专题09 一元一次不等式（组）实际应用（8个基础题型+2个培优题型+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（苏科版2024）

【精准提分】专题09 一元一次不等式（组）实际应用（苏科2024） 【8个基础题型+2个培优题型】 【基础题型一】列一元一次不等式（选填） 1 【基础题型二】二元一次方程组和一元一次不等式综合之销售利润问题 3 【基础题型三】一元一次不等式其他实际应用 7 【基础题型四】列一元一次不等式组（选填） 11 【基础题型五】一元一次不等式组实际应用之分配问题 13 【基础题型六】一元一次不等式组实际应用之和差倍问题 15 【基础题型七】一元一次不等式组实际应用之方案问题 18 【基础题型八】一元一次不等式组实际应用之最大利润问题 25 【压轴题型九】一元一次不等式组实际应用之素材问题 32 【压轴题型十】一元一次不等式组实际应用之阅读探究问题 41 【基础题型一】列一元一次不等式（选填） 例题1（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·期中）教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·期中）某市举办科技活动周暨“全国科技工作者日”系列活动启动仪式．活动期间，将举办科学家精神进校园、科普研学、科普讲座等一系列活动，让科技创新的成果惠及千家万户，让科学精神在人民群众中生根发芽．某校开展了科技知识竞赛共20道题，答对一道得10分，若答错或不答，则倒扣2分，要使总得分不少于80分，则应该至少答对几道题？若设答对x道题，可列式子为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件为（     ） A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24七年级下·广西梧州·期末）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不到5小时．已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）在一次知识竞赛中，共有道题，每一题答对得分，不答得0分，答错扣分，冰冰有一道题没答，竞赛成绩超过分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-6】（24-25七年级下·上海松江·期中）一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式 ． 【变式1-7】（2025·吉林长春·一模）去年某市空气质量优良的天数与全年天数（365天）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过80%，那么明年空气质量优良的天数比去年至少要增加多少天？若设明年空气质量优良的天数比去年增加天，根据题意，可列不等式为 ． 【变式1-8】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式 ． 【基础题型二】二元一次方程组和一元一次不等式综合之销售利润问题 例题2（2025·湖南衡阳·三模）电影《哪吒之魔童闹海》的热播，促进了文创市场的发展．经了解，某商店销售“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的数量和金额如下： “哪吒”玩偶（个） “太乙真人”玩偶（个） 金额（元） 1 2 210 3 4 480 (1)该商店“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的销售单价分别是多少元/件？ (2)某公司为庆祝“六一儿童节”，准备到该商店购买“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶共100件，总费用不超过6500元，则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶多少件？ 【变式2-1】（2025年贵州省毕节市中考二模数学试题）某班级准备到文化用品商店购买今年畅销的两种毕业纪念册，若购买本毕业纪念册和本毕业纪念册共需要元，购买本毕业纪念册和本毕业纪念册共需要元． (1)求每本毕业纪念册的销售价格； (2)该班准备用不多于元的金额购买这两种毕业纪念册本，问最多能买多少本毕业纪念册． 【变式2-2】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）“小麦绕村苗郁郁，柔桑满陌椹累累．”宋朝诗人陆游在《闲咏》一诗中咏诵的“小麦”是河南省北方地区种植的重要农作物．已知某市今年种植“专用品种小麦”和“一般品种小麦”共260万亩，其中“一般品种小麦”的种植面积比“专用品种小麦”的种植面积的3倍还多20万亩．请回答下列问题： (1)求该市今年“专用品种小麦”和“一般品种小麦”的种植面积； (2)若“专用品种小麦”的亩产量是300千克，要保证该市小麦的总产量不低于110万吨，则“一般品种小麦”的亩产量至少是多少千克？ 【变式2-3】（2025·四川成都·三模）蜀绣是我国民间传统手工艺，作为与苏绣、湘绣、粤绣齐名的中国四大名绣之一，享誉海内外．某国际文化交流机构计划采购A，B两种大运会主题的蜀绣作品作为文化礼品．已知购买1件A种蜀绣作品与2件B种蜀绣作品共需700元，购买2件A种蜀绣作品与3件B种蜀绣作品共需1200元． (1)求A，B两种蜀绣作品的单价分别为多少元？ (2)该机构计划采购A，B两种蜀绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能采购A种蜀绣作品多少件？ 【变式2-4】（2025·四川成都·二模）在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米． (1)若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？ (2)若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？ 【变式2-5】（2025·江西·模拟预测）为营造喜庆的节日氛围，某单位后勤管理处决定利用艳丽的花卉来搭配A，B两种园艺造型．若搭配10个A种和15个B种园艺造型，需成本28000元；若搭配15个A种和10个B种园艺造型，需成本27000元． (1)搭配一个A种和一个B种园艺造型的成本分别为多少元？ (2)现要搭配A，B两种园艺造型共30个，且成本不高于32000元，则至少要搭配A种园艺造型多少个？ 【变式2-6】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买30株A种花卉和20株B种花卉共需要190元；购买50株A种花卉和40株B种花卉共需要350元． (1)求采购每株A，B两种花卉各多少元钱． (2)若该物管中心采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购的总费用不超过34000元，则最少采购A种花卉为多少株？ 【变式2-7】（24-25八年级下·广东佛山·期中）为迎接六一儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具5套，B类玩具4套，需800元；A类玩具3套，B类玩具2套，则需450元． (1)求A、B两类玩具每套进价分别是多少元． (2)该玩具店购进B类玩具比A类玩具的2倍多4套，若玩具店销售1套A类玩具获利30元，销售1套B类玩具获利20元，且全部售出后所获得利润不少于1200元．问该玩具店至少购进A类玩具多少套？ 【变式2-8】（2025·辽宁抚顺·三模）某学校为开展课外活动、计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格； (2)该学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且购买费用不超过2610元，那么该学校最多可以购买多少副乒乓球拍？ 【变式2-9】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某商场计划购进甲、乙两种不同型号背包，已知购进甲型号背包2个和乙型号背包3个共需270元；购进甲型号背包3个和乙型号背包2个共需230元． (1)甲、乙两种型号背包每个的进价分别是多少元？ (2)商场决定甲型号背包以每个40元价格出售，乙型号背包以每个90元价格出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种背包共100个，当购进的背包全部售出后，该商场要想获得利润超过1200元，则最多购进甲种背包多少个？ 【变式2-10】（2025·湖南怀化·二模）某企业为制作智能机器人，拟购买A，B两种型号国产芯片，制定方案如下表： A型国产芯片（枚） B型国产芯片（枚） 总费用（万元） 方案一 100 200 300 方案二 200 100 240 (1)求A，B两种型号国产芯片的单价； (2)若该企业调整方案，计划购买A，B两种型号国产芯片共400枚，且总费用不超过400万元，则至少购买A型号国产芯片多少枚？ 【基础题型三】一元一次不等式其他实际应用 例题3（河南省开封市2025年中招第二次模拟考试数学试题）某校计划开展研学活动，通过调查得到以下信息． 信息1： 车型 座位数（人/辆） 租金（元/辆） 30座客车 30 300 45座客车 45 400 信息2：若每位老师带35名学生，则有20名学生无老师可带；若每位老师带46名学生，则余下一位老师无学生可带． 请根据以上信息，完成以下任务． 任务1：求出此次活动中老师与学生各有多少人． 任务2：研学活动需租用两种车型客车，每辆车上只有一名老师负责学生安全，每人都必须有座位且不超载．请设计最优租车方案． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）六一儿童节当天，七（1）班同学在公园里举行义卖活动，他们制作了一定数量的爆米花、蛋挞进行销售，已知爆米花和蛋挞成本分别为1.5元/份和2元/份，每份爆米花售价比蛋挞少1元，开始一小时，他们一共售出爆米花20份和蛋挞50份，销售利润为200元． (1)求每份爆米花和蛋挞的售价； (2)临近中午时，他们的销售利润超过了900元，但由于销售量较多，同学们只记得售出爆米花的数量满足份，上午至少售出蛋挞几份？ (3)下午，一部分同学继续出售爆米花和蛋挞，另一部分同学组成团队在现场制作冰淇淋用于义卖，冰淇淋售价为5元/份，租借冰淇淋制作机需要100元，每制作一份冰淇淋需要材料费2元，到结束时，全班同学制作了三种食品共份全部销售一空，爆米花与蛋挞的份数之比为，制作销售冰淇淋的团队也有盈利，且三种食品的销售总利润恰好为2025元，求的最大值． 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果今年8月份小王家计划水费不超过80元，则小王家这个月用水最多为多少吨？ 【变式3-3】（2025·山西朔州·三模）截至年月，中国邮政已在全国多个省份、地区开展了无人车配送的试点工作，不仅减少了揽投员的往返次数，还解决了旺季人手短缺的问题．某邮政快递运营区现有名揽投员，为驿站提供快递配送服务．现计划在该运营区试点投放辆无人车，和揽投员组成“工作搭子”已知该运营区旺季期间日均投递总量不低于件，每位揽投员日均投递量是每辆无人车日均投递量的，则旺季期间每辆无人车的日均投递量至少为多少件? 【变式3-4】（23-24七年级下·全国·期中）水果市场进了某种水果，进价是15元/，售价是20元/．销售一半后，为了尽快售完，准备打折出售．要使总利润不低于4000元，余下的水果至多可以按原定价的几折出售？ 【变式3-5】（23-24七年级下·全国·期末）某次知识竞赛有50道选择题，评分标准为：答对1题得2分，答错1题扣1分，不答得0分．某学生有4道题没有答，他至少答对多少道题，成绩才会不低于82分？ 【变式3-6】（23-24七年级下·全国·期末）某店针对某款打印机硒鼓开展促销活动，该款硒鼓原售价为200元，促销活动如下： 活动一：所购硒鼓一律打九折；活动二：若所购硒鼓超出3个，则超出部分打八五折． (1)购买4个该款硒鼓的顾客参与哪个活动更划算？ (2)请通过计算说明顾客如何购买更划算． 【变式3-7】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有、两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如下表： 型 型 价格（万元/台） 24 20 产量（吨/月） 720 540 (1)经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案（每一种新设备至少买1台）； (2)在（1）的条件下，若要求每月产量不低于6120吨，请你设计一种最省钱的购买方案． 【变式3-8】（24-25八年级下·山东青岛·期中）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，乡村特色产业稳步发展．某乡村振兴示范点文创商店计划购进A，B两种文创产品进行销售．A，B两种文创产品的进价和售价如下表所示： A B 进价（元/件） 25 33 售价（元/件） 35 40 若该文创商店欲购进A，B两种文创产品共200件，且这两种文创产品全部售出后总获利不低于1600元，则该文创商店最少需要购进A种文创产品多少件？ 【变式3-9】（24-25八年级下·陕西汉中·期中）立体书兼具了传统书的内容和形式，也拥有玩具的趣味和功能．某工厂生产了一款立体书，按标价销售此立体书，每本可获利30元．该工厂原计划按标价销售这款立体书共600本，销售一部分后发现生意火爆，于是将每本立体书提价10元，很快全部销售完，最后发现总利润不低于22000元，求提价前最多销售多少本此款立体书？ 【变式3-10】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： (1)小海和小华最多购买几个种魔方？ (2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案． 【变式3-11】（24-25八年级下·四川成都·期中）有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成，已知甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米，若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，设两工程队合作施工天． (1)用含的代数式表示甲队单独工作天数； (2)如果甲队每天需工程费7000元，乙队每天需工程费5000元，且支付工程队总费用不超过79000元，请列不等式求出的最大值． 【基础题型四】列一元一次不等式组（选填） 例题4（24-25八年级下·福建三明·期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·广西崇左·期中）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】（23-24八年级下·全国·期末）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-6】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式4-7】（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【基础题型五】一元一次不等式组实际应用之分配问题 例题5（24-25七年级下·全国·期中）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某书店在读书日活动中准备了一批图书赠送给参与活动的读者．如果每人赠送5本，则还剩下10本；如果每人赠送8本，则最后一名读者得到的图书不足4本．请问该书店可能准备的图书数量和获赠读者人数． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【变式5-3】（24-25八年级下·四川成都·期中）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，求学生人数． 【变式5-4】（24-25七年级下·全国·期中）某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？ 【变式5-5】（2024·广东清远·模拟预测）我市鹰嘴桃果品肉质爽脆、味甜如蜜，现在将一箱鹰嘴桃分给若干名到果园参观的游客品尝，如果每人分4个，则剩下20个鹰嘴桃；如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，求这批游客的人数和这箱鹰嘴桃的个数． 【变式5-6】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）把一些笔记本分给几个学生，如果每人3本 ，那么余8本，如果每人分5本，那么最后一人分到笔记本但不足3本，求学生有多少人？ 【变式5-7】（23-24七年级下·山东济宁·期末）医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理4名病人，则有20名病人没人护理，如果每名护士护理8名病人，有一名护士护理的病人多于1人不足8人，这个医院安排了几名护士护理病人？ 【变式5-8】（24-25八年级上·安徽·期末）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到2本，这些书有多少本？共有多少人？ 【变式5-9】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，求每组预定的学生人数． 【变式5-10】（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【基础题型六】一元一次不等式组实际应用之和差倍问题 例题6（24-25七年级下·福建福州·期中）为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需120元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需210元． (1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？ (2)经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过7300元，那么文学类图书最多能买多少本？ 【变式6-1】（24-25七年级上·山西忻州·期末）为了更好治理黄浦江水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． A、B两种型号设备的月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） a 处理污水量（吨/月） 240 180 (1)设A型设备每台的价格为a万元，则B型每台的价格为 万元； (2)求A、B两种型号的设备的价格； (3)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【变式6-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【变式6-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）某厂租用、两种型号的车给零售商运送货物，已知用辆型车和辆型车装满可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；厂家现有吨货物需要配送，计划租用、两种型号车辆一次配送完货物，且型车至少辆．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完吨货物； (3)若型车每辆需租金元每次，型车每辆需租金元每次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【变式6-4】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【变式6-5】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）为迎接培圣校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． (1)求甲、乙两种模型的单价各是多少元？ (2)现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案． 【变式6-6】（2024八年级上·浙江·期末）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【变式6-7】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）今年的巴黎奥运会引发全民乒乓球热．某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元． (1)求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元； (2)若该体育用品店刚好用了购进这两种乒乓球共100个，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的三分之一，且甲种乒乓球数量不多于28个，那么该文具店共有哪几种进货方案？ 【基础题型七】一元一次不等式组实际应用之方案问题 例题7（24-25八年级上·重庆·期末）凯瑞商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示： 甲 乙 进价（元/部） 4300 3600 售价（元/部） 4800 4200 (1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？ (2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的而用于购买这两种手机的资金低于81500元，清通过计算设计所有可能的进货方案． 【变式7-1】（23-24七年级下·全国·期末）在实施“城乡危旧房改造工程”中，某区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A户型和30套B户型共需资金480万元，建成30套A户型和10套B户型共需资金400万元． (1)在实施“城乡危旧房改造工程”中，建成一套A户型和一套B户型所需资金分别为多少元？ (2)该区共800套房屋需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担．若国家补贴拨付的改造资金不少于2 100万，该区财政投入额资金不超过7 700万元，其中，国家财政投入A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元．请你通过计算，表示出A种户型可以建造的数量的范围． 【变式7-2】（24-25七年级下·北京·期中）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/） 4 5 6 40 零售价格（元/） 5 6 8 50 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案？ 【变式7-3】（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）现有、两种商品，种商品单价为16元，种商品单价为4元．如果小静准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过120元，且不低于100元，问有几种购买方案？哪种方案费用最低？ 【变式7-4】（2025·黑龙江绥化·二模）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由哈尔滨工业大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． (1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个共需要170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值； (2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件a个，有哪几种购买方案？ 【变式7-5】（24-25八年级下·四川成都·期中）某企业需运输一批生产物资，已知3辆大货车与2辆小货车一次可以运输65箱物资；4辆大货车与6辆小货车一次可以运输120箱物资． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共15辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于175箱，且总费用小于6100元．请求出有几种运输方案？ 【变式7-6】（24-25七年级下·四川内江·期中）资中血橙因其色泽鲜丽，果大皮薄，肉质脆嫩化渣，汁多味浓而广受喜爱．某合作社需要将240吨血橙运往外地销售，现准备租用甲、乙两种货车，将这批血橙一次性全部运往该地．已知1辆甲种货车和2辆乙种货车可运血橙105吨，2辆甲种货车和3辆乙种货车可运血橙180吨． (1)两种货车每辆各可运多少吨血橙？ (2)已知甲种货车每辆租金400元，乙种货车每辆租金300元，如果租用6辆货车运送血橙，且租车费用不超过2300元，有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案租车费用最少？租车费用最少是多少？ 【变式7-7】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）某商店决定购进A、B两种纪念品，已知购进A种纪念品1件，B种纪念品2件，需要20元；购进A神纪念品4件，B种纪念品1件，需要45元． (1)求A、B两种纪念品的进价； (2)若商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店有几种进货方案？ 【变式7-8】（2025·黑龙江·二模）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围． 【变式7-9】（24-25七年级下·四川眉山·期中）“铭记先辈热血，筑牢信仰根基”，学校组织学生赴仁寿革命烈士陵园开展清明祭扫活动，并准备A，B两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分如表： (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用、两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多，若午餐需要选用这两种食品共包，其中食品不少于包，要使午餐中蛋白质的总含量不低于，请问有哪几种选择方案？ 【变式7-10】（24-25八年级下·四川成都·期中）某电信公司最近开发A、B两种型号的手机，一经营手机专卖店销售A、B两种型号的手机，上周销售1部型3部型的手机，销售额为8400元．本周销售2部型1部型的手机，销售额为5800元． (1)求每部A型和每部B型手机销售价格各是多少元？ (2)如果某单位拟向该店购买A、B两种型号的手机共6部，发给职工联系业务，购手机费用不少于11200元且不多于11600元，问有哪几种购买方案？哪种方案费用最少？ 【变式7-11】（24-25七年级下·福建福州·期中）某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种笔记本的销售单价保持不变） 月份 销售数量（本） 销售数量（本） 销售额（元） 甲款 乙款 二月份 40 20 880 三月份 20 40 800 (1)求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元； (2)若甲款笔记本每本进价为10元，乙款笔记本每本进价为8元，文具店预计用不多于624元且不少于620元的资金购进这两款笔记本共70本，有几种进货方案； (3)为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金元，要使（2）中所有的方案获利相同，求的值． 【变式7-12】（24-25八年级下·山西晋中·期中）为了响应我市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托我县某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元． 污水处理设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 (1)求m、n的值． (2)经我县审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案的购买资金． 【变式7-13】（24-25八年级下·福建三明·期中）三明市某化工厂，现有种原料千克，种原料千克，现准备用这些原料去生产甲、乙两种产品共件，已知每生产件甲种产品需要种原料千克以及种原料千克；每生产件乙种产品需要种原料千克以及种原料千克，请通过计算写出有哪几种具体的生产方案． 【变式7-14】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． (1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件个共需要元，求m、n的值． (2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共个，且投入资金不少于元又不多于元，设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？ 【变式7-15】（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 【变式7-16】（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【变式7-17】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【基础题型八】一元一次不等式组实际应用之最大利润问题 例题8（24-25七年级下·重庆·期中）某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元，每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品，总收入为2496元． (1)请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？ (2)学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的．请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案． 【变式8-1】（24-25七年级下·福建福州·期中）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”全球票房达到了一百五十四亿，某商家推出种哪吒纪念娃娃、种敖丙纪念娃娃．已知购进3件种娃娃和购进4件种娃娃的费用相同；每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多3元，且种娃娃售价为18元/个，种娃娃售价为12元/个． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过2400元的资金购进、两种娃娃共250个，若这250个娃娃全部售完，选择哪种进货方案商家获利最大？最大利润是多少元？ 【变式8-2】（2025·河南郑州·一模）2024年11月15日，郑州市热力公司开启了全市供暖，但由于供暖后室内干燥，因此大多数市民们选择使用室内空气加湿器．某商场根据民众需要，代理销售每台进价分别为220元、180元的A，B两种型号的空气加湿器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 2400元 第二周 6台 9台 5100元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A，B两种型号的空气加湿器每台的售价． (2)若商场准备用不超过5880元的金额再采购这两种型号的空气加湿器共30台，如何购买才可以使商场销售完这30台空气加湿器后获得最大利润？请给出相应的采购方案，并求出最大利润． 【变式8-3】（2025·安徽滁州·一模）茶叶是我省西南地区特产，某村部分青年返乡创业生产销售，两种茶叶，去年年初制订的计划是完成总销售利润万元．经过努力，其中生产销售种茶叶的利润比原计划增加，生产销售种茶叶的利润比原计划增加，实际生产销售的总利润为万元，他们去年生产销售，两种茶叶实际完成的销售利润各多少万元？ 【变式8-4】（24-25八年级下·四川达州·期中）在乡村振兴的春风吹拂下，渠县立足生态优势，将耙耙柑，柠檬等水果化作致富“金果”耙耙柑的进价是3元/千克，柠檬的进价是4元/千克；李老板从水果基地购进耙耙柑的重量比柠檬重量的3倍多20千克，一共花费840元；为方便销售，定价均为7元/千克． (1)李老板购进耙耙柑和柠檬各多少千克？ (2)若平均每天卖出耙耙柑和柠檬共50千克，每天利润不少于186元，则每天卖出的耙耙柑至少是多少千克？ (3)由于天气炎热，当耙耙柑还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的耙耙柑进行打折销售，为确保销售耙耙柑的总利润不低于716元，最低可以打多少折？ 【变式8-5】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如今新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需95万元；购进4辆型新能源汽车、1辆型新能源汽车共需110万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆型汽车可获利1.5万元，销售1辆型汽车可获利0.7万元，假如这些新能源汽车全部售出，则该4S店共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 【变式8-6】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售，根据市场调研知，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车和2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元； (2)若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该4S店共有几种购进方案？ (3)若该4S店销售1辆型汽车可获利0.7万元，销售1辆型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，不计其他成本，当购进的新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【变式8-7】（24-25八年级下·广东佛山·期中）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．若购进5件蓝文化衫，4件红文化衫，共需要200元，若购进2件蓝文化衫，3件红文化衫，共需要115元． (1)学校购进红、蓝两种颜色的文化衫每件进价分别是多少元？ (2)若该校购进蓝文化衫的数量比红文化衫的数量的2倍少25件，且购进红文化衫、蓝文化衫的总数量不少于200件，则学校最少购进红文化衫多少件？ (3)在（2）的条件下，若红文化衫、蓝文化衫的售价分别是40元/件和30元/件，且总进价不超过6000元，那么如何设计购买方案，使当所有文化衫卖出后利润有最大，最大值是多少元？ 【变式8-7】（2025·宁夏·模拟预测）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式8-8】（24-25八年级上·河南郑州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需95万元． (1)问两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案． (3)在问题（2）的条件下，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润． 【变式8-9】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元． (1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式8-10】（24-25七年级上·安徽六安·期末）某玩具店经销A，两种玩具，进价和售价如下表所示： 名称 进价（元） 45 60 售价（元） 66 90 (1)第一次进货时，玩具店购进A，两种玩具30件共花了1500元，请问A，两种玩具各进了多少件？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种玩具进价每件上涨了5元，种玩具进价每件上涨了10元，但两种玩具的售价不变．玩具店计划用1200元同时购进A，两种玩具，1200元刚好用完．请问有几种购进方案，并说明哪种购进方案获得利润最多，是多少元？ 【变式8-11】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式8-12】（24-25七年级下·重庆大渡口·期中）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元． (2)该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），并分别以200元和100元的单价出售，求专卖店共有几种采购方案, 并选出利润最大的采购方案，求出最大利润． 【变式8-13】（23-24七年级下·四川内江·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需80万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元．假如这些新能源汽车全部售出，请设计出符合要求的一种购买方案．并求出此方案所获得的利润． 【变式8-14】（23-24七年级下·全国·期末）“食博会”期间，某零食店计划购进两种网红零食共包，其中种零食的进价为每包元，种零食的进价为每包元．已知在出售时，包种零食和包种零食的价格一共为元，包种零食和包种零食的价格一共为元． (1)两种零食每包的售价分别是多少元？ (2)该零食店为了限制进货投入，计划种零食的进货不超过包，且销售完后总利润不低于元，则进货方案有多少种？哪种进货方案可获最大利润？ 【变式8-15】（24-25七年级上·广西南宁·期末）制鞋厂生产的皮鞋按质量共分10个档次，最低档次（即第1档次）的皮鞋每双利润为60元．如果每提高一个档次，每双皮鞋的利润增加10元．最低档次的皮鞋每天可生产240双，每提高一个档次，每天将少生产15双皮鞋．每天生产第几档次的皮鞋所获利润最大？最大利润是多少元？ 【变式8-16】（23-24七年级下·贵州遵义·期末）仁怀市位于贵州省西北部、赤水河中游，大娄山脉西段北侧，属于云贵高原向四川盆地过渡的典型的山地地带，是酱香酒发源地，茅台酒的故乡，因其特殊的生态、气候、土壤和微生物群，成为酿造茅台酒等优质酱香白酒主要产区，2004年被命名为“中国酒都”，酱香白酒产业逐步扩大，诞生了大、中、小很多酱香白酒生产酒产，现某酱香白酒销售商准备向某酒厂购进一批中档酱香白酒进行销售，该酒厂有甲、乙两种品牌中档酱香白酒可供选择，据了解，购10件甲种品牌中档酱香白酒和5件乙种品牌中档酱香白酒需要12000元；购3件甲种品牌中档酱香白酒和6件乙种品牌中档酱香白酒需要6300元．请根据以上信息解答下面的问题： (1)求甲、乙两种品牌中档酱香白酒的进价； (2)若该酱香白酒销售商准备购进甲、乙两种品牌中档酱香白酒共100件，但准备的资金不超过84000元，那么该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒多少件； (3)在（2）的条件下，若该酱香白酒销售商准备的资金不低于83400元，那么该酱香白酒销售商有几种购进方案？若该酱香白酒销售商将甲、乙两种品牌中档酱香白酒分别以每件1200元和每件800元的售价全部卖出，请问该酱香白酒销售商应选择哪一种方案进酒获利最大，最大利润是多少？ 【变式8-17】（23-24七年级下·安徽安庆·期末）2024年4月25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； (2)该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？ (3)该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70 元，每个“天宫”模型的售价为55 元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？ 【变式8-18】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）随着科技的发展，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元 (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【压轴题型九】一元一次不等式组实际应用之素材问题 例题9（24-25七年级下·福建泉州·期中） 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼，又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼y个 长方形宣纸的数量（张） 正方形宣纸的数量（张） 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了11个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 【变式9-1】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）根据以下信息，探索完成任务： 如何设计招聘方案？ 素材1 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ 任务三：选取最优方案 在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人________名（直接写出答案） 【变式9-2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）综合实践 方案设计： 素材一 同学们，你们知道吗，明天(2025年3月14日)就是第六个“国际数学日”了，也叫“π日”． 素材二 富源学校为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．决定购买A，B两种数学类图书共50本． 素材三 若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元． 任务一 A，B两种图书的单价分别为多少元？ 任务二 若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费． 【变式9-3】（24-25七年级下·吉林·期中）根据如表素材，探索解决任务． 新年礼盒生产方案的设计 素材1 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共70万套． 素材2 甲礼盒的成本为20元/套，售价为24元/套； 乙礼盒的成本为25元/套，售价为30元/套． 问题解决 任务1 该工厂计划筹集资金1540万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ 任务2 经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套（，都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润为368万元，请问该工厂有几种生产方案？ 【变式9-4】（24-25九年级下·宁夏银川·期中）根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材2 考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，且扫把簸箕套装不少于50套 素材3 商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【变式9-5】（24-25七年级下·浙江金华·期中）解答： 设计烟花采购方案 为吸引游客，浦江县决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长 素材1 已知购买3箱A型和2箱B型烟花需要600元，购买5箱A型和3箱B型烟花需要950元． 素材2 某烟花厂提供产品信息如下： （1）A型烟花每箱8发，B型烟花每箱12发． （2）即将推出新品C型烟花，每箱200元，每箱15发． （3）本厂生产的所有型号烟花每发保持5秒．（例如A型烟花燃放时间为） 素 材 3 （1）浦江县准备支出7800元（全部用完）购买烟花． （2）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． 问题解决 任务1 确定单价 求A、B型烟花每箱多少元？ 任务2 确定方案① 若仅购买A，B型烟花，可以燃放多少秒？ 确定方案② 若同时采购A、B、C三种烟花，A型烟花的箱数是C型的5倍，如何采购使得燃放时间最长？． 【变式9-6】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案 素材1 纪念品商店购进若干“忆江南”徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为元/个，吉祥物钥匙扣的进价为元/个，如表是近两周的销售情况： 销售阶段 徽章(个) 钥匙扣(个) 销售收入(元) 第一周 第二周 (进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本) 素材2 该纪念品商店准备不超过532元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个． 问题解决 任务一 请尝试求出“忆江南”徽章、钥匙扣的销售单价． 任务2 该商店至少采购徽章多少个？ 任务3 请结合素材2中的消息，帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个商品的利润不低于646元，请写出符合条件的采购方案，在这些采购方案中，哪种方案可以使商店获利最高？ 【变式9-7】（2025·广东佛山·一模）根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 【变式9-8】（24-25八年级上·福建泉州·期末）根据以下素材，完成三个任务： 以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形． 素材一 某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，且． 素材二 将1张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片． 素材三 小组操作发现，将2张型卡片，3张型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：． 【问题解决】 【任务1】用1张型和2张型卡片拼成一个长方形，用含的代数式表示这个长方形的周长； 【任务2】现共有10张型卡片，25张型卡片和18张型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）； 【任务3】将2张型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含的数学等式表示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分． 【变式9-9】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）七年级学生在数学实践课上进行了项目化学习研究，已知某项目化小组的研究如下： 【提出研究问题】销售问题 【设计实践任务】选择“素材1”、“素材2”，设计出了相关问题“任务1”、“任务2”，请尝试解决问题． 素材1 学校开展“师生齐健身”活动，七年级（1）班需要购买篮球、足球若干个． 班长小明了解到本市有一体育用品商店对篮球和足球统一进行打折出售（折扣数相同）．打折前买3个篮球和2个足球需480元，买2个篮球和3个足球需470元． 素材2 班长小明买了5个篮球和4个足球，一共花费了688元． [相关问题] 任务1 打折前，篮球和足球的单价各为多少元？ 任务2 篮球和足球打几折出售？ 【变式9-10】（2024八年级上·浙江·期末）根据以下素材，探索完成任务． 探索如何选择家庭用电方式？ 素材1 用电背景 每天至是用电高峰期，简称“峰时”，至次日是用电低谷期，简称“谷时”．某市电力部门提供两种用电方式：普通用电和峰谷分时用电 素材2 该市电价 普通用电：元/度； 分时用电：峰时元/度，谷时元/度． 素材3 调查统计 以小明家为例，小明家采用峰谷分时用电，第一季度用电如下： 1月份用电量：峰时90度，谷时10度； 2月份用电量：峰时88度，谷时12度； 3月份用电量：峰时160度，谷时40度． 问题解决 任务1 仔细计算 通过计算，并与普通用电方式比较，小明家哪个月份使用分时用电方式更合算？ 任务2 观察猜想 观察小明家每月峰时用电量和该月总用电量的比值，猜想当它们的比值满足 　 　时，家庭使用分时用电方式更合算． 任务3 推理验证 说明任务2中的猜想是正确的． 过程如下：设某家庭某月用电a度，其中峰时用电x度，则谷时用电度．（请你继续完成上述过程） 【压轴题型十】一元一次不等式组实际应用之阅读探究问题 例题10 （24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 解题思路：（1）①根据三角形面积公式进行求解即可； ②分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出方程求出结果即可； （2）分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出不等式求出结果即可； （3）分四种情况：当点Q从点A向点B运动时，当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从点B向点A运动时，分别列出不等式进行求解即可． 【变式10-1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【变式10-2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【变式10-3】（23-24七年级上·山西大同·期中）【综合与探究】数轴是一个重要概念．利用“数轴”这个工具，从数形结合的观点出发，我们研究了相反数、绝对值、有理数的大小比较以及有理数的运算等内容． (1)数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上移动3个单位长度得到点，则点表示的数是 ； (2)折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，两点的距离为7(A在的左侧)，且折叠后A，两点重合，则点表示的数为 ，点B表示的数为___________； (3)我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点的“雅中点”． ①若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点的“雅中点”，则点M表示的数为___________； ②若A、两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、两点的距离为9(A在的左侧)，则点A表示的数为___________，点表示的数为___________； (4)点A表示的数为，点，表示的数分别是，，点O为数轴原点，点为线段上一点（点可与、两点重合）． ①设点M表示的数为m，若点M为点A与点的“雅中点”，则m可取的所有整数为___________； ②若点A以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为秒，直接写出的所有整数值 ，使得原点O为点A与点的“雅中点”． 【变式10-4】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）如图，已知，点A在上，点B、C在上．在中，，点D、E在直线上，在中，． (1)图1中的度数是 ； (2)将沿直线平移，如图所示，当点F在上时，求的度数； (3)在图2的基础上将沿直线平移，当以A、D、F为顶点的三角形中，当有一个角是另一个角的2倍，且始终不变时，请直接写出的度数． (4)将图3中的按如图4放置，若点A在直线上，点C在和之间（不含上），边和与直线分别交于D，K．在绕着点A旋转的过程中，设，则m的取值范围为        ． 【变式10-5】（23-24七年级下·青海西宁·期末）【阅读理解】 （1）图形的平移是我们本学期学习的内容，利用图形平移变换的基本性质可以解决生活中的许多问题．数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上．设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，要求草坪的面积为：，画出设计图并求出小路的宽． 如图1，是小明同学的设计图及计算过程：（将下列过程补充完整） 小明：我利用平移的性质，将左边的草坪向右平移和右边的草坪拼成了一个如图2所示的长方形．这个长方形的面积就是草坪的面积，所以可列方程为 ，解得 ． 【类比应用】 （2）某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图3所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积不少于，求小路的宽不能超过多少米？ 【拓展延伸】 （3）如图4是一个长为，宽为街心花园的设计图，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，则花坛的总面积可以表示为 ．（用含a，b的式子表示） 【变式10-6】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【变式10-7】（2025七年级下·江苏泰州·期中）一副直角三角板如图1所示放置，，，，它们的斜边在同一直线上，D为边上一点，三角板绕点D按顺时针方向旋转． (1)当_______时，DF∥AC；当_______时，． (2)设交边于点N，直线交直线于点M，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【变式10-8】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则的取值范围是 ； (2)当为何值时，； (3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由． 【变式10-9】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板的斜边在同一直线上，为的中点，将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中：    (1)如图2，当为何值时，与的一边平行； (2)如图3，当直角三角板的边、分别交、的延长线于点、时， ①与度数的和是否变化？若不变，求出与度数的和；若变化，请说明理由； ②若使得，直接写出此时的范围． 1．（24-25八年级下·山东聊城·期中）某学校组织开展了环保知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加6分，答错或不答每题倒扣3分，小辉在初赛得分超过80分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东汕头·一模）如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆的本数为（    ） A．45 B．46 C．47 D．48 3．（24-25八年级下·山西大同·期中）某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．已知该汽车用油亚动方式行驶1千米的油费为0.9元，用电驱动方式行驶1千米的电费比油费少0.8元．该汽车从地行驶100千米至地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？设该汽车从地行驶至地用电行驶千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·重庆·期中）小乐和妈妈去公园游玩，小乐身高米，妈妈身高米，小乐登上一处有级台阶的观景台（每级台阶高度为a米），开心地说：“妈妈，现在两个你的身高加起来都没我高啦！”由此可得关于a的不等式是（   ）． A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·上海静安·期中）用不等式表示“x的2倍减去3所得的差是正数” ． 8．（23-24七年级下·全国·期末）商场销售一批玩具，第一个月以55元/个的价格售出40个，第二个月以50元/个的价格将这批玩具全部售出，销售总额超过4500元，这批玩具最少有多少个？设玩具有x个，根据题意，可列不等式 ． 9．（23-24七年级下·全国·期末）某学校举办知识竞赛，共有20道题，答对1道题得10分，答错或不答都扣5分．小聪要想得分不低于140分，他至少要答对多少道题？设小聪答对a道题，根据题意，可列不等式 ． 10．（24-25八年级下·河南·期中）某种商品的进价为500元，出售时标价为600元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于，则至多可打几折？设该商品打折销售，则可列不等式为 ． 11．（24-25七年级下·全国·期中）一天，小颖对妈妈说：妈妈，我的年龄比你小26岁，六年后，我的年龄还不到你的年龄的一半．设小颖今年的年龄为x岁，可列不等式为 ． 12．（24-25七年级下·上海静安·期中）静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） (2)顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 13．我国国产动画电影《哪吒2魔童闹海》截至3月末，全球票房已达到亿（含预售），某商家推出两种哪吒纪念挂件．已知种挂件的进货单价比种挂件进货单价多6元，若购进2个种挂件和4个种挂件共需要元． (1)求每个种哪吒纪念挂件的进货是多少元？ (2)若该商家计划用不超过2000元的资金购进，两种挂件共个，那么至少购买种挂件多少个？ 14．（2025·辽宁辽阳·一模）中国结由来已久，始于上古，兴于唐宋，盛于明清．中国结不仅具有造型、色彩之美，而且因其形意而得名，体现着人们追求真、善、美的良好愿望．手工课上，教师展示编1个吉祥结需要3段红绳和1段金绳，编1个如意结需要1段红绳和2段金绳． (1)小华现在共有12段红绳，14段金绳，在所有红绳和金绳都用完的情况下，可以编吉祥结和如意结各多少个？ (2)小华需要编吉祥结和如意结共10个作为节日礼物，金绳充足，但是红绳只有26段，他还要保留10段以备他用，他最多可以编几个吉祥结？ 15．（24-25七年级下·广东广州·期中）某旅游团计划在某电商平台购买杭州亚运会立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章，若购买1套立体吉祥物摆件和2套吉祥物徽章共350元，且每套亚运会吉祥物徽章的单价是每套立体吉祥物摆件的单价的3倍． (1)求每套立体吉祥物摆件和每套亚运会吉祥物徽章单价各是多少元？ (2)若至少需要购买48套亚运会吉祥物徽章，如果购买立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了n块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有A，B，C三种裁剪方式，如图，A方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧面．B方式：裁剪成3个侧面．C方式：裁剪成9个圆形底面．已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有2块金属板材按C方式裁剪，其余都按A、B两种方式裁剪． (1)设有x块金属板材按A方式裁剪，y块金属板材按B方式裁剪． ①可以裁剪出圆形底面共有___________个（用含x的代数式表示），侧面共有___________个（用含x，y的代数式表示）； ②当个时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？ (2)现将n块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的圆形底面与侧面恰好配套，则n的值是___________．（其中） 17．（24-25八年级上·广西南宁·期末）一水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与 零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格(元/ ) 零售价格(元/ ) 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用元批发了车厘子和苹果共  ，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用元批发了车厘子和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且车厘子的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发 这两种水果可能的方案有哪些？ 1 / 139 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题09 一元一次不等式（组）实际应用（苏科2024） 【8个基础题型+2个培优题型】 【基础题型一】列一元一次不等式（选填） 1 【基础题型二】二元一次方程组和一元一次不等式综合之销售利润问题 5 【基础题型三】一元一次不等式其他实际应用 14 【基础题型四】列一元一次不等式组（选填） 24 【基础题型五】一元一次不等式组实际应用之分配问题 29 【基础题型六】一元一次不等式组实际应用之和差倍问题 35 【基础题型七】一元一次不等式组实际应用之方案问题 45 【基础题型八】一元一次不等式组实际应用之最大利润问题 65 【压轴题型九】一元一次不等式组实际应用之素材问题 88 【压轴题型十】一元一次不等式组实际应用之阅读探究问题 107 【基础题型一】列一元一次不等式（选填） 例题1（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·期中）教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了 实际问题抽象出一元一次不等式，设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·期中）某市举办科技活动周暨“全国科技工作者日”系列活动启动仪式．活动期间，将举办科学家精神进校园、科普研学、科普讲座等一系列活动，让科技创新的成果惠及千家万户，让科学精神在人民群众中生根发芽．某校开展了科技知识竞赛共20道题，答对一道得10分，若答错或不答，则倒扣2分，要使总得分不少于80分，则应该至少答对几道题？若设答对x道题，可列式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题抽象出一元一次不等式，设答对x道题，根据总得分不少于80分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道， 由题意可得：． 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，先根据题意得共有瓶牛奶，进而正确列出不等式即可． 【详解】解：设共有x位老人，根据如每人分3瓶，那么余8瓶可得共有瓶牛奶， ∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶， ∴， 故选：A 【变式1-4】（23-24七年级下·广西梧州·期末）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不到5小时．已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，正确找出不等关系是解题的关键． 由题意知顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，根据“逆流而上返回A是需要不到5小时”，即可列出一元一次不等式． 【详解】水流速度是每小时千米，船在静水中的速度是每小时千米， 顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米， ∴． 故选C． 【变式1-5】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）在一次知识竞赛中，共有道题，每一题答对得分，不答得0分，答错扣分，冰冰有一道题没答，竞赛成绩超过分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．根据题目的总数、冰冰未答的题目数及答对的题目数，可得出他答错了道题，利用竞赛成绩答对题目数答错题目数，结合冰冰的竞赛成绩超过100分，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：共有道题，冰冰有一道题没答，设答对了x道题， 他答错了道题． 根据题意得：． 故选：B． 【变式1-6】（24-25七年级下·上海松江·期中）一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，设每次搬运箱货物，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设每次搬运箱货物， 由题意得，， 故答案为：． 【变式1-7】（2025·吉林长春·一模）去年某市空气质量优良的天数与全年天数（365天）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过80%，那么明年空气质量优良的天数比去年至少要增加多少天？若设明年空气质量优良的天数比去年增加天，根据题意，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天，由去年该市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到且明年（365天）这样的比值要超过，即可得出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天， 依题意得：， 故答案为：． 【变式1-8】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为，到校时间应小于分钟列出不等式即可． 【详解】解：设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为 ， 故答案为：． 【基础题型二】二元一次方程组和一元一次不等式综合之销售利润问题 例题2（2025·湖南衡阳·三模）电影《哪吒之魔童闹海》的热播，促进了文创市场的发展．经了解，某商店销售“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的数量和金额如下： “哪吒”玩偶（个） “太乙真人”玩偶（个） 金额（元） 1 2 210 3 4 480 (1)该商店“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的销售单价分别是多少元/件？ (2)某公司为庆祝“六一儿童节”，准备到该商店购买“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶共100件，总费用不超过6500元，则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶多少件？ 【答案】(1)“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是60元/件和75元/件 (2)公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件 【详解】（1）解：设该商店销售的“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是元/件和元/件． 根据题意，得， 解得：， 答：“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是60元/件和75元/件． （2）解：设公司至少应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件． 根据题意，得：， 解得， 则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件． 【变式2-1】（2025年贵州省毕节市中考二模数学试题）某班级准备到文化用品商店购买今年畅销的两种毕业纪念册，若购买本毕业纪念册和本毕业纪念册共需要元，购买本毕业纪念册和本毕业纪念册共需要元． (1)求每本毕业纪念册的销售价格； (2)该班准备用不多于元的金额购买这两种毕业纪念册本，问最多能买多少本毕业纪念册． 【答案】(1)每本毕业纪念册的售价为元，每本毕业纪念册的售价为元 (2)本 【分析】（）设每本毕业纪念册的售价为元，每本毕业纪念册的售价为元，根据题意列出方程组即可求解； （）设购买了本毕业纪念册，则购买了本毕业纪念册，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设每本毕业纪念册的售价为元，每本毕业纪念册的售价为元， 根据题意得，， 解得， 答：每本毕业纪念册的售价为元，每本毕业纪念册的售价为元； （2）解：设购买了本毕业纪念册，则购买了本毕业纪念册， 根据题意得，， 解得， 答：最多可以买本毕业纪念册． 【变式2-2】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）“小麦绕村苗郁郁，柔桑满陌椹累累．”宋朝诗人陆游在《闲咏》一诗中咏诵的“小麦”是河南省北方地区种植的重要农作物．已知某市今年种植“专用品种小麦”和“一般品种小麦”共260万亩，其中“一般品种小麦”的种植面积比“专用品种小麦”的种植面积的3倍还多20万亩．请回答下列问题： (1)求该市今年“专用品种小麦”和“一般品种小麦”的种植面积； (2)若“专用品种小麦”的亩产量是300千克，要保证该市小麦的总产量不低于110万吨，则“一般品种小麦”的亩产量至少是多少千克？ 【答案】(1)该市今年“专用品种小麦”的种植面积为60万亩，“一般品种小麦”的种植面积为200万亩； (2)“一般品种小麦”的亩产量至少是460千克． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设该市今年“专用品种小麦”的种植面积为万亩，“一般品种小麦”的种植面积为万亩，根据“今年种植“专用品种小麦”和“一般品种小麦”共260万亩，其中“一般品种小麦”的种植面积比“专用品种小麦”的种植面积的3倍还多20万亩”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设“一般品种小麦”的亩产量是千克，该市小麦的总产量不低于110万吨，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该市今年“专用品种小麦”的种植面积为万亩，“一般品种小麦”的种植面积为万亩． 根据题意，得 解得 答：该市今年“专用品种小麦”的种植面积为60万亩，“一般品种小麦”的种植面积为200万亩； （2）解：设“一般品种小麦”的亩产量是千克． 由题可得． 解得． 答：“一般品种小麦”的亩产量至少是460千克． 【变式2-3】（2025·四川成都·三模）蜀绣是我国民间传统手工艺，作为与苏绣、湘绣、粤绣齐名的中国四大名绣之一，享誉海内外．某国际文化交流机构计划采购A，B两种大运会主题的蜀绣作品作为文化礼品．已知购买1件A种蜀绣作品与2件B种蜀绣作品共需700元，购买2件A种蜀绣作品与3件B种蜀绣作品共需1200元． (1)求A，B两种蜀绣作品的单价分别为多少元？ (2)该机构计划采购A，B两种蜀绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能采购A种蜀绣作品多少件？ 【答案】(1)A种蜀绣作品的单价为300元，B种蜀绣作品的单价为200元； (2)最多能购买100件A种蜀绣作品． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A种蜀绣作品的单价为x元，B种蜀绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种蜀绣作品与2件B种蜀绣作品共需700元，购买2件A种蜀绣作品与3件B种蜀绣作品共需1200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A种蜀绣作品m件，则购买B种蜀绣作品件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过50000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种蜀绣作品的单价为x元，B种蜀绣作品的单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种蜀绣作品的单价为300元，B种蜀绣作品的单价为200元； （2）解：设购买A种蜀绣作品m件，则购买B种蜀绣作品件， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为100． 答：最多能购买100件A种蜀绣作品． 【变式2-4】（2025·四川成都·二模）在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米． (1)若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？ (2)若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？ 【答案】(1)数学书有本，语文书有本； (2)最多还可以摆本语文书． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解题关键是正确理解题意并得出二元一次方程组及一元一次不等式． （1）设书架上数学书有本，语文书有本，由题意得出二元一次方程组后求解即可； （2）设再摆本语文书，列出不等式后求解即可． 【详解】（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本， 由题意得：， 解得， 答：数学书有本，语文书有本． （2）解：设再摆本语文书， 根据题意得：， 解得：， 答：最多还可以摆本语文书． 【变式2-5】（2025·江西·模拟预测）为营造喜庆的节日氛围，某单位后勤管理处决定利用艳丽的花卉来搭配A，B两种园艺造型．若搭配10个A种和15个B种园艺造型，需成本28000元；若搭配15个A种和10个B种园艺造型，需成本27000元． (1)搭配一个A种和一个B种园艺造型的成本分别为多少元？ (2)现要搭配A，B两种园艺造型共30个，且成本不高于32000元，则至少要搭配A种园艺造型多少个？ 【答案】(1)配一个A种和一个B种园艺造型的成本分别为1000元、1200元 (2)至少要搭配A种园艺造型20个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设搭配一个A种和一个B种园艺造型的成本分别为x元、y元．根据“搭配10个A种和15个B种园艺造型，需成本28000元；若搭配15个A种和10个B种园艺造型，需成本27000元”列出二元一次方程组求解即可； （2）设要搭配A种园艺造型m个．根据成本不高于32000元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设搭配一个A种和一个B种园艺造型的成本分别为x元、y元．根据题意，得 ， 解得， 答：搭配一个A种和一个B种园艺造型的成本分别为1000元、1200元． （2）解：设要搭配A种园艺造型m个．根据题意，得 ． 解得．     答：至少要搭配A种园艺造型20个， 【变式2-6】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买30株A种花卉和20株B种花卉共需要190元；购买50株A种花卉和40株B种花卉共需要350元． (1)求采购每株A，B两种花卉各多少元钱． (2)若该物管中心采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购的总费用不超过34000元，则最少采购A种花卉为多少株？ 【答案】(1)采购每株A，B两种花卉各3元，5元； (2)最少采购A种花卉为8000株． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出一元一次不等式，二元一次方程组是解此题的关键． （1）设采购每株A种花卉x元，采购每株B种花卉y元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设采购A种花卉m株，则采购B种花卉株．根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：设采购每株A种花卉x元，采购每株B种花卉y元． 根据题意得， 解得， 答：采购每株A，B两种花卉各3元，5元； （2）解：设采购A种花卉m株，则采购B种花卉株． 根据题意得， 解得； 答：最少采购A种花卉为8000株． 【变式2-7】（24-25八年级下·广东佛山·期中）为迎接六一儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具5套，B类玩具4套，需800元；A类玩具3套，B类玩具2套，则需450元． (1)求A、B两类玩具每套进价分别是多少元． (2)该玩具店购进B类玩具比A类玩具的2倍多4套，若玩具店销售1套A类玩具获利30元，销售1套B类玩具获利20元，且全部售出后所获得利润不少于1200元．问该玩具店至少购进A类玩具多少套？ 【答案】(1)A类玩具每套进价为100元，B类玩具每套进价为75元 (2)该玩具店至少购进A类玩具16套 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式解决实际问题，分析题意，找出数量关系是解决问题的关键． （1）设A类玩具每套进价为x元，B类玩具每套进价为y元．根据“A类玩具5套B类玩具4套，需800元；A类玩具3套B类玩具2套，则需450元”列出方程组，求解即可； （2）设该玩具店购进A类玩具n套，根据“全部售出后所获得利润不少于1200元”列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设A类玩具每套进价为x元，B类玩具每套进价为y元．根据题意，得 ， 解得， 答：A类玩具每套进价为100元，B类玩具每套进价为75元． （2）解：设该玩具店购进A类玩具n套．根据题意，得 ， 解得， 答：该玩具店至少购进A类玩具16套． 【变式2-8】（2025·辽宁抚顺·三模）某学校为开展课外活动、计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格； (2)该学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且购买费用不超过2610元，那么该学校最多可以购买多少副乒乓球拍？ 【答案】(1)每副乒乓球拍元和每副羽毛球拍元． (2)最多可购买副乒乓球拍． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乒乓球拍单价为元/副，羽毛球拍单价为元/副，根据购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元可列二元一次方程组进行求解即可，注意代入验证； （2）根据总数量与预算限制，建立不等式关系，求解满足条件的最大乒乓球拍数量即可．注意最终结果需符合实际情境，取整数解． 【详解】（1）解：设乒乓球拍单价为元/副，羽毛球拍单价为元/副， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：每副乒乓球拍元和每副羽毛球拍元． （2）解：设购买乒乓球拍副，则羽毛球拍为副， 总费用满足：   解得， 为正整数， 最多可购买副乒乓球拍． 答：学校最多可以购买副乒乓球拍． 【变式2-9】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某商场计划购进甲、乙两种不同型号背包，已知购进甲型号背包2个和乙型号背包3个共需270元；购进甲型号背包3个和乙型号背包2个共需230元． (1)甲、乙两种型号背包每个的进价分别是多少元？ (2)商场决定甲型号背包以每个40元价格出售，乙型号背包以每个90元价格出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种背包共100个，当购进的背包全部售出后，该商场要想获得利润超过1200元，则最多购进甲种背包多少个？ 【答案】(1)甲种型号背包每个进价为30元，乙种型号背包每个进价为70元 (2)最多购进甲种型号背包79个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键． （1）设甲、乙两种型号背包每个的进价分别是x、y元，根据题意列方程组求解可得； （2）设购进甲型号背包m个，乙型号背包个，根据“获利超过元”列不等式求解可得． 【详解】（1）解：设甲种型号背包每个进价为元，乙种型号背包每个进价为元． 根据题意得：，解得 答：甲种型号背包每个进价为30元，乙种型号背包每个进价为70元． （2）设购进甲种背包个，乙型号背包个，根据题意可得 ，取最大整数解为79． 答：最多购进甲种型号背包79个． 【变式2-10】（2025·湖南怀化·二模）某企业为制作智能机器人，拟购买A，B两种型号国产芯片，制定方案如下表： A型国产芯片（枚） B型国产芯片（枚） 总费用（万元） 方案一 100 200 300 方案二 200 100 240 (1)求A，B两种型号国产芯片的单价； (2)若该企业调整方案，计划购买A，B两种型号国产芯片共400枚，且总费用不超过400万元，则至少购买A型号国产芯片多少枚？ 【答案】(1)A，B两种型号国产芯片的单价分别为0.6万元，1.2万元 (2)至少购买型号国产芯片134枚 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设A，B两种型号国产芯片的单价分别为万元，万元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设至少购买型号国产芯片枚，根据“计划购买A，B两种型号国产芯片共400枚，且总费用不超过400万元”列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种型号国产芯片的单价分别为每枚万元，万元， 由题意得：， 解得：， ∴A，B两种型号国产芯片的单价分别为每枚0.6万元，1.2万元； （2）解：设至少购买型号国产芯片枚， 由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴至少购买型号国产芯片134枚． 【基础题型三】一元一次不等式其他实际应用 例题3（河南省开封市2025年中招第二次模拟考试数学试题）某校计划开展研学活动，通过调查得到以下信息． 信息1： 车型 座位数（人/辆） 租金（元/辆） 30座客车 30 300 45座客车 45 400 信息2：若每位老师带35名学生，则有20名学生无老师可带；若每位老师带46名学生，则余下一位老师无学生可带． 请根据以上信息，完成以下任务． 任务1：求出此次活动中老师与学生各有多少人． 任务2：研学活动需租用两种车型客车，每辆车上只有一名老师负责学生安全，每人都必须有座位且不超载．请设计最优租车方案． 【答案】任务1：此次活动中老师有6人，学生有230人；任务2：租用2辆30座客车，租用4辆45座客车的租金最少 【详解】解：任务1：设此次活动中老师有人， 由题意，得， 解得． 学生人数为：（人） 答：此次活动中老师有6人，学生有230人． 任务2：设租用辆30座客车，则租用辆45座客车，租金为元． 根据题意，得，解得：， 随的增大而减小 当，时，有最小值． 答：租用2辆30座客车，租用4辆45座客车的租金最少． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）六一儿童节当天，七（1）班同学在公园里举行义卖活动，他们制作了一定数量的爆米花、蛋挞进行销售，已知爆米花和蛋挞成本分别为1.5元/份和2元/份，每份爆米花售价比蛋挞少1元，开始一小时，他们一共售出爆米花20份和蛋挞50份，销售利润为200元． (1)求每份爆米花和蛋挞的售价； (2)临近中午时，他们的销售利润超过了900元，但由于销售量较多，同学们只记得售出爆米花的数量满足份，上午至少售出蛋挞几份？ (3)下午，一部分同学继续出售爆米花和蛋挞，另一部分同学组成团队在现场制作冰淇淋用于义卖，冰淇淋售价为5元/份，租借冰淇淋制作机需要100元，每制作一份冰淇淋需要材料费2元，到结束时，全班同学制作了三种食品共份全部销售一空，爆米花与蛋挞的份数之比为，制作销售冰淇淋的团队也有盈利，且三种食品的销售总利润恰好为2025元，求的最大值． 【答案】(1)爆米花的售价为4元，蛋挞的售价为5元(2)217份(3)781 【分析】本题主要考查一元一次方程，二元一次方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设爆米花的售价为元，则蛋挞的售价为元，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）设上午售出蛋挞份，由题意易得，然后根据可得，进而问题可求解； （3）设制作的爆米花为份，蛋挞为份，则冰淇淋为份，由题意易得，且，进而求解即可. 【详解】（1）解：设爆米花的售价为元，则蛋挞的售价为元．根据题意，得： ， 解得， 所以． 答：爆米花的售价为4元，蛋挞的售价为5元． （2）解：设上午售出蛋挞份．根据题意，得： ，即． 又因为， ∴． 又因为是正整数，所以的最小值为217． 答：上午至少售出蛋挞的份数为217份． （3）解：∵爆米花与蛋挞的份数之比为， 设制作的爆米花为份，蛋挞为份，则冰淇淋为份，根据题意，得： ，且， 解得， 解得：． 因为均为正整数，所以当时，取得最大值，． 所以的最大值为781． 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果今年8月份小王家计划水费不超过80元，则小王家这个月用水最多为多少吨？ 【答案】(1) (2)小王家这个月用水最多为吨 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，理解题意正确列出方程和不等式是关键． （1）当用水15吨时，水费为元，根据水费为，则列式可求得a的值；当用水26吨时，由所求a的值，可计算出基本水费与超过部分水费，等于元减去污水处理费，由此列式计算求得b的值； （2）设小王家这个月用水为吨，根据（1）所求a与b的值，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：当用水15吨时，水费为元，则， 则（元）； 当用水26吨时，17吨水的费用为（元），（元）， 所以， 得：； （2）解：设小王家这个月用水为吨， ，则， 根据题意： ， 答：小王家这个月用水最多为吨． 【变式3-3】（2025·山西朔州·三模）截至年月，中国邮政已在全国多个省份、地区开展了无人车配送的试点工作，不仅减少了揽投员的往返次数，还解决了旺季人手短缺的问题．某邮政快递运营区现有名揽投员，为驿站提供快递配送服务．现计划在该运营区试点投放辆无人车，和揽投员组成“工作搭子”已知该运营区旺季期间日均投递总量不低于件，每位揽投员日均投递量是每辆无人车日均投递量的，则旺季期间每辆无人车的日均投递量至少为多少件? 【答案】至少为件 【分析】本题主要考查一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键．设旺季期间每辆无人车的日均投递量为件，根据数关系列式求解即可． 【详解】解：设旺季期间每辆无人车的日均投递量为件， 根据题意，得：， 解得：． ∵为整数， ∴的最小值为． 答：旺季期间每辆无人车的日均投递量至少为件． 【变式3-4】（23-24七年级下·全国·期中）水果市场进了某种水果，进价是15元/，售价是20元/．销售一半后，为了尽快售完，准备打折出售．要使总利润不低于4000元，余下的水果至多可以按原定价的几折出售？ 【答案】9折 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题列出不等式进行求解． 设按原定价的折出售，由题意得出相等关系是：销售一半获的利润即加上剩下的一半打折销售的利润，即大于等于4000 ，列出不等式求解． 【详解】解：设按原定价的折出售． 根据题意可得， 解得：， 答：余下的水果至多按原定价的9折出售． 【变式3-5】（23-24七年级下·全国·期末）某次知识竞赛有50道选择题，评分标准为：答对1题得2分，答错1题扣1分，不答得0分．某学生有4道题没有答，他至少答对多少道题，成绩才会不低于82分？ 【答案】他至少答对43道题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设他答对x道题，则他答错题，根据总得分不低于82分建立不等式求解即可． 【详解】解：设他答对x道题， 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴x的最小值为43， 答：他至少答对43道题． 【变式3-6】（23-24七年级下·全国·期末）某店针对某款打印机硒鼓开展促销活动，该款硒鼓原售价为200元，促销活动如下： 活动一：所购硒鼓一律打九折；活动二：若所购硒鼓超出3个，则超出部分打八五折． (1)购买4个该款硒鼓的顾客参与哪个活动更划算？ (2)请通过计算说明顾客如何购买更划算． 【答案】(1)购买四个该款硒鼓的客户参与活动一更划算 (2)活动一划算；活动一和活动二付款金额一样；活动二划算 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用． （1）先分别计算出购买4个该款硒鼓的两种活动的价格，然后比较即可得出答案． （2）分段讨论，并列出一元一次不等式求解即可得出答案． 【详解】（1）解：购买4个硒鼓的总费用计算∶ 活动一∶ 总费用元 活动二∶ 总费用 ∵， ∴活动一更划算； （2）解：当购买数量∶ 活动一费用∶元 活动二费用∶元． 结论∶活动一更划算． 当购买数量 活动一费用∶ 元． 活动二费用∶元 当， 解得． 综上，当时，两种活动费用均为1620元． 若时，活动一更划算； 若时，活动二更划算． 【变式3-7】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有、两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如下表： 型 型 价格（万元/台） 24 20 产量（吨/月） 720 540 (1)经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案（每一种新设备至少买1台）； (2)在（1）的条件下，若要求每月产量不低于6120吨，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)有5种购买方案； (2)最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式的应用． （1）设购买型设备x台，型设备台，根据该公司购买节能设备的资金不超过220万元，列出不等式，求出x的值即可得出答案； （2）根据型、型的产量和公司要求每月的产量不低于6120吨，列出不等式，求出x的值，确定出方案，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设购买型设备x台，型设备台， 根据题意，得，解得， 因为每一种新设备至少买1台， 所以，2，3，4，5， 所以有5种购买方案； （2）解：根据题意，得， 解得， 则x为4或5， 当时，购买资金为(万元)， 当时，购买资金为 (万元)， 因为， 所以最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台． 【变式3-8】（24-25八年级下·山东青岛·期中）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，乡村特色产业稳步发展．某乡村振兴示范点文创商店计划购进A，B两种文创产品进行销售．A，B两种文创产品的进价和售价如下表所示： A B 进价（元/件） 25 33 售价（元/件） 35 40 若该文创商店欲购进A，B两种文创产品共200件，且这两种文创产品全部售出后总获利不低于1600元，则该文创商店最少需要购进A种文创产品多少件？ 【答案】67件 【分析】本题主要考查不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键．设该文创商店需要购进A种文创产品件，则需要购进B种文创产品件，结合“总获利不低于1600元”进行列式求解即可． 【详解】解：设该文创商店需要购进A种文创产品件，则需要购进B种文创产品件，由题意得， ， 解得，， ∵为正整数， ∴最小的值为67， ∴该文创商店至少需要购进A种文创产品67件． 【变式3-9】（24-25八年级下·陕西汉中·期中）立体书兼具了传统书的内容和形式，也拥有玩具的趣味和功能．某工厂生产了一款立体书，按标价销售此立体书，每本可获利30元．该工厂原计划按标价销售这款立体书共600本，销售一部分后发现生意火爆，于是将每本立体书提价10元，很快全部销售完，最后发现总利润不低于22000元，求提价前最多销售多少本此款立体书？ 【答案】提价前最多销售200本此款立体书 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 设提价前销售m本此款立体书，则提价后销售（）本此款立体书，利用总利润=每本的销售利润×销售数量，结合总利润不少于22000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】解：设提价前销售m本此款立体书，则提价后销售（）本此款立体书， 依题意得：， 解得：． 答：提价前最多销售200本此款立体书． 【变式3-10】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： (1)小海和小华最多购买几个种魔方？ (2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案． 【答案】(1)最多购买个种魔方 (2)见解析 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用． （1）设购买种魔方件，则购买种魔方件，根据种魔方的数量不少于种魔方的数量即可解答； （2）结合两种魔方得单价列出不等式求得可能的情况，再结合单价求出购买方案． 【详解】（1）解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的最大值为15， 答：最多购买个种魔方； （2）解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的值为， 则有三种购买方案： 方案一：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元； 方案二：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元； 方案三：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元． 【变式3-11】（24-25八年级下·四川成都·期中）有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成，已知甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米，若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，设两工程队合作施工天． (1)用含的代数式表示甲队单独工作天数； (2)如果甲队每天需工程费7000元，乙队每天需工程费5000元，且支付工程队总费用不超过79000元，请列不等式求出的最大值． 【答案】(1)甲队单独工作天数为天 (2)6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意列出关系式是解答本题的关键． （1）设甲队单独工作t天，根据“甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，设两工程队合作施工天，共修6000米长”列出二元一次方程求解即可； （2）根据支付工程队总费用不超过79000元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲队单独工作t天，根据题意得， ， 解得，， 所以，甲队单独工作天数为天； （2）解：根据题意得，， 化简得， 解得，， 所以，的最大值为6． 【基础题型四】列一元一次不等式组（选填） 例题4（24-25八年级下·福建三明·期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页 由“张力读了一周（7天）还没读完”可得： 由“李永不到一周就已读完” 可得： 故： 故选：A． 【变式4-1】（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组． 设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 【变式4-2】（24-25七年级下·广西崇左·期中）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，根据“逆流而上返回A是需要不到5小时”，即可列出一元一次不等式． 【详解】水流速度是每小时千米，船在静水中的速度是每小时千米， 顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米， ， 即， 故选C． 【变式4-3】（24-25八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【变式4-4】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 【变式4-5】（23-24八年级下·全国·期末）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 【变式4-6】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，设购买A型污水处理设备a台，则设购买B型污水处理设备台，根据购买资金不超过106万元可得，根据污水处理量不低于1930吨可得，据此可得答案． 【详解】解：设购买A型污水处理设备a台， 由题意得，， 故选：B． 【变式4-7】（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 【详解】解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 【基础题型五】一元一次不等式组实际应用之分配问题 例题5（24-25七年级下·全国·期中）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某书店在读书日活动中准备了一批图书赠送给参与活动的读者．如果每人赠送5本，则还剩下10本；如果每人赠送8本，则最后一名读者得到的图书不足4本．请问该书店可能准备的图书数量和获赠读者人数． 【答案】获赠读者为5人，图书数量为35本． 【分析】本题考查了不等式组的应用．首先设获赠读者为人，则图书数量为本，根据“最后一名读者得到的图书不足4本”列出不等式求解即可． 【详解】解：设获赠读者为人，则图书数量为本，则有 解得 因为是整数，故， 所以（本）． 答：获赠读者为5人，图书数量为35本． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【答案】(1)只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； (2)租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【分析】本题考查了不等式组的应用． （1）设租36座的车辆，则租42座的客车辆．不等关系：租42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，据此求解即可； （2）根据（1）中求得的人数，进一步计算三种方案的费用：①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车．再进一步比较得到结论即可． 【详解】（1）解：设租36座的车辆． 据题意得：， 解得：． ． 是整数， ． 则春游人数为：（人）． 答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； （2）解：方案①：租36座车8辆的费用：元； 方案②：租42座车7辆的费用：元； 方案③：， 座车越多越省钱， 又，余下人数正好36座， 可以得出：租42座车6辆和36座车1辆的总费用：元． ， 租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【变式5-3】（24-25八年级下·四川成都·期中）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，求学生人数． 【答案】11或12人 【分析】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出，且，分别求出即可．此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键． 【详解】解：假设学生有x人， 根据题意得出：， 解得：． ∵x是正整数， ∴符合条件的x的值是11或12， 即学生人数为11或12人． 【变式5-4】（24-25七年级下·全国·期中）某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？ 【答案】10人 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用；根据题意列出不等式组是解题的关键；设获奖学生有x人，则共有支签字笔，根据“如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支”，列出不等式组并求解即可． 【详解】解：设获奖学生有x人，则共有支签字笔． 依题意，得 解得． x为整数， x的最小值为10，即获奖学生至少有10人． 【变式5-5】（2024·广东清远·模拟预测）我市鹰嘴桃果品肉质爽脆、味甜如蜜，现在将一箱鹰嘴桃分给若干名到果园参观的游客品尝，如果每人分4个，则剩下20个鹰嘴桃；如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，求这批游客的人数和这箱鹰嘴桃的个数． 【答案】游客有6名，这箱鹰嘴桃有44个 【分析】本题主要考查一元一次不等式组，根据条件列出不等式组是解题的关键． 设设有名游客，则鹰嘴桃有个，根据如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，列出不等式组解出即可得到答案． 【详解】解：设有名游客，则鹰嘴桃有个， 依题意得：， 解得：． ∵游客人数应取整数， ∴． ∴（个）． 答：游客有6名，这箱鹰嘴桃有44个． 【变式5-6】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）把一些笔记本分给几个学生，如果每人3本 ，那么余8本，如果每人分5本，那么最后一人分到笔记本但不足3本，求学生有多少人？ 【答案】学生有6人 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设学生有x人，则有笔记本本，再根据如果每人分5本，那么最后一人分到笔记本但不足3本列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学生有x人， 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴， 答：学生有6人． 【变式5-7】（23-24七年级下·山东济宁·期末）医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理4名病人，则有20名病人没人护理，如果每名护士护理8名病人，有一名护士护理的病人多于1人不足8人，这个医院安排了几名护士护理病人？ 【答案】这个医院安排了6名护士护理病人 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设这个医院安排了x名护士护理病人，则一共有名病人，根据如果每名护士护理8名病人，有一名护士护理的病人多于1人不足8人列出不等式组求解即可． 【详解】解：设这个医院安排了x名护士护理病人， 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴， 答：这个医院安排了6名护士护理病人． 【变式5-8】（24-25八年级上·安徽·期末）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到2本，这些书有多少本？共有多少人？ 【答案】有26本书，6个学生 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．设有个学生，根据“每人分3本，还余8本”用含的代数式表示出书的本数；再根据“每人分5本，最后一人就分不到2本”列不等式． 【详解】解：设有个学生，那么共有本书，由题意得： ， 解得， 所以，共有本． 答：有26本书，6个学生． 【变式5-9】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，求每组预定的学生人数． 【答案】每组预定的学生人数为22人 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，先设每组预定的学生数为人，结合“把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人”这个条件，列出不等式组，即可作答． 【详解】解：设每组预定的学生数为人， 由题意，得 解得． 是正整数， ． 答：每组预定的学生人数为22人． 【变式5-10】（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【答案】学生最少有5名，奖品至少有22个 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键．设学生有x人，则有奖品本，再根据如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学生有名，根据题意得： ， 解得：， 因为为学生人数，只能为正整数， 所以或，则学生最少有5名， 当学生最少有5名时，将代入，可得奖品数量为：（个）， 答：学生最少有5名，奖品至少有22个． 【基础题型六】一元一次不等式组实际应用之和差倍问题 例题6（24-25七年级下·福建福州·期中）为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需120元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需210元． (1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？ (2)经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过7300元，那么文学类图书最多能买多少本？ 【答案】(1)科技类图书每本15元，文学类图书每本30元 (2)文学类图书最多能买186本 【详解】（1）解：设科技类图书每本元，文学类图书每本元． 依题意，得 解得 答：科技类图书每本15元，文学类图书每本30元． （2）解：设文学类图书能买本． 依题意，得 解得即． 又∵为整数 ∴的最大值为186． 答：文学类图书最多能买186本 【变式6-1】（24-25七年级上·山西忻州·期末）为了更好治理黄浦江水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． A、B两种型号设备的月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） a 处理污水量（吨/月） 240 180 (1)设A型设备每台的价格为a万元，则B型每台的价格为 万元； (2)求A、B两种型号的设备的价格； (3)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)A型设备的价格为12万元/台，B型设备的价格为10万元/台 (3)购买1台A型设备，9台B型设备 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意并正确列方程和方程组是解题关键． （1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，即可用含a的代数式表示出B型设备每台的价格； （2）根据购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设购买m台A型设备，则购买台B型设备，根据“市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出m的值，利用总价=单价×数量，分别求出m取各值时所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：∵购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，且A型设备每台的价格为a元， ∴B每台的价格为万元． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴（万元/台）． 答：A型设备的价格为12万元/台，B型设备的价格为10万元/台． （3）解：设购买m台A型设备，则购买台B型设备， 依题意得：， 解得：， ∵m为整数， ∴m可以取1或2． 当时，，所需费用为（万元）； 当时，，所需费用为（万元）． ∵， ∴最省钱的购买方案为：购买1台A型设备，9台B型设备． 【变式6-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元 (2)有5种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的应用， （1）设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解； （2）设购买甲品牌羽毛球x个，购买乙种品牌品牌羽毛球个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，由题意得 ， 解得：， 答：每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元； （2）解：设购买甲种品牌羽毛球x个，购买乙种品牌羽毛球个． 由题意得：， 解得：， 且均为正整数， ∴可以为：， ∴购买甲种品牌羽毛球106个，乙种羽毛球21个； 购买甲种品牌羽毛球108个，乙种羽毛球18个； 购买甲种品牌羽毛球110个，乙种羽毛球15个； 购买甲种品牌羽毛球112个，乙种羽毛球12个； 购买甲种品牌羽毛球114个，乙种羽毛球9个， ∴共有5种购买方案． 【变式6-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）某厂租用、两种型号的车给零售商运送货物，已知用辆型车和辆型车装满可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；厂家现有吨货物需要配送，计划租用、两种型号车辆一次配送完货物，且型车至少辆．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完吨货物； (3)若型车每辆需租金元每次，型车每辆需租金元每次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨 (2)共有种租车方案，方案：租用型车辆，型车辆；方案：租用型车辆，型车辆；方案：租用型车辆，型车辆 (3)方案最省钱，即租用型车辆，型车辆，最少租车费为元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算， （1）设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨，根据“用辆型车和辆型车装满可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”可列出关于、的二元一次方程组，求解后即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据“租用的型车至少辆，且能一次配送完吨货物”，即可得出关于的一元一次不等式组，求解可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆车的租金租车数量，即可求出选择各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用“总租金每辆车的租金租车数量”求出选择各租车方案所需租车费． 【详解】（1）解：设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨， 依题意得：， 解得：， 答：辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 依题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴可以取，，， ∴共有种租车方案， 方案：租用型车辆，型车辆； 方案：租用型车辆，型车辆； 方案：租用型车辆，型车辆； （3）选择方案的租车费为（元）； 选择方案的租车费为（元）； 选择方案的租车费为（元）； ∵， ∴方案最省钱，即租用型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【变式6-4】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元 (2)该校共有3种租车方案，方案1：租用10辆型大巴车，20辆型大巴车；方案2：租用11辆型大巴车，19辆型大巴车；方案3：租用12辆型大巴车，8辆型大巴车； (3)采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元 【分析】（1）设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元，根据“租用3辆型大巴车和2辆台型大巴车，共需费用2100元；4辆台型大巴车比5辆型大巴车的费用多500元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车，根据“型大巴车的辆数不少于型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆型大巴车的租金租用型大巴车的数量每辆型大巴车的租金租用型大巴车的数量，可求出采用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出采用各租车方案所需费用． 【详解】（1）解：设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元； （2）解：设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 该校共有3种租车方案， 方案1：租用10辆型大巴车，20辆型大巴车； 方案2：租用11辆型大巴车，19辆型大巴车； 方案3：租用12辆型大巴车，8辆型大巴车； （3）解：采用租车方案1所需费用为（元）； 采用租车方案2所需费用为（元）； 采用租车方案3所需费用为（元）． ， 采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 【变式6-5】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）为迎接培圣校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． (1)求甲、乙两种模型的单价各是多少元？ (2)现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案． 【答案】(1)甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价30元 (2)一共有3种方案：购买甲种模型28套，购买乙种模型22套；购买甲种模型29套，购买乙种模型21套；购买甲种模型30套，购买乙种模型20套． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价y元，根据3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，购买1套甲模型和2套乙模型共需80元列出方程组求解即可； （2）设购买甲种模型m套，则购买乙种模型套，根据总费用不超过1220元且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价30元； （2）解：设购买甲种模型m套，则购买乙种模型套， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为28或29或30， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有3种方案：购买甲种模型28套，购买乙种模型22套；购买甲种模型29套，购买乙种模型21套；购买甲种模型30套，购买乙种模型20套． 【变式6-6】（2024八年级上·浙江·期末）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式组的运用， （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1． 【变式6-7】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）今年的巴黎奥运会引发全民乒乓球热．某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元． (1)求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元； (2)若该体育用品店刚好用了购进这两种乒乓球共100个，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的三分之一，且甲种乒乓球数量不多于28个，那么该文具店共有哪几种进货方案？ 【答案】(1)甲球：5元，每个乙球：10元 (2)该文具店共有4种进货方案，方案1：购进25个甲种乒乓球，75个乙种乒乓球；方案2：购进26个甲种乒乓球，74个乙种乒乓球；方案3：购进27个甲种乒乓球，73个乙种乒乓球；方案4：购进28个甲种乒乓球，72个乙种乒乓球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设购进每个甲种乒乓球需要元，购进每个乙种乒乓球需要元，根据“若购进甲种乒乓球个，乙种乒乓球个，需要元，若购进甲种乒乓球个，乙种乒乓球个，需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该文具店购进个乙种乒乓球，则购进个甲种乒乓球，根据题意，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各进货方案； 【详解】（1）解：设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元， 依题意，得：，解得：． 答：购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元． （2）解：设该文具店购进个甲种乒乓球，则购进个乙种乒乓球， 依题意，得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴可以取25，26，27，； 该文具店共有4种进货方案，方案1：购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球；方案：购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球；方案：购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球；方案:购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球． 【基础题型七】一元一次不等式组实际应用之方案问题 例题7（24-25八年级上·重庆·期末）凯瑞商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示： 甲 乙 进价（元/部） 4300 3600 售价（元/部） 4800 4200 (1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？ (2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的而用于购买这两种手机的资金低于81500元，清通过计算设计所有可能的进货方案． 【答案】(1)甲手机12部，乙手机5部 (2)2种方案：①购进甲手机12部，乙手机8部；②购进甲手机13部，乙手机7部． 【详解】（1）解：设售出甲手机x部，乙手机y部， 由题意得，， 解得：． 答：售出甲手机12部，乙手机5部； （2）解：设购进甲手机x部，乙手机部， 由题意得，， 解得：， 取整数， 可取12，13， 则可能的方案为： ①购进甲手机12部，乙手机8部； ②购进甲手机13部，乙手机7部． 【变式7-1】（23-24七年级下·全国·期末）在实施“城乡危旧房改造工程”中，某区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A户型和30套B户型共需资金480万元，建成30套A户型和10套B户型共需资金400万元． (1)在实施“城乡危旧房改造工程”中，建成一套A户型和一套B户型所需资金分别为多少元？ (2)该区共800套房屋需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担．若国家补贴拨付的改造资金不少于2 100万，该区财政投入额资金不超过7 700万元，其中，国家财政投入A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元．请你通过计算，表示出A种户型可以建造的数量的范围． 【答案】(1)建成一套A种户型住房所需的资金是9万元，一套B种户型住房所需的资金是13万元； (2)A种户型至少可以建100套，最多可以建300套． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式组的实际应用： （1）设建成一套A种户型住房所需的资金是a元，一套B种户型住房所需的资金是b元，列出方程组即可解决问题． （2）设A种户型有x套，则B种户型有套．列出不等式组即可解决问题． 【详解】（1）解：设建成一套A种户型住房所需的资金是a万元，一套B种户型住房所需的资金是b万元， 根据题意得：， 解得：， 答：建成一套A种户型住房所需的资金是9万元，一套B种户型住房所需的资金是13万元； （2）解：①设A种户型可以建x套，则B种户型可以建套， 根据题意得：， 解得：， 答：A种户型至少可以建100套，最多可以建300套． 【变式7-2】（24-25七年级下·北京·期中）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/） 4 5 6 40 零售价格（元/） 5 6 8 50 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案？ 【答案】(1)这两种水果获得的总利润为500元 (2)该经营户第二天有1种批发水果的方案，即购进菠萝，苹果 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设第一天，该经营户批发菠萝，苹果，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论； （2）设购进菠萝，则购进苹果，根据“菠梦的进货量不低于，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出进货方案． 【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发菠萝，苹果， 根据题意得：， 解得：， ∴元， 答：这两种水果获得的总利润为500元； （2）解：设购进菠萝，则购进苹果， 根据题意：， 解得：， ∵m，均为正整数， ∴m取94， ∴该经营户第二天有1种批发水果的方案，即购进菠萝，苹果． 【变式7-3】（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）现有、两种商品，种商品单价为16元，种商品单价为4元．如果小静准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过120元，且不低于100元，问有几种购买方案？哪种方案费用最低？ 【答案】方案一∶购买商品5件， 商品5件；方案二∶购买商品6件， 商品4件， 方案一费用最低． 【分析】此题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意得出关系式是解题关键． 设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品件，根据关系式列出二元一次不等式组．求解再比较两种方案． 【详解】解∶设小静购买商品件，则购买商品件，由题意，得 解得 ∵取正整数， ∴或 ∴有两种购买方案∶ 方案一∶购买商品5件， 商品5件，购买费用为∶ (元)； 方案二∶购买商品6件， 商品4件，购买费用为∶ (元)． ，方案一费用低 答∶有两种购买方案，方案一费用最低． 【变式7-4】（2025·黑龙江绥化·二模）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由哈尔滨工业大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． (1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个共需要170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值； (2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件a个，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)共有3种购买方案：方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件a个，则购买“妮妮“造型钥匙扣挂件个，根据题意列出一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得： ， ∴，； （2）解：设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件a个，则设购买“妮妮“造型钥匙扣挂件个， 根据题意得：， 解得：， 又∵a为正整数， ∴a可以为，，， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个． 【变式7-5】（24-25八年级下·四川成都·期中）某企业需运输一批生产物资，已知3辆大货车与2辆小货车一次可以运输65箱物资；4辆大货车与6辆小货车一次可以运输120箱物资． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共15辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于175箱，且总费用小于6100元．请求出有几种运输方案？ 【答案】(1)1辆大货车一次运输15箱物资，1辆小货车一次运输10箱物资 (2)有三种运输方案，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， 对于（1），设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，再根据运输物资的箱数相等列出方程组，求出解即可； 对于（2），设运输这批物资的大货车m辆，则小货车辆，再根据箱数和费用列出不等式组，求出解集，再选择适合的方案解答即可． 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，根据题意，得 ， 解得， 所以设1辆大货车一次运输15箱物资，1辆小货车一次运输10箱物资； （2）解：设运输这批物资的大货车m辆，则小货车辆，根据题意，得 ， 解得， ∵m是正整数， ∴m可取5,6,7， ∴运输方案有3种， 方案一：大货车5辆，小货车10辆，此时所需要费用为（元）； 方案二：大货车6辆，小货车9辆，此时所需要费用为（元）； 方案三：大货车7辆，小货车8辆，此时所需要费用为（元）． 答：方案一：大货车5辆，小货车10辆；方案二：大货车6辆，小货车9辆；方案三：大货车7辆，小货车8辆． 【变式7-6】（24-25七年级下·四川内江·期中）资中血橙因其色泽鲜丽，果大皮薄，肉质脆嫩化渣，汁多味浓而广受喜爱．某合作社需要将240吨血橙运往外地销售，现准备租用甲、乙两种货车，将这批血橙一次性全部运往该地．已知1辆甲种货车和2辆乙种货车可运血橙105吨，2辆甲种货车和3辆乙种货车可运血橙180吨． (1)两种货车每辆各可运多少吨血橙？ (2)已知甲种货车每辆租金400元，乙种货车每辆租金300元，如果租用6辆货车运送血橙，且租车费用不超过2300元，有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案租车费用最少？租车费用最少是多少？ 【答案】(1)每辆甲种货车可运血橙45吨，每辆乙种货车可运血橙30吨； (2)共有两种租车方案，方案一、租用甲种货车辆，租用乙种货车辆；方案一、租用甲种货车辆，租用乙种货车辆； (3)租用甲种货车辆，租用乙种货车辆时费用最小，租车费用最少是元． 【分析】该题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式组来解决现实生活中的实际应用问题； （1）设每辆甲种货车可运血橙吨，每辆乙种货车可运血橙吨，根据“1辆甲种货车和2辆乙种货车可运血橙105吨，2辆甲种货车和3辆乙种货车可运血橙180吨”列出二元一次方程组，求解即可得； （2）设租用甲种货车辆，租用乙种货车辆，根据“运费总量是240吨血橙，租车费用不超过2300元”列出一元一次不等式组，求解即可； （3）分别计算两种租车方案所需费用，比较即可求解． 【详解】（1）解：设每辆甲种货车可运血橙吨，每辆乙种货车可运血橙吨， 由题意得， 解得， 答：每辆甲种货车可运血橙45吨，每辆乙种货车可运血橙30吨； （2）解：设租用甲种货车辆，租用乙种货车辆， 由题意得， 解得， ∴或5， ∴共有两种租车方案，方案一、租用甲种货车辆，租用乙种货车辆；方案一、租用甲种货车辆，租用乙种货车辆； （3）解：方案一的费用：元； 方案二的费用：元； ， 答：租用甲种货车辆，租用乙种货车辆时费用最小，租车费用最少是元． 【变式7-7】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）某商店决定购进A、B两种纪念品，已知购进A种纪念品1件，B种纪念品2件，需要20元；购进A神纪念品4件，B种纪念品1件，需要45元． (1)求A、B两种纪念品的进价； (2)若商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店有几种进货方案？ 【答案】(1)A种纪念品的单价是10元，B种纪念品的单价是5元 (2)3种购买方案 【分析】设A种纪念品的单价是x元，B种纪念品的单价是y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进A种纪念品m个，B种纪念品个，根据题意，列出一元一次不等式组，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次不等式组． 【详解】（1）解：设A种纪念品的单价是x元，B种纪念品的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种纪念品的单价是10元，B种纪念品的单价是5元． （2）解：设购进A种纪念品m个，B种纪念品个， 由题意得：， 解得 为正整数， 或 或， 共有3种购买方案． 【变式7-8】（2025·黑龙江·二模）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元 (2)有4种方案，分别为：方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩；方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩；方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩；方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元”列方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，根据“不超过16.3万元的资金，地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，”列不等式组求解即可； （3）由总占地面积不得超过，得，解得，结合知，再依据“仅有两种方案可供选择”，得，解之即可． 【详解】（1）解：设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元， 依题意得，， 解得， 答：该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元． （2）解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 由题意得， 解得， ∴整数m的值为17，18，19，20． 一共有4种方案，分别为： 方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩； 方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩． （3）解：由题意可得，解得， ∵仅有两种方案可供选择， ∴ ， 解得： 因此，a 的取值范围为：． 【变式7-9】（24-25七年级下·四川眉山·期中）“铭记先辈热血，筑牢信仰根基”，学校组织学生赴仁寿革命烈士陵园开展清明祭扫活动，并准备A，B两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分如表： (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用、两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多，若午餐需要选用这两种食品共包，其中食品不少于包，要使午餐中蛋白质的总含量不低于，请问有哪几种选择方案？ 【答案】(1)选用种食品包，种食品包 (2)方案一：选用种食品包，选用种食品包；方案二：选用种食品包，选用种食品包；方案三：选用种食品包，选用种食品包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设选用种食品包，种食品包，再结合“要从这两种食品中摄入热量和蛋白质”，这个条件进行列方程组，再解出，即可作答． （2）根据“每份午餐选用这两种食品共包，其中食品不少于，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于”这个条件进行列不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设选用种食品包，种食品包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用种食品包，种食品包． （2）解：设选用种食品包，则选用种食品包， 根据题意，得． 解得． ∵为正整数，则 方案一：选用种食品包，选用种食品包； 方案二：选用种食品包，选用种食品包； 方案三：选用种食品包，选用种食品包． 【变式7-10】（24-25八年级下·四川成都·期中）某电信公司最近开发A、B两种型号的手机，一经营手机专卖店销售A、B两种型号的手机，上周销售1部型3部型的手机，销售额为8400元．本周销售2部型1部型的手机，销售额为5800元． (1)求每部A型和每部B型手机销售价格各是多少元？ (2)如果某单位拟向该店购买A、B两种型号的手机共6部，发给职工联系业务，购手机费用不少于11200元且不多于11600元，问有哪几种购买方案？哪种方案费用最少？ 【答案】(1)每部A型手机售价1800元，每部B型手机售价2200元 (2)方案一：购买A型手机4部，购买B型手机2部；方案二：购买A型手机5部，购买B型手机1部；方案二费用最少 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，根据不等关系，列出不等式组． （1）设每部型手机售价元，每部型手机售价元，根据销售1部型3部型的手机，销售额为8400元，销售2部型1部型的手机，销售额为5800元，列出方程组即可； （2）设购买型手机部，则购买型手机部，根据购手机费用不少于11200元且不多于11600元，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设每部型手机售价元，每部型手机售价元．根据题意， 得 解得： 答：每部A型手机售价1800元，每部B型手机售价2200元． （2）解：设购买型手机部，则购买型手机部， 根据题意，得： 解得： 故共有两种方案： 方案一：购买A型手机4部，购买B型手机2部，费用（元）； 方案二：购买A型手机5部，购买B型手机1部，费用（元）； ∴方案二费用最少． 【变式7-11】（24-25七年级下·福建福州·期中）某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种笔记本的销售单价保持不变） 月份 销售数量（本） 销售数量（本） 销售额（元） 甲款 乙款 二月份 40 20 880 三月份 20 40 800 (1)求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元； (2)若甲款笔记本每本进价为10元，乙款笔记本每本进价为8元，文具店预计用不多于624元且不少于620元的资金购进这两款笔记本共70本，有几种进货方案； (3)为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金元，要使（2）中所有的方案获利相同，求的值． 【答案】(1)甲、乙两款笔记本的销售单价分别是16元和12元 (2)共有3种进货方案 (3)当，（2）中所有方案获利相同 【分析】本题主要查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，根据题意得到数量关系式是解题的关键． （1）设甲、乙两款笔记本的销售单价分别是元和元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购进甲款笔记本本，根据题意，列出不等式组，即可求解； （3）设购进甲款笔记本本，根据题意，列出关于a的代数式，再由总获利使（2）中所有的方案获利相同，可得到m的值，即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两款笔记本的销售单价分别是元和元： 由题意：，                       解得，                                     答：甲、乙两款笔记本的销售单价分别是16元和12元； （2）解：设购进甲款笔记本本．则：                               解得：． 的正整数解为30，31，32． 共有3种进货方案； （3）解：设购进甲款笔记本本，则总获利为： ． ∵使（2）中所有的方案获利相同， ∴， 即当，（2）中所有方案获利相同． 【变式7-12】（24-25八年级下·山西晋中·期中）为了响应我市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托我县某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元． 污水处理设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 (1)求m、n的值． (2)经我县审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案的购买资金． 【答案】(1) (2)应购买A型设备2台，B型设备16台，购买资金为万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元列出方程组求解即可； （2）设购买A型设备x台，则购买B型设备台．根据购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨列出不等式组求出x的值，再讨论不同x的值下的费用即可得到结论． 【详解】（1）解；根据题意得， 解得：； （2）解：设购买A型设备x台，则购买B型设备台． 由题意得，， 解得：， ∵x取非负整数， 或， 当时，购买资金为（万元） 当时，购买资金为（万元） ∴为了结约资金，应购买A型设备2台，B型设备16台． 【变式7-13】（24-25八年级下·福建三明·期中）三明市某化工厂，现有种原料千克，种原料千克，现准备用这些原料去生产甲、乙两种产品共件，已知每生产件甲种产品需要种原料千克以及种原料千克；每生产件乙种产品需要种原料千克以及种原料千克，请通过计算写出有哪几种具体的生产方案． 【答案】见详解 【分析】本题考查一元一次不等式（组）的应用、一元一次不等式的整数解正确列出不等式组是解题关键； 根据题意，列出不等式组，求解分析即可． 【详解】解：设甲的生产件数为件，则乙的生产件数为件， ， 解得：， 为整数， 可以取的值为：，，， 有三种方案， 方案：甲产品件，乙产品件， 方案：甲产品件，乙产品件， 方案：甲产品件，乙产品件； 【变式7-14】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． (1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件个共需要元，求m、n的值． (2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共个，且投入资金不少于元又不多于元，设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)共有3种购买方案：方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，则购买“妮妮“造型钥匙扣挂件个，根据题意列出一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得： ， ∴，； （2）设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，则设购买“妮妮“造型钥匙扣挂件个， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以为，，， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个． 【变式7-15】（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元 (2)见解析 (3)学校在第二次购买活动中最多需要元资金 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设A种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球单价比种足球多花元”可得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球不小于个”可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论； （3）分析第二次购买时，、种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 依题意得：，解得：． 答：购买一个种品牌的足球需要元，购买一个种品牌的足球需要元． （2）解：设第二次购买种足球个，则购买种足球个， 依题意得：， 解得：． 故这次学校购买足球有五种方案： 方案一：购买A种足球个，B种足球个； 方案二：购买A种足球个，B种足球个； 方案三：购买A种足球个，B种足球个． 方案四：购买A种足球个，B种足球个． 方案五：购买A种足球个，B种足球个． （3）解：∵第二次购买足球时，A种足球单价为(元)，B种足球单价为(元)， ∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多． ∴(元)． 答：学校在第二次购买活动中最多需要元资金． 【变式7-16】（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 【变式7-17】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； (2)一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立方程和不等式组求解是解题的关键． （1）设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，根据购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元建立方程求解即可； （2）设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个，根据种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元建立不等式组求出y的取值范围，进而求出y的正整数解，再算出对应方案下的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； （2）解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个． 根据题意，得， 解得， ∵y为正整数， ∴y的值可以为48或49或50， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， ∵， ∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 【基础题型八】一元一次不等式组实际应用之最大利润问题 例题8（24-25七年级下·重庆·期中）某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元，每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品，总收入为2496元． (1)请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？ (2)学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的．请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案． 【答案】(1)纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个 (2)制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大 【详解】（1）解：设纸艺花销售了x个，手工编织挂件销售了y个， 由题意得： 解得： 答：纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个． （2）解：设制作纸艺花m件，则制作手工编织挂件件， 由题意得： 解得： ∴ ∵m是整数   ∴，35 当时，，利润是元 当时，，利润是元 ∵ 方案：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件； 答：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大． 【变式8-1】（24-25七年级下·福建福州·期中）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”全球票房达到了一百五十四亿，某商家推出种哪吒纪念娃娃、种敖丙纪念娃娃．已知购进3件种娃娃和购进4件种娃娃的费用相同；每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多3元，且种娃娃售价为18元/个，种娃娃售价为12元/个． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过2400元的资金购进、两种娃娃共250个，若这250个娃娃全部售完，选择哪种进货方案商家获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个A种娃娃的进价是12元，每个B种娃娃的进价是9元 (2)当购进50个A种娃娃，200个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是900元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，代数式的值，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式，代数式，是解题的关键： （1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，根据购进3件种娃娃和购进4件种娃娃的费用相同；每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多3元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意，列出不等式，求出的取值范围，设这250个娃娃全部售完获得的总利润为w元，用m的代数式表示w，得到变化规律，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是12元，每个B种娃娃的进价是9元； （2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这250个娃娃全部售完获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w的值随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，200个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是900元． 【变式8-2】（2025·河南郑州·一模）2024年11月15日，郑州市热力公司开启了全市供暖，但由于供暖后室内干燥，因此大多数市民们选择使用室内空气加湿器．某商场根据民众需要，代理销售每台进价分别为220元、180元的A，B两种型号的空气加湿器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 2400元 第二周 6台 9台 5100元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A，B两种型号的空气加湿器每台的售价． (2)若商场准备用不超过5880元的金额再采购这两种型号的空气加湿器共30台，如何购买才可以使商场销售完这30台空气加湿器后获得最大利润？请给出相应的采购方案，并求出最大利润． 【答案】(1)A型空气加湿器每台的售价为400元，B型空气加湿器每台的售价为300元 (2)当购进12台A型空气加湿器，18台B型空气加湿器时，可获得最大利润，最大利润为4320元 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设型号空气净化器单价为元，型号空气净化器单价元，根据3台型号，3台型号的销售收入为2400元，6台型号9台型号的销售收入为5100元，列方程组求解； （2）设采购种型号空气净化器台，则采购种型号空气净化器台，根据金额不超过5880元，列不等式求解； 【详解】（1）解：设A型空气加湿器每台的售价为x元，B型空气加湿器每台的售价为y元． 由题意，得， 解得：， 答：A型空气加湿器每台的售价为400元，B型空气加湿器每台的售价为300元． （2）解：设购进A型空气加湿器a台，则购进B型空气加湿器台． 由题意，得， 解得：． 设总利润为W元． 由题意，得． ， W随a的增大而增大． 当时，W有最大值为4320元，此时，． 答：当购进12台A型空气加湿器，18台B型空气加湿器时，可获得最大利润，最大利润为4320元． 【变式8-3】（2025·安徽滁州·一模）茶叶是我省西南地区特产，某村部分青年返乡创业生产销售，两种茶叶，去年年初制订的计划是完成总销售利润万元．经过努力，其中生产销售种茶叶的利润比原计划增加，生产销售种茶叶的利润比原计划增加，实际生产销售的总利润为万元，他们去年生产销售，两种茶叶实际完成的销售利润各多少万元？ 【答案】，实际完成的销售利润分别为万元，万元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，熟练根据题意正确列出等式是解题的关键．设去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，分别利用“去年年初制订的计划是完成总销售利润万元”和“生产销售种茶叶的利润比原计划增加，生产销售种茶叶的利润比原计划增加，实际生产销售的总利润为万元”进行列式即可． 【详解】解：设去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元， 根据题意得：， 解得：， ∴（万元），（万元）， 答：他们去年生产销售，两种茶叶实际完成的销售利润分别为万元，万元． 【变式8-4】（24-25八年级下·四川达州·期中）在乡村振兴的春风吹拂下，渠县立足生态优势，将耙耙柑，柠檬等水果化作致富“金果”耙耙柑的进价是3元/千克，柠檬的进价是4元/千克；李老板从水果基地购进耙耙柑的重量比柠檬重量的3倍多20千克，一共花费840元；为方便销售，定价均为7元/千克． (1)李老板购进耙耙柑和柠檬各多少千克？ (2)若平均每天卖出耙耙柑和柠檬共50千克，每天利润不少于186元，则每天卖出的耙耙柑至少是多少千克？ (3)由于天气炎热，当耙耙柑还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的耙耙柑进行打折销售，为确保销售耙耙柑的总利润不低于716元，最低可以打多少折？ 【答案】(1)购进柠檬60千克，购进耙耙柑千克 (2)每天卖出的耙耙柑至少是36千克 (3)最低可以打8折 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设李老板购进柠檬千克，则李老板购进耙耙柑为千克，根据“柠檬的进价是4元/千克，耙耙柑的进价是3元/千克，一共花费840元”，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设耙耙柑的日销售量是千克，则柠檬的日销售量是千克，根据“每天利润不少于536元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； （3）设耙耙柑打折销售，根据“销售耙耙柑的总利润不低于716元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； 【详解】（1）解：设李老板购进柠檬千克，则李老板购进耙耙柑为千克， 根据题意得：， 解方程得， （千克） 答：购进柠檬60千克，购进耙耙柑千克； （2）解：设耙耙柑的日销售量是千克，则柠檬的日销售量是千克，根据题意，得： ， 解不等式，得：， 答：每天卖出的耙耙柑至少是36千克； （3）解：设耙耙柑打折销售，根据题意得： 耙耙柑的总利润为：， 解不等式得：， 答：最低可以打8折． 【变式8-5】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如今新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需95万元；购进4辆型新能源汽车、1辆型新能源汽车共需110万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆型汽车可获利1.5万元，销售1辆型汽车可获利0.7万元，假如这些新能源汽车全部售出，则该4S店共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元 (2)该店共有3种购买方案，最大利润为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设A种型号的新能源汽车每辆进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆进价为y万元，根据“购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m辆A种型号的新能源汽车，n辆B种型号的新能源汽车，利用总价=单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出该公司共有四种购买方案，再求出各方案可获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型号的新能源汽车每辆进价为万元，型号的新能源汽车每辆进价为万元， 由题意可得： ， 解得， 答：、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元． （2）解：设购买型号的新能源汽车辆，型号的新能源汽车辆，由题意可得，且，为正整数， 解得：，，， 所以该4S店共有3种购买方案． 当，时，获得的利润为（万元）， 当，时，获得的利润为（万元） 当，时，获得的利润为（万元）， 综上所述，最大利润为13.5万元． 【变式8-6】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售，根据市场调研知，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车和2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元； (2)若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该4S店共有几种购进方案？ (3)若该4S店销售1辆型汽车可获利0.7万元，销售1辆型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，不计其他成本，当购进的新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)汽车进价为万元，汽车进价为万元 (2)方案一：购买汽车辆，汽车辆；方案二：购买汽车辆，汽车辆；方案三：购买汽车辆，汽车辆； (3)购买汽车辆，汽车辆，利润最大，为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确找出等量关系是解题的关键． （1）设汽车进价为万元，汽车进价为万元，列二元一次方程，即可解答； （2）设购买汽车辆，汽车辆，则可得，根据都为正整数即可解答； （3）根据题意算出每种方案利润比较即可． 【详解】（1）解：设汽车进价为万元，汽车进价为万元， 根据题意可得， 解得， 答：汽车进价为万元，汽车进价为万元； （2）解：设购买汽车辆，汽车辆， 则可得， 整理可得， 为正整数， ，且为的倍数， 或或， 则或或， 方案一：购买汽车辆，汽车辆； 方案二：购买汽车辆，汽车辆； 方案三：购买汽车辆，汽车辆； （3）解：方案一：购买汽车辆，汽车辆， 此时利润为万元； 方案二：购买汽车辆，汽车辆； 此时利润为万元； 方案三：购买汽车辆，汽车辆； 此时利润为万元， 故选择方案三：购买汽车辆，汽车辆，利润最大，为万元． 【变式8-7】（24-25八年级下·广东佛山·期中）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．若购进5件蓝文化衫，4件红文化衫，共需要200元，若购进2件蓝文化衫，3件红文化衫，共需要115元． (1)学校购进红、蓝两种颜色的文化衫每件进价分别是多少元？ (2)若该校购进蓝文化衫的数量比红文化衫的数量的2倍少25件，且购进红文化衫、蓝文化衫的总数量不少于200件，则学校最少购进红文化衫多少件？ (3)在（2）的条件下，若红文化衫、蓝文化衫的售价分别是40元/件和30元/件，且总进价不超过6000元，那么如何设计购买方案，使当所有文化衫卖出后利润有最大，最大值是多少元？ 【答案】(1)红文化衫每件的进价为元，蓝文化衫每件的进价为元 (2)该校最少购进红文化衫件 (3)购买100件红色文化衫，件蓝色文化衫时获利最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式的应用，解题的关键是理解题意，列出不等式或方程组． （1）设红文化衫每件的进价为x元，蓝文化衫每件y元，根据购进5件蓝文化衫，4件红文化衫，共需要200元，若购进2件蓝文化衫，3件红文化衫，共需要115元列出方程组，解方程组即可； （2）设购进红文化衫m件，根据题意列出不等式，即可求解； （3）根据总进价不超过6000元，得出，求出，根据红色文化衫越多，蓝色文化衫越多，且购买的越多获利越多，得出当购买100件红色文化衫，购买（件）蓝色文化衫时获利最大，求出最大利润即可． 【详解】（1）解：设红文化衫每件的进价为x元，蓝文化衫每件y元，根据题意得： ， 解得， 答：红文化衫每件的进价为元，蓝文化衫每件的进价为元； （2）解：设购进红文化衫m件，则购进蓝色文化衫件，根据题意得：， 解得， 答：该校最少购进红文化衫件； （3）解：∵总进价不超过6000元， ∴， 解得：，               由（2）得， ∴， ∵蓝色文化衫购买数量为件， ∴红色文化衫越多，蓝色文化衫越多， 又∵购买的越多获利越多， ∴当购买100件红色文化衫，购买（件）蓝色文化衫时获利最大，且最大利润为： （元）． 【变式8-7】（2025·宁夏·模拟预测）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元 (2)共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆 (3)购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元 【分析】（）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解方程即可求解； （）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 由题意得，， 解得， 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 由题意得，， 解得， ，均为正整数， ，，， 共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆； （3）解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元； ， 购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元． 【变式8-8】（24-25八年级上·河南郑州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需95万元． (1)问两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案． (3)在问题（2）的条件下，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润． 【答案】(1)每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元 (2)共有3中方案，方案一：购买型车辆，购买型车辆；方案二：购买型车辆，购买型车辆；方案三：购买型车辆，购买型车辆 (3)方案一获得利润最大，最大利润为万元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，二元一次方程根的计算，理解数量关系，正确列式计算是解题的关键． （1）设每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买型车辆，购买型车辆，由此列式，代值计算即可求解； （3）根据利润的计算，进行比价即可求解． 【详解】（1）解：设每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元， ∴， 解得，， ∴每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元； （2）解：设购买型车辆，购买型车辆， ∴， ∴， ∴是的倍数，且是正整数， 当时，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴共有3中方案，方案一：购买型车辆，购买型车辆；方案二：购买型车辆，购买型车辆；方案三：购买型车辆，购买型车辆； （3）解：方案一：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； 方案二：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； 方案三：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； ∵， ∴方案一获得利润最大，最大利润为万元． 【变式8-9】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元． (1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； (2)共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆； (3)购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，， 共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆； （3）解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 【变式8-10】（24-25七年级上·安徽六安·期末）某玩具店经销A，两种玩具，进价和售价如下表所示： 名称 进价（元） 45 60 售价（元） 66 90 (1)第一次进货时，玩具店购进A，两种玩具30件共花了1500元，请问A，两种玩具各进了多少件？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种玩具进价每件上涨了5元，种玩具进价每件上涨了10元，但两种玩具的售价不变．玩具店计划用1200元同时购进A，两种玩具，1200元刚好用完．请问有几种购进方案，并说明哪种购进方案获得利润最多，是多少元？ 【答案】(1)，两种玩具各进20件，10件 (2)共有三种购进方案，其中购进A种玩具17件，种玩具5件利润最多为372元 【分析】本题主要二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组和二元一次方程成为解题的关键． （1）设A种玩具进件，种玩具件，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设第二次A种玩具购进件，种玩具购进件，根据题意得：，即；然后列举出a、b的可能取值进行解答即可． 【详解】（1）解：设A种玩具进件，种玩具件，根据题意得： ，解得：． 答：A、两种玩具各进20件，10件． （2）解：设第二次A种玩具购进件，种玩具购进件，根据题意得： ，化简得： 因为，只能取正整数，所以采购方案共有三种，分别是 方案一：A种17件，种5件，利润为：元； 方案二：A种10件，种10件，利润为：元； 方案三：A种3件，种15件，利润为：元． 答：共有三种购进方案，其中购进种玩具17件，种玩具5件利润最多为372元． 【变式8-11】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元 (2)共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车 (3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列出方程（组）求解是关键． （1）设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元，根据数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车，由数量关系列二元一次方程，根据二元一次方程的解的方法代入求值即可； （3）根据题意，分别算出方案一、二的利润即可． 【详解】（1）解：设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元， 根据题意可列方程组为，解得， ∴、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元． （2）解：设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车， 根据题意得：，且，均为正整数， 或， 共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车． （3）解：方案一：获得的利润为：（万元）， 方案二：获得的利润为：（万元）， ∴第二种方案获得的利润最大，为15.6万元． 【变式8-12】（24-25七年级下·重庆大渡口·期中）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元． (2)该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），并分别以200元和100元的单价出售，求专卖店共有几种采购方案, 并选出利润最大的采购方案，求出最大利润． 【答案】(1)“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元 (2)三种购买方案；利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具18只，购进“雪容融”毛绒玩具10只，最大利润为1100元． 【分析】（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元，由题意：8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，由题意：该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），列出二元一次方程，求出正整数解即可；分别求出三个采购方案的利润，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元， 由题意得：， 解得：， 答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元； （2）解：设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只， 由题意得：， 整理得：， 、为正整数， 或或， 专卖店共有3种采购方案； 当，时，利润为：（元）； 当，时，利润为：（元）； 当，时，利润为：（元）； ， 利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具18只，购进“雪容融”毛绒玩具10只，最大利润为1100元． 【变式8-13】（23-24七年级下·四川内江·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需80万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元．假如这些新能源汽车全部售出，请设计出符合要求的一种购买方案．并求出此方案所获得的利润． 【答案】(1)A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元，10万元 (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用： （1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解，即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意可列方程组为， 解得， 所以A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元，10万元 （2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车， 根据题意得：，且m，n均为正整数， ∴或或． 共有三种购买方案： 方案一：购进2辆A型号的新能源汽车，购进13辆B型号的新能源汽车，获得的利润为（万元） 方案二：购进4辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车，获得的利润为（万元） 方案三：购进6辆A型号的新能源汽车，购进3辆B型号的新能源汽车，获得的利润为（万元） 【变式8-14】（23-24七年级下·全国·期末）“食博会”期间，某零食店计划购进两种网红零食共包，其中种零食的进价为每包元，种零食的进价为每包元．已知在出售时，包种零食和包种零食的价格一共为元，包种零食和包种零食的价格一共为元． (1)两种零食每包的售价分别是多少元？ (2)该零食店为了限制进货投入，计划种零食的进货不超过包，且销售完后总利润不低于元，则进货方案有多少种？哪种进货方案可获最大利润？ 【答案】(1)种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元； (2)购进种零食包，购进种零食包，获利最大，最大利润为元． 【分析】（）设种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元，根据题意列出方程组即可求解； （）设购进种零食包，则购进种零食包，根据题意列出不等式组求出的值，再求出每一种方案的获利即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：设种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元， 根据题意得，， 解得， 答：种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元； （2）解：设购进种零食包，则购进种零食包， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴进货方案有种： 方案一：购进种零食包，种零食包，获利元； 方案二：购进种零食包，种零食包，获利元； 方案三：购进种零食包，种零食包，获利元； ∵， ∴购进种零食包，购进种零食包，获利最大，最大利润为元． 【变式8-15】（24-25七年级上·广西南宁·期末）制鞋厂生产的皮鞋按质量共分10个档次，最低档次（即第1档次）的皮鞋每双利润为60元．如果每提高一个档次，每双皮鞋的利润增加10元．最低档次的皮鞋每天可生产240双，每提高一个档次，每天将少生产15双皮鞋．每天生产第几档次的皮鞋所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】每天生产第6档次的皮鞋所获利润最大，最大利润是18150元 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘法的应用，完全平方公式的应用，根据题意得出每天获利润为：，整理得，根据完全平方的非负性求出最大值即可． 【详解】解：由题意，生产第档次的皮鞋，每天可生产： 双， 每双利润为：元， 所以每天获利润为： ， ∵， ∴， ∴的最大值为18150， ∴第6档次的皮鞋所获利润最大，最大利润为18150元． 【变式8-16】（23-24七年级下·贵州遵义·期末）仁怀市位于贵州省西北部、赤水河中游，大娄山脉西段北侧，属于云贵高原向四川盆地过渡的典型的山地地带，是酱香酒发源地，茅台酒的故乡，因其特殊的生态、气候、土壤和微生物群，成为酿造茅台酒等优质酱香白酒主要产区，2004年被命名为“中国酒都”，酱香白酒产业逐步扩大，诞生了大、中、小很多酱香白酒生产酒产，现某酱香白酒销售商准备向某酒厂购进一批中档酱香白酒进行销售，该酒厂有甲、乙两种品牌中档酱香白酒可供选择，据了解，购10件甲种品牌中档酱香白酒和5件乙种品牌中档酱香白酒需要12000元；购3件甲种品牌中档酱香白酒和6件乙种品牌中档酱香白酒需要6300元．请根据以上信息解答下面的问题： (1)求甲、乙两种品牌中档酱香白酒的进价； (2)若该酱香白酒销售商准备购进甲、乙两种品牌中档酱香白酒共100件，但准备的资金不超过84000元，那么该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒多少件； (3)在（2）的条件下，若该酱香白酒销售商准备的资金不低于83400元，那么该酱香白酒销售商有几种购进方案？若该酱香白酒销售商将甲、乙两种品牌中档酱香白酒分别以每件1200元和每件800元的售价全部卖出，请问该酱香白酒销售商应选择哪一种方案进酒获利最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种品牌中档酱香白酒的进价为900元，乙种品牌中档酱香白酒的进价为600元 (2)该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒80件 (3)有三种进酒方案，方案一：进甲种品牌中档酱香白酒78件，乙种品牌中档酱香白酒22件；方案二：进甲种品牌中档酱香白酒79件，乙种品牌中档酱香白酒21件；方案三：进甲种品牌中档酱香白酒80件，乙种品牌中档酱香白酒20件；选择方案三进酒获利最大，最大利润为112000元 【分析】（1）设甲种品牌中档酱香白酒的进价为元，乙种品牌中档酱香白酒的进价为元，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该酱香白酒销售商能购进甲种品牌中档酱香白酒件，则乙种品牌中档酱香白酒件，根据题意，得，解不等式求整数解即可； （3）设该酱香白酒销售商能购进甲种品牌中档酱香白酒件，则乙种品牌中档酱香白酒件，根据题意，得，结合（2）的解答联立求解符合题意的整数解即可． 本题考查了方程组，不等式的应用，不等式组的应用，熟练掌握方程组，不等式组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种品牌中档酱香白酒的进价为元，乙种品牌中档酱香白酒的进价为元，则 ． 解得． 答：甲种品牌中档酱香白酒的进价为900元，乙种品牌中档酱香白酒的进价为600元． （2）解：设该酱香白酒销售商能购进甲种品牌中档酱香白酒件，则乙种品牌中档酱香白酒件， 根据题意，得， 解得， 由m是正整数， 故． 答：该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒80件． （3）解：设该酱香白酒销售商进甲种品牌中档酱香白酒件，则乙种品牌中档酱香白酒件， 根据题意，得 解得， 又， ， 为整数， 取，，． 有三种进酒方案，即： 方案一：进甲种品牌中档酱香白酒78件，乙种品牌中档酱香白酒22件； 利润为：元． 方案二：进甲种品牌中档酱香白酒79件，乙种品牌中档酱香白酒21件； 利润为：元． 方案三：进甲种品牌中档酱香白酒80件，乙种品牌中档酱香白酒20件． 利润为：元． 选择方案三进酒获利最大，最大利润为112000元． 【变式8-17】（23-24七年级下·安徽安庆·期末）2024年4月25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； (2)该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？ (3)该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70 元，每个“天宫”模型的售价为55 元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元 (2)该销售店共有3种进货方案，详见解析 (3)进货方案购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式组解决实际问题． （1）设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据“购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元”即可列出方程，求解即可； （2）根据“购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元”列出不等式组，求出m的取值范围，再结合m为整数，即可解答； （3）根据（2）分别求出各进货方案的利润，即可解答． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据题意，得 ， 解得：， 答：每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元． （2）解：根据题意，得 ， 解得：， ∵m取整数， ∴， ∴该销售店共有3种进货方案： ①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型个； ②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型个； ③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型个． （3）解：方案①的利润为：（元）； 方案②的利润为：（元）； 方案③的利润为：（元）； ∴方案③的利润最大，为1345元． 答：进货方案③：购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元． 【变式8-18】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）随着科技的发展，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元 (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)种型号的汽车每辆进价分别为万，种型号的汽车每辆进价分别为万元； (2)购买汽车的方案有三种：①种汽车辆，种汽车辆；②种汽车辆，种汽车辆；③种汽车辆，种汽车辆； (3)方案①的利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用； （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据题意即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设种汽车辆，种汽车辆，则可列二元一次方程为，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设种汽车每辆万元，种汽车每辆为万元， 则可列二元一次方程组为 解得： 答：种型号的汽车每辆进价分别为万，种型号的汽车每辆进价分别为万元 （2）设种汽车辆，种汽车辆，则可列二元一次方程为 符合题意的正整数解有：，， 所以公司购买汽车的方案有三种：①种汽车辆，种汽车辆；②种汽车辆，种汽车辆；③种汽车辆，种汽车辆． （3）公司购买汽车三种方案的利润分别是：①元； ②元 ③元 方案①的利润最大，最大利润是元． 【压轴题型九】一元一次不等式组实际应用之素材问题 例题9（24-25七年级下·福建泉州·期中） 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼，又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼y个 长方形宣纸的数量（张） 正方形宣纸的数量（张） 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了11个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 【答案】任务一：填写表格见解析；任务二：两种灯笼一共个；任务三：竖式灯笼做了7个，横式灯笼做了4个 【详解】解：任务一：填写表格如下：                             竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） 正方形宣纸的数量（张） 任务二：根据题意，得     ，得，     ∴． 答：两种灯笼一共个．                 任务三：根据题意可列方程组         解得 答：竖式灯笼做了7个，横式灯笼做了4个． 【变式9-1】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）根据以下信息，探索完成任务： 如何设计招聘方案？ 素材1 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ 任务三：选取最优方案 在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人________名（直接写出答案） 【答案】任务一：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车； 任务二：有2种工人的招聘方案：①抽调熟练工名，招聘新工人名；②抽调熟练工名，招聘新工人名； 任务三：2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． 任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组求解即可； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可； 任务三：求出方案和方案的成本，然后比较即可解答． 【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 由题意得：， 解得：， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得：， 整理得：， 、为正整数，且， 或， 有种工人的招聘方案： 抽调熟练工名，招聘新工人名； 抽调熟练工名，招聘新工人名． 任务三：方案中，发放工资为：（元）； 方案中，发放工资为：（元）； ， 为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名． 故答案为：． 【变式9-2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）综合实践 方案设计： 素材一 同学们，你们知道吗，明天(2025年3月14日)就是第六个“国际数学日”了，也叫“π日”． 素材二 富源学校为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．决定购买A，B两种数学类图书共50本． 素材三 若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元． 任务一 A，B两种图书的单价分别为多少元？ 任务二 若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费． 【答案】任务一、A种图书每本30元，B种图书每本20元；任务二、购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： 任务一、设A种图书每本x元，B种图书每本y元，根据购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；购买5本A种图书和8本B种图书共需310元，列出方程组进行求解即可； 任务二、该校购买A种图书m本，根据购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】解：任务一、设A种图书每本x元，B种图书每本y元． 根据题意，得， 解得， 答：A种图书每本30元，B种图书每本20元； 任务二、设该校购买A种图书m本，则购买B种图书本． 根据题意，得， 解得，且m为正整数． A种图书单价高， 购买A种图书越少越省钱． m取最小值28时，总费用最少， 最少费用为元． 答：购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元． 【变式9-3】（24-25七年级下·吉林·期中）根据如表素材，探索解决任务． 新年礼盒生产方案的设计 素材1 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共70万套． 素材2 甲礼盒的成本为20元/套，售价为24元/套； 乙礼盒的成本为25元/套，售价为30元/套． 问题解决 任务1 该工厂计划筹集资金1540万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ 任务2 经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套（，都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润为368万元，请问该工厂有几种生产方案？ 【答案】任务1：甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套；任务2：该工厂有种生产方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 任务1：设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； 任务2：由题意可得，整理可得，求出或，即可得解． 【详解】解：任务1：设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套， 由题意可得：， 解得：， ∴甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套； 任务2：由题意可得， 整理可得：， ∵，都为正整数， ∴或， ∴该工厂有种生产方案． 【变式9-4】（24-25九年级下·宁夏银川·期中）根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材2 考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，且扫把簸箕套装不少于50套 素材3 商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】任务1：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元；任务2：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解此题的关键． 任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，计算即可得解． 【详解】解：任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元． 根据题意得：， 解得， 答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元． 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条， ∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元） 方案一：， 解得， 由题意得， ∴， ∴ 方案二：， 解得， ∴方案二不符题意，舍去． 答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条． 【变式9-5】（24-25七年级下·浙江金华·期中）解答： 设计烟花采购方案 为吸引游客，浦江县决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长 素材1 已知购买3箱A型和2箱B型烟花需要600元，购买5箱A型和3箱B型烟花需要950元． 素材2 某烟花厂提供产品信息如下： （1）A型烟花每箱8发，B型烟花每箱12发． （2）即将推出新品C型烟花，每箱200元，每箱15发． （3）本厂生产的所有型号烟花每发保持5秒．（例如A型烟花燃放时间为） 素 材 3 （1）浦江县准备支出7800元（全部用完）购买烟花． （2）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． 问题解决 任务1 确定单价 求A、B型烟花每箱多少元？ 任务2 确定方案① 若仅购买A，B型烟花，可以燃放多少秒？ 确定方案② 若同时采购A、B、C三种烟花，A型烟花的箱数是C型的5倍，如何采购使得燃放时间最长？． 【答案】（1）A型烟花每箱100元，B型烟花每箱150元；（2）；（3）分别购买 A，B，C型烟花各15、38、3箱时，燃放时间最长． 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解决此类问题的关键是分清题中数量关系，找出等量关系列出方程，求方程组的解或者求整数解即可． 任务1根据条件列出二元一次方程组即可解决． 任务2的第①问设分别购买A，B型烟花a，b箱，根据“支出7800元购买烟花”这一条件得到一个二元一次方程，对方程整理化简，再用a，b表示出烟花的燃放时间，整体代入即可求出燃放时间． 任务2的第②问沿用第①问的思路，设分别购买A，B型烟花a，b箱，表示出购买C型烟花箱，根据“支出7800元购买烟花”这一条件列一个关于a，b的二元一次方程，进而确定a要满足的条件，再用含a的式子表示出时长即可得到结论． 【详解】解：任务1：设A，B型烟花每箱分别为x元，y元， 由题意得 ， 解得 ， 答：A型烟花每箱100元，B型烟花每箱150元． 任务2：①设分别购买A，B型烟花a，b箱， 由题意得， 整理得，， ∴燃放时长为． 答：若仅购买A，B型烟花，可以燃放． ②设分别购买A，B型烟花a，b箱，则购买C型烟花箱， ∴，，整理得，， ∴， ∵a，b，均为正整数， ∴必须是15的倍数， ∴a必须是15的倍数， ∵燃放时长， ∴当a越小时，燃放的时长越长， ∴， ∴， ∴分别购买 A，B，C型烟花各15、38、3箱时，燃放时间最长． 【变式9-6】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案 素材1 纪念品商店购进若干“忆江南”徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为元/个，吉祥物钥匙扣的进价为元/个，如表是近两周的销售情况： 销售阶段 徽章(个) 钥匙扣(个) 销售收入(元) 第一周 第二周 (进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本) 素材2 该纪念品商店准备不超过532元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个． 问题解决 任务一 请尝试求出“忆江南”徽章、钥匙扣的销售单价． 任务2 该商店至少采购徽章多少个？ 任务3 请结合素材2中的消息，帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个商品的利润不低于646元，请写出符合条件的采购方案，在这些采购方案中，哪种方案可以使商店获利最高？ 【答案】任务一：“忆江南”徽章的销售单价为元、钥匙扣的销售单价为元；任务二：该商店至少采购徽章个；任务三：采购徽章个，采购钥匙扣个商店获利最高． 【详解】解：任务1：设“忆江南”徽章的销售单价为元、钥匙扣的销售单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：“忆江南”徽章的销售单价为元、钥匙扣的销售单价为元； 任务2：设该商店采购徽章个，则采购钥匙扣个， 根据题意，得， 解得， 答：该商店至少采购徽章个； 任务3：根据题意，得， 解得， ，且为正整数， 可以为，， 当时，总利润为元； 当时，总利润为元； 当时，总利润为元， ， 在这些采购方案中，采购个徽章，个钥匙扣时，该商店获利最高． 【变式9-7】（2025·广东佛山·一模）根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 【答案】（1），商品的销售单价分别是16元，20元；（2）①；②；（3）购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算 【分析】本题考查二元一次方程的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）设，商品的销售单价分别是元，元，根据“若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元”列出方程组求解即可； （2）根据题意，列出代数式即可； （3）由题意可知，使用外卖配送服务更合算，再结合实际，即可求解． 【详解】解：（1）设，商品的销售单价分别是元，元， 由题意可知，， 解得：， 答：，商品的销售单价分别是16元，20元； （2）①若使用外卖配送商品，共需要元； ②若不使用外卖配送商品，共需要元； 故答案为：，； （3）由题意得：， 解得：， 又∵，且为整数， ∴购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算． 【变式9-8】（24-25八年级上·福建泉州·期末）根据以下素材，完成三个任务： 以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形． 素材一 某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，且． 素材二 将1张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片． 素材三 小组操作发现，将2张型卡片，3张型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：． 【问题解决】 【任务1】用1张型和2张型卡片拼成一个长方形，用含的代数式表示这个长方形的周长； 【任务2】现共有10张型卡片，25张型卡片和18张型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）； 【任务3】将2张型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含的数学等式表示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分． 【答案】任务1：图见解析，周长为：；任务2：①，②，③，②，图案见解析；任务3：图见解析：． 【分析】本题考查了图形与乘法公式的关系，数形结合是解题的关键． 任务1：根据矩形的周长公式求解； 任务2：根据完全平方公式求解； 任务3：根据平行四边形的性质求解．熟练掌握完全平方公式和因式分解是解题的关键． 【详解】解：任务1：如图所示： 周长为：； 任务2：如图所示： ，现共有9张型卡片，24张型卡片和16张型卡片； 如图所示： ，现共有1张型卡片，2张型卡片和1张型卡片； 如图所示： ，现共有4张型卡片，4张型卡片和1张型卡片； 如图所示： ，现共有1张型卡片，4张型卡片和4张型卡片； 任务3：如图所示： ． 【变式9-9】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）七年级学生在数学实践课上进行了项目化学习研究，已知某项目化小组的研究如下： 【提出研究问题】销售问题 【设计实践任务】选择“素材1”、“素材2”，设计出了相关问题“任务1”、“任务2”，请尝试解决问题． 素材1 学校开展“师生齐健身”活动，七年级（1）班需要购买篮球、足球若干个． 班长小明了解到本市有一体育用品商店对篮球和足球统一进行打折出售（折扣数相同）．打折前买3个篮球和2个足球需480元，买2个篮球和3个足球需470元． 素材2 班长小明买了5个篮球和4个足球，一共花费了688元． [相关问题] 任务1 打折前，篮球和足球的单价各为多少元？ 任务2 篮球和足球打几折出售？ 【答案】任务1：篮球的单价为100元，足球的单价为90元；任务2：篮球和足球打8折 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据打折前买3个篮球和2个足球需480元，买2个篮球和3个足球需470元列方程组求解． （2）设篮球和足球打m折，根据题意列一元一次方程求解 【详解】解：（1）设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元 由题意得： 解得： 答：打折前，篮球的单价为100元，足球的单价为90元． （2）设篮球和足球打m折 由题意得： 解得： 答：篮球和足球打8折 【变式9-10】（2024八年级上·浙江·期末）根据以下素材，探索完成任务． 探索如何选择家庭用电方式？ 素材1 用电背景 每天至是用电高峰期，简称“峰时”，至次日是用电低谷期，简称“谷时”．某市电力部门提供两种用电方式：普通用电和峰谷分时用电 素材2 该市电价 普通用电：元/度； 分时用电：峰时元/度，谷时元/度． 素材3 调查统计 以小明家为例，小明家采用峰谷分时用电，第一季度用电如下： 1月份用电量：峰时90度，谷时10度； 2月份用电量：峰时88度，谷时12度； 3月份用电量：峰时160度，谷时40度． 问题解决 任务1 仔细计算 通过计算，并与普通用电方式比较，小明家哪个月份使用分时用电方式更合算？ 任务2 观察猜想 观察小明家每月峰时用电量和该月总用电量的比值，猜想当它们的比值满足 　 　时，家庭使用分时用电方式更合算． 任务3 推理验证 说明任务2中的猜想是正确的． 过程如下：设某家庭某月用电a度，其中峰时用电x度，则谷时用电度．（请你继续完成上述过程） 【答案】任务1：小明家3月份使用分时用电方式更合算；任务2：小于；任务3：当它们的比值小于时，家庭使用分时用电方式更合算 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，有理数的混合运算，解一元一次不等式，正确理解题意是解题的关键． （任务1）当小明家采用普通用电方式时，分别求出小明家1月份、2月份及3月份应交电费金额；当小明家采用峰谷分时用电方式时，分别求出小明家1月份、2月份及3月份应交电费金额，将3组数据比较后，即可得出结论； （任务2）分析（任务1）中的数据，可猜测当它们的比值小于时，家庭使用分时用电方式更合算； （任务3）设某家庭某月用电a度，其中峰时用电x度，则谷时用电度，根据家庭使用分时用电方式更合算，可列出关于x的一元一次不等式（a看成常数），解之可得出x的取值范围，进而可得出，由此可得出任务2中的猜想是正确的． 【详解】解：（任务1）当小明家采用普通用电方式时， 1月份应交电费（元）； 2月份应交电费（元）； 3月份应交电费（元）； 当小明家采用峰谷分时用电方式时， 1月份应交电费（元）； 2月份应交电费（元）； 3月份应交电费（元）． ∵， ∴小明家3月份使用分时用电方式更合算； （任务2）∵小明家2月份采用两种用电方式所需费用相同，3月份使用分时用电方式更合算， ∴，， ∴当它们的比值小于时，家庭使用分时用电方式更合算． 故答案为：小于； （任务3）设某家庭某月用电a度，其中峰时用电x度，则谷时用电度， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴当它们的比值小于时，家庭使用分时用电方式更合算． 【压轴题型十】一元一次不等式组实际应用之阅读探究问题 例题10 （24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 解题思路：（1）①根据三角形面积公式进行求解即可； ②分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出方程求出结果即可； （2）分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出不等式求出结果即可； （3）分四种情况：当点Q从点A向点B运动时，当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从点B向点A运动时，分别列出不等式进行求解即可． 【答案】(1)①；②或(2)存在；或(3)存在；或 【详解】（1）解：①当点在上时，的面积与时间的关系为： ； ②当时，点P在上，， 解得：； 当时，点P在上，， 解得：， 综上分析可知：或； （2）解：存在； 当时，点在上，， 解得：， ∴此时； 当时，点在上时，， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：或； （3）解：存在； 当时，点Q从点A向点B运动，， ∴， ∴当时，； 当时，点Q从点B向点C运动，则， 解得：， ∴当时，； 当时，点Q从点C向点B运动，则， 解得：， ∴此时没有符合条件的t存在； 当时，点Q从点B向点A运动，， 整理得：， ∵此时， ∴， ∴总成立， ∴时，； 综上分析可知：或时，． 【变式10-1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1)(2)的值为或(3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 【变式10-2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【变式10-3】（23-24七年级上·山西大同·期中）【综合与探究】数轴是一个重要概念．利用“数轴”这个工具，从数形结合的观点出发，我们研究了相反数、绝对值、有理数的大小比较以及有理数的运算等内容． (1)数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上移动3个单位长度得到点，则点表示的数是 ； (2)折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，两点的距离为7(A在的左侧)，且折叠后A，两点重合，则点表示的数为 ，点B表示的数为___________； (3)我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点的“雅中点”． ①若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点的“雅中点”，则点M表示的数为___________； ②若A、两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、两点的距离为9(A在的左侧)，则点A表示的数为___________，点表示的数为___________； (4)点A表示的数为，点，表示的数分别是，，点O为数轴原点，点为线段上一点（点可与、两点重合）． ①设点M表示的数为m，若点M为点A与点的“雅中点”，则m可取的所有整数为___________； ②若点A以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为秒，直接写出的所有整数值 ，使得原点O为点A与点的“雅中点”． 【答案】(1)1或(2)①6；②，5.5 (3)①；②，6.5(4)①，；②4，5 【分析】（1）分向左平移和向右平移两种情况解答即可； （2）①先确定折痕处的数轴，然后再根据折叠的性质即可解答；②根据对称性求解即可； （3）①根据“雅中点”的定义求解即可；②根据“雅中点”的定义求解即可； （4）①根据“雅中点”的定义求解即可；②根据“雅中点”的定义列不等式组组求解． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是， ∴点A在数轴上向右移动3个单位长度得到点表示的数为：； 点A在数轴上向左移动3个单位长度得到点表示的数为：． 故答案为：1或． （2）解：∵折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合， ∴折痕表示的数为：， ①表示的点与表示a的点重合，则有：，解得：； 故答案为：6； ②设 A表示的数为a，则B表示的数为：， 由题意可得：，解得： 所以A表示的数为，则B表示的数为：． 故答案为：，5.5 ． （3）解：①设点M表示的数为m，则有：，解得：； 故答案为：； ②设 A表示的数为n，则B表示的数为：， 由题意可得：，解得： 所以A表示的数为，则B表示的数为：． 故答案为：，6.5． （4）解：设B表示的数为， ①由题意可得：，即， ∵， ∴ ∴整数m的值为：，； 故答案为：，； ②由题意得：A表示的数为：， O可以为点A与点B的“雅中点”， ∴B表示的数为：， ∵点B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）， ，解得：， ∴t的所有整数值为：4，5． 【变式10-4】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）如图，已知，点A在上，点B、C在上．在中，，点D、E在直线上，在中，． (1)图1中的度数是 ； (2)将沿直线平移，如图所示，当点F在上时，求的度数； (3)在图2的基础上将沿直线平移，当以A、D、F为顶点的三角形中，当有一个角是另一个角的2倍，且始终不变时，请直接写出的度数． (4)将图3中的按如图4放置，若点A在直线上，点C在和之间（不含上），边和与直线分别交于D，K．在绕着点A旋转的过程中，设，则m的取值范围为        ． 【答案】(1)45°(2)15°(3)(4) 【分析】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据平行线的性质解答； （2）根据直角三角形的性质求出，结合图形计算即可； （3）根据题意分六种情况分析，然后作出图形即可求解； （4）根据题意得出，，再由三角形内角和定理确定，根据题意确定，然后求解不等式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：当时，如图， ∵， ∴， ∴． 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，同理； 当时，如图，同理； 当时，如图，同理得； 当时，如图，同理得； 综上所述，的度数为； （4）解：∵，， ∴，， ∴， 整理得：， ∵点C在和之间（不含上），边和与直线分别交于D，K． ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式10-5】（23-24七年级下·青海西宁·期末）【阅读理解】 （1）图形的平移是我们本学期学习的内容，利用图形平移变换的基本性质可以解决生活中的许多问题．数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上．设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，要求草坪的面积为：，画出设计图并求出小路的宽． 如图1，是小明同学的设计图及计算过程：（将下列过程补充完整） 小明：我利用平移的性质，将左边的草坪向右平移和右边的草坪拼成了一个如图2所示的长方形．这个长方形的面积就是草坪的面积，所以可列方程为 ，解得 ． 【类比应用】 （2）某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图3所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积不少于，求小路的宽不能超过多少米？ 【拓展延伸】 （3）如图4是一个长为，宽为街心花园的设计图，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，则花坛的总面积可以表示为 ．（用含a，b的式子表示） 【答案】（1）；2 （2）2米 （3） 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据长方形的面积列出关于x的一元一次方程，求解即可． （2）设小路宽为，根据题意列出关于x的一元一次不等式求解即可． （3）根据花坛的总面积等于长方形的面积减去阴影部分的小路面积列出代数式化简即可． 【详解】解：（1）根据题意可列方程为 解得：， 故答案为：，2 （2）设小路宽为 根据题意得 解得： 则小路的宽不能超过2米； （3）则花坛的总面积为： ， 故答案为： 【变式10-6】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②且 【分析】本题考查平行线的性质，两种三角板的角度，一元一次不等式的几何应用等知识，找出、与的关系是解题的关键． （1）先分别画出符合条件的情况，再根据平行线的性质分别求出即可； （2）①分别求出和，再做差即可； ②分当时、当时和当时三种情况分析，求出和，根据列出不等式并求解，最后综合三种情况即可得解． 【详解】（1）如下图所示， 要使得， 则， ∴当时，； 如下图所示， 要使得， 则， ∴， 又∵， ∴， 即当时，， 故答案为：，； （2）①∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， 同理：∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 当，，此时不合题意； 当时，的延长线与的延长线无交点，如下图所示： 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：的取值范围是且． 【变式10-7】（2025七年级下·江苏泰州·期中）一副直角三角板如图1所示放置，，，，它们的斜边在同一直线上，D为边上一点，三角板绕点D按顺时针方向旋转． (1)当_______时，DF∥AC；当_______时，． (2)设交边于点N，直线交直线于点M，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②且 【详解】解：（1）如图1，当时，；如图2，当时，则，所以，所以． （2）①因为，即，，所以，，所以．由三角形外角的性质，得．所以． ②因为当时，不合题意，所以分情况讨论：当时，如题图2，射线交射线于点M．由（2）①可知，，所以．所以，解得，所以．当时，如图3，射线与射线交于点M，则，所以，．所以，解得，所以．综上所述，的取值范围是且． 【变式10-8】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则的取值范围是 ； (2)当为何值时，； (3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)存在， 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 当时，， 故答案为：； （2）由题意得：，， 或， ， 或， 解得：或， 即或时，； （3）， 点在线段上， ， 和的高相等， ， 即， 解得：， 即当秒时，． 【变式10-9】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板的斜边在同一直线上，为的中点，将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中：    (1)如图2，当为何值时，与的一边平行； (2)如图3，当直角三角板的边、分别交、的延长线于点、时， ①与度数的和是否变化？若不变，求出与度数的和；若变化，请说明理由； ②若使得，直接写出此时的范围． 【答案】(1)，， (2)①不变，；② 【分析】（1）分，，，三种情况，画出图形，利用平行线的性质和外角的性质分别求解； （2）①连接，如图3，在中，由三角形内角和定理得，则，再在中，利用三角形内角和定理得到，所以； ②由，可解得，由于，利用直角三角板的边、分别交、的延长线于点、得到，于是得到． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，，， ， 若，   ， ； 若，    则； 若，    则， ， ； 综上所述，当为，，时，与的一边平行； （2）解：①与度数的和不变． 连接，如图3，    在中，， ， 在中，， 即， ； ②，， ， ， ， 即， ， ，解得， ∵， ∴ 的度数范围为． 1．（24-25八年级下·山东聊城·期中）某学校组织开展了环保知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加6分，答错或不答每题倒扣3分，小辉在初赛得分超过80分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．利用小辉的得分答对题目数答错或不答题目数，结合小辉的得分超过80分，可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 2．（2025·广东汕头·一模）如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆的本数为（    ） A．45 B．46 C．47 D．48 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，设出未知数，列出不等式． 设数学书还可以摆m本，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设数学书还可以摆m本，根据题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴数学书最多还可以摆47本． 故选：C 3．（24-25八年级下·山西大同·期中）某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．已知该汽车用油亚动方式行驶1千米的油费为0.9元，用电驱动方式行驶1千米的电费比油费少0.8元．该汽车从地行驶100千米至地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？设该汽车从地行驶至地用电行驶千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式即可． 【详解】由题意知，用电行驶千米，则用油行驶千米， ∴满足的不等式关系为， 故选：B． 4．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组． 设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解． 【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为， 这箱苹果共个， 每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个， ， 故选：C． 6．（24-25八年级下·重庆·期中）小乐和妈妈去公园游玩，小乐身高米，妈妈身高米，小乐登上一处有级台阶的观景台（每级台阶高度为a米），开心地说：“妈妈，现在两个你的身高加起来都没我高啦！”由此可得关于a的不等式是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，熟练掌握不等式的意义是解题的关键，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：∵小乐身高米，现登上一处有级台阶的观景台（每级台阶高度为a米）， ∴此时小乐的高度为：， ∵妈妈身高米，并且两个妈妈的身高加起来都没小乐的高度高， ∴， 故选：A． 7．（24-25七年级下·上海静安·期中）用不等式表示“x的2倍减去3所得的差是正数” ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，直接利用“的2倍”即，再减3，结果是正数，即大于零，即可得出不等式．正确得出不等关系是解题关键． 【详解】解：用不等式表示“的2倍减去3所得的差是正数”为， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·全国·期末）商场销售一批玩具，第一个月以55元/个的价格售出40个，第二个月以50元/个的价格将这批玩具全部售出，销售总额超过4500元，这批玩具最少有多少个？设玩具有x个，根据题意，可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据第一个月以55元/个的价格售出40个，第二个月以50元/个的价格将这批玩具全部售出，销售总额超过4500元，设玩具有x个，进行列不等式，即可作答． 【详解】解：∵第一个月以55元/个的价格售出40个，第二个月以50元/个的价格将这批玩具全部售出，销售总额超过4500元，且设玩具有x个， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·全国·期末）某学校举办知识竞赛，共有20道题，答对1道题得10分，答错或不答都扣5分．小聪要想得分不低于140分，他至少要答对多少道题？设小聪答对a道题，根据题意，可列不等式 ． 【答案】 【分析】先得小聪答对题的得分为；小明答错或不答题的得分为．再结合不等关系：不低于140分，进行列式．由此即可解答．本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，此题要特别注意：答错或不答都扣5分．不低于即大于或等于． 【详解】解：∵设小聪答对a道题，共有20道题，答对1道题得10分，答错或不答都扣5分 ∴ 故答案是：． 10．（24-25八年级下·河南·期中）某种商品的进价为500元，出售时标价为600元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于，则至多可打几折？设该商品打折销售，则可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，熟练掌握利润率公式：利润率利润进价，是解题关键．设至多可打x折，根据利润率不低于，列出不等式即可． 【详解】解：设至多可打x折， 由题意得： 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·期中）一天，小颖对妈妈说：妈妈，我的年龄比你小26岁，六年后，我的年龄还不到你的年龄的一半．设小颖今年的年龄为x岁，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据“六年后，小颖的年龄还不到妈妈的年龄的一半”列出不等式即可． 【详解】解：由题意知，六年后，小颖的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据不等关系得：； 故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海静安·期中）静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） (2)顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）由甲商店所购商品按原价打八五折，即可得出结果； （2）先算出顾客选择乙商店的优惠活动购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时的实际付款，再根据如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款为：元， 故答案为：； （2）解：在时，选择乙商店的优惠活动后实际付款为：元， 由题意得：， 解得：， ． 13．我国国产动画电影《哪吒2魔童闹海》截至3月末，全球票房已达到亿（含预售），某商家推出两种哪吒纪念挂件．已知种挂件的进货单价比种挂件进货单价多6元，若购进2个种挂件和4个种挂件共需要元． (1)求每个种哪吒纪念挂件的进货是多少元？ (2)若该商家计划用不超过2000元的资金购进，两种挂件共个，那么至少购买种挂件多少个？ 【答案】(1)每个种哪吒纪念挂件的进货是6元 (2)至少购买种挂件个 【分析】本题主要考查一元一次方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系建立不等式，并通过解不等式找到符合实际意义的整数解． （1）设每个种挂件的进价是元，则每个种挂件的进价是元，根据题意可列式，求解即可． （2）设购买种挂件个，则购买种挂件个，根据题意可列不等式，解得，再取其中的最小整数值，即可求解． 【详解】（1）解：设每个种挂件的进价是元，则每个种挂件的进价是元． 由题意可得：， 解得：， ， 即每个种哪吒纪念挂件的进货是元，每个种哪吒纪念挂件的进货是元， 答：每个种哪吒纪念挂件的进货是元． （2）解：设购买种挂件个，则购买种挂件个． 由题意可得：， 解得：， 取整数， 最小为， 答：至少购买种挂件个． 14．（2025·辽宁辽阳·一模）中国结由来已久，始于上古，兴于唐宋，盛于明清．中国结不仅具有造型、色彩之美，而且因其形意而得名，体现着人们追求真、善、美的良好愿望．手工课上，教师展示编1个吉祥结需要3段红绳和1段金绳，编1个如意结需要1段红绳和2段金绳． (1)小华现在共有12段红绳，14段金绳，在所有红绳和金绳都用完的情况下，可以编吉祥结和如意结各多少个？ (2)小华需要编吉祥结和如意结共10个作为节日礼物，金绳充足，但是红绳只有26段，他还要保留10段以备他用，他最多可以编几个吉祥结？ 【答案】(1)可以编吉祥结2个，如意结6个(2)最多可以编3个吉祥结 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设可以编吉祥结x个，如意结y个，结合编1个吉祥结需要3段红绳和1段金绳，编1个如意结需要1段红绳和2段金绳，且小华现在共有12段红绳，14段金绳，进行列方程组，即可作答． （2）因为红绳只有26段，他还要保留10段以备他用，编吉祥结和如意结共10个作为节日礼物，则可以编a个吉祥结，则可以编如意结个，再列出不等式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设可以编吉祥结x个，如意结y个， 根据题意，得， 解得， （2）解：设可以编a个吉祥结，则可以编如意结个， ∴， 解得， ∴的最大值为3， 答：最多可以编3个吉祥结． 15．（24-25七年级下·广东广州·期中）某旅游团计划在某电商平台购买杭州亚运会立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章，若购买1套立体吉祥物摆件和2套吉祥物徽章共350元，且每套亚运会吉祥物徽章的单价是每套立体吉祥物摆件的单价的3倍． (1)求每套立体吉祥物摆件和每套亚运会吉祥物徽章单价各是多少元？ (2)若至少需要购买48套亚运会吉祥物徽章，如果购买立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案． 【答案】(1)每套立体吉祥物摆件的单价是50元，每套亚运会吉祥物徽章的单价是150元 (2)共有三种购买方案：方案一：购买亚运会吉祥物徽章48个、立体吉祥物摆件52个；方案二：购买亚运会吉祥物徽章49个、立体吉祥物摆件51个；方案三：购买亚运会吉祥物徽章50个、立体吉祥物摆件50个； 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用． （1）设每套立体吉祥物摆件的单价是元，则每套亚运会吉祥物徽章的单价是元，根据“每套立体吉祥物摆件的单价购买立体吉祥物摆件的数量每套亚运会吉祥物徽章的单价购买亚运会吉祥物徽章的数量购买需要资金”列关于的一元一次方程并求解即可； （2）设购买亚运会吉祥物徽章个，则购买立体吉祥物摆件个，根据“购买亚运会吉祥物徽章的数量”和“每套立体吉祥物摆件的单价购买立体吉祥物摆件的数量每套亚运会吉祥物徽章的单价购买亚运会吉祥物徽章的数量”列关于的一元一次不等式组并求解，根据的取值范围写出所有购买方案． 【详解】（1）解：设每套立体吉祥物摆件的单价是元，则每套亚运会吉祥物徽章的单价是元． 根据题意，得， 解得， （元， 答：每套立体吉祥物摆件的单价是50元，每套亚运会吉祥物徽章的单价是150元． （2）解：设购买亚运会吉祥物徽章个，则购买立体吉祥物摆件个． 根据题意，得， 解得， 为正整数， ，49，50． 当时，（个； 当时，（个； 当时，（个； 共有三种购买方案： 方案一：购买亚运会吉祥物徽章48个、立体吉祥物摆件52个； 方案二：购买亚运会吉祥物徽章49个、立体吉祥物摆件51个； 方案三：购买亚运会吉祥物徽章50个、立体吉祥物摆件50个． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了n块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有A，B，C三种裁剪方式，如图，A方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧面．B方式：裁剪成3个侧面．C方式：裁剪成9个圆形底面．已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有2块金属板材按C方式裁剪，其余都按A、B两种方式裁剪． (1)设有x块金属板材按A方式裁剪，y块金属板材按B方式裁剪． ①可以裁剪出圆形底面共有___________个（用含x的代数式表示），侧面共有___________个（用含x，y的代数式表示）； ②当个时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？ (2)现将n块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的圆形底面与侧面恰好配套，则n的值是___________．（其中） 【答案】(1)①；；②最多能加工27个圆柱形茶叶盒 (2)30或35或40 【分析】（1）①根据题意用x表示出裁剪出圆形底面个数，然后表示出侧面个数即可； ②根据，列出方程组，解方程组即可； （2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：①根据题意可知，可以裁剪出圆形底面共：（个）；             侧面共有：个； ②根据题意得：， 解得：， ∴（个）， 答：当时，最多能加工27个圆柱形茶叶盒； （2）解：根据题意得：， ， 均为整数， 是3的倍数， 又，且， ∴， 解得： 的值可取：15、18、21 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：30或35或40． 17．（24-25八年级上·广西南宁·期末）一水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与 零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格(元/ ) 零售价格(元/ ) 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用元批发了车厘子和苹果共  ，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用元批发了车厘子和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且车厘子的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发 这两种水果可能的方案有哪些？ 【答案】(1)这两种水果获得的总利润为元； (2)该经营户第二天批发车厘子，苹果 【分析】（1）设第一天，该经营户批发车厘子，苹果，根据该经营户用元批发了车厘子和苹果共，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润每千克的销售利润销售数量（购进数量），即可求出结论； （2）该经营户购进车厘子，则购进苹果，根据“车厘子的进货量不低于，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发车厘子，苹果， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：这两种水果获得的总利润为元； （2）设第二天，该经营户购进车厘子，则购进苹果， 根据题意得：， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴， ∴． 答：该经营户第二天批发车厘子，2苹果． 1 / 139 学科网（北京）股份有限公司 $$