【精准提分】专题08 一元一次不等式（组）（11个基础题型+3个压轴题型+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（苏科版2024）

【精准提分】专题08 一元一次不等式（组）（苏科2024） 【11个基础题型+3个压轴题型】 【基础题型一】根据不等式的定义判定是否为不等式 1 【基础题型二】利用不等式的性质判断式子是否正确 4 【基础题型三】判断是否为一元一次不等式 9 【基础题型四】根据一元一次不等式的定义求参数 11 【基础题型五】一元一次不等式中整数解的问题 14 【基础题型六】在数轴上表示不等式（组） 18 【基础题型七】解一元一次不等式（组）计算题 24 【基础题型八】由一元一次不等式组的解求参数 32 【基础题型九】一元一次不等式组中整数解问题 38 【基础题型十】一元一次不等式组中有（无）解问题 43 【基础题型十一】一元一次不等式组与方程的结合 46 【压轴题型十二】解|x|＞a型的不等式 56 【压轴题型十三】不等式（组）综合中新定义类问题 64 【压轴题型十四】一元一次不等式组选填压轴题 86 【基础题型一】根据不等式的定义判定是否为不等式 例题1（24-25八年级下·广东揭阳·期中）式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式， ∴共个不等式． 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了不等式的定义，正确理解不等式的定义是解决问题的关键．根据不等式的定义对题目中所给出的式子逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：①；②；⑤，是不等式，共3个， ③是等式，④是代数式． 故选：B． 【变式1-2】（2025七年级下·全国·期中）下列式子：．其中是不等式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．不等式的概念：用或号表示大小关系的式子，叫做不等式，用号表示不等关系的式子也是不等式，据此进行判断即可． 【详解】解：①③⑤⑥符合不等式的定义，它们是不等式，共4个， 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）已知：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查不等式的识别，根据不等式的定义，进行判断即可．熟练掌握不等式的定义，是解题的关键． 【详解】解：①是等式，不是不等式； ②是不等式； ③是代数式，不是不等式； ④是不等式； ⑤是不等式； 故选B． 【变式1-4】（23-24八年级下·福建漳州·期末）下列式子：；；；；中，是不等式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：不等式的有，共个， 故选：． 【变式1-5】（24-25七年级下·全国·期中）给出下面5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的识别，根据用不等号将两个式子连结起来表示不等关系的式子叫做不等式求解即可． 【详解】解：②③⑤是不等式，①是等式，④是代数式，其中不等式有3个． 故选B． 【变式1-6】（24-25七年级下·全国·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①，③不是不等式； ②，④，⑤，⑥是不等式． 故选C． 【基础题型二】利用不等式的性质判断式子是否正确 例题2（2025·河北石家庄·一模）若，则下列不等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由得，则，故A正确，不符合题意； B、当，则，故B错误，符合题意； C、由可得，故C正确，不符合题意； D、由可得，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（2025·江苏苏州·一模）已知实数a，b满足，，则在下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质.求出，，代入即可. 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， 整理得：，， 只有B符合题意， 故选：B. 【变式2-2】（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是关键． 不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等号两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；不等式两边同乘以或除以同一个正数，不等号方向不变，由此即可求解． 【详解】解：， ∴A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，则，原选项正确，符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式2-3】（2025·浙江杭州·一模）已知是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的进行判定即可． 【详解】解：是实数，若，， ，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误． 故选C． 【变式2-4】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）已知，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质依次判断即可． 【详解】解：， ，故A错误； 当时，，故B错误； 当，时，，故C错误； ， ，故D正确； 故选：D． 【变式2-5】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变；不等式的性质2：不等式两边同时乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；不等式的性质3：不等式两边同时乘（或除）以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的基本性质进行判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故选项A正确，选项B、C、D错误， 故选：A． 【变式2-6】（24-25八年级下·山东青岛·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项分析得出答案即可． 【详解】解：A、若，则，本选项不符合题意； B、若，当时，则，本选项不符合题意； C、若，当时，则，本选项不符合题意； D、若，，则，本选项符合题意； 故选：D． 【变式2-7】（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列式子变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】此题考查了不等式的性质．根据不等式的性质，等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．由，得，故选项A错误； B．由，得，故选项B错误； C．由，得，故选项C正确； D．由，得，故选项D错误． 故选：C． 【变式2-8】（24-25七年级下·北京·期中）若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是注意不等号的方向是否变化．根据不等式的基本性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、若，则，故本选项错误，不符合题意； B、若，且，则，故本选项错误，不符合题意； C、当时，，故本选项错误，不符合题意； D、若，则，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【变式2-9】（2025·安徽滁州·二模）已知三个实数a，b，c满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理得到，代入，即可判断，再将代入即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 综上：， 故选：D． 【变式2-10】（24-25七年级下·四川眉山·期中）下列变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式以及不等式的基本性质，正确掌握等式和不等式的性质是解题的关键．根据等式的性质和不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；     B. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意； C. 如果，那么，故该选项正确，符合题意；     D. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【基础题型三】判断是否为一元一次不等式 例题3（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、不含未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 、含2个未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 、是一元一次不等式，该选项符合题意； 、未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 故选：． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·期中）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：①⑤为一元一次不等式，共2个，其它都不是． 故选B． 【变式3-2】（23-24七年级下·青海海东·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、不等式不含未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、不等式含有个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意； 、不等式不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式3-3】（23-24七年级下·四川内江·期中）下列各式是一元一次不等式的有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，用不等号连接，且不等号两边都是整式的式子是一元一次不等式，根据定义依次判断． 【详解】解：（1），（2），符合定义， （3）不等号左边不是整式，不符合定义， （4）去括号后是，最高次数是2，不符合定义， 故选：B． 【变式3-4】（23-24七年级下·陕西汉中·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义的内容是解题的关键． 从是否含有不等号，是否含有未知数，未知数的个数是否一个，这个未知数的指数是否为1，四个方面判断即可． 【详解】A、不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； B、是一元一次不等式，故本选项符合题意； C、不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； D、不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-5】（23-24七年级下·山西晋城·期中）下列不等式中，一元一次不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要依据的知识是一元一次不等式的定义．熟记不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【详解】①不是一元一次不等式，因为最高次数是2； ②不是一元一次不等式，因为是分式； ③不是一元一次不等式，因为有两个未知数； ④是一元一次不等式； ⑤是一元一次不等式． 综上，只有2个是一元一次不等式． 故选B． 【基础题型四】根据一元一次不等式的定义求参数 例题4 （24-25八年级下·陕西西安·期中）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：． 【变式4-1】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）若是关于x的一元一次不等式，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ， 解得：， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得且，据此求解即可，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）若不等式是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【详解】解：依题意， ∴， 故答案为：． 【变式4-4】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式不等式是一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得：． 故答案为：． 【变式4-5】（23-24八年级下·广东深圳·期末）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到且，即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【变式4-6】（24-25八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ，则或，且，解得， 故答案为：． 【变式4-7】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列式计算即可． 【详解】解∶∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式4-8】（24-25七年级下·全国·期中）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， ． 故答案为：1． 【变式4-9】（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义和绝对值的意义进行计算即可解答． 本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 且， ∴， 故答案为：． 【基础题型五】一元一次不等式中整数解的问题 例题5（2025·江苏南通·一模）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式恰有三个非负整数解， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式5-1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于的不等式是解题的关键． 求出不等式的解集，根据不等式至少有4个正整数解即可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式得：， 又不等式至少有4个正整数解， 个正整数解肯定包括1、2、3、4， ， 解不等式得：， 故选：C． 【变式5-2】（24-25八年级下·陕西汉中·期中）关于x的不等式的正整数解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了求不等式的整数解．先求出不等式的解集，即可得到答案． 【详解】解： 移项得到， 合并同类项得到， 系数化为1得， ∴关于x的不等式的正整数解为， 故选：A 【变式5-3】（2025七年级下·全国·期中）不等式的负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查的是解不等式，在解不等式的时候，如果两边同时乘以或除以一个负数时，不等符号需要改变． 不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，确定出所求即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 不等式的负整数解为共3个． 故选：C． 【变式5-4】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）关于的一元一次不等式至少有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式，根据不等式解的个数求参数，理解负整数解的概念是解题的关键． 解一元一次不等式，根据不等式负整数解的个数，即可确定的取值范围． 【详解】解：解不等式得：， 又∵关于的一元一次不等式至少有两个负整数解， ∴， 即：， 故选：C． 【变式5-5】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若不等式有三个非负整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，整理得，根据不等式的解集得出，再解出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式有三个非负整数解， ∴， 即， 解得， 故答案为： 【变式5-6】（2025·河南驻马店·二模）不等式的非正整数解有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，正确地解不等式，求出解集是解答本题的关键． 去括号，移项，合并同类项，系数化为1解不等式，根据解集找出非正整数解的个数即可． 【详解】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1得， ∴非正整数解有，，0，共3个． 故答案为：3． 【变式5-7】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式有三个非负整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解；先求出不等式的解集，再根据有三个非负整数解得出关于的不等式，进而求解即可. 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式有三个非负整数解， ∴这三个负整数解是0，1，2， ∴， ∴， 故答案为：． 【基础题型六】在数轴上表示不等式（组） 例题6（24-25八年级下·广东佛山·期中）不等式在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 故， 解得． 数轴表示为， 故选：A． 【变式6-1】（2025·湖北武汉·三模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的运算法则是解本题的关键．先解不等式，再根据解集在数轴上表示的方法即可得出答案． 【详解】解：，解得， 在数轴上表示不等式的解集为：   ． 故选：B． 【变式6-2】（2025·陕西宝鸡·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及把不等式的解集在数轴上表示出来．首先计算出不等式的解集，再在数轴上表示出来． 【详解】解：， 解得， 在数轴上表示为： ， 故选：C． 【变式6-3】（2025·山西吕梁·二模）关于x的不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组的解集在数轴上表示的方法，先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解得， 在数轴上表示为： 故选：C． 【变式6-4】（2025·湖南娄底·三模）不等式组的解集在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点，求出不等式组的解集成为解题的关键． 先求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 所以不等式组的解集为2， 在数轴上表示如下： ． 故选C． 【变式6-4】（24-25八年级下·四川成都·期中）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 【变式6-5】（2025·河南·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的数轴表示，先解出不等式组解集，然后在数轴上表示即可，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ， 故选：． 【变式6-6】（2025·山西·三模）将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示不等式组的解集，数形结合是解题的关键． 先解不等式组，再把解集表示在数轴上． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 解集表示在数轴上： 故选：B． 【变式6-7】（2025·浙江金华·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示一元一次不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由解得，， 由解得，， 故此不等式组的解集为， 把此不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：A． 【变式6-8】（2025·青海·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得不等式组的解集，根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 本题考查了解不等式组，不等式组解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】解：解不等式组的解集为， 故数轴表示为 A正确，B，C，D都不正确， 故选：A． 【变式6-9】（2025·浙江·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并将不等式组解集在数轴上表示出来，先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律（同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解）找出不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解①得：， ， 解②得：， ， 不等式组解集为：， 在数轴上的表示为： 故选：B． 【变式6-10】（2025·湖南常德·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键．先求出不等式组的解集，再根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 原不等式组的解集为． 故选C． 【基础题型七】解一元一次不等式（组）计算题 例题7（24-25七年级下·云南昆明·期中）解下列不等式或不等式组． (1)解不等式：． (2)解不等式组，并将解集表示在所给的数轴上． 【答案】(1) (2)；数轴见解析 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将不等式组的解集表示在数轴上，如图所示： 【变式7-1】（2025·陕西西安·模拟预测）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，0、1、2 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的非负整数解为0、1、2． 【变式7-2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）解下列不等式（组）： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次不等式（组）的求解，熟练掌握不等式的求解方法和步骤是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、系数化为1步骤，求解即可； （2）分别求解出不等式组中每个不等式的解集即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 解得：； （2）解：， 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为：． 【变式7-3】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】．图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组．先解出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 【变式7-4】（2025·山东济南·二模）解不等式（组）：，并写出它的整数解． 【答案】，不等式组的所有整数解为0，1，2，3 【分析】本题考查解一元一次不等式组、求不等式组的整数解，正确求得不等式组的解集是解答的关键．先求得每个不等式的解集，再求得其公共部分即可得不等式的解集，进而可求解． 【详解】解： 由①得； 由②得； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为0，1，2，3． 【变式7-5】（24-25九年级下·江苏南京·期中）求不等式组的整数解 【答案】；不等式组的整数解为：，0，1 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，正确求得不等式组的解集成为解题的关键． 先求出不等式组的解集，然后再确定整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：． 原不等式组的解集为：． 原不等式组的整数解为：，0，1． 【变式7-6】（24-25七年级下·山东淄博·期中）（1）解不等式组： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． （1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【变式7-7】（24-25八年级下·江西吉安·期中）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式或不等式组的解集的应用，能求出不等式的解集和不等式组的解集是解此题的关键． 先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 所以原不等式组的解集为． 【变式7-8】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解不等式或不等式组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解不等式与不等式组，解题的关键是： （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 【变式7-9】（2025·北京海淀·模拟预测）解不等式组：，并求其整数解． 【答案】，整数解为，， 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式，得． 解不等式，得． 原不等式组的解集是． 该不等式组的整数解为，，． 【变式7-10】（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）解下列不等式组并将解集表示在数轴上 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查的是解不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集， （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： 解不等式①得 解不等式②得：， 在数轴上表示为： 则这个不等式组的解集是 （2）解： 解不等式①得 解不等式②得：， 在数轴上表示为： 则这个不等式组的解集是． 【变式7-11】（2025·江苏扬州·二模）解不等式组：，并求出不等式组的最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握求不等式组解的步骤． 利用求一元一次不等式组的解的步骤进行计算得出解集，并在解集里面找出符合题意的解． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； 所以，该不等式组的解集为， 最小整数解为． 【变式7-12】（2025·江苏扬州·一模）解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为． 【基础题型八】由一元一次不等式组的解求参数 例题8（24-25七年级下·四川绵阳·期中）若不等式组的解集为，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． 故选：A 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·期中）如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集的过程叫解不等式组．先解第一个不等式得到，由于不等式组的解集是，然后根据同大取大得到的范围． 【详解】解：， 解①得， 不等式组的解集是， ． 故选：C． 【变式8-2】（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组．解题关键在于掌握其方法步骤． 解不等式组，根据其解集得出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，再还原方程，解方程即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ∴． ∴，． ∴． ∴方程为． 解得． 故选：D． 【变式8-3】（23-24七年级下·全国·期末）已知不等式组 的解集是，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及一元一次不等式组的解，代数式求值，先解不等式组得到，再根据不等式组的解集为得，，据此即可求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式得 ，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 又∵不等式组的解集为， ∴ ，， 解得，， ∴， 故选：． 【变式8-4】（23-24八年级下·全国·期末）若关于x的不等式组的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得到a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 【变式8-5】（23-24七年级下·湖南·期中）若关于的不等式的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是先用表示出不等式的解集，再根据不等式的解集是即可求出的值． 【详解】解：不等式的两边同时乘以，得：， 移项、合并同类项，得：， ∵不等式的解集是， ∴， 解得：． 故选：A． 【变式8-6】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知关于x的不等式的负整数解只有，，，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，由题意可解得，根据关于x的不等式的负整数解只有，，即可得；掌握一元一次不等式的整数解． 【详解】解：， 解得，， ∵关于x的不等式的负整数解只有，，， ∴， 故选：B． 【变式8-7】（24-25七年级下·全国·期中）已知不等式组的解集是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，求代数式的值；求出不等式组的解集，根据已知解集，可得关于a与b的方程，求出a与b的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：； 则不等式组的解集为； 由于不等式组的解集为； ∴， 即，则； 故答案为：． 【变式8-8】（24-25七年级下·湖南怀化·期中）若不等式组的解集是，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别表示不等式组的解集，根据已知解集确定出与的值，即可求出原式的值． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 由不等式组的解集为，得到， 解得：，， 则原式， 故答案为：． 【变式8-9】（24-25八年级下·福建三明·期中）已知的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的性质是解题的关键． 根据的解集为，可得，，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵的解集为， ∴不等式的解集为，且， ∴， ∴，， ∴， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为： 【变式8-10】（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， 解不等式①： ， ， ， 解不等式②： ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【基础题型九】一元一次不等式组中整数解问题 例题9（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得， 关于的不等式组只有一个整数解， ， 故答案为：． 【变式9-1】（24-25八年级下·江西吉安·期中）已知关于的不等式组只有三个正整数解，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，先求出不等式组的解集，根据不等式组只有三个正整数解，得到，求出k的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 不等式组只有三个正整数解， ， 解得， 故答案为：． 【变式9-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）关于的不等式组恰有两个整数解．则实数的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的个数求解可得． 【详解】解： 解不等式①得： ∵不等式组恰有两个整数解 ∴不等式组的解集为： ∴ 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．先根据已知条件判断不等式组的解集，再根据不等式组有三个整数解，求出的取值范围即可． 【详解】解：不等式组有个整数解， 不等式组的解集为：， 这三个整数解为，，， 的取值范围是， 故答案为：． 【变式9-4】（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）已知关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键． 先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组只有3个整数解得出答案即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴不等式组解集为，3个整数解为0，1，2． ∴． 故答案为：． 【变式9-5】（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组有4个整数解， ∴不等式组的解集为，且4个整数解为：2，1，0，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式9-6】（24-25七年级下·四川眉山·期中）若不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集的情况求参数，解题的关键是：熟练掌握一元一次不等式组的整数解, 先求出不等式组的解集，再根据恰有3个整数解，即可求解． 【详解】解：不等式组，得：， ∵至少有3个整数解，3个整数解为：，， ∴， 故答案为：． 【变式9-7】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）若不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的整数解的个数求未知系数问题，涉及一元一次不等式组的解法．首先确定不等式组整数解，然后根据不等式的整数解得到一个关于m的不等式组，从而求解． 【详解】解不等式组： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴该不等式组的解集为： 又要求有且只有三个整数解， ∴不等式组三个非负整数解是， ∴． 故答案为：． 【变式9-8】（2025·河南南阳·二模）若关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的整数解，根据有且仅有两个整数解可得m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的不等式组有且仅有两个整数解， ∴， 故答案为：． 【变式9-9】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若关于x的不等式组的最小整数解是1，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的特殊解．分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的最小整数解得出关于的不等式组，即可求解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的最小整数解为1， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式9-10】（24-25七年级下·上海闵行·期中）关于的不等式组有两个整数解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， ∵关于的不等式组有两个整数解， ∴这两个整数解为，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【基础题型十】一元一次不等式组中有（无）解问题 例题10（2025·辽宁铁岭·二模）不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∵不等式组无解， ∴， 故a的取值范围是：． 【变式10-1】（24-25八年级下·重庆·期中）如果关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 把当作已知条件，根据不等式组无解求出的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵该不等式组无解，根据求不等式组的口诀“大大小小无法找”，可得 解得，， 故答案为：． 【变式10-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若不等式组有解，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集的应用，先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵不等式组有解， ∴， 故答案为：． 【变式10-3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解集，解题的关键是理解不等式组解集的定义．根据不等式组的解集的定义可知，不等式组中两个不等式的解集没有公共部分，进而得出的取值范围． 【详解】解：关于的不等式组无解，也就是两个不等式解集没有公共部分， 又，则， 即，没有公共部分， ， 故答案为：． 【变式10-4】（2025八年级下·河南·期中）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组无解可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组无解， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式10-5】（2025·黑龙江大庆·一模）若不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查由不等式组解集情况求参数，涉及不等式组的解法，先解不等式组，再由不等式组无解，分类讨论即可得到答案．掌握不等式组的解法，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得③； 不等式组无解， 当时，，解③得，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得为任意实数，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得，则，解得； 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 【变式10-6】（2025·甘肃嘉峪关·一模）若关于的一元一次不等式组无解，则符合条件的整数的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据解不等式，因不等式组无解，故，再写出满足条件的的一个值即可．此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 【详解】解不等式，得．因不等式组无解，故， 所以的值可以是 故答案为：（答案不唯一） 【基础题型十一】一元一次不等式组与方程的结合 例题11（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【变式11-1】（24-25七年级下·全国·期中）如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 先解方程，再根据不等式组有解求出的取值范围，然后根据方程有正整数解得出，将的取值代入，找出符合条件的值，并相加即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 该不等式组有解， ， 解得． 整理方程，得． 方程有正整数解， ，解得， ． 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得，不符合题意，舍去； 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 【变式11-2】（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴a的取值范围是. 故答案为：. 【变式11-3】（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得是解题关键．利用加减消元法求得，再建立不等式求m即可； 【详解】解： 由①②，得：， ∴， 当时，， 解得： ， ∴， 故答案为： 【变式11-4】（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】4或1或0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 【变式11-5】（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】3 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的一元一次不等式组的解集是， ∴， 由方程可得， ∵关于y的方程有正整数解， ∴或或， ∴． 故答案为：3． 【变式11-6】（2025七年级下·全国·期末）已知关于x，y的方程组（m是常数）． (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数m的值； (2)若x，y满足，试化简：； (3)若x，y满足，．求的取值范围． 【答案】(1)(2)3(3) 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，掌握解二元一次方程组与不等式组是解题的关键． （1）联立得出，代入原方程组的第二个方程，得到关于m的一元一次方程，即可求解； （2）根据加减消元法求得，根据题意列出不等式，得到，进而化简绝对值，即可求解； （3）根据（2）的结论，计算，同时得出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组（m是常数）的解也是方程的解， ∴x，y满足方程组 解得 把代入，得 ， 解得． （2）关于x，y的方程组的解为 ∵， ∴， 解得． ∴ ． （3）由于关于x，y的方程组的解为 ∴． 又∵，， ∴， 解得 ∴-， ∴， 即， ∴． 【变式11-7】（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x是负数，y是正数． (1)求a的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题综合性较强，综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质： （1）用解二元一次方程组的知识把当做已知，表示出、的值，根据x是负数，y是正数建立关于a的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围即可； （2）根据的取值范围及去绝对值符号的法则去掉绝对值符号再计算即可． 【详解】（1）解：， 得：，解得：， 将代入得：，解得：， ∵x是负数，y是正数． ∴， 解不等式，得， 解不等式，得， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵， ∴，， ∴原式 ， ． 【变式11-8】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． (1)求m的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解方程组和一元一次不等式组，能根据题意求出方程组的解、准确求解不等式组的解集是解题的关键． （1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可； （2）根据， ，求出，再根据，得出，最后求出即可． 【详解】（1）解：解方程组得：， 的值为非负数，的值为正数， ， 解得：， 即的取值范围是：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式11-9】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组和方程组的方法，准确计算． （1）先解方程组得出，然后根据x为非正数，y为负数得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可； （2）先将不等式整理为，然后根据不等式的解集为，得出，求出，根据，得出不等式的解集，根据取整数，可得． 【详解】（1）解： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为， 为非正数，为负数， ， ， 解得， 的取值范围是． （2）解：将不等式整理，得， 其解集为， ， 解得， ． 结合取整数，可得， 即当时，不等式的解集为 【压轴题型十二】解|x|＞a型的不等式 例题12（2025七年级下·全国·期中）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 【变式12-1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或者(2)(3)或者 【分析】本题考查了绝对值及不等式的知识． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求出的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或 ∴方程的解为或， 故答案为：或； （2）解：∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点的对应的数为或8 ∴方程的解为或 ∴的解集为． （3）解：由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值． ∵在数轴上4和对应的点的距离是6 ∴满足方程的x的点在4的右边或的左边 若x对应的点在4的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得 ∴方程的解为或 ∴的解集为或者． 【变式12-2】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或 【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． (1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【详解】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； （2）①根据题意可得的解集为， 故答案为：； ②根据题意可不等式的解集是， ∴或， 故答案为：或； （3）， 或， 解得或． 【变式12-3】（23-24六年级下·上海·期中）阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 【答案】(1)或(2)，，，0，1，2(3)或 【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为表示的数，从而求解； （2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到的距离之和为5点即为表示的数，由此结合数轴求解即可； （3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到的距离之和大于7的的范围即可． 【详解】（1）解：， 或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和为5， ∵数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴， ∵为整数， ∴，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2； （3）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和大于7， 首先在数轴上找出的解（如图），    由（2）可知数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴要使得到2的距离与到的距离之和等于7，则或， ∴的解集为：或， 故答案为：或． 【变式12-4】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)或(2)或(3)或 【分析】本题主要考查解绝对值不等式，解题的关键是读懂题目中绝对值的几何意义,利用几何意义进行解题． （1）先根据绝对值的定义，再根据题意即可得； （2）将化为后，求出当时，或，根据以上结论即可得； （3）将化为，再根据题意即可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； （2）解：由得到， 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或； （3）解：∵ ∴ 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点的左边的点表示的数的绝对值大于8； 点，之间的点表示的数的绝对值小于8； 点8右边的点表示的数的绝对值大于8． 因此，绝对值不等式的解集是或． ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 【变式12-5】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或(2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 【压轴题型十三】不等式（组）综合中新定义类问题 例题13（24-25七年级下·福建泉州·期中）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如：的“换参方程”为或． (1)方程与它的“换参方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“换参方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“换参方程”，求的值． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 解方程组②，得， 故答案为：或； （2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 由，得， 因此方程组①的解为， 解方程组②，得， 由，得， 方程组②的解为， 与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 将代入，得， ． （3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或， 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解方程组可得，不满足，故舍去； 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解得， ∵， ∴，即 解得， ∵m为整数， ∴． 【变式13-1】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出m，n的值； （2）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出a与b的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，若，， ∴， 解得； （2）解：关于的不等式组， 整理得， 解得， 解得， ∵关于的不等式组有解， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 整理得， ∵的解集为， ∴且， 整理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 将代入得， ∵， ∴． 【变式13-2】（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 【答案】(1)②③(2)(3) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，由新定义得到，解得：，设5个整数解为，则，求出的范围，再根据有解，得到关于k的不等式组，求出k的取值范围，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：解方程得， ①不成立，故不符合题意； ②成立，故符合题意； ③成立，符合题意， ∴方程是下列不等式（组）中②③的“偏解方程”， 故答案为：②③； （2）解：解方程组得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； （3）解：解不等式组得， ∵关于的方程是它的“偏解方程”， ∴， 解得：， ∴设5个整数解为， 则由题意得：， ∴， 解得：， ∵有解， ∴， 解得：， ∴的整数解为或， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴由①②得：， 又∵， ∴． 【变式13-3】（24-25七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“子方程”． 例如：的解为，，的解集为，发现在的范围内，所以一元一次方程是一元一次不等式组的“子方程”． 问题解决： (1)判断方程是不是不等式组的“子方程”． (2)若方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围． 【答案】(1)不是(2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组． （1）先分别求出一元一次方程的解，一元一次不等式组的解，再根据“子方程”判断即可； （2）将m当作常数，求出一元一次方程的解，再求出一元一次不等式的解，再根据“子方程”的定义得关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：解方程，得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集为， 不在范围内， 不是不等式组的“子方程”； （2）解：解方程，得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集为， 方程是不等式组的“子方程”， ， 解得． 【变式13-4】（24-25七年级下·福建泉州·期中）【新定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”． 【举例】 方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． 【问题】 (1)方程是不是不等式组的“关联方程”？请说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的“关联方程”，理由见解析 (2)(3) 【分析】本题考查了，解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键是：熟练掌握解一元一次不等式组． （1）分别解两个方程和不等式组，根据“关联方程”的定义，即可判断求解； （2）解不等式组和方程，将方程的解代入不等式组的解集，即可求解； （3）解不等式组和方程，根据“不等式组有4个整数解”，的到m的范围，将方程的解代入不等式组的解集，得到mm的范围，两者取公共部分，即可求解， 【详解】（1）解：方程是不等式组的“关联方程”． 理由：由方程， 解得： 解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵在的范围内 ∴方程是不等式组的“关联方程”． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 由方程， 解得：． ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴， 解得： （3）解：由关于的方程， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组有4个整数解， ∴整数的值为1，2，3，4， ∴， ∴． ∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：， ∴的取值范围：． 【变式13-5】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）对x，y定义一种新运算T．规定：（其中a，b，c为常数），例如：．已知． (1)求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解二元一次方程，解一元一次不等式，不等式的性质，熟练将所求的式子用一个字母表示是解题的关键． （1）根据可得，可用表示，再将其代入所求式子即可； （2）根据题意得到的取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 即， 得，即， 把代入①，可得， 可得， ； （2）解：，解得：， ，解得：， ， 则， ，即． 【变式13-6】（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③(2)2(3)①，；②不存在，见解析 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解． （1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可； （3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可； ②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为； 不等式组的解集为， ∵， ∴不等式组的关联方程是方程③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组，得， 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程0， 得； （3）解：①， 解得； ， 解得； ②不存在．理由如下： 解不等式组， 得， 假如方程和都是关于的不等式组的关联方程， 则且． 解得：且 ∴不等式组无解， 不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程． 【变式13-7】（23-24七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)①(2)；(3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 【变式13-8】（24-25八年级上·重庆·期中）若一个四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0，满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数P为“举一反三数”，记P各个数位上的数字之和为． (1)最大的“举一反三数”为_______，最小的“举一反三数”为___________； (2)一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，若被9除余6，且是2的倍数，求的最小值． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查整式的加减，列代数式，解不等式组； （1）设““举一反三数”的千位数字为，个位数字为，则百位数字为，十位数字为，表示出这个数，再结合“举一反三数”的定义求出，，再求最大值和最小值即可； （2）分别表示出，，，，根据被9除余6，得到，根据是2的倍数，得到，最后计算，当当最小，最大时有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设“举一反三数”的千位数字为，个位数字为，则百位数字为，十位数字为， ∴这个“举一反三数”为， ∵四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0， ∴，，，， 解得，， ∴当，时有最大的“举一反三数”，为； 当，时有最小的“举一反三数”，为； 故答案为：，； （2）解：一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，则百位数字为，十位数字为，，，，， 另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，则百位数字为，十位数字为，，，，， ∵被9除余6， ∴是的倍数， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵是2的倍数， ∴， ∴， 解得，即， ∴ ， ∴当最小，最大时的最小值， ∵，，， ∴，解得， 同理求得， ∴当，时有最小值，此时． 【变式13-9】（24-25七年级上·北京·期中）已知图形和线段，若图形上存在不同的两点和，使得点与点到线段中点的距离相等，则称图形为线段的“关联图”．已知：、、在数轴上对应的数分别为、0和． (1)若．请回答以下两个问题： ①记以下数在数轴上对应的点为，则满足线段是线段的“关联图”的有______．（填序号） ①    ②3    ③5 ②设点、对应的数分别为、，若线段为线段的“关联图”，则满足的所有整数的值为______． (2)已知数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、18，现将、均以每秒4个单位长度沿数轴向右移动，将以每秒2个单位长度沿数轴向左移动，移动时间为秒．当时，线段上总存在点，使线段为线段的“关联图”，则的取值范围为______． 【答案】(1)①：②③；②：2、3、4；(2) 【分析】（1）①由题意可知，线段的中点在数轴上对应的数为，再结合“关联图”的定义求解即可；②根据“关联图”的定义，得到，再由绝对值的意义，得到，最后确定的取值范围，再写出满足条件的所有整数解即可； （2）线段的中点在数轴上对应的数为，由题意可知，移动后数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、，分三种情况讨论：①当时，点在点的左侧；②当时，点在线段上，③当时，点在点的右侧，结合“关联图”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：、在数轴上对应的数分别为、， 线段的中点在数轴上对应的数为， 线段是线段的“关联图”， 线段上存在不同的两点到线段中点的距离相等， 在数轴上对应的数为0， 点在数轴上对应的数， ②③满足条件； ②设点、对应的数分别为、， 线段为线段的“关联图”， 线段上存在不同的两点到线段中点的距离相等， ，， ， ， 到点的距离与到点的距离之和为5， ， ， 满足的所有整数的值为2、3、4； （2）解：、在数轴上对应的数分别为、， 线段的中点在数轴上对应的数为， 由题意可知，移动后数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、， 若点和点重合，则，解得； 若点和点重合，则，解得：； ①当时，点在点的左侧， 此时， 解得：， ； ②当时，点在线段上， 此时或， 解得：或， 或； ③当时，点在点的右侧， 此时， 解得：， ， 综上可知，的取值范围为， 故答案为：． 【变式13-10】（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1)；(2)或；(3)． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，且，解得：且． 综上，． 【变式13-11】（23-24七年级下·北京延庆·期末）我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”． (1)已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ； (2)若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”； (3)若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了新定义，方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键． （1）由题意得“伴随方程”为：，将分别代入验证即可； （2）由题意得，，解得：，故数对的“伴随方程”为：； （3）由题意得，解不等式组得，确定这2024个整数解为， 故，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：“伴随方程”为： 将点代入得， 将点代入得， 将点代入得， 将点代入得， ∴点，是数对的“伴随数对”， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得：， ∴数对的“伴随方程”为：； （3）解：∵两个二元一次方程可得唯一解， ∴当，确定时，即可确定， ∴， ∴不等式组为， ∴解得 ∵关于x的不等式组恰好有2024个整数解， ∴这2024个整数解为， ∴， 解得：． 【压轴题型十四】一元一次不等式组选填压轴题 例题14（24-25七年级下·重庆·期中）使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法正确的是（   ） 方程与不等式有且仅有一个负整数“同频解”； 是与的“同频解”，则； 存在整数使得方程的所有解均是其与的“同频解”； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：由方程得：， 则不等式， ∴， ∵，且负整数， ∴此时无解，原选项错误，不符合题意； 由得：，代入得， ， 解得：， 由， ∴∵是与的“同频解”， ∴， ∴， ∴，原选项正确，符合题意； 由得，， 代入与得，， 整理得：， 若不等式对所有成立，则系数必须为， ∴，解得：，与题意矛盾，则原选项错误，不符合题意； 综上可得正确，共个， 故选：． 【变式14-1】（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知，，则下列说法： ①若，，则； ②若的值与的取值无关，则，； ③当，为整数时，若关于的方程的解为整数，则或1，6，－2； ④当时，当时，的取值范围是． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解一元一次不等式等知识，绝对值的性质，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键． ①将和代入进行多项式的加减混合运算即可；②将M和N代入作整式的混合运算，再取对应系数为零即可；③将代入，再结合关于的方程解得为整数，则或，解得即可；④将代入M和N求得，分情况讨论求解即可． 【详解】解：①若，， ∵，， ∴，， 则，故①正确； ②∵，， ∴， ∵的值与x的取值无关， ∴，， 则，，故②正确； ③当时， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得， ∵关于的方程的解为整数， ∴或，解得或1，3，4，故③错误； ④当， ∵，， ∴，， 即：， ∵， ∴，即， 当时，； 解得： 当时，； 当时，； 解得： 综上所述，时，或，故④错误． 即正确的有2个， 故选：B． 【变式14-2】（24-25八年级上·重庆丰都·期末）对于一个各位数字都不为零的四位正整数N，若千位数字比十位数字大3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数N为“三生有幸数”，例如：是个“三生有幸数”；又如不是一个“三生有幸数”．则最小的“三生有幸数”是 ．若将N的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的数为数N的“反序数”，记作，例如：，其“反序数” ．若一个“三生有幸数”N的十位数字为x，个位数字为y，设，若除以6余数是1，则所有满足题意的四位正整数N的最大值与最小值的差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组，整式的混合运算等知识，理解“三生有幸数”定义是解题的关键． 依据“三生有幸数”定义，要想它最小，每位数字都取到最小，即可得到答案；根据题意，算出N和，得到，利用除以6余数是1，得到是6的倍数，且x、y为正整数，求出x、y的取值范围，确定N的最大值与最小值，即可得到答案． 【详解】解：由题意，首先“三生有幸数”是一个各位数字都不为零的四位正整数，千位数字比十位数字大3，百位数字是个位数字的3倍，要想它最小，每位数字都取到最小，则十位数字应该取1，则千位数字应该取4，，个位数字也取1，百位数字取3， ∴最小的“三生有幸数”是， 由题意，“三生有幸数”N的十位数字为x，则个位数字为y，则 ， 则， ∴， ∵除以6余数是1，n为正整数， ∴， 则， ∴是6的倍数，且x、y为正整数， 又， ∴， ∴或， 当时，N的最大值为， 当时，N的最小值为， ∴N的最大值与最小值的差是， 故答案为：；． 【变式14-3】（24-25八年级上·重庆江津·期中）若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ． 【答案】 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有个整数解，得出，利用多项式乘多项式化简，根据结果不含二次项，得出，结合即可求出的值． 【详解】解：，解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ∴ ∵不等式组有且仅有个整数解， ∴， 解得：， 又∵，且其结果不含二次项， ∴的系数为零 ∴ ∴ 解得：或 又∵ ∴， 故答案为：． 【变式14-4】（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，解一元一次不等式组的应用．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式组是解题的关键．当时，，可判断①的正误；设，则，，，可得，可判断②的正误；由题意知，的整数部分为，则小数部分为， 由，可求，可判断③的正误；由，可得，的整数部分为，则小数部分为，且，可求，然后分情况求解，进而可判断④的正误． 【详解】解：当时，，①正确，故符合要求； 设，则， ∴， ∴， ∴，②正确，故符合要求； 由题意知，的整数部分为，则小数部分为， ∴， 解得，，③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴的整数部分为，则小数部分为，且， 解得，， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，或或是的解，④错误，故不符合要求； 故答案为：①②③． 【变式14-5】（23-24七年级下·福建龙岩·期末）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数．如，，，则下列结论： （1）；（2）若，则的取值范围是； （3）当时，的值为1或2； （4）若规定：（为正整数）．例．则，其中正确的结论有 （填写序号）． 【答案】（2）（3）（4） 【分析】本题主要考查新定义，根据取整数的定义及公式即可作出判断，关键是要正确理解取整的定义，以及式子的应用，这个式子在新定义中经常用到． 【详解】解：取，则，， ， （1）错误； 由式子可得当时， 有， 解得， （2）正确； 由可得， 若，则，， 有， 若，则，， 有， 若，则， 有， （3）正确； 根据题意可得， ， （4）正确； 故答案为：（2）（3）（4）． 【变式14-6】（23-24九年级下·重庆沙坪坝·期中）一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，它的十位数字等于个位数字与千位数字之差，则称这个四位数为“简约数”．将“简约数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“简约数”的千位数字的2倍求和，记作．若，（，，，，，且，，，，均为整数）都是“简约数”，其中能被11整除，则 ．在此条件下，能被7整除，则满足条件的值的和为 ． 【答案】 3 10741 【分析】本题主要考查了列代数式、整除等知识点，掌握分类讨论思想是关键．确定s各个数位的值，再根据定义计算出，然后根据能被11整除即可求解；根据定义计算出，然后根据能被7整除即可求解． 【详解】解：∵， ∴s的个位数是p，十位数是x，百位数是2，千位数是x， ∵s是“简约数”， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵能被11整除，，且x是整数， ∴是整数， ∴； ∴， ∵是“简约数”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，，且，，，均为整数， ∴， ∴， ∵能被7整除， ∴是整数， ∴，，此时； ，，此时（舍去）； ，，此时； ，，此时 ∴满足条件的值的和为， 故答案为：3，10741． 【变式14-7】（2025·重庆大渡口·二模）如果一个各位数字均不相同的四位数满足，，那么称这个四位数为“十一数”．将“十一数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如四位数，，不是“十一数”；又如四位数，，，是“十一数”，．若是最大的“十一数”，则 ；对于“十一数”，若能被7整除，则满足条件的最小的“十一数”为 ． 【答案】 829 1987 【分析】本题考查整式的加减，二元一次方程的解，不等式的性质，代数式求值，熟练根据题意正确列出式子，并利用不等式性质确定范围是解题的关键．先利用定义得出，，然后计算出；若是最大的“十一数”，结合，，则要尽可能大，且要尽可能大，即可得；利用，则要使能被7整除，只需能被7整除即可，结合，，得出可以为0或7或14，再求解即可． 【详解】解：一个四位数满足，， ，，且，，，，且、、、为整数， ，由题意得 ， ， ， 若是最大的“十一数”，则要尽可能大， 则，， 且要尽可能大， 当时，， 则此时，不符合题意， 当时，， 则此时，符合题意， 则； ， 要使能被7整除，只需能被7整除即可， ，， ， 可以为0或7或14， 当时，，此时，不符合题意； 当时， 要使最小，则应尽可能小， ， 满足条件的最小的“十一数”为1987， 故答案为：829；1987． 1．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）若不等式组有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组及不等式组有解求参数，熟练掌握解一元一次不等式组的方法步骤是解决问题的关键． 根据一元一次不等式组的解法及不等式组有解的条件得出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组有解， ，即， 故选：C． 2．（2025·江苏宿迁·二模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解得：， 解得：， 不等式的解集是： ， 故选：C． 3．（2025·浙江·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键，根据不等式的基本性质逐一进行分析判断即可． 【详解】A.由，两边同时加上b，可得，故A选项正确，符合题意； B. 由，两边同时减去c，得，故B选项错误，不符合题意； C. 由，当时，，当时，，当时，，故C选项错误，不符合题意； D.由 ，当时，，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 4．（2025·湖北襄阳·三模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．根据大于向右，有等号为实心点，即可得出答案． 【详解】解：不等式的解集在数轴上的表示如下： ． 故选：C． 5．（24-25七年级下·北京通州·期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的问题，不等式组无解，即两个不等式的解集无公共部分，据此解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故选：． 6．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，不等式的性质，掌握以上性质是解题的关键． 由图可知，，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：由图可知，，则有： A、，原不等式不成立，A不符合题意； B、，原不等式不成立，B不符合题意； C、，原不等式成立，C符合题意，正确； D、，原不等式不成立，D不符合题意． 故选：C． 7．（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 8．（2025·重庆·二模）已知整式，且，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数．若，则下列说法：①若，时，则整式的值为；②若是的倍数，则最高次项的系数被整除余；③若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，列代数式，代数式求值，解一元一次不等式，熟练掌握这些知识是解题的关键．先利用，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数，，得出，①若，时，得出，求出，即可得出，，，代入求值即可判断；②若是的倍数，则设（为整数），分别得出，，，，则最高次项的系数为，即可判断；③若，结合，得出，则，再利用是奇数，则是奇数，则可得或或或或或，共种情况，分别对应种不同的，即可判断． 【详解】解：∵，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数， ∴，，，为偶数，为奇数， ∵， ∴， ∴， ①若，时， ∴， 得， ∴，，， 则整式， 故①正确； ②若是的倍数， ∴设（为整数）， ∴，， ∵， ∴，， ∴最高次项的系数为， ∵被整除余， ∴故②正确； ③若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是奇数， ∴是奇数， ∴或或或或或， 共种情况，分别对应种不同的， 满足条件的整式共有个， 故③正确； 综上，正确的是①②③， 故选：D． 9．（2025·河南漯河·三模）不等式组的整数解之和是 【答案】5 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出各不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则求出其公共解集，在此公共解集内找出的整数解即可． 【详解】解：， 由解得，， 由解得，， 故此不等式组的解集为：． 故它的所有整数解为：2，3． 整数解之和是， 故答案为：5． 10．（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质等知识点，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键． 求出不等式的解，分类讨论求出不等式的解集，得出关于a的不等式，求出a即可． 【详解】解：解不等式得， ， ∵不等式的解都能使不等式成立， ∴当，即时 不等式， ， ， 可以取任意实数，那么的解必然能使该不等式成立， 所以满足条件． 当，即时 不等式其解为． 因为的解都能使成立， 所以． 解不等式： ，结合前提，这种情况满足条件． 当，即时 不等式其解为． 要使的解都能使成立，那么． 解不等式： ，结合前提，得到． 综合以上三种情况． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为，可以确定整数解必含，，这三个数，再根据解集确定a的取值范围． 【详解】解：解不等式组， 解不等式得， 解不等式得， ∵关于的不等式组有解， ∴， ∵所有整数解的和是，， ∴不等式组的整数解为①，，；②，，，0， ∴或， ∴或，即， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知关于，的方程组的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式等知识点．利用加减消元法求得，的值，再根据列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：， ，得③， ，得， 将代入③，得， 解得， ∵， ∴， ∴． 13．（24-25八年级下·山西大同·期中）若关于的不等式的最小整数解为2，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了含有参数的不等式，熟练掌握解不等式(组)是解题的关键． 先解出不等式的解集，再根据最小整数解为2列出关于a的不等式，求出a的范围即可． 【详解】解：， ∴， 得：， ∵关于的不等式的最小整数解为2， 解得， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． （2）解不等式组：，并求它的非正整数解． 【答案】（1），数轴见解析；（2），非正整数解为，0 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）先两边同时乘以6去分母得，然后去分母，移项，合并同类项，最后把的系数化为1得到解集，再在数轴上表示出解集即可； （2）先解不等式①得，解不等式②得，得到不等式组的解集，再写出不等式组的非正整数解即可． 【详解】解：（1） 不等式的解集在数轴上表示如图所示： （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得 该不等式组得解集为， 非正整数解为，0． 15．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解方程组用m表示x，y，根据“为非正数，为负数”，得出不等式组，解之即可； （2）不等式化为，解为知，解之求得m的范围，结合以上所求可得答案． 【详解】（1）解：解方程组得， ∵为非正数，为负数 ∴， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为； （2）由得 不等式的解为，， 解得， ∴ 由为整数，得 ． 16．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：    第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 任务一： 填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据______（填运算律）进行变形的； ②第______步开始出错，这一步错误的原因是______； 任务二： 请直接写出该不等式的解集______并把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】任务一：①乘法分配律；②五，系数化1时，不等式两边同除同一个负数，不等式号的方向没有变；任务二：，数轴见解析 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示出解集，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键： 任务一：①根据乘法分配律变形；②第五步，系数化1时，不等式号的方向没有变； 任务二：求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：任务一：①小明解不等式过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的； ②第五步开始出错，原因是系数化1时，不等式两边同除同一个负数，不等式号的方向没有变； 任务二： 解： ； 数轴表示解集如图：    17．（2025七年级下·全国·期中）定义：三个关于的整式、、，若的解集为，则称它们构成“不等式”．例如：三个整式，，，有的解集为，则称，，构成“不等式”． (1)整式、、，可以构成“不等式”吗？请说明理由． (2)若三个关于的整式、、，可以构成“不等式”，求的值． (3)若，，构成“不等式”，求关于的不等式组的解集． 【答案】(1)可以，理由见解析(2)或(3) 【分析】本题考查了不等式组的应用，理解“不等式”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）先列不等式求解，再根据“不等式”等定义判断即可； （2）根据“不等式”的定义分三种情况列不等式，根据不等式的性质和解集分别求解即可； （3）根据“不等式”的定义列不等式，求出，，，再分别解不等式组中的等式，最后根据同小取小得到解集即可． 【详解】（1）解：可以，理由如下： ， 解得：， 即整式、、，可以构成“不等式”； （2）解：三个关于的整式、、，可以构成“不等式”， ①当时，即， 则，且， 解得：； ②若，即， 则，且， 解得：（舍）； ③若，即， 则，且， 解得：； 综上可知，的值为或． （3）解：若，，构成“不等式”， 则， 即， 所以， 化简，得， 将代入，得， 所以， 由不等式，得， 即， 解得：； 由不等式，得， 解得：， 所以该不等式组的解集为． 1 / 111 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题08 一元一次不等式（组）（苏科2024） 【11个基础题型+3个压轴题型】 【基础题型一】根据不等式的定义判定是否为不等式 1 【基础题型二】利用不等式的性质判断式子是否正确 2 【基础题型三】判断是否为一元一次不等式 4 【基础题型四】根据一元一次不等式的定义求参数 5 【基础题型五】一元一次不等式中整数解的问题 5 【基础题型六】在数轴上表示不等式（组） 6 【基础题型七】解一元一次不等式（组）计算题 9 【基础题型八】由一元一次不等式组的解求参数 11 【基础题型九】一元一次不等式组中整数解问题 13 【基础题型十】一元一次不等式组中有（无）解问题 14 【基础题型十一】一元一次不等式组与方程的结合 15 【压轴题型十二】解|x|＞a型的不等式 17 【压轴题型十三】不等式（组）综合中新定义类问题 20 【压轴题型十四】一元一次不等式组选填压轴题 26 【基础题型一】根据不等式的定义判定是否为不等式 例题1（24-25八年级下·广东揭阳·期中）式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-1】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】（2025七年级下·全国·期中）下列式子：．其中是不等式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-3】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）已知：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-4】（23-24八年级下·福建漳州·期末）下列式子：；；；；中，是不等式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-5】（24-25七年级下·全国·期中）给出下面5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-6】（24-25七年级下·全国·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【基础题型二】利用不等式的性质判断式子是否正确 例题2（2025·河北石家庄·一模）若，则下列不等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·江苏苏州·一模）已知实数a，b满足，，则在下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·浙江杭州·一模）已知是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）已知，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-5】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-6】（24-25八年级下·山东青岛·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-7】（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列式子变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式2-8】（24-25七年级下·北京·期中）若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-9】（2025·安徽滁州·二模）已知三个实数a，b，c满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-10】（24-25七年级下·四川眉山·期中）下列变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【基础题型三】判断是否为一元一次不等式 例题3（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·期中）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（23-24七年级下·青海海东·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24七年级下·四川内江·期中）下列各式是一元一次不等式的有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-4】（23-24七年级下·陕西汉中·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-5】（23-24七年级下·山西晋城·期中）下列不等式中，一元一次不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【基础题型四】根据一元一次不等式的定义求参数 例题4 （24-25八年级下·陕西西安·期中）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式4-1】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）若是关于x的一元一次不等式，则n的值为 ． 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式4-3】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）若不等式是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式4-4】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【变式4-5】（23-24八年级下·广东深圳·期末）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【变式4-6】（24-25八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式4-7】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【变式4-8】（24-25七年级下·全国·期中）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【变式4-9】（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【基础题型五】一元一次不等式中整数解的问题 例题5（2025·江苏南通·一模）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级下·陕西汉中·期中）关于x的不等式的正整数解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】（2025七年级下·全国·期中）不等式的负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-4】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）关于的一元一次不等式至少有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-5】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若不等式有三个非负整数解，则m的取值范围是 ． 【变式5-6】（2025·河南驻马店·二模）不等式的非正整数解有 个． 【变式5-7】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式有三个非负整数解，则a的取值范围为 ． 【基础题型六】在数轴上表示不等式（组） 例题6（24-25八年级下·广东佛山·期中）不等式在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·湖北武汉·三模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式6-2】（2025·陕西宝鸡·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·山西吕梁·二模）关于x的不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2025·湖南娄底·三模）不等式组的解集在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（24-25八年级下·四川成都·期中）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【变式6-5】（2025·河南·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-6】（2025·山西·三模）将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-7】（2025·浙江金华·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-8】（2025·青海·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-9】（2025·浙江·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-10】（2025·湖南常德·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【基础题型七】解一元一次不等式（组）计算题 例题7（24-25七年级下·云南昆明·期中）解下列不等式或不等式组． (1)解不等式：． (2)解不等式组，并将解集表示在所给的数轴上． 【变式7-1】（2025·陕西西安·模拟预测）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【变式7-2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）解下列不等式（组）： (1)． (2)． 【变式7-3】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【变式7-4】（2025·山东济南·二模）解不等式（组）：，并写出它的整数解． 【变式7-5】（24-25九年级下·江苏南京·期中）求不等式组的整数解 【变式7-6】（24-25七年级下·山东淄博·期中）（1）解不等式组： （2）解不等式组： 【变式7-7】（24-25八年级下·江西吉安·期中）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式7-8】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解不等式或不等式组： (1)； (2) 【变式7-9】（2025·北京海淀·模拟预测）解不等式组：，并求其整数解． 【变式7-10】（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）解下列不等式组并将解集表示在数轴上 (1) (2) 【变式7-11】（2025·江苏扬州·二模）解不等式组：，并求出不等式组的最小整数解． 【变式7-12】（2025·江苏扬州·一模）解不等式组，并写出所有整数解． 【基础题型八】由一元一次不等式组的解求参数 例题8（24-25七年级下·四川绵阳·期中）若不等式组的解集为，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·期中）如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24七年级下·全国·期末）已知不等式组 的解集是，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式8-4】（23-24八年级下·全国·期末）若关于x的不等式组的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式8-5】（23-24七年级下·湖南·期中）若关于的不等式的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-6】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知关于x的不等式的负整数解只有，，，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-7】（24-25七年级下·全国·期中）已知不等式组的解集是，则 ． 【变式8-8】（24-25七年级下·湖南怀化·期中）若不等式组的解集是，则 ． 【变式8-9】（24-25八年级下·福建三明·期中）已知的解集为，则不等式的解集为 ． 【变式8-10】（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值为 ． 【基础题型九】一元一次不等式组中整数解问题 例题9（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【变式9-1】（24-25八年级下·江西吉安·期中）已知关于的不等式组只有三个正整数解，则k的取值范围是 ． 【变式9-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）关于的不等式组恰有两个整数解．则实数的取值范围为 【变式9-3】（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是 ． 【变式9-4】（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）已知关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是 ． 【变式9-5】（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【变式9-6】（24-25七年级下·四川眉山·期中）若不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【变式9-7】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）若不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是 ． 【变式9-8】（2025·河南南阳·二模）若关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则m的取值范围为 ． 【变式9-9】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若关于x的不等式组的最小整数解是1，则实数a的取值范围是 ． 【变式9-10】（24-25七年级下·上海闵行·期中）关于的不等式组有两个整数解，那么的取值范围是 ． 【基础题型十】一元一次不等式组中有（无）解问题 例题10（2025·辽宁铁岭·二模）不等式组无解，则的取值范围是 ． 【变式10-1】（24-25八年级下·重庆·期中）如果关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【变式10-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若不等式组有解，则m的取值范围为 ． 【变式10-3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【变式10-4】（2025八年级下·河南·期中）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【变式10-5】（2025·黑龙江大庆·一模）若不等式组无解，则的取值范围为 ． 【变式10-6】（2025·甘肃嘉峪关·一模）若关于的一元一次不等式组无解，则符合条件的整数的值可以是 ． 【基础题型十一】一元一次不等式组与方程的结合 例题11（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【变式11-1】（24-25七年级下·全国·期中）如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【变式11-2】（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【变式11-3】（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式11-4】（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【变式11-5】（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【变式11-6】（2025七年级下·全国·期末）已知关于x，y的方程组（m是常数）． (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数m的值； (2)若x，y满足，试化简：； (3)若x，y满足，．求的取值范围． 【变式11-7】（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x是负数，y是正数． (1)求a的取值范围； (2)化简． 【变式11-8】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． (1)求m的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 【变式11-9】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【压轴题型十二】解|x|＞a型的不等式 例题12（2025七年级下·全国·期中）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【变式12-1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【变式12-2】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【变式12-3】（23-24六年级下·上海·期中）阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 【变式12-4】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 【变式12-5】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【压轴题型十三】不等式（组）综合中新定义类问题 例题13（24-25七年级下·福建泉州·期中）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如：的“换参方程”为或． (1)方程与它的“换参方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“换参方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“换参方程”，求的值． 【变式13-1】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 【变式13-2】（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 【变式13-3】（24-25七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“子方程”． 例如：的解为，，的解集为，发现在的范围内，所以一元一次方程是一元一次不等式组的“子方程”． 问题解决： (1)判断方程是不是不等式组的“子方程”． (2)若方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围． 【变式13-4】（24-25七年级下·福建泉州·期中）【新定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”． 【举例】 方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． 【问题】 (1)方程是不是不等式组的“关联方程”？请说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 【变式13-5】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）对x，y定义一种新运算T．规定：（其中a，b，c为常数），例如：．已知． (1)求的值； (2)若，求的取值范围． 【变式13-6】（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【变式13-7】（23-24七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【变式13-8】（24-25八年级上·重庆·期中）若一个四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0，满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数P为“举一反三数”，记P各个数位上的数字之和为． (1)最大的“举一反三数”为_______，最小的“举一反三数”为___________； (2)一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，若被9除余6，且是2的倍数，求的最小值． 【变式13-9】（24-25七年级上·北京·期中）已知图形和线段，若图形上存在不同的两点和，使得点与点到线段中点的距离相等，则称图形为线段的“关联图”．已知：、、在数轴上对应的数分别为、0和． (1)若．请回答以下两个问题： ①记以下数在数轴上对应的点为，则满足线段是线段的“关联图”的有______．（填序号） ①    ②3    ③5 ②设点、对应的数分别为、，若线段为线段的“关联图”，则满足的所有整数的值为______． (2)已知数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、18，现将、均以每秒4个单位长度沿数轴向右移动，将以每秒2个单位长度沿数轴向左移动，移动时间为秒．当时，线段上总存在点，使线段为线段的“关联图”，则的取值范围为______． 【变式13-10】（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【变式13-11】（23-24七年级下·北京延庆·期末）我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”． (1)已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ； (2)若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”； (3)若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围． 【压轴题型十四】一元一次不等式组选填压轴题 例题14（24-25七年级下·重庆·期中）使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法正确的是（   ） 方程与不等式有且仅有一个负整数“同频解”； 是与的“同频解”，则； 存在整数使得方程的所有解均是其与的“同频解”； A．个 B．个 C．个 D．个 【变式14-1】（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知，，则下列说法： ①若，，则； ②若的值与的取值无关，则，； ③当，为整数时，若关于的方程的解为整数，则或1，6，－2； ④当时，当时，的取值范围是． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式14-2】（24-25八年级上·重庆丰都·期末）对于一个各位数字都不为零的四位正整数N，若千位数字比十位数字大3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数N为“三生有幸数”，例如：是个“三生有幸数”；又如不是一个“三生有幸数”．则最小的“三生有幸数”是 ．若将N的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的数为数N的“反序数”，记作，例如：，其“反序数” ．若一个“三生有幸数”N的十位数字为x，个位数字为y，设，若除以6余数是1，则所有满足题意的四位正整数N的最大值与最小值的差是 ． 【变式14-3】（24-25八年级上·重庆江津·期中）若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ． 【变式14-4】（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号） 【变式14-5】（23-24七年级下·福建龙岩·期末）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数．如，，，则下列结论： （1）；（2）若，则的取值范围是； （3）当时，的值为1或2； （4）若规定：（为正整数）．例．则，其中正确的结论有 （填写序号）． 【变式14-6】（23-24九年级下·重庆沙坪坝·期中）一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，它的十位数字等于个位数字与千位数字之差，则称这个四位数为“简约数”．将“简约数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“简约数”的千位数字的2倍求和，记作．若，（，，，，，且，，，，均为整数）都是“简约数”，其中能被11整除，则 ．在此条件下，能被7整除，则满足条件的值的和为 ． 【变式14-7】（2025·重庆大渡口·二模）如果一个各位数字均不相同的四位数满足，，那么称这个四位数为“十一数”．将“十一数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如四位数，，不是“十一数”；又如四位数，，，是“十一数”，．若是最大的“十一数”，则 ；对于“十一数”，若能被7整除，则满足条件的最小的“十一数”为 ． 1．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）若不等式组有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·二模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北襄阳·三模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京通州·期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·重庆·二模）已知整式，且，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数．若，则下列说法：①若，时，则整式的值为；②若是的倍数，则最高次项的系数被整除余；③若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河南漯河·三模）不等式组的整数解之和是 10．（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 11．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 12．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知关于，的方程组的解，则的取值范围是 ． 13．（24-25八年级下·山西大同·期中）若关于的不等式的最小整数解为2，则的取值范围是 ． 14．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． （2）解不等式组：，并求它的非正整数解． 15．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？ 16．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：    第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 任务一： 填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据______（填运算律）进行变形的； ②第______步开始出错，这一步错误的原因是______； 任务二： 请直接写出该不等式的解集______并把它的解集在数轴上表示出来．    17．（2025七年级下·全国·期中）定义：三个关于的整式、、，若的解集为，则称它们构成“不等式”．例如：三个整式，，，有的解集为，则称，，构成“不等式”． (1)整式、、，可以构成“不等式”吗？请说明理由． (2)若三个关于的整式、、，可以构成“不等式”，求的值． (3)若，，构成“不等式”，求关于的不等式组的解集． 1 / 111 学科网（北京）股份有限公司 $$