第二十三章 概率初步知识归纳与题型突破（17类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十三章 概率初步知识归纳与题型突破（16类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点二、可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点三、概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点四、概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点五、几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 知识点六、列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点七、游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 知识点八、利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 知识点九、模拟实验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 03 题型归纳 题型一　事件的分类 1．下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．投篮高手投篮一次，命中篮框 C．班里所有同学只有两个属相 D．任画一个三角形，可能有两个内角为钝角 2．有两个事件，事件A：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环；事件：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球．下列判断正确的是（    ） A．事件A是随机事件，事件是必然事件 B．事件A、事件都是必然事件 C．事件A是必然事件，事件是随机事件 D．事件A、事件都是随机事件 巩固训练 3．不透明的袋中装有5个红球和5个黄球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意取出1个球，取出 球是不可能事件，取出 球是随机事件，取出 球是必然事件； 4．下列事件中，随机事件是 （填序号）． ①某射击运动员射击1次，命中靶心；②从一只装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球；③13人中至少2人的生日是同一个月；④任意摸1张体育彩票会中奖；⑤太阳从东方升起；⑥随意翻开一本有400页的书，正好翻到第100页；⑦你能长高到；⑧抛掷1枚骰子得到的点数小于8． 5．（1）某电视闯关游戏中，选手可以使用一次“排除一个错误选项”的权利．当他面对一道只有两个选项的选择题（该题只有一个选项是正确的）时： ①他随意地选择一个选项，恰好选对是什么事件？ ②他使用了“排除一个错误选项”的权利后，他做对了这道题是什么事件？ （2）请举一个类似的例子：改变某些条件后，随机事件变成确定事件． 题型二　判断事件发生的可能性大小 6．一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球．从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球．以下判断正确的是（　　） A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误 7．一个不透明盒子中装有80个白球、20个红球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出20个球，给出下列结论：①红球一定刚好有4个；②红球可能多于4个；③红球不可能少于4个．其中，错误结论有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 巩固训练 8．从一副扑克牌中任意抽取1张，①这张牌是“Q”；②这张牌是“大王”；③这张牌是“红心”．将这些事件的序号按照发生的可能性从小到大的顺序排列： ． 9．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是 ． 10．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时： (1)指针落在红色区域与蓝色区域分别是什么事件？ (2)指针落在哪个区域的可能性最大？请说明理由． 题型三　列举随机试验的所有可能结果 11．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 12．在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 巩固训练 13．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为 ． 4 14．将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有 种不同的情况． 15．质量检查员准备从一批产品中抽取10件进行检查，如果是随机抽取，为了保证每件产品被检的机会均等； （1）请采用计算器模拟实验的方法，帮质量检查员抽取被检产品； （2）如果没有计算器，你能用什么方法抽取被检产品？ 题型四　事件的概率 16．下列说法正确的是（   ） A．“长沙市明天降雨的概率为”，意味着长沙市明天有的时间下雨 B．投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次 C．“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是不可能事件 D．“某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票一定会有张中头奖 17．如图是小明2025年4月3日查看某地区连续6天的天气预报列表（6行3列），其中对于第2行第2列位置中的数字“”表示的实际意义最可能是（   ） A．表示该地区可能有的地区会下小雨 B．表示可能有的小雨会下在该地区 C．表示该地区会下小雨的概率为 D．表示该地区的最低温度为13℃的概率为 巩固训练 18．不透明的口袋中有质地、大小、质量相同的白球和红球若干个，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则从袋中随机摸出一个白球的概率是 ． 19．为了估计湖里有多少条鱼，有如下方案：从湖里捕上100条鱼做上标记，然后放回湖里去，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕上200条，若其中带标记的有25条，则湖里大约有 条鱼． 20．有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 题型五　根据概率公式计算概率 21．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2的概率为（   ） A． B． C． D． 22．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 23．现有下列长度的四根木棒：3，6，9，11，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 ． 24．开封是全国知名的文化旅游城市，七年级学生小明和小亮两个家庭均在2025年“五一”假期去开封游玩，并约定好于5月2号上午在“清明上河园、龙亭公园、开封府、万岁山”四个景区中随机选择一个作为游玩目的地，则两个家庭选择同一景区的概率为 ． 25．截止2025年4月21日，动画电影《哪吒2》以全球票房156亿元的佳绩跻身全球票房第五名，成为中国文化自信与技术实力的重要象征．现有4张分别印有版图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中． (1)若搅匀后从中任意取出1张卡片，“摸到哪吒”是______事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）； (2)若搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，用画树状图或列表的方法求出两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率． 题型六　根据概率作判断 26．电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（    ） A．A B．B C．C D．无法确定 27．在一个不透明的袋子中装有3个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外其它均相同，现添加1个同种型号的球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，则添加的球是（    ） A．红球 B．白球 C．黑球 D．任意颜色 巩固训练 28．如图，在一个可以转动的转盘上有6个全等的扇形区域，用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准 颜色区域的可能性最小． 29．一个盒子中有白球m个，红球5个，黑球n个(每个球除了颜色外都相同)．如果从中任取个球，取得是红球的概率和不是红球的概率相同，那么m+n= ． 30．如图所示的转盘被分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针会指向其中的某个扇形，并相应得到一个数（指针指向分界线时，则重转）． (1)事件“转动一次转盘，得到的数恰好是0”发生的概率是________． (2)写出此情境下一个不可能发生的事件． 题型七　已知概率求数量 31．在一个不透明的布袋中装有70个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.125左右，则布袋中黑球的个数可能有（   ） A．9 B．10 C．18 D．20 32．一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中．不断重复这个过程，共摸了50次球，发现有20次摸到红球．估计这个袋子中红球的数量为（   ）个 A．12 B．16 C．18 D．20 巩固训练 33．在一个不透明的箱子中装有除颜色外其他都相同的6个白球和一些红球，现搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．在200次摸球后统计发现，摸到白球的次数是60次，那么袋中的红球约有 个． 34．一个口袋中装有黑色和白色小球共个，它们除颜色之外完全相同．将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后，再放回口袋中搅匀，不断重复这一过程，发现摸到白球的频率稳定在左右，则估计这个口袋中黑球的个数为 ． 35．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 优等品频数 优等品频率 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是______；（精确到） (2)从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 题型八　几何概率 36．一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中的某个方格内（每个方格除颜色外完全一样），小鸟停在阴影方格内的概率是（   ） A． B． C． D．1 37．如图，在由边长为的小正方形组成的网格中有一个不规则图形（图中阴影部分）．数学小组想了解阴影部分的面积是多少，采取了以下办法：随机地朝网格投掷飞镖，并记录飞镖落在阴影部分的次数（飞镖落在网格区域外或阴影部分与白色部分的交接处不计试验结果），若干次有效试验的结果如下表：则不规则图形的面积约为（  ） 试验总次数 50 100 150 200 300 400 500 落在阴影部分的次数 23 50 84 110 168 220 275 落在阴影部分的频率 0.46 0.50 0.56 0.55 0.56 0.55 0.55 A． B． C． D． 巩固训练 38．如图，平行四边形中，对角线交于点O，直线l过点O，且与边，分别交于点E、F，．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是 ． 39．如图，大正方形游戏板是由个全等的直角三角形和个小正方形（图中阴影部分）拼成的“弦图”，已知直角三角形的两条直角边的长度分别为，．假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ． 40．（1）如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被分为红色区域和蓝色区域两部分，其中红色区域对应的圆心角度数为，转动转盘，当转盘停止时，求指针落在蓝色区域的概率； （2）请在图2中设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，落在黄色区域的概率为． 题型九　列举法求概率 41．山西素有中国“面食之乡”的美誉，其面食文化历史悠久，种类丰富．若某外地游客打算从以下四种面食中任意选择两种不同的面食作为当天午饭的主食，则正好选中猫耳朵和沾片子的概率是（    ） A． B． C． D． 42．A，B，C，D四名小朋友围坐在一张圆桌旁玩游戏，A先坐在如图所示的座位上，其他三人随机坐在其余的三个空位置上，则C不坐在B的对面的概率为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 43．将三个数1，5，8随机排成一个三位数，则排成的三位数是偶数的概率为 ． 44．小颖有红、黄、蓝三支彩笔，这三支彩笔的笔杆与笔帽的颜色一致，完成绘画后她随机将三个笔帽盖在笔杆上，每个笔帽与笔杆的颜色都不匹配的概率为 ． 45．互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． (1)小红在支付中，选用微信支付的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 题型十　列表法或树状图法求概率 46．2025年是中国动漫市场快速发展的关键一年，以下是2025年中国新出的动漫《哪吒之魔童闹海》《熊出没重启未来》《喜羊羊与灰太狼大电影5》《灶王传》                (1)小乐选择《哪吒之魔童降世》观看是 事件（选填随机，必然，不可能）． (2)小乐和小欢分别从这四部电影中随机选择一部观看，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一部电影观看的概率． 47．随着中考的临近，为了给即将参加中考的学生加油鼓励，九年级（1）班的班长制作了一个如图所示质地均匀的转盘（转盘被平均分成四等份），再将“中考加油”四个字分别写在每个扇形上，让班上的每个同学自由转动两次转盘，转盘停止后，指针所指扇形区域内的字即为转出的字（若指针指向分割线，则不计次数，重新转动，直至指针指向某一扇形区域为止）． (1)该班的小敏同学转动一次转盘，转出的字为“考”属于______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） (2)该班的小凡同学转动转盘两次，利用列表或画树状图的方法求小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的概率． 巩固训练 48．小刚所在的社区为了做好志愿者工作，特招募社区志愿工作者．小刚爸爸决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A（分类垃圾宣传），B（安全知识宣传），C（阅览室图书整理）的其中一组． (1)小刚爸爸被分到C组的概率是______； (2)张华爸爸也加入了该社区的志愿者队伍，请利用画树状图或列表的方法求小刚爸爸和张华爸爸被分到同一组的概率． 49．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别写在表面看上去无差别的卡片上，并分别放入甲、乙两个不透明的口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B两张卡片，乙口袋中装有C、D、E三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、C）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、D、E）． (1)格格从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到化学变化的概率是___________； (2)走走从两个口袋中分别随机抽出1张卡片，用画树状图或列表的方法，求走走抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 50．“一池翠湖水，半部昆明史．”位于昆明市五华区繁华街区旁的翠湖，被作家汪曾祺称作“昆明的眼睛”．他在《翠湖心影》中写道：“没有翠湖，昆明就不成其为昆明．”翠湖周边分布着“云南陆军讲武堂旧址”“朱德旧居纪念馆”“翠湖公园”“国立西南联合大学旧址”等众多景点．记“云南陆军讲武堂旧址”为、“朱德旧居纪念馆”为、“翠湖公园”为、“国立西南联合大学旧址”为． (1)从这四个景点中随机选择一个景点游览，则这个景点是“云南陆军讲武堂旧址”的概率是___________； (2)从这四个景点中随机选择两个景点游览，求这两个景点中有“翠湖公园”的概率．（请用列表法或画树状图法中的一种方法） 题型十一　游戏的公平性 51．一个可以自由转动的转盘，等分为8个扇形，分别写上1，2，…，8共8个数字，甲乙俩根据转动停止后指针指向的数作游戏（指向分界线另转）．下列规则不公平的是（   ） A．指向奇数甲赢，指向偶数乙赢 B．指向3的倍数甲赢，指向4的倍数乙赢 C．指向大于4的数甲赢，指向小于4的数乙赢 D．指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分，准先得到10分谁赢 52．小明用一枚质地均匀的骰子设计了一个游戏：任意掷出骰子，当掷出的是偶数点时，黑方前进一步；当掷出的是奇数点时，红方前进一步．这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 巩固训练 53．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质地、大小均相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座．则该办法 （填“公平”或“不公平”）． 54．如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“一”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是_____． (2)明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜，请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 55．小宇和小辰所在的数学兴趣小组做抽卡片游戏，小宇将文学名著中的四位人物的肖像制成四张卡片，如图，这些卡片除正面不同外，其余均相同，然后将其洗匀背面朝止放置在桌面上．游戏规则：小辰从中随机抽取一张，记录下卡片人物，然后放回；小宇再随机抽取一张，记录下卡片人物．若他们取出的两张卡片上对应的人物均出自同一本名著，则小辰胜，否则小宇胜． (1)小辰从中随机抽取一张是“．鲁智深”的概率是_____； (2)请你用列表或画树状图的方法判断这个游戏是否公平． 题型十二　关于频率与概率关系说法的正误 56．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 57．下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 巩固训练 58．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是 （若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 59．你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 60．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 15 14 25 20 13 13 （1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； （2）小明说：“根据试验，一次试验中出现3点朝上的概率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ （3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 题型十三　求某事件的频率 61．现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格数 48 95 141 190 480 760 950 合格率 (1)求，的值； (2)估计任抽一件衬衣是合格品的概率． 62．某公园有一种游戏，规则是：在一只装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外均相同）的袋中，随机摸出1个球，摸到红球可得到1个玩具奖品，否则得不到奖品．已知参加这种游戏活动的共4000人（每人1次），公园发放的玩具为1000个． (1)求参加1次这种游戏活动得到玩具的频率； (2)请你估计袋中白球的数量． 巩固训练 63．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 164 237 328 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.81 (1)填空：________，________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）； (3)如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 64．一个不透明的布袋中装有印着“太阳”“月亮”“星星”的卡片若干张（这些卡片除图案不同外其余都相同），小英每次洗匀后随机从布袋中摸出一张卡片，记下图案后再放回袋中，下表是小英记录的摸卡片结果： 摸卡片的总次数 20 50 100 200 500 摸到“月亮”卡片的次数 6 24 50 125 摸到“月亮”卡片的频率 0.30 0.26 0.24 0.25 (1)计算：___________，________； (2)估计任意摸出一张卡片是“月亮”卡片的概率．（结果精确到0.01） 65．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外，其他均相同的球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的统计数据． 摸球总次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 摸到黄球的次数 14 24 38 52 b 86 97 111 120 133 摸到黄球的频率 a (1)表中__________，__________． (2)估计从袋中摸出一个球是黄球的概率是__________．（精确到0.01） 题型十四　由频率估计概率 66．下表是一名同学在罚球区投篮的结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数n 50 100 150 209 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 124 153 252 投中频率（精确到0.01） 0.56 0.60 0.52 0.50 0.50 ______ ______ (1)将表格补充完整； (2)估计这名同学投篮一次投中的概率是多少（精确到0.01）； (3)若这名同学投篮622次，估计他投中的次数是多少． 67．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球个，白球个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)则盒子中共有 个球，其中黑球有 个； (2)现在从中拿出个红球，当 时，摸出红球为随机事件； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． (4)如果将口袋中加入若干个白球，并取出相同数量的黑球，然后再从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到黑球．请你估计加入______个白球． 巩固训练 68．一个袋中装有个红球和个白球，每个球除颜色外都相同． (1)从袋中随机抽取个球，求抽到的是红球的概率； (2)在袋中加入个白球后，进行如下实验：随机抽取一个球，然后放回，多次重复这个实验．通过大量重复实验后发现，抽到红球的频率稳定在，求的值． 69．李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（随机摸出记下颜色后放回），如表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 200 250 摸到黑球的频率 (1)表中_________，并根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_________． (2)请估计袋中白球的个数； 70．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)这种树苗成活的频率稳定在_______，成活的概率估计值为______________； (2)该地区已经移植这种树苗5万棵，估计这种树苗成活_______万棵． 题型十五　用频率估计概率的综合应用 71．大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ (2)为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 72．某种玉米种子在相同条件下的发芽试验结果如下表： 试验的种子粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 (1)计算并完成表格（结果精确到0.01）； (2)请估计当n很大时，频率将接近____________； (3)这种玉米种子的发芽概率的估计值是多少？请简要说明理由． 巩固训练 73．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 74．【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 75．对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如表所示： 投篮次数 10 50 100 150 200 命中次数 4 25 65 90 120 命中率 (1)计算表中投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率； (2)这个运动员3分球投篮命中的概率约是多少？ (3)估计这个运动员3分球投篮30次能得多少分． 题型十六　概率在比赛中的应用 76．2018（第七届）绵阳之春国际车展将于2018年4月18日-22日在绵阳国际会展中心盛大举行．某品牌汽车为了推广宣传，特举行“趣味答题闯关赢大奖”活动，参与者需连续闯过三关方能获得终极大奖．已知闯过第一关的概率为，连续闯过两关的概率为，连续闯过三关的概率为，已经连续闯过两关的参与者获得终极大奖的概率为 （  ） A． B． C． D． 77．抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． 巩固训练 78．小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________； (2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？ 79．小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 80．如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 题型十七　概率的其他应用 81．某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 82．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒． 巩固训练 83．某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为 ． 84．某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 85．在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 试卷第42页，共43页 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 概率初步知识归纳与题型突破（16类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点二、可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点三、概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点四、概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点五、几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 知识点六、列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点七、游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 知识点八、利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 知识点九、模拟实验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 03 题型归纳 题型一　事件的分类 1．下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．投篮高手投篮一次，命中篮框 C．班里所有同学只有两个属相 D．任画一个三角形，可能有两个内角为钝角 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，不可能事件即一定不能发生的事件，熟练掌握定义是解题的关键．一定不能发生的事件是不可能事件，据此判定即可． 【详解】解：A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意；     B. 投篮高手投篮一次，命中篮框是随机事件，不符合题意； C. 班里所有同学只有两个属相是随机事件，不符合题意；     D. 任画一个三角形，可能有两个内角为钝角，是不可能事件，符合题意； 故选：D． 2．有两个事件，事件A：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环；事件：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球．下列判断正确的是（    ） A．事件A是随机事件，事件是必然事件 B．事件A、事件都是必然事件 C．事件A是必然事件，事件是随机事件 D．事件A、事件都是随机事件 【答案】A 【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件的定义等只是点，正确掌握相关定义是解题关键． 根据随机事件、必然事件的定义逐个判断即可． 【详解】解：事件A：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环是随机事件；事件：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球是必然事件．即A选项符合题意． 故选A． 巩固训练 3．不透明的袋中装有5个红球和5个黄球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意取出1个球，取出 球是不可能事件，取出 球是随机事件，取出 球是必然事件； 【答案】 绿（答案不唯一） 红（或填黄） 红或黄 【分析】此题考查的是事件的分类，根据不可能事件、随机事件、必然事件的定义结合题意，即可得出结论． 【详解】解：不透明的袋中装有5个红球和5个黄球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意取出1个球，取出绿（只要填1个红、黄以外的颜色即可）球是不可能事件，取出红（或填黄）球是随机事件，取出红或黄球是必然事件． 故答案为：绿（答案不唯一）；红（或填黄）；红或黄． 4．下列事件中，随机事件是 （填序号）． ①某射击运动员射击1次，命中靶心；②从一只装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球；③13人中至少2人的生日是同一个月；④任意摸1张体育彩票会中奖；⑤太阳从东方升起；⑥随意翻开一本有400页的书，正好翻到第100页；⑦你能长高到；⑧抛掷1枚骰子得到的点数小于8． 【答案】①④⑥ 【分析】本题考查对随机事件、必然事件、不可能事件的应用，解题的关键是掌握：必然事件发生的可能性大小为，不可能事件发生的可能性大小为，随机事件可能发生也可能不发生．据此解答即可． 【详解】解：必然事件是③⑤⑧，不可能事件是②⑦，随机事件是①④⑥． 故答案为：①④⑥． 5．（1）某电视闯关游戏中，选手可以使用一次“排除一个错误选项”的权利．当他面对一道只有两个选项的选择题（该题只有一个选项是正确的）时： ①他随意地选择一个选项，恰好选对是什么事件？ ②他使用了“排除一个错误选项”的权利后，他做对了这道题是什么事件？ （2）请举一个类似的例子：改变某些条件后，随机事件变成确定事件． 【答案】（1）①随机；②必然；（2）见解析 【分析】本题考查了事件的分类，解题的关键是： （1）①根据选项有正确答案和错误答案两种可能，即可判断做对这题是随机事件； ②根据选项只有正确答案一种可能，即可判断做对这题是必然事件； （2）根据随机事件和必然事件的定义，类似（1）举例即可． 【详解】解：（1）①他随意地选择一个选项，恰好选对是随机事件； ②他使用了“排除一个错误选项”的权利后，只剩下正确选项，他做对了这道题是必然事件； （2）掷一枚骰子，投到点数是6的事件是随机事件，改成“投到点数不超过6”的事件就是必然事件．（答案不唯一） 题型二　判断事件发生的可能性大小 6．一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球．从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球．以下判断正确的是（　　） A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误 【答案】A 【分析】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解题的关键． 根据可能性大小的定义解答即可． 【详解】解：∵有2个红球和5个白球， ∴若摸出1个球，则摸出白球的可能性大，故甲正确；若摸出3个球，则至少有1个白球，故乙正确． 故选：A． 7．一个不透明盒子中装有80个白球、20个红球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出20个球，给出下列结论：①红球一定刚好有4个；②红球可能多于4个；③红球不可能少于4个．其中，错误结论有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查事件的可能性大小，根据事件的可能性大小一一分析判断即可． 【详解】解：一个不透明盒子中装有80个白球、20个红球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出20个球，其摸到红球的个数: ①红球不一定刚好有4个，故①错误， ②红球可能多于4个，说法正确，故②正确， ③红球可能少于4个，故③错误， 综上，错误的有①③， 故选：B． 巩固训练 8．从一副扑克牌中任意抽取1张，①这张牌是“Q”；②这张牌是“大王”；③这张牌是“红心”．将这些事件的序号按照发生的可能性从小到大的顺序排列： ． 【答案】②①③ 【分析】此题主要考查了随机事件发生的可能性的大小问题，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“大王”、“红色的牌”的张数各是多少． 首先分别求出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“大王”、“红色的牌”的张数各是多少，然后根据每张牌被抽到的机会相等，只要比较出哪个事件的可能结果最多，即可判断出这些事件发生的可能性的大小，并将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列即可． 【详解】解：一副扑克牌中含“Q”4张，“红心”13张，“大王”1张， ∵， ∴将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列：②①③． 故答案为：②①③． 9．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是 ． 【答案】②③① 【分析】本题主要考查可能性大小的比较，解题关键是理解：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意得，①掷得的点数是6包含1种情况；②掷得的点数不大于4包括4种情况；③掷得的点数是奇数包括3种情况，分别比较情况数的大小即可获得答案． 【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共6种情况； 而①掷得的点数是6包含1种情况；②掷得的点数不大于4包括4种情况；③掷得的点数是奇数包括3种情况，故发生的可能性由大到小的顺序排为②③①． 故答案为：②③①． 10．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时： (1)指针落在红色区域与蓝色区域分别是什么事件？ (2)指针落在哪个区域的可能性最大？请说明理由． 【答案】(1)随机事件和不可能事件 (2)白色区域，因为所占面积最大 【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，几何概率． （1）根据事件发生的可能性大小解答即可； （2）比较三种区域的面积大小即可确定落在哪个区域的可能性大． 【详解】（1）解：指针落在红色区域是随机事件， ∵转盘上没有蓝色区域， ∴指针落在蓝色区域是不可能事件， 即指针落在红色区域与蓝色区域分别随机事件和不可能事件； （2）解：由图可知，白色所对的扇形面积最大， ∴指针落在的区域可能性最大的是白色区域． 题型三　列举随机试验的所有可能结果 11．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【答案】D 【分析】本题考查了列举法求等可能结果，根据题意列举所有等可能结果，即可求解． 【详解】解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为：、；、；、这3种结果， 故选：D． 12．在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【答案】D 【分析】本题考查列举法（树状图法）．利用树状图法首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后确定对应的白球的个数即可． 【详解】解：画树状图如图所示： 则取法的种数是16． 故选：D． 巩固训练 13．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为 ． 4 【答案】 6 9182 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1，2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182． 14．将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有 种不同的情况． 【答案】5 【分析】先求出红桃牌的总张数为13张，再减去甲、乙红桃牌的张数可得剩下的红桃牌的张数，由此即可得． 【详解】解：一副牌去掉大小王后剩下张牌， 则红桃牌的总张数为（张）， 甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌， 剩下的红桃牌的张数为（张）， 所以丁的红桃牌的张数的所有可能情况为：0张、1张、2张、3张、4张，共有5种不同的情况， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了列举所有可能的结果，理解一副牌中红桃牌的总张数是解题关键． 15．质量检查员准备从一批产品中抽取10件进行检查，如果是随机抽取，为了保证每件产品被检的机会均等； （1）请采用计算器模拟实验的方法，帮质量检查员抽取被检产品； （2）如果没有计算器，你能用什么方法抽取被检产品？ 【答案】（1）利用计算器模拟产生随机数与这批产品编号相对应，产生10个号码即可．（2）利用摸球或抽签等 【分析】（1）利用计算器模拟产生随机数 （2）利用摸球或抽签等． 【详解】解：（1）利用计算器模拟产生随机数与这批产品编号相对应，产生10个号码即可． （2）利用摸球或抽签等． 【点睛】本题考查随机事件，属于基础题目，理解随机事件意义是解题的关键． 题型四　事件的概率 16．下列说法正确的是（   ） A．“长沙市明天降雨的概率为”，意味着长沙市明天有的时间下雨 B．投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次 C．“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是不可能事件 D．“某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票一定会有张中头奖 【答案】B 【分析】本题考查了可能性的大小，根据事件的分类，概率值越大，表示事件发生的可能性越大，但不一定必然发生进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、“长沙市明天降雨的概率为”，即下雨的可能性较大，故该选项不符合题意； 、投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次，故该选项符合题意； 、“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是随机事件，故该选项不符合题意； 、“某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票不一定会有张中头奖，故该选项不符合题意； 故选：． 17．如图是小明2025年4月3日查看某地区连续6天的天气预报列表（6行3列），其中对于第2行第2列位置中的数字“”表示的实际意义最可能是（   ） A．表示该地区可能有的地区会下小雨 B．表示可能有的小雨会下在该地区 C．表示该地区会下小雨的概率为 D．表示该地区的最低温度为13℃的概率为 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义掌握概率的定义是解题的关键． 根据概率的意义解答即可． 【详解】解：对于第2行第2列位置中的数字“”表示的实际意义最可能是表示该地区会下小雨的概率为， 故选：C． 巩固训练 18．不透明的口袋中有质地、大小、质量相同的白球和红球若干个，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则从袋中随机摸出一个白球的概率是 ． 【答案】 【分析】因为所有事件的概率之和为，所以随机摸白球的概率为减去摸红球的概率．此题考查概率知识，解此题关键是知道所有事件概率之和等于1． 【详解】解：∵随机摸红球的概率为； ∴随机摸出一个白球的概率为：； 故答案为：． 19．为了估计湖里有多少条鱼，有如下方案：从湖里捕上100条鱼做上标记，然后放回湖里去，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕上200条，若其中带标记的有25条，则湖里大约有 条鱼． 【答案】800 【分析】此题考查了用频率估计概率，进一步求得总体的计算方法．关键是得到有标记的鱼的条数占总的鱼的条数的百分比．首先求得样本中有标记的鱼的频率是，再进一步求得鱼塘里鱼的总数． 【详解】解：(条)． 故答案为． 20．有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；② (2) 【分析】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 题型五　根据概率公式计算概率 21．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求概率，直接根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数有6种等可能的结果，其中向上一面的点数是2的结果只有1种， ∴向上一面的点数是2的概率为； 故选D． 22．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，根据中学拟从《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，则运用概率公式得出恰好选中《算学启蒙》的概率，即可作答． 【详解】解：∵某中学拟从《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容， ∴恰好选中《算学启蒙》的概率是， 故选：C 巩固训练 23．现有下列长度的四根木棒：3，6，9，11，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据三角形三边之间的关系与概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：有四根木棒，长度分别为3，6，9，11， 从中任取三根木棒，共有4种等可能出现的结果：3，6，9；3，6，11；6，9，11；3，9，11； 根据三角形两边之和大于第三边，能组成三角形的有6，9，11；3，9，11，共2种， 组成三角形的概率为， 故答案为：． 24．开封是全国知名的文化旅游城市，七年级学生小明和小亮两个家庭均在2025年“五一”假期去开封游玩，并约定好于5月2号上午在“清明上河园、龙亭公园、开封府、万岁山”四个景区中随机选择一个作为游玩目的地，则两个家庭选择同一景区的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查两步概率问题，先令清明上河园为A、龙亭公园为B、开封府为C、万岁山为D，再列表分析，最后由简单概率公式代值求解即可得到答案．熟练掌握列举法解两步概率问题的步骤是解决问题的关键． 【详解】解：令清明上河园为A、龙亭公园为B、开封府为C、万岁山为D，则列表如下：          小亮 小明 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 由表可知，共有16种等可能的结果，其中两个家庭选择同一景区的结果有4种， 两个家庭选择同一景区的概率为， 故答案为：． 25．截止2025年4月21日，动画电影《哪吒2》以全球票房156亿元的佳绩跻身全球票房第五名，成为中国文化自信与技术实力的重要象征．现有4张分别印有版图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中． (1)若搅匀后从中任意取出1张卡片，“摸到哪吒”是______事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）； (2)若搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，用画树状图或列表的方法求出两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中取出的卡片图案为“摸到哪吒”的结果有种，利用概率公式可得答案； （2）画树状图展示所有种等可能的结果数以及取出的张卡片为“哪吒”和“敖丙”的结果数，再利用概率公式可得出答案； 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，搅匀后从中任意取出1张卡片，“摸到哪吒”的结果有种， ∴摸到哪吒的概率为， 故答案为：； （2）解：任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，作出树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次取出的张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为， ∴两次取出的张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为， 答：取出的张卡片为“哪吒”和“敖丙”的概率为． 题型六　根据概率作判断 26．电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（    ） A．A B．B C．C D．无法确定 【答案】A 【分析】根据图形发现B、C中只有一个地雷，所以知道A必为雷，则可得到答案． 【详解】解：由图形及题意可知：B、C中只有一个有地雷， 所以A必定有地雷， 所以A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是A，概率为1． 故选：A． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 27．在一个不透明的袋子中装有3个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外其它均相同，现添加1个同种型号的球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，则添加的球是（    ） A．红球 B．白球 C．黑球 D．任意颜色 【答案】C 【分析】首先根据概率求法，即可判定出添加的球使所有小球个数相同，即可得出答案． 【详解】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是， ∴这三种颜色的球的个数相等， ∴添加的球是黑球， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，解答此类问题的关键是掌握概率求法． 巩固训练 28．如图，在一个可以转动的转盘上有6个全等的扇形区域，用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准 颜色区域的可能性最小． 【答案】红 【分析】分别求得指针对准黄，红，绿三种颜色区域的概率，比较大小即可求得答案． 【详解】由题意转盘上有6个全等的扇形区域，则指针对准每个区域的可能性相等， 黄色区域有3个，绿色区域有2个，红色区域有1个， （指针对准黄色区域）=， （指针对准绿色区域）=， （指针对准红色区域）=， ， 指针对准红色区域的概率最小． 故答案为：红 【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，根据概率作判断，熟悉概率公式是解题的关键． 29．一个盒子中有白球m个，红球5个，黑球n个(每个球除了颜色外都相同)．如果从中任取个球，取得是红球的概率和不是红球的概率相同，那么m+n= ． 【答案】5 【分析】取得红球的概率与不是红球的概率相同，球的总数目是相同的，那么红球数与不是红球的球数相等． 【详解】解：取得是红球的概率与不是红球的概率相同，即红球数目与不是红球的数目相同， 而已知白球m个，红球5个，黑球n个，必有m+n=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了概率的公式，用到的知识点为：在总数相同的情况下，概率相同的部分的具体数目相等． 30．如图所示的转盘被分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针会指向其中的某个扇形，并相应得到一个数（指针指向分界线时，则重转）． (1)事件“转动一次转盘，得到的数恰好是0”发生的概率是________． (2)写出此情境下一个不可能发生的事件． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了概率公式，不可能事件，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据不可能事件发生的概率为0进行解答即可． 【详解】（1）∵转盘被分成三个相同的扇形，转动转盘，可得到三种等可能结果， ∴转动一次转盘，得到的数恰好是0发生的概率是， 故答案为：； （2）转动一次转盘，得到的数恰好是2，是不可能事件． 题型七　已知概率求数量 31．在一个不透明的布袋中装有70个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.125左右，则布袋中黑球的个数可能有（   ） A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率；解题关键是通过频率估计概率，用概率求黑球的个数． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，设布袋中黑球的个数可能有x个，列出方程求解即可． 【详解】解：设布袋中黑球的个数可能有x个， 依题意得： ， 解得， 经检验，符合题意， 故布袋中黑球的个数可能有个． 故选：B． 32．一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中．不断重复这个过程，共摸了50次球，发现有20次摸到红球．估计这个袋子中红球的数量为（   ）个 A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了已知概率求数量，频率估计概率，根据红球、白球共30个，共摸了50次球，发现有20次摸到红球，得出袋子的红球概率为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵红球、白球共30个，共摸了50次球，发现有20次摸到红球， ∴袋子的红球概率为， ∴（个）， 故选：A． 巩固训练 33．在一个不透明的箱子中装有除颜色外其他都相同的6个白球和一些红球，现搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．在200次摸球后统计发现，摸到白球的次数是60次，那么袋中的红球约有 个． 【答案】14 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，先根据白球的信息求出总球数，再减去白球数即可得到红球的数量． 【详解】解：由题意可得，袋中约有红球： （个）， 故答案为：14． 34．一个口袋中装有黑色和白色小球共个，它们除颜色之外完全相同．将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后，再放回口袋中搅匀，不断重复这一过程，发现摸到白球的频率稳定在左右，则估计这个口袋中黑球的个数为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了频率估算概率，理解题意，正确列式求解即可． 设这个口袋中黑球的个数为个，则白球的个数为，由此列式求解即可． 【详解】解：设这个口袋中黑球的个数为个，则白球的个数为， ∴， 解得， ∴这个口袋中黑球的个数为个， 故答案为：13 ． 35．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 优等品频数 优等品频率 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是______；（精确到） (2)从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 【答案】(1) (2) (3)4个 【分析】本题考查频数分布表、用频率估计概率，根据概率公式求概率，一元一次方程的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用表格用频率估计概率即可解答； （2）根据概率公式计算即可；     （3）设取出个黑球，则放入个黄球，构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：随着抽取彩色弹力球数量的增加，抽到优等品的频率在附近， 所以估计这批彩色弹力球“优等品”的概率是， 故答案为：； （2）解：从袋子中摸出一个球，所有可能的结果有种， 因为除了颜色外都相同， 所以每种结果出现的可能性相等，其中摸到黄球的结果有种， 从袋子中摸出一个球是黄球的概率； （3）解：设取出个黑球，则放入个黄球，由题意得： ， 解得． 答：取出了个黑球． 题型八　几何概率 36．一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中的某个方格内（每个方格除颜色外完全一样），小鸟停在阴影方格内的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比，掌握几何概率的公式是解决问题的关键． 确定阴影方格的面积在整个方格中占的比例，根据这个比例即可求出小鸟停在阴影方格中的概率． 【详解】解：图上共有4个方格，阴影方格为1个， ∴小鸟停在阴影方格内的概率是． 故选：A． 37．如图，在由边长为的小正方形组成的网格中有一个不规则图形（图中阴影部分）．数学小组想了解阴影部分的面积是多少，采取了以下办法：随机地朝网格投掷飞镖，并记录飞镖落在阴影部分的次数（飞镖落在网格区域外或阴影部分与白色部分的交接处不计试验结果），若干次有效试验的结果如下表：则不规则图形的面积约为（  ） 试验总次数 50 100 150 200 300 400 500 落在阴影部分的次数 23 50 84 110 168 220 275 落在阴影部分的频率 0.46 0.50 0.56 0.55 0.56 0.55 0.55 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率、利用频率估计概率，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率，再求得整个图形面积，进而可得答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在阴影部分的频率稳定在0.55附近， ∴随机地朝网格投掷飞镖，估计落在阴影部分的概率为0.55， 又整个图形面积为， ∴不规则图形的面积约为， 故选：C． 巩固训练 38．如图，平行四边形中，对角线交于点O，直线l过点O，且与边，分别交于点E、F，．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率和平行四边形的性质，先设平行四边形的面积是x，得出阴影部分的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案． 【详解】解：设平行四边形的面积是x， 则的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为, ∴在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是． 故答案为：． 39．如图，大正方形游戏板是由个全等的直角三角形和个小正方形（图中阴影部分）拼成的“弦图”，已知直角三角形的两条直角边的长度分别为，．假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是几何概率，勾股定理，全等三角形，熟记概率公式是解题的关键．先根据题意求出大正方形及阴影部分的面积，再利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长度分别为，， ∴大正方形的边长的平方， ∴大正方形的面积， ∵阴影部分正方形的边长， ∴阴影部分正方形的面积， ∴飞镖击中阴影部分的概率， 故答案为：． 40．（1）如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被分为红色区域和蓝色区域两部分，其中红色区域对应的圆心角度数为，转动转盘，当转盘停止时，求指针落在蓝色区域的概率； （2）请在图2中设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，落在黄色区域的概率为． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】本题考查了几何概率． （1）用蓝色区域的圆心角度数除以即可； （2）分别求出各区域的圆心角即可． 【详解】（1）（指针落在蓝色区域）． （2）， ， ， 如图， 题型九　列举法求概率 41．山西素有中国“面食之乡”的美誉，其面食文化历史悠久，种类丰富．若某外地游客打算从以下四种面食中任意选择两种不同的面食作为当天午饭的主食，则正好选中猫耳朵和沾片子的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率公式，列举法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分别用表示猫耳朵，沾片子，剔尖面，刀削面，然后列举出选择两种的六种情况，其中选中猫耳朵和沾片子的结果只有一种，代入概率公式即可求解． 【详解】解：分别用表示猫耳朵，沾片子，剔尖面，刀削面， 从中任意选择两种的结果有：， ∴总共有六种情况，选中猫耳朵和沾片子的结果只有一种， ∴正好选中猫耳朵和沾片子的概率是：． 故选：C． 42．A，B，C，D四名小朋友围坐在一张圆桌旁玩游戏，A先坐在如图所示的座位上，其他三人随机坐在其余的三个空位置上，则C不坐在B的对面的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列举法求概率，列举出所有可能出现的结果，确定满足条件的结果数，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，从A开始，逆时针排列所有可能的结果如下：，，，，，，其中C不坐在B的对面的结果有4种，分别为，，，， ∴C不坐在B的对面的概率为． 故选D 巩固训练 43．将三个数1，5，8随机排成一个三位数，则排成的三位数是偶数的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单概率事件的求解，属于基本题型，熟练掌握求解的方法是关键． 先列举出所有可能的情况数，再找出其中是偶数的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：用1，5，8三个数字排成一个三位数，有：158，185，518，581，815，851共6种情况， 其中是偶数的有：158与518两种情况， ∴（排出的数是偶数）． 故答案为：． 44．小颖有红、黄、蓝三支彩笔，这三支彩笔的笔杆与笔帽的颜色一致，完成绘画后她随机将三个笔帽盖在笔杆上，每个笔帽与笔杆的颜色都不匹配的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用列举法求概率．列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果，利用概率公式计算即可求解，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，共有种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝； 其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有种结果， ∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是， 故答案为：． 45．互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． (1)小红在支付中，选用微信支付的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】(1) (2)，详见解析 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点， （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择同一种支付方式的结果数，再利用概率公式可得出答案； 熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种， ∴小红在支付中，选用微信支付的概率是． 故答案为：． （2）将微信、支付宝、现金三种支付方式分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有，，共3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 题型十　列表法或树状图法求概率 46．2025年是中国动漫市场快速发展的关键一年，以下是2025年中国新出的动漫《哪吒之魔童闹海》《熊出没重启未来》《喜羊羊与灰太狼大电影5》《灶王传》                (1)小乐选择《哪吒之魔童降世》观看是 事件（选填随机，必然，不可能）． (2)小乐和小欢分别从这四部电影中随机选择一部观看，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一部电影观看的概率． 【答案】(1)不可能 (2) 【分析】本题考查事件的分类，列表法求出概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据事件的分类作答即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小乐从这四部电影中选到《哪吒之魔童降世》是不可能事件； 故答案为：不可能； （2）解：设《哪吒之魔童闹海》为A，《熊出没重启未来》为B，《喜羊羊与灰太狼大电影5》为C，《灶王传》为D 列表如下， A B C D A B C D 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一部动漫电影观看的结果有种， 两人恰好选中同同一部动漫电影观看的概率为． 47．随着中考的临近，为了给即将参加中考的学生加油鼓励，九年级（1）班的班长制作了一个如图所示质地均匀的转盘（转盘被平均分成四等份），再将“中考加油”四个字分别写在每个扇形上，让班上的每个同学自由转动两次转盘，转盘停止后，指针所指扇形区域内的字即为转出的字（若指针指向分割线，则不计次数，重新转动，直至指针指向某一扇形区域为止）． (1)该班的小敏同学转动一次转盘，转出的字为“考”属于______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） (2)该班的小凡同学转动转盘两次，利用列表或画树状图的方法求小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题主要考查了事件的分类，利用列表或画树状图求概率等知识点，解题的关键是熟练掌握事件的分类和求概率的方法． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）画树状图进行求概率即可． 【详解】（1）解：该事件属于随机事件， 故答案为：随机； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果，其中两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的结果有4种， ∴P（小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”． 巩固训练 48．小刚所在的社区为了做好志愿者工作，特招募社区志愿工作者．小刚爸爸决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A（分类垃圾宣传），B（安全知识宣传），C（阅览室图书整理）的其中一组． (1)小刚爸爸被分到C组的概率是______； (2)张华爸爸也加入了该社区的志愿者队伍，请利用画树状图或列表的方法求小刚爸爸和张华爸爸被分到同一组的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的结果数为3，再根据概率公式求解可得． 【详解】（1）解：P（小刚的爸爸被分到C组）； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的结果有3种， ∴P（小明的爸爸和张华的爸爸被分到同一组）． 49．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别写在表面看上去无差别的卡片上，并分别放入甲、乙两个不透明的口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B两张卡片，乙口袋中装有C、D、E三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、C）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、D、E）． (1)格格从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到化学变化的概率是___________； (2)走走从两个口袋中分别随机抽出1张卡片，用画树状图或列表的方法，求走走抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本本题考查了列表法或树状图法求事件的概率，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）先根据题意列表，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一口袋有3张卡片，其中化学变化的卡片有2张， 即从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到化学变化的概率是， 故答案为： （2）解：列表如下： 由表格可知，共有6中情况，其中两张卡片均是化学变化的情况有2种， 即抽出的两张卡片均是化学变化的概率为． 50．“一池翠湖水，半部昆明史．”位于昆明市五华区繁华街区旁的翠湖，被作家汪曾祺称作“昆明的眼睛”．他在《翠湖心影》中写道：“没有翠湖，昆明就不成其为昆明．”翠湖周边分布着“云南陆军讲武堂旧址”“朱德旧居纪念馆”“翠湖公园”“国立西南联合大学旧址”等众多景点．记“云南陆军讲武堂旧址”为、“朱德旧居纪念馆”为、“翠湖公园”为、“国立西南联合大学旧址”为． (1)从这四个景点中随机选择一个景点游览，则这个景点是“云南陆军讲武堂旧址”的概率是___________； (2)从这四个景点中随机选择两个景点游览，求这两个景点中有“翠湖公园”的概率．（请用列表法或画树状图法中的一种方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率、简单概率公式等知识． （1）根据简单概率公式求解即可； （2）列表，列举出所有等可能的结果及满足题意的结果，由简单概率公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：从这四个景点中随机选择一个景点游览，则这个景点是“云南陆军讲武堂旧址”的概率是； 故答案为：； （2）解：列表如下： — — — — 由表可知，共有12种等可能的结果，其中这两个景点中有“翠湖公园”的结果有6种， 这两个景点中有“翠湖公园”的概率是． 题型十一　游戏的公平性 51．一个可以自由转动的转盘，等分为8个扇形，分别写上1，2，…，8共8个数字，甲乙俩根据转动停止后指针指向的数作游戏（指向分界线另转）．下列规则不公平的是（   ） A．指向奇数甲赢，指向偶数乙赢 B．指向3的倍数甲赢，指向4的倍数乙赢 C．指向大于4的数甲赢，指向小于4的数乙赢 D．指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分，准先得到10分谁赢 【答案】C 【分析】根据题意可知共有种结果，再利用概率的计算公式即可解答，本题考查了概率的定义，概率的计算公式，熟练运用概率的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数，其中“是奇数”的有种，“是偶数”的也有4种， ∴“指向奇数”的概率是， “指向偶数”的概率是； ∴指向奇数甲赢，指向偶数乙赢的游戏公平，故A项不符合题意； ∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数， ∴其中“指向的倍数”的有种，“指向4的倍数”的种， ∴“指向的倍数”的概率是，“指向4的倍数”的概率是； ∴指向3的倍数甲赢，指向4的倍数乙赢的游戏公平，故B项不符合题意； ∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数， ∴其中“指向大于4的数”的有4种，“指向小于4的数”的有3种， ∴“指向大于4的数”的概率是，“指向小于4的数”的概率是， ∴指向大于4的数甲赢，指向小于4的数乙赢的游戏不公平，故C项符合题意； ∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数， ∴其中“指向的倍数”的有种，“指向5的倍数”的1种， ∵指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分， ∴“甲得10分”的概率是，“乙得10分”的概率是； ∴指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分，准先得到10分谁赢的游戏公平，故D项不符合题意； 52．小明用一枚质地均匀的骰子设计了一个游戏：任意掷出骰子，当掷出的是偶数点时，黑方前进一步；当掷出的是奇数点时，红方前进一步．这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件发生的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：任意掷出骰子，出现的点数情况如下： 1，2，3，4，5，6，共六种情况． ，，因此这个游戏公平． 故答案为：公平． 巩固训练 53．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质地、大小均相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座．则该办法 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】此题考查了概率公式和游戏公平性问题，根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：红球有个，白球有个， ，， ， 这个办法不公平． 故答案为：不公平． 54．如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“一”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是_____． (2)明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜，请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)； (2)该游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查了游戏公平性的判断，解题关键是会运用概率公式求解． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出明明、红红获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”、“是”、“一”、“中”、“人”、“我”、“骄”、“傲”这8个汉字， ∴转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是； “我”的笔画数是7， “是”的笔画数是9， “一”的笔画数是1， “中”的笔画数是4， “人”的笔画数是2， “我”的笔画数是7， “骄”的笔画数是9， “傲”的笔画数是， 8个汉字中笔画数是奇数的汉字有5个， 指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是； （2）游戏不公平，理由如下： 笔画多于7画的汉字有3个，分别是：是，骄，傲；笔画不多于7画的汉字有5个，分别是：我，一，中，人，我． ∴明明获胜的概率是； 红红获胜的概率是 明明获胜的概率≠红红获胜的概率． ∴该游戏不公平． 55．小宇和小辰所在的数学兴趣小组做抽卡片游戏，小宇将文学名著中的四位人物的肖像制成四张卡片，如图，这些卡片除正面不同外，其余均相同，然后将其洗匀背面朝止放置在桌面上．游戏规则：小辰从中随机抽取一张，记录下卡片人物，然后放回；小宇再随机抽取一张，记录下卡片人物．若他们取出的两张卡片上对应的人物均出自同一本名著，则小辰胜，否则小宇胜． (1)小辰从中随机抽取一张是“．鲁智深”的概率是_____； (2)请你用列表或画树状图的方法判断这个游戏是否公平． 【答案】(1)； (2)小宇胜的概率更高，因此游戏不公平．理由见解析． 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“．鲁智深”的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）通过列举所有可能的抽取结果，计算两人抽到同一本名著的概率，并比较双方胜负概率是否相等来判断游戏公平性． 【详解】（1）解：四张卡片分别对应人物（诸葛亮）、（曹操）、（鲁智深）、（贾宝玉），抽取一张共有4种等可能结果， 鲁智深对应卡片，只有一种情况，因此概率为； 故答案为：； （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果， 诸葛亮、曹操出自《三国演义》；鲁智深出自《水浒传》；贾宝玉出自《红楼梦》； 因此，两人抽到同一本名著的条件为： 两人均抽到或（三国演义）；或均抽到（水浒传）；或均抽到（红楼梦）； 其中取出的两张卡片上对应的人物均出自同一本名著的结果有6种， 不相同的结果有10种， 小辰胜的概率为：； 小宇胜的概率为：； 由于，所以小宇胜的概率更高，因此游戏不公平． 题型十二　关于频率与概率关系说法的正误 56．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 57．下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，掌握在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值是解题关键．理解用频率估计概率，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率不一定越来越小，故该选项说法错误，不符合题意； B．根据在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近概率，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5，故该选项说法正确，符合题意； C．试验50000次正面朝上的频率不一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5，故该选项说法错误，不符合题意； D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数不一定等于2500，故该选项说法错误，不符合题意． 故选B． 巩固训练 58．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是 （若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 【答案】② 【分析】根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6． 【详解】解：①若摸次，则频率在上下波动，故①错误； ②根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，故②正确 故答案为：② 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 59．你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 【答案】(1)不同意，见解析 (2)不同意，见解析 【分析】本题考查的是频率和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． （1）根据“频率”和“概率”的定义即可判断； （2）根据“频率”和“概率”的定义即可判断． 【详解】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是． （2）解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响． 60．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 15 14 25 20 13 13 （1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； （2）小明说：“根据试验，一次试验中出现3点朝上的概率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ （3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 【答案】（1）0.15；0.13；（2）小明和小亮都是错误的，见解析；（3） 【分析】（1）结合表格中数据，根据“频率=频数÷总数”即可求得； （2）根据频率估计概率的条件和事件发生的随机性判断正误； （3）运用概率的计算公式计算即可 【详解】解：（1）“1点朝上”的频率为； “6点朝上”的频率为； （2）小明的说法错误；因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；（或出现3点朝上的概率应为） 小亮的判断是错误的；因为事件发生具有随机性； （3）点数不小于4的可能性有3种，所有可能性有6种， 【点睛】本题考查了根据频数、总数求频率，随机事件的定义，运用概率公式求概率，理解定义是解题的关键． 题型十三　求某事件的频率 61．现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格数 48 95 141 190 480 760 950 合格率 (1)求，的值； (2)估计任抽一件衬衣是合格品的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了求某事件的频率，利用频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据合格率合格数抽取件数计算即可； （2）根据7批次衬衫从50件增加到1000件时，衬衣的合格率趋近于0.95，所以估计衬衣合格的概率为0.95． 【详解】（1）解：根据题意，； ． 答：的值为，的值为． （2）抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， 估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.95． 62．某公园有一种游戏，规则是：在一只装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外均相同）的袋中，随机摸出1个球，摸到红球可得到1个玩具奖品，否则得不到奖品．已知参加这种游戏活动的共4000人（每人1次），公园发放的玩具为1000个． (1)求参加1次这种游戏活动得到玩具的频率； (2)请你估计袋中白球的数量． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查概率公式，解题关键是掌握概率公式，并充分理解题意，掌握频率与概率的关系； （1）可用频率估计概率，即4000人次摸到红球1000次，利用概率公式计算； （2）设白球为，再利用概率公式列方程，求解即可． 【详解】（1）解：参加一次这种游戏活动得到玩具奖品的频率为． （2）设袋中白球为个， 则摸到红球的概率， ， 解得：，经检验是方程的解． 故白球接近18个． 巩固训练 63．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 164 237 328 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.81 (1)填空：________，________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）； (3)如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【答案】(1)100，0.79，405 (2)0.8 (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可． 【详解】（1）解：，，； （2）由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是0.8； 故答案为：0.8； （3）不会一样，理由如下： 由（2）可知，该运动员投中的概率为0.8，故随着试验次数的增加，该运动员投球的频率在0.8左右波动，故每次试验命中的球数会有所波动，不可能跟上一次完全相同． 64．一个不透明的布袋中装有印着“太阳”“月亮”“星星”的卡片若干张（这些卡片除图案不同外其余都相同），小英每次洗匀后随机从布袋中摸出一张卡片，记下图案后再放回袋中，下表是小英记录的摸卡片结果： 摸卡片的总次数 20 50 100 200 500 摸到“月亮”卡片的次数 6 24 50 125 摸到“月亮”卡片的频率 0.30 0.26 0.24 0.25 (1)计算：___________，________； (2)估计任意摸出一张卡片是“月亮”卡片的概率．（结果精确到0.01） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求频数、频率，利用频率估计概率，熟练掌握相关知识点是解题的估计． （1）根据表格数据计算即可得到答案； （2）根据表格数据即可得到答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：根据表格中的数据得摸到“月亮”卡片的频率稳定在， 任意摸出一张卡片是“月亮”卡片的概率为． 65．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外，其他均相同的球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的统计数据． 摸球总次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 摸到黄球的次数 14 24 38 52 b 86 97 111 120 133 摸到黄球的频率 a (1)表中__________，__________． (2)估计从袋中摸出一个球是黄球的概率是__________．（精确到0.01） 【答案】(1)；68 (2)0.33 【分析】本题考查了频率与概率相关知识，解题的关键是理解频率的计算公式并依据大量重复试验时频率可估计概率． （1）根据频率公式计算的值． （2）根据大量重复试验下，频率稳定值即概率来求解． 【详解】（1）解：频率的计算公式为：频率， ， ， 故答案为：，68； （2）当试验次数很大时，频率稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值． 观察表格中数据，随着摸球总次数的增加，摸到黄球的频率逐渐稳定在左右，精确到0.01为0.33，所以从袋中摸出一个球是黄球的概率约是0.33． 故答案为：0.33． 题型十四　由频率估计概率 66．下表是一名同学在罚球区投篮的结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数n 50 100 150 209 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 124 153 252 投中频率（精确到0.01） 0.56 0.60 0.52 0.50 0.50 ______ ______ (1)将表格补充完整； (2)估计这名同学投篮一次投中的概率是多少（精确到0.01）； (3)若这名同学投篮622次，估计他投中的次数是多少． 【答案】(1)见解析 (2)估计这名球员投篮一次，投中的概率约是0.50； (3)311次 【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）用投中的次数除以投篮次数即可； （2）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （3）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：，； 补充表格如下， 投篮次数n 50 100 150 209 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 124 153 252 投中频率（精确到0.01） 0.56 0.60 0.52 0.50 0.50 0.51 0.50 （2）解：估计这名球员投篮一次，投中的概率约是0.50； （3）解： (次)． 所以估计这名同学投篮622次，投中的次数约是311次． 67．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球个，白球个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)则盒子中共有 个球，其中黑球有 个； (2)现在从中拿出个红球，当 时，摸出红球为随机事件； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． (4)如果将口袋中加入若干个白球，并取出相同数量的黑球，然后再从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到黑球．请你估计加入______个白球． 【答案】(1)20；12 (2)1或2 (3)拿出5个黑球 (4)4 【分析】本题考查了概率的计算、用频率估计概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）利用摸出一个白球的概率求出盒子中球的数量，即可求出黑球的数量； （2）根据盒子里有红球3个，结合随机事件的定义即可求解； （3）利用摸出一个球是红球的概率求出盒子中球的数量，即可求出黑球数量的变化； （4）估计摸到黑球的概率为，设加入个白球，根据题意列出方程，解出的值即可． 【详解】（1）解：任意摸出一个白球的概率是， 盒子中球的数量为（个）， 其中黑球的数量为（个）， 盒子中共有20个球，其中黑球有12个． 故答案为：20；12． （2）解：盒子里有红球个， 从中拿出个红球，当或2时，摸出红球为随机事件． 故答案为：1或2． （3）解：任意摸出一个球是红球的概率为， 盒子中球的数量为（个）， 盒子中黑球的数量减少了（个）， 拿出5个黑球，可以使得任意摸出一个球是红球的概率为． （4）解：估计摸到黑球的概率为， 设加入个白球，则取出个黑球， 由题意得，， 解得：， 估计加入4个白球． 故答案为：4． 巩固训练 68．一个袋中装有个红球和个白球，每个球除颜色外都相同． (1)从袋中随机抽取个球，求抽到的是红球的概率； (2)在袋中加入个白球后，进行如下实验：随机抽取一个球，然后放回，多次重复这个实验．通过大量重复实验后发现，抽到红球的频率稳定在，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率公式，利用频率估计概率，熟练掌握概率公式和频率的定义是解题的关键． （1）利用概率公式计算即可； （2）根据大量重复实验时，频率可以估计概率，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一个袋中装有个红球和个白球，每个球除颜色外都相同， ∴随机抽取个球，抽到的是红球的概率是； （2）解：根据题意，得， 解得： 经检验，是分式方程的解且符合题意． 69．李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（随机摸出记下颜色后放回），如表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 200 250 摸到黑球的频率 (1)表中_________，并根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_________． (2)请估计袋中白球的个数； 【答案】(1)， (2)3个 【分析】本题考查由频率估计概率，已知概率求数量．理解在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率是解题关键． （1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）设白球有x个，根据摸出黑球的概率列方程求解即可． 【详解】（1）解：，随着试验次数的增加，摸到黑球的频率逐渐稳定在左右，所以估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是． （2）解：设袋中白球有x个，根据题意得： ， 解得， 经检验是原方程的根， ∴估计袋中白球的个数为3个． 70．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)这种树苗成活的频率稳定在_______，成活的概率估计值为______________； (2)该地区已经移植这种树苗5万棵，估计这种树苗成活_______万棵． 【答案】(1)0.9，0.9 (2)4.5 【分析】本题考查频率估计概率． （1）根据图中的数据，可以写出这种树苗成活的频率和成活的概率估计值； （2）根据（1）中的结果，用树苗总数乘以成活的概率可以计算出这种树苗成活的棵数； 【详解】（1）解：由图可得， 这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9， 故答案为：0.9，0.9； （2）解：（万棵）， 估计这种树苗成活4.5万棵， 故答案为：4.5． 题型十五　用频率估计概率的综合应用 71．大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ (2)为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 【答案】(1)万件 (2)每件衬衣至少需要定价元 【分析】本题考查了由频率估计概率，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据频率估计概率，然后根据概率求出抽检2万件衬衣中合格衬衣件数即可； （2）设每件衬衣需要定价x元，根据销售利润至少有220万列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：随着抽检数量的增多，合格衬衣的频数稳定在左右，所以抽取一件衬衫是合格衬衣的概率为，因此抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有： （万件）； （2）解：设每件衬衣需要定价x元，根据题意得： ， 解得：， 答：每件衬衣至少需要定价元． 72．某种玉米种子在相同条件下的发芽试验结果如下表： 试验的种子粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 (1)计算并完成表格（结果精确到0.01）； (2)请估计当n很大时，频率将接近____________； (3)这种玉米种子的发芽概率的估计值是多少？请简要说明理由． 【答案】(1)0.70； 0.70 (2)0.70 (3)这种玉米种子的发芽概率的估计值是0.7；理由：在相同条件下，多次试验，事件的发生频率近似等于概率 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． （1）用发芽的粒数每批粒数n即可得到发芽的频率； （2）种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.7，所以估计当n很大时，频率将接近0.7； （3）这种玉米种子的发芽概率的估计值是0.7，因为在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率． 【详解】（1）解：表中①的数值为，②的数值为； 故答案为：0.70、0.70； （2）当n很大时，频率将接近0.70； （3）解：该品种小麦种子发芽的概率估计值是0.70， 理由：在相同条件下，多次实验，某一事件发生的频率近似等于概率． 巩固训练 73．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 【答案】(1)①0.71，0.701； ②0.7 (2)盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率， 对于（1）①，利用概率公式求出，的值即可； ②根据表格中的数据即可得出结论； 对于（2），根据②中的概率计算即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得， 故答案为：0.71，0.701； ②由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在0.7附近， 当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 故答案为：0.7； （2）解：由（1）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 盒子中黄色乒乓球的个数（个）． 答：盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个． 74．【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据圆的面积公式得到圆的面积（平方米），利用圆的面积频率值圆的面积即可得到结论． 【详解】解：（1）， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近， 故答案为：0.305，0.3； （2）∵圆的面积（平方米）， ∴整个封闭图形的面积（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 75．对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如表所示： 投篮次数 10 50 100 150 200 命中次数 4 25 65 90 120 命中率 (1)计算表中投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率； (2)这个运动员3分球投篮命中的概率约是多少？ (3)估计这个运动员3分球投篮30次能得多少分． 【答案】(1)；；； (2) (3)54分 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还考查了频率的计算公式． （1）用对应的m除以n即可求解； （2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率约为； （3）根据（2） 的估计得到投篮30次命中次，然后用18乘以3即可． 【详解】（1）解：投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率分别为： ；；；； （2）解：由表格数据知，当投篮次数逐渐增加时，命中率稳定在附近，所以估计这个运动员3分球投篮． （3）解：由（2）的结论可知这个运动员投篮30次，命中的次数约为（次），约能得到（分）． 题型十六　概率在比赛中的应用 76．2018（第七届）绵阳之春国际车展将于2018年4月18日-22日在绵阳国际会展中心盛大举行．某品牌汽车为了推广宣传，特举行“趣味答题闯关赢大奖”活动，参与者需连续闯过三关方能获得终极大奖．已知闯过第一关的概率为，连续闯过两关的概率为，连续闯过三关的概率为，已经连续闯过两关的参与者获得终极大奖的概率为 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设已经连续闯过两关并获得终极大奖的概率为，由获得终极大奖是在连续闯过两关的基础上再闯过第三关，则存在概率关系：连续闯过两关的概率与过第三关的概率之积等于连续闯过三关的概率，由此等量关系可得方程，解方程即可． 【详解】设已经连续闯过两关并获得终极大奖的概率为，由题意得，， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了概率的求法，清楚连续闯两关的概率与过第三关的概率之积等于连续闯三关的概率是解答本题的关键． 77．抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】列举出所有情况，看“和为6”及“和为9”情况数占所有情况数的多少即可． 【详解】解：如图所示： （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 共有36种情况，和为6情况数是5种，所以甲赢的概率为；和为9的情况数有4种，所以概率为 ． ∵＞， ∴不公平． 故答案为不公平． 【点睛】此题考查用列表格的方法解决概率问题；得到“和为6”及“和为9”的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 巩固训练 78．小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________； (2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？ 【答案】(1) (2)小丽获胜的概率大 【分析】本题考查简单的概率计算，掌握概率的计算公式是解答本题的关键． （1）先确定中3的倍数的个数，再依据概率公式计算即可． （2）确定小丽抽到6后剩余卡片情况，共9张，数字为、、、、、、、、； 分别找出小亮获胜（抽到、、、 ）和小丽获胜（抽到、、、、 ）对应的数字个数； 依据概率公式分别计算小亮和小丽获胜的概率，比较大小得出谁获胜概率大． 【详解】（1）解：在1到10这10个数字中，3的倍数有3、6、9，共3个． 所以抽出卡片上的数字是3的倍数的概率， 故答案为：； （2）在数字1到10中，比6小的数字有1，2，3，4，5， 所以小丽获胜的概率是．           比6大的数字有7，8，9，10， 所以小亮获胜的概率是．           因为， 所以小丽获胜的概率大． 79．小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【答案】(1)7，0，小明 (2) (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据规则，进行求和计算即可； （2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10的结果，再利用概率公式进行计算即可； （3）求出小亮第三次投掷和不超过10和超过10的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：小明得分：（分）； 小亮投掷的点数之和为：， ∴小亮得分为0分； ∴小明赢； 故答案为：7，0，小明； （2）小明前两次投掷的点数和为：， ∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分， ∴； （3）不会，理由如下： 小亮前两次投掷的点数和为：， ∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为， ∵， ∴不会投掷第三次． 80．如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2)正确，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式，熟练地利用概率公式进行计算是解本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）先求出A盘转出的数字大于4的概率和B盘转出数字“4”的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域， 所以（A盘转出数字“2”）， 因为B盘被分成3个面积相等的扇形区域， 所以（盘转出数字“2”）， （2）解：正确，理由如下： 因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域，其中数字大于4的区域有2个， 所以（A盘转出的数字大于4）． 因为盘被分成3个面积相等的扇形区域，其中数字为4的区域有1个， 所以（盘转出数字“4”）， 所以小华的看法正确， 题型十七　概率的其他应用 81．某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键； （1）用“纸巾”对应牌的数量除以牌的总数量即可； （2）用“纸巾”、“牙刷”“太阳伞”对应牌的总数量除以牌的总数量即可； （3）根据题意，可知本题答案不唯一，只要九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞即可． 【详解】（1）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个， 抽到“纸巾”奖品的可能性是：； 故答案为：； （2）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个， 小深中奖的概率是 故答案为：； （3）解：设计九张牌中九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞，如图所示： 82．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒． 【答案】120 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 巩固训练 83．某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为 ． 【答案】126 【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键． 根据题意转化为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间，得到共有9个位置，进而求解即可． 【详解】解：∵路上有12盏路灯，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭， ∴可以理解为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间 ∴共有9个位置 ∴（盏）． ∴不同的关灯方案种数为126盏． 故答案为：126． 84．某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可． 【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 85．在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 【答案】(1)随机 (2)，， (3)见解析 【分析】（1）根据“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”的定义判断即可； （2）利用概率公式直接进行计算． （3）设计摸球游戏中的球总数为，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数即可． 【详解】（1）解：小明可能中奖也可能不中奖 小明中奖是随机事件； 故答案为：随机； （2）解：袋中共有个球，其中红球个，黄球6个，黑球9个，且从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与， ， ， ． 故答案为：； （3）解：有足够多的球，从中选个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率， 只要球的总数为个，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数， 可设计如下：选红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球个，其中红球和白球都是个，黑球个，其他的球都是黄色球． 【点睛】本题考查随机事件，概率公式，游戏设计，掌握概率的意义是解题的关键． 试卷第42页，共43页 3 / 53 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$