抽出A的情况数为1种，故小虎抽出A卡片的概率是． （2）解：所有情况数列表如下： 小虎     小麦 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，一共有12种情况，其中小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底共5种情况，所以小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为． 考点十 列表法或树状图法求概率（共4题） 37．不透明的袋子中有2个红色小球和2个黄色小球，小球除颜色外无其他差别．从中随机摸取2个小球，则这2个小球颜色相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：用列表法把所有等可能结果表示如下， 红1 红2 黄1 黄2 红1 （红1，红2） （红1，黄1） （红1，黄2） 红2 （红2，红1） （红2，黄1） （红2，黄2） 黄1 （黄1，红1） （黄1，红2） （黄1，黄2） 黄2 （黄2，红1） （黄2，红2） （黄2，黄1） 共有12种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种， ∴颜色相同的概率是， 故选：B ． 38．斗兽棋是一种传统棋类，双方各有八枚棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，甲手中还剩有的棋子为狮、虎、狼、猫，乙手中还剩有的棋子为象、豹、狗、鼠，若双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能出现的结果，其中甲获胜的结果有种， ∴甲获胜的概率为， 故选：D． 39．非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．安徽省非物质文化遗产有黄梅戏、徽剧、凤阳花鼓、淮北梆子戏等．小聪和小颖商定从“黄梅戏”“徽剧”“凤阳花鼓”“淮北梆子戏”四种中，各随机选择一种用于宣传安徽的非物质文化遗产，则两人恰好选中同一种的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了画树状图法求概率．画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意，“黄梅戏”“徽剧”“凤阳花鼓”“淮北梆子戏”四种非物质文化遗产分别记为，，，， 画出树状图如下： 一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种， （两人恰好选中同一种）． 故答案为：． 40．小明买了4颗混装风信子种球，颜色分别为红色、紫色、蓝色、白色，种球形状、大小无差别，小明随机将这4颗种球分别用4个玻璃瓶进行水培，其中2个玻璃瓶是彩色的，2个玻璃瓶是无色透明的． (1)其中1个彩色玻璃瓶装有1颗风信子种球是______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)请用列表或画树状图的方法，求红色风信子种球刚好培养在彩色玻璃瓶中的概率． 【答案】(1)必然 (2) 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，事件的分类，正确理解题意是解题的关键． （1）根据随机，必然和不可能事件的定义求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到红色风信子种球刚好培养在彩色玻璃瓶中的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知每个玻璃瓶中都会装一颗风信子种球，故其中1个彩色玻璃瓶装有1颗风信子种球是必然事件； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状可知，共有12种等可能的结果，其中红色风信子种球刚好培养在彩色玻璃瓶中的结果有6种，故所求概率为． 考点十一 游戏的公平性（共4题） 41．一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算，比较甲赢、乙赢的概率，即可求解；能熟练利用列举法进行求解是解题的关键． 【详解】解：正面向上的点数小于3的概率为：， 正面向上的点数大于3的概率为：， ， 对乙有利， 故选：C． 42．五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 【答案】A 【分析】本题主要考查了游戏公平的判断，判断游戏的公平性，就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．首先根据题意列出表格，然后根据表格求出每个事件的概率，比较大小，即可求得游戏是否公平．根据列表法解答即可． 【详解】解：同时掷两枚筛子，其点数之和的结果如下表所示： 第二枚第一枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格可知，共有36种等可能结果，其中点数之和正好能被3整除的有12种，点数之和除以3后余数是1的有12种，点数之和除以3后余数是2的有12种，他们获得电影票的概率都是，即为，所以这个游戏是公平的， 故选：A． 43．如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 【答案】小丽 【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可． 【详解】解：列表得：       B           A 2 5 9 3 2，3 5，3 9，3 6 2，6 5，6 9，6 8 2，8 5，8 9，8 共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为，小丽获胜的次数为5， ∴， ∴， ∴小丽的获胜可能性较大． 故答案为：小丽． 44．围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 【答案】(1)0.35（或） (2)这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大 【分析】此题考查了频率的计算，游戏的公平性、用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）用摸到白球的个数除以摸球的总数即可； （2）画出树状图，分别求出李海执黑棋和李海执黑棋的概率即可求解． 【详解】（1）； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果有12种，颜色相同的结果有13种， （赵婷执黑棋），P（李海执黑棋）， （赵婷执黑棋）（李海执黑棋）， 这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大． 考点十二 求某事件的频率（共4题） 45．林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【答案】B 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 【详解】解：（棵）， 故选：B 46．某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 47．数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 【答案】 稳定性 【分析】本题考查了频率的稳定性，分析表格频率特点是关键． 根据“大量重复实验时，事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个性质称为频率的稳定性”解答即可． 【详解】解：观察表格发现，随着试验次数的增多，绿豆发芽的频率逐渐稳定到（结果精确到）左右， ∴绿豆的发芽率具有稳定性． 故答案为：，稳定性． 48．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 0.82 0.83 (1)填空：______，______，______； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_____（精确到0.1）； (3)根据估计的概率，该运动员投篮150次，请通过计算估计他命中的次数． 【答案】(1)；； (2) (3)估计他命中的次数为次． 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可． 【详解】（1）解：，，； 故答案为：；；； （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是； 故答案为：； （3）解：由（2）可知，该运动员投中的概率为， ， 估计他命中的次数为次． 考点十三 由频率估计概率（共4题） 49．如图是小明用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在某个数附近，可以估计“钉尖向上”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键．结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是． 故选B． 50．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 1503 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近， ∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为， 故选：B． 51．八路军太行纪念馆，是全国中小学生研学实践教育基地．某校有名学生，随机调查了名学生，其中有名学生去过八路军太行纪念馆．在该校随机调查一名学生，他去过八路军太行纪念馆的概率约是 ． 【答案】 【分析】本题考查频率估计概率，根据随机调查了名学生，其中有名学生去过八路军太行纪念馆即可得到答案．读懂题意，理解由频率估计概率的方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵随机调查了名学生，其中有名学生去过八路军太行纪念馆， ∴在该校随机调查一名学生，他去过八路军太行纪念馆的概率约是， 故答案为：． 52．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 命中的次数 命中的频率 (1)填空：______，______； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_______（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮次，则他命中的次数大约是_______次； 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （）根据频率估算概率即可； （）根据概率进行判断即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是， 故答案为：； （3）解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为次， 故答案为：． 考点十四 用频率估计概率的综合应用（共4题） 53．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________； (2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117 (2) (3)棵 【分析】本题考查占比的计算和用频率估计概率，注意数据的精确度，正确的计算是解题的关键． （1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为实验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：117；； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为， 所以这种油菜籽发芽的概率估计值是， （精确到）； 故答案为：； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 54．大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ (2)为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 【答案】(1)万件 (2)每件衬衣至少需要定价元 【分析】本题考查了由频率估计概率，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据频率估计概率，然后根据概率求出抽检2万件衬衣中合格衬衣件数即可； （2）设每件衬衣需要定价x元，根据销售利润至少有220万列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：随着抽检数量的增多，合格衬衣的频数稳定在左右，所以抽取一件衬衫是合格衬衣的概率为，因此抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有： （万件）； （2）解：设每件衬衣需要定价x元，根据题意得： ， 解得：， 答：每件衬衣至少需要定价元． 55．下表为某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1 000 2 000 5 000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1 906 4 745 发芽频率 0.940 0.955 0.950 b 0.953 0.949 (1)求出a，b的值； (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率．（结果精确到0.01） 【答案】(1)191，0.954 (2)0.95 【分析】本题考查了频数、频率、总数之间的关系，用频率估计概率，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决本题的关键． （1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可； （2）根据概率与频率的关系解答即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：191，0.954； （2）解：随着实验种子数的增加，频率稳定在0.95， 任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是0.95； 故答案为：0.95． 56．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b (1)完成上述表格：______，______； (2)这种树苗成活的概率估计值为______； (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)， (2) (3)在相同条件下至少需要买棵树苗 【分析】本题考查占比的计算和用频率估计概率，注意数据的精确度，正确的计算是解题的关键． （1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为实验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为，所以这种油菜籽发芽的概率估计值是； 故答案为：； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 考点十五 概率的其他应用（共4题） 57．某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键； （1）用“纸巾”对应牌的数量除以牌的总数量即可； （2）用“纸巾”、“牙刷”“太阳伞”对应牌的总数量除以牌的总数量即可； （3）根据题意，可知本题答案不唯一，只要九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞即可． 【详解】（1）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个， 抽到“纸巾”奖品的可能性是：； 故答案为：； （2）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个， 小深中奖的概率是 故答案为：； （3）解：设计九张牌中九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞，如图所示： 58．某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可． 【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 59．在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 【答案】(1)随机 (2)，， (3)见解析 【分析】（1）根据“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”的定义判断即可； （2）利用概率公式直接进行计算． （3）设计摸球游戏中的球总数为，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数即可． 【详解】（1）解：小明可能中奖也可能不中奖 小明中奖是随机事件； 故答案为：随机； （2）解：袋中共有个球，其中红球个，黄球6个，黑球9个，且从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与， ， ， ． 故答案为：； （3）解：有足够多的球，从中选个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率， 只要球的总数为个，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数， 可设计如下：选红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球个，其中红球和白球都是个，黑球个，其他的球都是黄色球． 【点睛】本题考查随机事件，概率公式，游戏设计，掌握概率的意义是解题的关键． 60．某市林业局积极响应习总书记“青山绿水就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．    请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在___________附近，估计成活概率为___________．（精确到0.1） (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵树； ②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①18000棵，②80000棵 【分析】（1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用20000乘以成活的概率即可； ②方法一：用移植的总棵树减去已经移植的棵树； 方法二：用还需成活的棵树除以成活的概率． 【详解】（1）由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9． 故答案为：0.9，0.9； （2）①（棵） 答：这种花卉成活率约18000棵． ②方法一：（棵） 答：估计还要移植80000棵． 方法二：（棵） 答：估计还要移植80000棵． 【点睛】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$