22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第2课时 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数的的图像和性质 第2课时 用待定系数法求二次函数解析式 学习目标 1.会用待定系数法求二次函数的解析式.（重点） 2.会选用合适的方法求出解析式.（难点） 复习引入 猎豹图书 已知一次函数 y = kx + b (k≠0) （1）有几个待定系数？ （2）通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？ （3）求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ （4）一次函数的图象与x轴交于点（3,0）与y轴交于点（0,6），请求出一次函数的解析式 待定系数法 (1) 设：解析式 (2) 代：坐标代入 (3) 解：方程(组) (4) 还原：写出解析式 2 2 获取新知 我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。(1)对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？ 由两点 (连线不与坐标轴垂直) 的坐标，可以确定一次函数的解析式；类似地，由三点 (不在同一条直线上) 的坐标，可以确定二次函数的解析式. 故所求二次函数解析式为 y = 2x2 − 3x + 5. (2) 解：设所求二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c. 由函数图象经过 (−1，10 )，(1，4)，(2，7) 三点，得关于 a，b，c 的三元一次方程组 解得 (2)如果一个二次函数的图象经过 (−1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式. 这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ① 设函数解析式为 y = ax2 + bx + c； ② 代入已知的三点的坐标后得到一个三元一次方程组； ③ 解方程组得到 a，b，c 的值； ④ 把待定系数用所求得的值换掉，写出函数解析式. 例题讲解 例1 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3)三点，求这个函数的解析式. 第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步:解方程组. 解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c. ∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3). ∴ 解得a＝1，b＝-2，c＝-3. ∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3. 已知二次函数 y = a(x − 1)2 + 4 的图象经过点 (−1，0)，求这个二次函数的解析式. 获取新知 则函数解析式为 y = −(x − 1)2 + 4， 即 y = −x2 + 2x + 3. 解：把 (−1，0) 代入二次函数解析式得 4a + 4 = 0， 即 a = −1. 已知顶点坐标，只需知一个点的坐标便能求出该二次函数的解析式 这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ① 设函数解析式是 y = a(x - h)2 + k； ② 先代入顶点坐标，得到只含一个参数 a 的解析式； ③ 将另一点的坐标代入解析式求出 a 的值； ④ 将 a 用所求得的值换掉，写出函数解析式. 例题讲解 例2 一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的解析式. 解：∵ 这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8，9)， ∴ 可设其解析式为 y = a(x - 8)2 + 9. 由其图象经过点 (0，1)，可得 1 = a(0 - 8)2 + 9. 解得 ∴ 所求的二次函数的解析式是 即 一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1，当x＝-2与 x＝ 时，y＝0，求这个二次函数的解析式. 两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？ 获取新知 这种已知抛物线与 x 轴的交点，求解析式的方法叫做交点法. 其一般步骤是： ① 设函数解析式为 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分别是两交点的横坐标)； ② 将抛物线经过的第三点的坐标代入到解析式中，得到关于a 的一元一次方程； ③ 解方程得出 a 值； ④ 将a 用所求得的数值换掉，写出函数解析式. 例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式. 解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0) ∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3) ∵图象过点C(0,3) ∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3 例题解析 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -2 -4 1 归纳总结 1.若已知函数的三点，通过设一般式y = ax2+bx+c 代入进行求二次函数解析式. 2.若已经知道抛物线的顶点坐标，通过设顶点式：y =a(x - h)2 +k进行求二次函数解析式. 3.若已知抛物线与 x 轴的交点，通过设交点式y = a(x -x1)(x -x2) 进行求二次函数解析式. 课堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与 x轴的两个交点 根据已知条件 选择适当的方法 用一般式法：y = ax2+bx+c 用顶点法：y =a(x - h)2 +k 用交点法：y = a(x -x1)(x -x2) (x1，x2为与x轴交点的横坐标) 待定系数法 求二次函数解析式 课堂练习 1.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2－2x＋3的相同，顶点为(－2，1)，则此抛物线的函数解析式为(　 　) A.y＝－(x－2)2＋1 B.y＝－(x＋2)2－1 C.y＝(x＋2)2＋1 D.y＝(x－2)2－1 C 2.已知二次函数图象的顶点是(1，－2)，且经过点(0，－5)，则该二次函数的解析式是(　 　) A.y＝－3(x＋1)2－2 B.y＝3(x＋1)2－2 C.y＝－3(x－1)2－2 D.y＝3(x－1)2－2 [变式] 已知一个二次函数有最大值4.当x＞5时，y随x的增大而减小；当x＜5时，y随x的增大而增大.若该函数图象经过点(2，1)，则该函数的解析式为_____________________. C y＝－(x－5)2＋4 3.某二次函数的图象如图所示，则该二次函数的解析式为( 　 ) A.y＝x2－2x＋3 B.y＝x2－2x－3 C.y＝x2＋2x＋3 D.y＝x2＋2x－3 D 4.已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表. 下列关于这个二次函数的结论正确的是(　 　) A.图象的开口向上 B.当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是x＝1 x … －4 －2 0 3 5 … y … －24 －8 0 －3 －15 … D 5.已知二次函数的图象经过点(－3，0)和(0，3)，对称轴是x＝－1，则这个二次函数的解析式为____________________. y＝－x2－2x＋3 6.已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x＝－2时，y＝－1；当x＝1时，y＝5，则当x＝－1时，y＝_________. －3 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为(3，0).若点C(2，3)在抛物线上，则AB的长为_______. 4 8.已知抛物线的顶点为(3，－2)，且与x轴的两个交点之间的距离为4，则该抛物线与y轴的交点坐标是____________. (0，) 9.如图，A，B为一次函数y＝－x＋5的图象与二次函数y＝x2＋bx＋c的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4.P为二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA，PB. (1)求b，c的值； 解：当x＝0时，y＝－x＋5＝5，当x＝4时，y＝－x＋5＝1， ∴A(0，5)，B(4，1).将点A，B的坐标代入y＝x2＋bx＋c， 得 解得 9.如图，A，B为一次函数y＝－x＋5的图象与二次函数y＝x2＋bx＋c的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4.P为二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA，PB. (2)求△PAB面积的最大值. 解：由(1)，得y＝x2－5x＋5. 如图，作PE∥OA交AB于点E. 设P(m，m2－5m＋5)，则E(m，－m＋5)， ∴PE＝4m－m2， ∴S△PAB＝(4m－m2)×(4－0)＝－2(m－2)2＋8. ∵点P位于直线AB的下方，∴0＜m＜4， ∴当m＝2时，△PAB的面积最大，最大值为8. 10.如图，在平面直角坐标系中放置Rt△ABC，∠ABC＝90°，点A(3，4).现将△ABC沿x轴的正方向无滑动翻转，依次得到△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，连续翻转14次，则经过△A14B14C14三个顶点的抛物线的解析式为(　 　) A.y＝－(x－51)(x－55) B.y＝－(x－51)(x－55) C.y＝－(x－55)(x－60) D.y＝－(x－55)(x－60) D 11.(1)已知抛物线y＝x2－4mx＋2m＋1，m为实数，当2m－3≤x≤2m＋1时，y的最大值为4，则此抛物线的解析式为________________________________. (2)【分类讨论】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，1)，B(2，3)，C三点，其中点C在直线x＝上，且点C到抛物线的对称轴的距离为，则此抛物线的解析式为____________________ ____________. y＝x2－6x＋4或y＝x2＋4x－1 y＝x2＋x＋1或y＝ －x2＋2x＋1 12.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C的坐标为(1，0)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，C. (1)求抛物线的函数解析式； 解：y＝－x2－x＋2 12.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C的坐标为(1，0)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，C. (2)P是抛物线上的一个动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足 为Q.当PQ＝时，求点P的坐标. 解：如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交AB于点D， 作PQ⊥AB于点Q.设点P(m，－m2－m＋2)，则点 D(m，m＋2). ①如图1，点P在AB上方，即－2＜m＜0时. 在Rt△OAB中，OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°， ∴∠PDQ＝∠ADE＝45°.在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°， ∴PQ＝DQ＝，∴PD＝＝1， ∴PD＝－m2－m＋2－(m＋2)＝－m2－2m，即－m2－2m＝1， 解得m＝－1， ∴点P的坐标为(－1，2). ②如图2，点P在AB下方，即m＜－2或m＞0时. 同理可得，PD＝1. ∴PD＝(m＋2)－(－m2－m＋2)＝m2＋2m，即m2＋2m＝1， 解得m＝－1或m＝－－1， ∴点P的坐标为(－－1，－)或(－1，). 综上所述，点P的坐标为(－1，2)或(－－1，－)或(－1，). 13.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0). (1)求此抛物线的函数解析式. 解：－x2＋x＋2 13.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)， 点B的坐标为(3，0). (2)P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点 P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的 垂线，垂足为E，请探究2PD＋PE是否有最大值.若有最大值，求出最大值及此时点P的坐标；若没有最大值，请说明理由. 解：有最大值.当x＝0时，y＝2， ∴C(0，2). 设直线BC的解析式为y＝kx＋2， ∴3k＋2＝0，解得k＝－， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋2. 设P(x，－x2＋x＋2)(0＜x＜3)， 则D(x，－x＋2)， ∴PD＝(－x2＋x＋2)－(－x＋2)＝－x2＋2x，PE＝x， ∴2PD＋PE＝2(－x2＋2x)＋x＝－x2＋5x. 当x＝－＝时，2PD＋PE有最大值，最大值为， 此时P(，). 13.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0). (3)若M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标. 解：点M的坐标为(，)或(，－) $$