专项10 三角形的综合探究-【王朝霞系列丛书】2024-2025学年八年级下册数学期末试卷精选（北师大版）河南专版

期末复习第2步·攻专项 专项10三角形的综合探究 满分：30分得分： 编者按：本专项精选期末考试中的高频考法，聚焦于特殊三角形的性质和判定、图形的变换两大核 心知识，助力同学们突破期末难点 1.〔保定市)(10分)已知：如图，等边三角形A0B的边长为4，C为OA的中点 (1)如图1，将0C绕点0顺时针旋转，使点C落到0B边的点D处，连接CD,设旋转角度为 a(0°<a≤360°).此时a= ,△COD是 三角形（填特殊三角形的名称）. (2)如图2，固定等边三角形AOB,将(1)中得到的△OCD绕点0逆时针旋转，连接AC, BD,设旋转角度为B(0°<B≤360°). ①求证：AC=BD.(仅就图2) ②当旋转角度B为何值时，OC∥AB?并说明理由 ③当A,C,D三点共线时，直接写出线段BD的长. 图1 图2 期末复习第2步 2.〔郑州市〕(10分)八年级某数学兴趣小组在学习过“平行四边形”之后，决定利用对称变换 来探究平行四边形背景下特殊三角形的一类存在性问题.以下是该小组讨论的一个片 攻专 段，请仔细阅读，完成下列学习任务： (1)猜想证明：如图1，在口ABCD中，AB>AD,将△ABD沿BD翻折至△A'BD,A'B交CD 于点O,连接A'C,猜想A'C与BD之间的位置关系及△BOD的形状，并说明理由； (2)应用探究：在(1)的条件下，如图2，若∠A=60°，AB=2,当△A'OD是直角三角形时，请 直接写出AD的长 图1 图2 河南专版数学八年级下册北师 31 3.〔太原市改编)(10分)综合与实践： 问题情境：数学课上，老师让每个组准备了一张如图1所示的等腰三角形纸片（即△ABC),其 中AB=AC=2√5，BC=4,AD是BC边上的中线.老师要求各个小组结合所学的图形变 化的知识展开数学探究 初步分析：(1)勤学小组发现图1中的AD与BC相等，请你证明这一结论 操作探究：(2)善思小组将△ABC纸片沿AD剪开，然后保持△ABD不动，将△ACD从图1 的位置开始移动。 ①如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△FCE,点E,F分别是D,A的对应点，连接 BE.猜想线段AB与BE之间的数量关系与位置关系，并说明理由 ②如图3，将△ACD沿射线BC方向平移得到△GPH,点G,P,H分别是A,C,D的对应点， 连接AP,CG,交于点O.当以A,C,O为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出平移的 距离。 D 图1 图2 图3 期末复习第2步·攻专项 32 河南专版数学八年级下册北师∴，x+3=12. ∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF 答：A,B两种西峡猕猴桃每千克的进价分别 .△ADE≌△CBF (6分) 是12元和9元. (5分) ∴.DE=BF,∠AED=∠CFB. (2)根据题意，方案一的总平均单价为 ∴.180°-∠AED=180°-∠CFB,即∠DEF= (9+a)m+(12+a）m 21+2a(元g). ∠BFE..DE∥BF 2m 2 ∴四边形DEBF是平行四边形 (8分) 方案二的总平均单价 [若选择②.证明：，四边形ABCD是平行四边形， n 2(9+a)(2+a元kg). ∴.AD=BC,AD∥BC.∴.∠DAE=∠BCF. 21+2a ,∠ADE=∠CBF,△ADE≌△CBF (6分) 21+2a 2(9+a)(12+a) ∴.DE=BF,∠AED=∠CFB, 2 21+2a .180°-∠AED=180°-∠CFB,即∠DEF= 9 >0, LBFE.∴.DE∥BF 2(21+2a) .四边形DEBF是平行四边形 (8分)门 ∴方案二中A,B两种西峡猕猴桃的总平均单 5.解：(1)证明：AD是等边三角形ABC中BC 价较低 (10分) 边上的高， .BD=DC,∠BAD=∠CAD=30° 专项9平行四边形的计算与证明 :∠AED=30°， 1.解：(1)如图所示. (3分) ∴.ED=AD,∠ADF=∠AED+∠BAD=60° AF⊥AB,.∠DAF=90°-∠BAD=60 .△ADF为等边三角形 (3分) ∴AD=DF..ED=DF .四边形BECF为平行四边形 (5分) (2)证明：由尺规作图过程可知，OA=OC, (2):AD是等边三角形ABC中BC边上的高， OB=OD, AB=6,.BD=3 :四边形ABCD是平行四边形 (6分) ∴.AD=√AB2-BD2=3√3 (3)43 (9分) △ADF为等边三角形， 2.证明：，：四边形ABCD是平行四边形 .AF=AD=3√3 .AB=CD,∠BCD=∠BAD. (7分) ∠HCG=180°-∠BCD,∠EAF=180°-∠BAD, ∴.BF=√AB2+AF2=3√7 ∠ABC=60°，∠AED=30°， .∠HCG=∠EAF. .∠BDE=∠ABC-∠AED=30°. ,DH=BF,∴.CH=AF (3分) ∠AED=∠BDE.∴.BE=BD=3. ,CG=AE,∴，△HCG≌△FAE. ∴四边形BECF的周长为2(BF+BE)= ∴.GH=EF. 6W/7+6. 同理可得EH=GF. (9分) 6.解：(1)2 (3分) .四边形EFGH为平行四边形 (7分) 3.解：(1)证明：BF=BE,CG=EC (2)根据题意，AE=4(t+2)cm,BF=8tcm.当 ∴，BC为△FEG的中位线 以A,E,C,F为顶点的四边形是平行四边形 时，AE=CF BG-Fc. (2分) 分两种情况：①当点F在点C左侧，则4(t+ H是FG的中点，FH=FG=BC 2)=24-81. 4 (6分) ,四边形ABCD是平行四边形， 解得t=3 ..AD BC...AD FH. (4分) ②当点F在点C的右侧，则4(t+2)=8t-24. (2):四边形ABCD是平行四边形， 解得t=8. .∠DAB=∠DCB 综上所述，当：为号或8时，以A,E,CF为顶 BC=EC,∴∠BEC=∠EBC=75 点的四边形是平行四边形 (9分) ∴，∠BCE=180°-LBEC-∠EBC=30° ∴，LDCB=∠DCE+∠BCE=40°. 专项10三角形的综合探究 .∠DAB=40°. (8分) 1.解：(1)60°等边 (2分) 4.解：(1)①（或②） (3分) (2)①证明：△AOB,△C0D均是等边三角 (2)若选择①.证明：四边形ABCD是平行四 形，∴.∠C0D=∠A0B=60°，OC=OD,0A= 边形，∴.AD=BC,AD∥BC.,∠DAE=LBCF. OB.∴.∠COD-∠AOD=∠AOB-∠AOD, .AF=CE, 即∠COA=∠DOB. 河南专版数学 八年级 下册 北师 ∴.△COA≌△DOB.∴.AC=BD (5分) 理由如下： ②当旋转角度B为60°或240°时，0C∥AB. 根据折叠的性质，得∠ABD=∠A'BD,AB= (6分) A'B. 理由：当OC∥AB时，分为两种情况： ,四边形ABCD是平行四边形， I.当点C在OB上方时，如图①所示 ∴.AB∥CD,AB=CD ,OC∥AB,∴，∠BAO=∠COA=60°.此时B= ∴∠ABD=∠CDB,A'B=CD. 60°. ∴.∠A'BD=∠CDB.∴.OB=OD Ⅱ.当点C在OB下方时，如图②所示 ∴.△BOD为等腰三角形 (5分) OC∥AB,∴.∠B0C=∠B=60° A'B CD,..A'B-OB CD-OD,E OA'= ∴.∠B0D=∠B0C+∠C0D=120° 0C. B=360°-120°=240° ∴.∠OA'C=∠OCA' 综上所述，当旋转角度B为60°或240°时， .∠BOD=∠A'OC,∠BOD+∠A'BD+∠CDB OC∥AB. (8分) =∠A'0C+∠0CA'+∠0A'C=180°， ∴.∠CDB=∠OCA'.∴.A'C∥BD. (7分) (2)AD的长为4-2√3或2W3-2. (10分) 【解析】根据题意，分两种情况：①当LA'D0= 90°时，如图① B B D 图① 图② ③BD的长为√13+1或√13-1. (10分) 图① 图② 【解析】当A,C,D三点共线时，分为两种情况： ,∠0A'D=∠A=60°，.∠A'OD=30°. I.当点D在A,C之间时，如图③所示，过点0 :CD∥AB,∴.∠ABA'=∠A'OD=30. 作OE⊥AC于点E.与①同理，得AC=BD. ∠ABD=ABA=15S.过点D作DBL4AD ,等边三角形AOB的边长为4，C为OA的 交AB于点E..∠AED=30° 中点，.0C=2 .∴∠BDE=∠AED-∠EBD=15° :△COD是等边三角形，OE⊥AC, ∴DE=BE.设AD=x,则AE=2AD=2x. ∴.E为CD的中点.∴.CE=DE=1. .DE=√AE2-AD2=√3x..BE=√3x ∴0E=√OC2-CE=3. .AE BE=AB=2,..2x+3x=2. AE=√OA2-0E2=√13. 解得x=4-2W3.AD=4-2√3. .AC=AE+CE=√13+1. ②当∠A'0D=90°时，如图②. ∴BD=√13+1. :CD∥AB,∴∠ABA'=∠A'OD=90° Ⅱ.当点C在A,D之间时，如图④所示，过点O 作OF⊥AD于点F. ∠MBD=ABAr=45 与I同理，可得CF=DF=1,OF=√3. 过点D作DF⊥AB于点F ∴.DF=BF.设AD=x.LA=60, .AF=√0A2-0F2=√13. 1 .AC=AF-CF=√13-1. ∴LADF=30.AF=D= 2* 与①同理得AC=BD..BD=√13-1. DF=√AD-AF=3 ..BF=/3 综上所述，BD的长为√13+1或√13-1. +B=B=2字+ 1 2x=2 解得x=2√3-2..AD=2√3-2 综上所述，AD的长为4-23或2√3-2. 3.解：(1)证明：，AB=AC,AD是BC边上的中线， .∴AD⊥BC,BC=2BD=2CD. 0 .∠ADB=90°，BD=2 图③ 图④ .AD=√AB2-BD2=(2√5)-22=4. 2.解：(1)A'C∥BD,△B0D为等腰三角形.(2分) ∴.AD=BC. (3分) 河南专版数学 八年级下册北师 8 (2)①AB=BE,AB⊥BE. (4分) 平分LCDA, 理由：由旋转的性质，得CD=CE,∠DCE= ,四边形ABCD是平行四边形，，AD∥CB, 90° AD=CB,AB=CD..∠ANB=∠CBN,∠CMD= .BD=CD,∴.BD=CE ∠ADM.,BN平分∠ABC,DM平分∠CDA, :∠ADB=90°，.∠ADB=∠DCE. ∴.LABN=∠CBN,∠CDM=∠ADM. AD=BC,.△ADB≌△BCE. ∴.LANB=LABN,∠CMD=∠CDM. .AB=BE,∠ABD=∠BEC. ∴.AN=AB,CM=CD.·.AN=CM. LCBE+∠BEC=90°， ∴，AD-AN=CB-CM,即DN=BM. ∴.∠CBE+∠ABD=90°，即∠ABE=90° DN∥BM,∴.四边形BMDN是平行四边形. ∴AB⊥BE. (7分) 乙的作法正确.故选A. ②当平移的距离是6或10时，以A,C,0为顶 10.A 点的三角形是等腰三角形， (10分) 二、填空题 【解析】连接AG.:AG∥CP,AG=CP,.四边 11.<12.4.5 形ACPG是平行四边形..OA=OP,OC=OG 13.三角形中每个内角都小于60 当以A,C,O为顶点的三角形是等腰三角形 9 14. 【解析】原式= x(x+y) 时，分三种情况： 8 (x-y)(x+y) I.当OA=OC时，则OA=OC=OP. y(x-y) ∴.LOAC=∠OCA,LOCP=LOPC. ,∠OAC+∠OCA+∠0CP+∠OPC=180°， x+x-刀-y x2+x_y-y2y2 ∴，∠OCA+∠0CP=90°，即∠ACP=90° ∴∠ACD=90°，与题目条件矛盾，此情况不 -y-y- txyx+y-y 存在。 x2-y2 x2-y2 Ⅱ.当0A=AC=2√/5时，如图① (3y)29 0P=0A=2W5.AP=4V5. :-3,x=3y.原式=3-y8 在Rt△ADP中，由勾股定理，得DP=√AP2-AD 15. (5 【解析】四边形 =√(4√5y-42=8. A0BC是平行四边形，点A的坐标为(-4,3)， ∴CP=DP-CD=8-2=6,即平移的距离为6 点0的坐标为(0,0)，AC=6, 点C的坐标为(2,3)，点B的坐标为(6,0) 当点C落在直线y=-3x+4上时， 把y=3代入y=-3x+4,得3=-3x+4.解 B D C 图① B D C 图② 得=子平移距离为2-写个单位长度。 Ⅲ.当AC=OC=25时，过点C作CR⊥AG于 R,如图②，则CR=AD=4,AR=CD=2 点A平移后的坐标为4-？小即 .0G=0C=2W5,∴.CG=4W5. ∴.GR=√CG2-CR2=8. (子当点B落在直线y=3x+4上时。 .AG=AR+GR=2+8=10,即平移的距离为10. 把y=0代人y=-3x+4,得0=-3x+4.解 综上所述，平移的距离是6或10时，以A,C,0 为顶点的三角形是等腰三角形 得=。平移距离为6--兰个单位 期未复习第3步·练真题 长度点4平移后的坐标为4-兰3小 试卷1郑州市中原区 即3 综上所述，点A平移后的坐标为 一、选择题 1.A2.C3.D4.B5.B6.D7.C8.C 3 9.A【解析】由甲同学的作图痕迹可知AW= AB,CM=CD.,四边形ABCD是平行四边形， 三、解答题 3 ∴.AD∥BC,AD=BC,AB=CD.∴.AN=CM. 16.解：(1)解不等式①，得x> ∴.AD-AN=BC-CM,即DN=BM. 解不等式②，得x≤3. DN∥BM,∴.四边形BMDN是平行四边形. 甲的作法正确。 所以不等式组的解集为弓<：≤3. (3分) 由乙同学的作图痕迹可知BN平分LABC,DM 解集在数轴上表示如图所示。 河南专版数学 八年级 下册北师