22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第1课时　课件　2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数的的图像和性质 第1课时　二次函数的图象和性质 1.会用配方法把二次函数写成的形式.(重点） 2.会用配方法或公式法找出抛物线的顶点、对称轴及最值.（重点） 3.通过描点法画出二次函数的图像，探索二次函数图象的相关性质.（难点） 学习目标 复习引入 猎豹图书 . 向上 向下 当时，随着的增大而减小；当时 随着的增大而增大. 当时,随着的增大而增大；时，随着的增大而减小. 时， 时， 抛物线可以由抛物线经过平移得到. 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 顶点坐标 对称轴 最值 (0，0) 轴 0 (0，-5) 轴 -5 (-2，0) 直线 0 (-2，-4) 直线 -4 (4，3) 直线 3 ? ? ? ? ? ? 函数 获取新知 探究二次函数的图象和性质？ 方法一：平移法 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 平移方式：先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到. 注：配方后的解析式通常称为顶点式. 解： 配方 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 方法二：描点法 先利用对称性列表: 开口方向：向上 对称轴： 顶点：(6,3) 当时,随的增大而减小； 当时随的增大而增大. x ... 3 4 5 6 7 8 9 ... ... 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 ... 一般地，二次函数可以通过配方化成的形式，即: 因此，抛物线的顶点坐标是对称轴是直线 y O x y O x 抛物线图像如下所示： 最小值 最大值 二次函数与的比较 已知二次函数. （1）将化成的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当取何值时随的增大而减小？ 例题解析 解：（1）＝. （2）二次函数的图象的对称轴是3，顶点坐标是 (3，-4). （3）∵ 抛物线的开口向上，对称轴是3， ∴ 当 3 时，随的增大而减小． 二次函数的图象特征与系数及的符号之间的关系: 字母符号 图象的特征 开口___________ 开口___________ 对称轴为_____轴 同号 对称轴在轴的____侧 异号 对称轴在轴的____侧 经过原点 与轴交于_____半轴 与轴交于_____半轴 向上 向下 左 右 正 负 课堂小结 顶点： 对称轴： (一般式) 配方法 公式法 （顶点式） 课堂练习 1.将二次函数y＝x2＋6x－2化成y＝(x－h)2＋k的形式应为(　 　) A.y＝(x＋3)2＋7 B.y＝(x－3)2＋11 C.y＝(x＋3)2－11 D.y＝(x＋3)2－7 C 2.已知抛物线y＝－2x2＋4x－5，下列说法正确的是(　 　) A.对称轴为x＝－1 B.函数的最大值是3 C.抛物线开口向上 D.顶点坐标为(1，－3) D 3.已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n的值为(　 　) A.－2 B.－4 C.2 D.4 B 4.定义运算：aⓧb＝(a＋2b)(a－b).例如，4ⓧ3＝(4＋2×3)×(4－3)，则函数y＝(x＋1)ⓧ2的最小值为(　 　) A.－21 B.－9 C.－7 D.－5 B 5.抛物线y＝x2－2x＋3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是____________. (3，5) 6.在抛物线y＝ax2－2ax－7上有A(－4，y1)，B(2，y2)两点，若抛物线开口向下，则y1，y2的大小关系为y1_______y2.(填“＞” “＜”或“＝”) ＜ 7.【分类讨论思想】当a－1≤x≤a时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为__________. 0或3 8.(2025·松树桥中学月考)如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－4x＋9上运动，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为 斜边作Rt△ABC，则AB边上的中线CD的最小值为______. 9.如图，已知二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C. (1)求点A，C的坐标； 解：当x＝0时，y＝－2， ∴C(0，－2). 当y＝0时，即0＝x2＋x－2， 解得x1＝1，x2＝－2， ∴A(－2，0). 9.如图，已知二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C. (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB面积的2倍，求点P的坐标. 解：设P(m，n). ∵点P在第二象限， ∴m＜0，n＞0. ∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍， S△PDB＝DB·n，S△CDB＝DB·CO， ∴n＝2CO. 由(1)，得CO＝2，∴n＝4， ∴m2＋m－2＝4， 解得m1＝－3，m2＝2(舍去)， ∴点P的坐标为(－3，4). 10.如图，四边形ABCD是正方形，A(1，4)，C(3，－2)，抛物线y＝－x2＋bx经过点D，则b的值是(　 　) A. B. C.5 D. B 11.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称，则下列结论正确的是________. (填序号) ①＝2；②当≤a≤时，代数式a2＋b2－5b＋8的最小值为3；③对于任意实数m，不等式am2＋bm－a＋b≥0一定成立； ④P(x1，y1)，Q(x2，y2)为该二次函数图象上的任意两点，且x1＜x2，当x1＋x2＋2＞0时，一定有y1＜y2. ①③④ 12.(2025·北碚区阶段练习)如图，在长方形ABCD中，AB＝16，AD＝6，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→D运动，点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→A→B运动，当点P到达终点D时，点Q也随之停止运动.设点P的运动时间为x秒，△DPQ的面积为y. (1)请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围. 解：y关于x的函数解析式为 y＝ 12.(2025·北碚区阶段练习)如图，在长方形ABCD中，AB＝16，AD＝6，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→D运动，点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→A→B运动，当点P到达终点D时，点Q也随之停止运动.设点P的运动时间为x秒，△DPQ的面积为y. (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象， 并写出该函数的一条性质. 解：函数y的图象如图所示. 性质：当0≤x≤4时，y随x的增大而增大(答案不唯一). 12.(2025·北碚区阶段练习)如图，在长方形ABCD中，AB＝16，AD＝6，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→D运动，点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→A→B运动，当点P到达终点D时，点Q也随之停止运动.设点P的运动时间为x秒，△DPQ的面积为y. (3)结合函数y的图象，请直接写出该函数图象 与直线y＝kx＋16有两个交点时k的取值范围. 解： －2≤k＜0. 13.(2025·巴南区月考改编)如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C. (1)求该抛物线的顶点坐标. 解：y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴该抛物线的顶点坐标为(1，－4). 13.(2025·巴南区月考改编)如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C. (2)连接BC，P是抛物线上的一点，在线段BC下方移动，过点P分别向x轴、y轴作垂线，与BC分别交于E，F两点，求PE＋PF的最大值. 解：∵y＝x2－2x－3， ∴令x＝0，得y＝－3，即C(0，－3)， 令y＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)， ∴OB＝OC＝3，即△OBC是等腰直角三角形，则∠OBC＝∠OCB＝45°. 设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， ∴解得 ∴直线BC的解析式为y＝x－3. ∵P是抛物线上的一点，且在直线BC下方， ∴设P(p，p2－2p－3)(0＜p＜3). ∵PE∥y轴，PF∥x轴， ∴△PEF为等腰直角三角形，PE＝PF. ∵点E在直线BC上，∴E(p，p－3)， ∴PE＝(p－3)－(p2－2p－3)＝－p2＋3p， ∴PE＋PF＝2PE＝－2p2＋6p＝－2(p－)2＋(0＜p＜3). ∵－2＜0， ∴当p＝时，PE＋PF有最大值，最大值为. 13.(2025·巴南区月考改编)如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C. (3)将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得新抛物线y'，M是平移后的新抛物线上的一点，若∠MBC＝90°，直接写出满足条件的点M的横坐标. 解：由题意，得y'＝x2－6x＋6. 设M(t，t2－6t＋6). ∵B(3，0)，C(0，－3)， ∴MB2＝(t－3)2＋＝(t－3)2＋， MC2＝(t－0)2＋＝t2＋，BC2＝18. ∵∠MBC＝90°，∴MB2＋BC2＝MC2， ∴(t－3)2＋＋18＝t2＋， 整理，得t2－5t＋3＝0， 解得t1＝，t2＝， ∴点M的横坐标为或. $$