专题02 三角恒等变换九种考法（知识清单+方法讲解+重难点例题及变式+限时冲刺练）-2024-2025学年高一数学下学期期末复习专题（苏教版2019必修第二册）（新高考地区专用）

专题02 三角恒等变换九种考法 一、知识清单 知识梳理 两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 二倍角公式 ①； ②； ③； 降次（幂）公式 半角公式 辅助角公式 （其中） 二、方法讲解 1.两角和与差的三角函数公式 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的。 2.两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 3. 利用角的拆分求值 用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如： 等 4. 给角求值 （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 5. 给值求值 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式． 6.给值求角 解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 7.辅助角公式 （其中）． 形如化为，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 8.三角函数式的化简求值与证明 三角函数式的化简遵循“三看”原则 一看式中各角：通过把三角函数式中各角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； 二看函数名称：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． 三看结构特征：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“整式要因式分解”、“二次式配方”等 9.三角恒等变换在三角函数、解三角形中的应用 已知三角恒等式可以判断三角形的形状，判断时先将已知恒等式进行合理的变形，得到角或边之间的关系，再加以判断．条件中没有边的相对位置关系时，就从角入手，证明一个角是直角或者有两个角互余，也可由一个角的正弦值为1或余弦值为0，得出结论． 三、重难点例题及变式 类型一、两角和与差的三角函数公式 例．（1）若均为第二象限角，满足，，则（ ） A. B. C. D. （2）（多选）已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知角满足，，则______． 类型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 例．（1） 已知角满足，则（ ） A． B． C． D． （2）已知，满足，则 ． 【变式训练1】已知，则 . 【变式训练2】计算：＝ . 类型三、利用角的拆分求值 例．已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知，均为锐角，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 类型四、给角求值 例．求值：（ ） A．1 B． C． D． 【变式训练1】的值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】若，则实数的值为___________ 类型五、给值求值 例．已知，则 . 【变式训练1】若，则（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】已知，则 ． 类型六、给值求角 例．若，且，，则 . 【变式训练1】已知为锐角，且，则 . 【变式训练2】已知，，，则的值是（ ） A． B． C． D． 类型七、辅助角公式 例．已知，则 . 【变式训练1】已知的最大值为3，则 . 【变式训练2】若函数的最大值为，则实数 ． 类型八、三角函数式的化简求值 例．__________. 【变式训练1】化简___________ 【变式训练2】=___________ 类型九、三角恒等变换在三角函数、解三角形中的应用 例．(1)把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为______________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_______________. (2)（多选）已知钝角三角形，为两锐角，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知函数,设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； 【变式训练2】（多选）已知角，是锐角三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A． B． C． D． 四、限时冲刺练 1．已知，，则（ ） A. B. C. D. 2．已知，则（ ） A． B． C． D．5 3．若，则（ ） A． B． C． D． 4．若，且，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 6.已知，，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 7.（多选）下列式子中成立的有（ ） A. B. C. D. 8．（多选）已知，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9．（多选）对于任意角，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知，，则________． 11.已知，则 . 12.已知为锐角，且，则 ． 13.已知角，满足，，且，. （1）求的值； （2）求的大小. 14.已知函数. （1）求函数的最小正周期及对称中心； （2）若函数在区间上的值域为，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角恒等变换七种考法 一、知识清单 知识梳理 两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 二倍角公式 ①； ②； ③； 降次（幂）公式 半角公式 辅助角公式 （其中） 二、方法讲解 1.两角和与差的三角函数公式 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的。 2.两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 3. 利用角的拆分求值 用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如： 等 4. 给角求值 （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 5. 给值求值 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式． 6.给值求角 解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 7.辅助角公式 （其中）． 形如化为，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 8.三角函数式的化简求值与证明 三角函数式的化简遵循“三看”原则 一看式中各角：通过把三角函数式中各角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； 二看函数名称：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． 三看结构特征：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“整式要因式分解”、“二次式配方”等 9.三角恒等变换在三角函数、解三角形中的应用 已知三角恒等式可以判断三角形的形状，判断时先将已知恒等式进行合理的变形，得到角或边之间的关系，再加以判断．条件中没有边的相对位置关系时，就从角入手，证明一个角是直角或者有两个角互余，也可由一个角的正弦值为1或余弦值为0，得出结论． 三、重难点例题及变式 类型一、两角和与差的三角函数公式 例．（1）若均为第二象限角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为均为第二象限角，满足，， 所以， 所以. 故选：D. （2）（多选）已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】是方程的两根，又， 解得， ，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项错误； ，，则，有， ， ，D选项正确. 故选：AD. 【变式训练1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，即， 即，所以. 故选：B 【变式训练2】已知角满足，，则______． 【答案】## 【解析】因为，即， 又，所以， 所以 故答案为： 类型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 例．（1） 已知角满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 故， 因此 故选：C  （2）已知，满足，则 ． 【答案】 【解析】因为， 即，整理得，即， 所以． 故答案为： 【变式训练1】已知，则 . 【答案】 【解析】由， 可得， 两式平方相加，可得：， 即， 又由，可得，所以，所以 因为，且，所以. 故答案为： 【变式训练2】计算：＝ . 【答案】 【解析】由题意． 故答案为：． 类型三、利用角的拆分求值 例．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①， ②， 由①②相加，得，所以. 故选：A. 【变式训练1】已知，均为锐角，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，均为锐角，即，所以，， 又，， 所以，， 所以 ， 故选：B. 【变式训练2】已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，则，， 故， ， 故 . 故选：C 类型四、给角求值 例．求值：（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】原式 ， 故选：D 【变式训练1】的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原式. 故选：A 【变式训练2】若，则实数的值为___________ 【答案】4 【解析】由已知可得 . 故答案为：4 类型五、给值求值 例．已知，则 . 【答案】 【解析】，， . 故答案为: 【变式训练1】若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】令，而， 故选：A. 【变式训练2】已知，则 ． 【答案】 【解析】由题意，，且，故. 故 . 故，. 故答案为： 类型六、给值求角 例．若，且，，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， ，所以，所以， 所以，， 所以， 因为，，则， ，，所以 所以 ， 所以. 故答案为： 【变式训练1】已知为锐角，且，则 . 【答案】/ 【解析】因为， ， 又， 所以，所以，即， 因为，所以，所以，所以. 故答案为： 【变式训练2】已知，，，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 则， 可知，，则， 又因为， 可得， 所以. 故选：D 类型七、辅助角公式 例．已知，则 . 【答案】 【解析】 ， 则， 故 . 故答案为：. 【变式训练1】已知的最大值为3，则 . 【答案】 【解析】， 由辅助角公式可得的最大值， 化简得，即，解得， 所以，. 故答案为： 【变式训练2】若函数的最大值为，则实数 ． 【答案】 【解析】 （其中） 所以当时，取得最大值， 因为函数的最大值为， 所以，解得. 故答案为： 类型八、三角函数式的化简求值 例．__________. 【答案】 【解析】. 故答案： 【变式训练1】化简___________ 【答案】 【解析】. 故答案为： 【变式训练2】=___________ 【答案】1 【解析】 故答案为：1 类型九、三角恒等变换在三角函数、解三角形中的应用 例．(1)把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为______________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】由题设， 所以为奇函数，则， 所以，又，故， 所以，若，则， 又函数在区间上存在最大值2，则. 故答案为：5， (2)（多选）已知钝角三角形，为两锐角，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意，，则， 所以，故A正确； 对于B，， 因为，所以， 所以，故B错误； 对于C，， 所以，所以， 又因，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练1】已知函数,设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； 【答案】； 【解析】由为偶函数，则，，又，则， 所以，则 ， 存在，使不等式成立，则， 所以在上能成立，而， 所以； 【变式训练2】（多选）已知角，是锐角三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题易知， ，， 即A、B、C结论成立. 对于D，由锐角三角形知，，得， 因此，所以错误. 故选：ABC 四、限时冲刺练 1．已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，又， 所以， 所以. 故选：D 2．已知，则（ ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解析】因为， 所以. 故选：C 3．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 即， 即， 两边同除可得， 所以. 故选：C 4．若，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则, 由， 所以，则，则， 故. 故选：D 5．已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，可得， 又因为，可得， 所以. 故选：C 6.已知，，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 7.（多选）下列式子中成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】对于A选项，，A错； 对于B选项，因为， 所以，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对． 故选：BCD． 8．（多选）已知，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】因为，所以，又， 所以， 所以 ，故A正确； 所以，故C错误； 因为，，所以， 所以，故B正确； ，故D正确. 故选：ABD 9．（多选）对于任意角，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C，， ，故C正确； 对于D，因为 ，故D正确， 故选：CD. 10．已知，，则________． 【答案】 【解析】因为，则，则， 又，所以， 则， 所以 . 故答案为： 11.已知，则 . 【答案】/ 【解析】由，所以， 所以，所以，即， 因为，，所以， 即，联立得. 故答案为： 12.已知为锐角，且，则 ． 【答案】 【解析】因为， 即， 且为锐角，则， 可知，则， 可得， 所以. 故答案为： 13.已知角，满足，，且，. （1）求的值； （2）求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，，所以； 因为，，所以 所以，， 所以； （2）因为，，所以， 因为，，所以，， ，得，， ，因为 所以. 14.已知函数. （1）求函数的最小正周期及对称中心； （2）若函数在区间上的值域为，求的取值范围. 【答案】（1），对称中心为 （2） 【解析】（1）因为 ， 所以函数的最小正周期； 令，，解得，． 所以对称中心为． （2）当时，， 又，，且在上单调递减，在上单调递增， 因为在的值域为， 所以，解得， 即的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$