专题03 勾股定理（6重点+14种题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

专题03 勾股定理 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， ,,. 【易错点】 1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 知识点 2 勾股定理的证明 方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 ，所以，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. ，，化简得证 图一 图二 图三 知识点 3 勾股定理的实际应用 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 1）从实际问题中抽象出几何图形； 2）确定与问题相关的直角三角形； 3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系； 4）求得符合题意的结果. 知识点 4 勾股数 1.勾股数 勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等. 知识点 5 勾股定理逆定理 内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【补充说明】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； 2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，①若时，以，，为三边的三角形是直角三角形； ②若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形； ③若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 知识点 6 直角三角形的性质与判定 性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 【题型1 用勾股定理解三角形】 高妙技法 如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 【易错点】若题目中没有指明边的类型，注意分类讨论，已知的两边为两条直角边，或已知的两边为一条斜边，一条直角边. 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，．垂直平分，分别交、于点、，的长为 ． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知三条边分别是5，6，7，则的面积是 ． 3．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，点是平分线的交点，且，则点到边的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在，，平分，于点，点在边上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【题型2 勾股定理的证明】 5．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24八年级下·江苏南通·期中）（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ； A．     B．       C．       D． （2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ； （3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 【题型3 利用勾股定理证明线段的平方关系】 7．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 8．（18-19八年级上·上海·期末）定义:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形，在中，，且，如果是奇异三角形，那么 . 9．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【题型4 以直角三角形三边为边长的图形面积】 高妙技法 10．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读下列材料，并按要求完成相应任务． 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国古代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，在这幅“弦图”中，以c为边长的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，每个直角三角形的面积为，中间的小正方形的边长为，则其面积为．由面积关系可． 任务一：（1）请利用图②中的数据验证勾股定理． （2）如图③④⑤．以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． 任务二：（3）如图⑥所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形的面积为，请判断的关系，并说明理由． 11．（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图， 一块直角三角形的纸片， 两直角边， ． 现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合， 则 ． 【题型5 勾股定理与折叠问题】 高妙技法 思路：解决“翻折”问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或通过勾股定理列方程使问题得以解决. 解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形,利用未知数表示其它直角三角形三边,通过勾股定理/相似三角形知识求解. 12．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，，，，P是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点C落在直线上的点H处，（   ）． A．10 B． C．8或 D．10或 14．（21-22八年级下·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，四边形是长方形，为原点，点在轴上，点在轴上，，，点在边上，将沿着翻折，点恰好落在，边上点处． (1)求点的坐标； (2)求折痕所在直线的表达式． 【题型6 已知两点坐标求两点距离】 高妙技法 标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离： 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）在同一平面坐标系中，点，点，那么点A与点B之间的距离是 ． 16．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上且，则点的坐标为 ． 17．（19-20八年级上·上海静安·期末）式子可以理解为（    ） A．两点与间的距离 B．两点与间的距离 C．两点与间的距离 D．两点与间的距离. 18．（24-25八年级下·上海·阶段练习）平面直角坐标系内有点、，点在轴上，且是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 【题型7 勾股数（树）问题】 高妙技法 1.勾股数判断方法：1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 2.勾股树每一层的正方形面积之和均等于底部正方形的面积 19．（21-22八年级下·广西崇左·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ）． A．1，2，3 B． C． D．9，12，15 20．（21-22八年级下·湖北随州·期末）如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为…，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 21．（21-22八年级上·上海·期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知，，，，则 ． 【题型8 赵爽弦图】 高妙技法 22．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为 ． 23．（21-22八年级上·上海崇明·期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么 ． 24．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 25．（21-22八年级上·福建福州·期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ； (2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系． 【题型9 勾股定理与实际应用】 26．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子梛动位置，使其倾斜角变为．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号） 27．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 28．（22-23八年级上·陕西汉中·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 29．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 30．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 31．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 32．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 33．（21-22八年级上·重庆万州·期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 【题型10 利用勾股定理求最短路径问题】 高妙技法 解题大招1：长方体蚂蚁爬行的最短路径为 解题方法2：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形 34．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 35．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______； (2)求该长度最短的金属丝的长； (3)如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______． 36．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【题型11 根据已知条件判断直角三角形】 高妙技法 判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 37．（24-25八年级上·广东清远·期中）下列条件中，能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 38．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）下列条件中，不能判定是直角三角形的是   A． B． C． D． 39．（2024八年级上·上海·专题练习）五根小木棒，其长度分别为，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　） A．B．C． D． 【题型12 勾股定理与网格问题】 高妙技法 若求网格中的三角形面积，可通过割补法求面积.若已知网格中三角形面积求高，可利用等面积法求得. 40．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（21-22八年级下·广东河源·期中）如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是 ． 42．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点． (1)在网格中找一格点E，使得； (2)作格点，使得，； (3)在（2）的条件下，_______． 【题型13 利用勾股定理逆定理求解】 高妙技法 根据三角形三边长判断其为直角三角形，再利用直线三角形的性质求解. 43．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 45．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 46．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是 ． 【题型14 利用勾股定理逆定理解决实际问题】 47．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 48．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（      ）． A． B． C． D． 49．（22-23八年级上·四川遂宁·期末）2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 50．（23-24八年级上·江西萍乡·期末）某小区计划在花坛内一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境．已知一种草皮售价为元/，，则购买这种草皮需要多少钱？ 提升专练 1．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，快递站P位于一条南北走向的街道旁，街道上原有两个自助快递柜M和N，且，因道路维修，从P到N的路径暂时封闭．物流公司决定利用街道上一废弃设施，另建一个快递柜Q（点M、Q、N在同一直线上），且．经测量，千米，千米，求新建快递柜Q和原有快递柜N之间的距离． 2．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B、C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 3．（2025·湖南张家界·二模）材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． (1)在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________． A．        B．  C．       D． (2)如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米． (3)已知，求的最小值．（可结合图形） 4．（24-25八年级下·北京大兴·期中）阅读以下材料： 在数学学习中，我们常常需要对具有特定结构的代数式进行深入探究．以非负实数范围内的代数运算为例，通过建立代数式与已有知识体系之间的联系，可以有效解决相关问题。 例如：化简时，我们知道对于任意非负实数，有． 因此，我们进行了如下分析，因为，，所以 ． 回答下列问题： (1)化简：； (2)在平面直角坐标系中，已知正方形的面积为，且点在轴正半轴上，点在第四象限，直接写出点的坐标，并用直尺和圆规画出正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 5．（2025·安徽宿州·二模）数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵，∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴ ① ．（填“>”或“<”） ∵， ∴． ∵= ② = ③ ，= ④ ， ∴， ∴，，为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，为勾股数，且，求的值． 6．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）在学习勾股定理逆定理后，小蔡、小雷、小杜、小潘四人合作小组在探究判定直角三角形条件时发现：如图①，中，为边上高，当满足时，是直角三角形． (1)请你验证他们发现是否正确？ (2)如图②是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图③所示的图形，已知斜梁经测量，斜梁，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁，请问该房梁是否安全？并说明理由． 7．（24-25八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系上，点P的坐标为，点Q的坐标为，点R的坐标为．    (1)求的值； (2)当为直角三角形时，求直线的表达式． 8．（2025·广东清远·二模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如3图，如果想要绳子缠绕笔筒圈，正好从点绕到正上方的点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） 9．（2025·河南焦作·二模）综合与实践 对于几何图形，一般从组成图形的要素及相关要素之间的关系来研究它的定义、性质、判定、应用等方面的内容．请运用已有的经验对“筝形”进行研究． 定义：以一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形． (1)理解运用 如图1，正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点．点在格点上，请在图1所给的两个网格中分别画出一个筝形，要求在格点上． (2)性质探究 根据定义可得出筝形边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是筝形．对角线所在的直线是它的对称轴． ①连接与的位置关系是_____； ②若，求筝形的面积（用含的式子表示） (3)拓展延伸 如图3，在中，，分别在边上取点，使四边形是筝形，请直接写出筝形的面积． 10．（24-25八年级下·河南周口·期中）补充填空：完成证明 (1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． (2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 真题感知 一、单选题 1．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 4．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 7．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 三、解答题 9．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， ,,. 【易错点】 1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 知识点 2 勾股定理的证明 方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 ，所以，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. ，，化简得证 图一 图二 图三 知识点 3 勾股定理的实际应用 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 1）从实际问题中抽象出几何图形； 2）确定与问题相关的直角三角形； 3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系； 4）求得符合题意的结果. 知识点 4 勾股数 1.勾股数 勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等. 知识点 5 勾股定理逆定理 内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【补充说明】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； 2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，①若时，以，，为三边的三角形是直角三角形； ②若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形； ③若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 知识点 6 直角三角形的性质与判定 性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 【题型1 用勾股定理解三角形】 高妙技法 如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 【易错点】若题目中没有指明边的类型，注意分类讨论，已知的两边为两条直角边，或已知的两边为一条斜边，一条直角边. 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，．垂直平分，分别交、于点、，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，由勾股定理求出，由线段垂直平分线的性质得到，设，则，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知三条边分别是5，6，7，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，在中，，过点C作于D，设，则，由勾股定理可得方程，解方程后求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，在中，，过点C作于D， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，点是平分线的交点，且，则点到边的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作，垂足分别为D，E，F，得到，利用勾股定理，直角三角形的面积公式，图形的面积和解答即可． 本题考查了角的平分线性质，勾股定理，直角三角形的面积性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：过点O作，垂足分别为D，E，F， ∵点是平分线的交点， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在，，平分，于点，点在边上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键． （1）证明即可求解； （2）需要先证明，得到，求得，再证明，然后在中，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得， ∴， 设，， ∴在中，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴； 【题型2 勾股定理的证明】 5．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：图1：延长，交于点F，如图所示： ， ， ∴， 即，故图1符合题意； 图2：补成一个边长为的大正方形，如图所示： 则大正方形的面积为：， 将大正方形看作边长为c的小正方形和四个直角三角形的面积之和，则大正方形的面积为：， ∴， ∴， ∴，故图2符合题意； 图3：，， ∴， 整理得，故图3满足题意； 图4无法证明直角三角三边关系，故图4不符合题意； 综上分析可知：以用来验证勾股定理的有3个． 故选：C． 6．（23-24八年级下·江苏南通·期中）（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ； A．     B．       C．       D． （2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ； （3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 【答案】（1）C；（2）；（3）竹竿长尺 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、实数与数轴，理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）观察图形，根据各个图形面积之间的和差关系，列出等式整理，逐个判断即可； （2）根据勾股定理求得，根据交点在数轴负半轴，得出答案即可； （3）设竹竿长尺，根据题意，则尺，门高尺，门宽尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵A图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； ∵B图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； ∵C图形中，大正方形的面积两个小正方形的面积两个长方形的面积， ∴，不能证明勾股定理： ∵D图形中，两个小直角三角形的面积大直角三角形的面积整个梯形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； 综上所述，不能证明勾股定理的是C， 故答案为：C； （2）∵由题意得：，，， 在中，， ∴， ∵交点在数轴负半轴， ∴点表示的数为， 故答案为：； （3）设竹竿长尺，则尺，门高尺，门宽尺， 在中， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 答：竹竿长尺． 【题型3 利用勾股定理证明线段的平方关系】 7．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 8．（18-19八年级上·上海·期末）定义:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形，在中，，且，如果是奇异三角形，那么 . 【答案】1：： 【分析】由△ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c2＝a2＋b2，记作①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2a2＝b2＋c2，记作②，或2b2＝a2＋c2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值． 【详解】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∴根据勾股定理得：c2＝a2＋b2，记作①， 又Rt△ABC是奇异三角形， ∴2a2＝b2＋c2，②， 将①代入②得：a2＝2b2，即a＝b（不合题意，舍去）， ∴2b2＝a2＋c2，③， 将①代入③得：b2＝2a2，即b＝a， 将b＝a代入①得：c2＝3a2，即c＝a， 则a：b：c＝1：：． 故答案为：1：：． 【点睛】此题考查了新定义的知识，勾股定理．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用． 9．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 【题型4 以直角三角形三边为边长的图形面积】 高妙技法 10．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读下列材料，并按要求完成相应任务． 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国古代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，在这幅“弦图”中，以c为边长的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，每个直角三角形的面积为，中间的小正方形的边长为，则其面积为．由面积关系可． 任务一：（1）请利用图②中的数据验证勾股定理． （2）如图③④⑤．以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． 任务二：（3）如图⑥所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形的面积为，请判断的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理与图形的面积，等边三角形的性质： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得证； （2）设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，分别求出，利用勾股定理进行判断即可； （3）用两种方法表示出整个图形的面积，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）由图可知：大正方形的面积， ∴， ∴， （2）设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，则：； 对于③：， ∴； 对于④：， ∴ 对于⑤：如图，过点作，则：， ∴， ∴， 同理：， ∴； 故面积关系满足的有3个； （3），理由如下： 由图可知：， ， ∵ ， ∴． 11．（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图， 一块直角三角形的纸片， 两直角边， ． 现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合， 则 ． 【答案】/1.5 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，先利用勾股定理求得，然后由翻折的性质得到，，则，设，则，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， 由翻折的性质可知：，， 则． 设，则． 中，由勾股定理得：， 即，解得：． ∴． 故答案为：． 【题型5 勾股定理与折叠问题】 高妙技法 思路：解决“翻折”问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或通过勾股定理列方程使问题得以解决. 解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形,利用未知数表示其它直角三角形三边,通过勾股定理/相似三角形知识求解. 12．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 13．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，，，，P是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点C落在直线上的点H处，（   ）． A．10 B． C．8或 D．10或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质得到 ，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理建立方程解答即可． 【详解】解：当P点在E点左边时，如图1所示， 由折叠的性质得， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ ， 解得，， 即； 当P点在E点右边时，如图2所示， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，， 即； 综上所述，或10； 故选：D． 14．（21-22八年级下·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，四边形是长方形，为原点，点在轴上，点在轴上，，，点在边上，将沿着翻折，点恰好落在，边上点处． (1)求点的坐标； (2)求折痕所在直线的表达式． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理以及待定系数法求一次函数的解析式的综合应用．解答此题时注意坐标与图形的性质的运用以及方程思想的运用． （1）根据折叠的性质知．在中，由勾股定理求得； （2）根据知，由折叠的性质与勾股定理，求得，利用待定系数法求所在直线的解析式． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， 由折叠的性质知，， ， 在中，由勾股定理得， ； （2）解：设所在直线的解析式为， ， ， 由折叠的性质知，， 设， ，， 由勾股定理得， 即， 解得， ， ， 代入得，， 故所在直线的解析式为：． 【题型6 已知两点坐标求两点距离】 高妙技法 标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离： 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）在同一平面坐标系中，点，点，那么点A与点B之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点距离计算公式，同一坐标系下点和点的距离为，据此求解即可． 【详解】解：∵在同一平面坐标系中，点，点， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上且，则点的坐标为 ． 【答案】， 【分析】此题考查了勾股定理，坐标系中两点之间的距离， 设，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】∵点在轴上 ∴设 ∵点的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为，． 故答案为：，． 17．（19-20八年级上·上海静安·期末）式子可以理解为（    ） A．两点与间的距离 B．两点与间的距离 C．两点与间的距离 D．两点与间的距离. 【答案】D 【分析】，然后根据平面直角坐标系内两点间距离公式求解即可. 【详解】解： ∴式子可以理解为两点与间的距离. 故选：D. 【点睛】本题考查平面内两点之间的距离，设两个点A、B以及坐标分别为 ，则A和B两点之间的距离为：. 18．（24-25八年级下·上海·阶段练习）平面直角坐标系内有点、，点在轴上，且是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离公式，等腰三角形的定义． 设，根据两点之间距离公式得出，，根据等腰三角形的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：∵点P在y轴上， ∴点P的横坐标为0， 设， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 【题型7 勾股数（树）问题】 高妙技法 1.勾股数判断方法：1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 2.勾股树每一层的正方形面积之和均等于底部正方形的面积 19．（21-22八年级下·广西崇左·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ）． A．1，2，3 B． C． D．9，12，15 【答案】D 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、22+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、（）2+（）2＝（）2，能构成直角三角形，但不是整数、故不符合题意； D、92+122=152，能构成直角三角形且是整数，是勾股数，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 20．（21-22八年级下·湖北随州·期末）如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为…，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“，依此规律即可得出结论． 【详解】解：正方形的边长为1，为等腰直角三角形， ，， ． 观察，发现规律：，，，，， ． 当时，． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 21．（21-22八年级上·上海·期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知，，，，则 ． 【答案】46 【分析】利用勾股定理分别求出AB2，AC2，继而再用勾股定理解题． 【详解】解：由图可知，AB2= 故答案为：46． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【题型8 赵爽弦图】 高妙技法 22．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算，解题关键是发现图中的面积关系与掌握勾股定理的计算公式． 本题利用13减去四个直角三角形的面积等于小正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴小正方形面积为1， ∴小正方形边长为1， 故答案为：1 ． 23．（21-22八年级上·上海崇明·期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么 ． 【答案】 【分析】首先求出小正方形的边长和大正方形的边长，利用勾股定理列方程，然后再求出AB和BC的长． 【详解】解：∵小正方形的面积是25， ∴AC=5， ∵△ABC≌△CDE， ∴设AB=CD=x， ∵大正方形的面积为49， ∴BD=7， ∴BC+CD=7， ∴BC=7-x， 在Rt△ABC中：， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为:． 【点睛】此题主要考查了利用勾股定理列方程，解一元二次方程，三角形全等的性质，掌握勾股定理列出方程是解题的关键． 24．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理、完全平方公式等知识，掌握完全平方公式成为解题的关键． 用勾股定理解直角三角形可判断①正确；根据4个直角三角形全等，可判断②正确；根据“大正方形面积等于4个直角三角形面积加上小正方形面积”，可判断④正确；利用①④，根据完全平方公式可判断③正确． 【详解】解：∵大正方形面积为100，小正方形面积为9， ∴大正方形边长为10，小正方形边长为3， 由勾股定理可得：，即①正确； ∵图中4个直角三角形全等， ∴，即②正确； ∵大正方形面积个直角三角形面积小正方形面积， ∴， ∴，即④正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，即③正确． 综上所述，①②③④正确． 故选D． 25．（21-22八年级上·福建福州·期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ； (2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系． 【答案】(1)a2+b2= ( a+b) 2-2ab； (2)． 【分析】（1）分别用两种不同的方法表示阴影部分面积即可得等式． （2）先直接用c表示中间正方形的面积，再用大正方形的面积减去4个小三角形的面积表示中间正方形的面积，从而可得结论． 【详解】（1）解∶如图1，∵ S阴影=a2+b2，S阴影= ( a+b) 2-2ab ． ∴a2+b2= ( a+b) 2-2ab， 故答案为∶a2+b2= ( a+b) 2-2ab； （2）解：如图2，∵S中间正方形=c2，S中间正方形=(a+b)2-4×ab， ∴， ∴． 【点睛】本题考查完全平方公式及勾股定理的几何背景，用两种方法表示同一个图形的面积是求解本题的关键． 【题型9 勾股定理与实际应用】 26．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子梛动位置，使其倾斜角变为．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号） 【答案】行走的通道拓宽了米 【分析】此题主要考查勾股定理解三角形，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；也考查了含30度角直角三角形的性质，在直角三角形中，30度角所对的直角边长度为斜边的一半；根据勾股定理分别求出两次梯子距墙根的距离，求差得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 则． 答：行走的通道拓宽了米． 27．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1)9.5m (2)能成功． 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升12m，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则，，， 在中， ， ． （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升12m，如图所示，延长至点，连接， 则， ． 在中， ． ，余线仅剩9m， ∴， ∴能上升12m，即能成功． 28．（22-23八年级上·陕西汉中·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 【答案】(1)； (2)P点的位置见解析，的距离为16千米； (3)15． 【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离； （2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可； （3）如图3，，，，，，设， 则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为16千米； （3）解：如图3，，，，，，设， 则， 作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E， 则是的最小值，即代数式的最小值， ∵，，， ∴代数式最小值为：， 故答案为：15． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出是解本题的难点． 29．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 30．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)未超速 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 31．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时 (2)A市受台风影响的时间为小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从点移到点所经过长时间； （2）假设市从点开始受到台风的影响，到点结束，根据题意在图中画出图形，可知，市在台风从点到点均受影响，即得出两点的距离，便可求出市受台风影响的时间． 【详解】（1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 32．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过点作于，可得四边形是长方形，得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （）设千米，则千米，由利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，长方形，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ∵， ∴四边形是长方形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； （2）解：如图，设千米，则千米， 由题意得，， ∴由勾股定理得，， 整理得，， 解得， 答：车站应修建在离点千米处． 33．（21-22八年级上·重庆万州·期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 【答案】(1)千米 (2)600万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出千米，再求出千米即可得出答案； （2）根据面积相等得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，千米，千米， ∴千米， ∵千米， ∴千米； （2）解：∵， ∴， ∴千米 ∴修建公路的费用为（万元）． 【题型10 利用勾股定理求最短路径问题】 高妙技法 解题大招1：长方体蚂蚁爬行的最短路径为 解题方法2：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形 34．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 【答案】方案1路线短，更合适．理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质，正确的作出图形是解题的关键．方案1：过点A作于点E，方案2：过作交延长线于点H，利用勾股定理分别求出两种路线的长度，比较即可． 【详解】解：方案1：过点A作于点E， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 方案2：过作交延长线于点H， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∵， ∴方案1路线短，更合适． 35．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______； (2)求该长度最短的金属丝的长； (3)如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______． 【答案】(1)A (2)20 (3)2368 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：根据两点之间线段最短可得：所得的圆柱侧面展开图为A． 故选A． （2）解：∵圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴金属丝的长为． （3）解：根据勾股定理可得：． 36．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 37．（24-25八年级上·广东清远·期中）下列条件中，能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 根据直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用进行判定即可． 【详解】解：A、设， ∵， ∴，能判定是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴，不能判定是直角三角形，不符合题意； C、，不能判定是直角三角形，不符合题意； D、∵，即， ∴不能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：A ． 【题型11 根据已知条件判断直角三角形】 高妙技法 判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 38．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）下列条件中，不能判定是直角三角形的是   A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误． 【详解】解：A、，， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； B、∵ ∴设 ， 为直角三角形，故此选项不合题意； C、，即， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵， ∴设，，， ∵ ∴， 解得：， 则， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 39．（2024八年级上·上海·专题练习）五根小木棒，其长度分别为，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．要求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A．，，，故A不正确，不符合题意； B．，，故B不正确，不符合题意； C．，，故C正确，符合题意； D．，，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 【题型12 勾股定理与网格问题】 高妙技法 若求网格中的三角形面积，可通过割补法求面积.若已知网格中三角形面积求高，可利用等面积法求得. 40．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法计算，利用勾股定理即可判断①；利用勾股定理分别求出，，进而得到，则由勾股定理的逆定理即可判断②；根据三角形面积计算公式即可判断③；根据等面积法即可判断④． 【详解】解：①由勾股定理得，故①正确； ②由勾股定理得，， ∴， ∴，故②正确； ③，故③错误； ④点A到直线的距离是，故④正确； ∴正确的有①②③，共3个， 故选：C． 41．（21-22八年级下·广东河源·期中）如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是 ． 【答案】 【分析】根据所给出的图形求出的长以及的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可． 【详解】解：根据图形可得：，， ∴， ∴是直角三角形，且， 设中的高是x， 则， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x的方程． 42．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点． (1)在网格中找一格点E，使得； (2)作格点，使得，； (3)在（2）的条件下，_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理求出距离点为的格点即可； （2）根据勾股定理求出距离点为且该点距离点为的格点即可； （3）连接，由网格特点可得，由勾股定理可得，证明为等腰直角三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图：点、、即为所求， ； （2）解：如图：即为所求， ； （3）解：如图：连接， ， 由网格特点可得：， 由勾股定理可得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【题型13 利用勾股定理逆定理求解】 高妙技法 根据三角形三边长判断其为直角三角形，再利用直线三角形的性质求解. 43．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 44．（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形． 根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，， ∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由勾股定理可得：， 故选：A． 45．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)90 (2)66 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式．勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据题意得到，进而得到，利用勾股定理的逆定理来求解； （2）根据三角形的面积公式易得到，，表示出，再结合题意求出和的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：90． （2）∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：66． 46．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是 ． 【答案】24或 【分析】本题考查了解一元二次方程、勾股定理及其逆定理，解题的关键是分类讨论思想的运用．先解出一元二次方程的两个根，然后分两种情况求出三角形的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ①当三角形的三条边长分别为时，， 根据勾股定理的逆定理可知，此时三角形是直角三角形，两条直角的边长为6与8， 因此三角形的面积为：； ②当三角形的三条边长分别为时，此时三角形为等腰三角形（如图）    利用勾股定理可求得等腰三角形底边上的高： 因此，三角形的面积为： ∴三角形的面积为24或． 【题型14 利用勾股定理逆定理解决实际问题】 47．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 【答案】南偏东 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， ∵， ∴， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东． 故答案为：南偏东． 48．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（      ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由的面积减去的面积就是所求的面积，即可． 【详解】解：如图，连接．   在中，∵， ∴， 又∵， ∴是直角三角形， ∴这块地的面积 ． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形是解题的关键． 49．（22-23八年级上·四川遂宁·期末）2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： ，，， ， 是直角三角形，且； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）解：如图所示，分别在上取一点E和F，当，时，正好影响港口， 在中，由勾股定理， 同理可得， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 50．（23-24八年级上·江西萍乡·期末）某小区计划在花坛内一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境．已知一种草皮售价为元/，，则购买这种草皮需要多少钱？ 【答案】购买这种草坪需要元 【分析】利用勾股定理求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且为直角. 再求出，得到草皮面积，再乘以单价即可得到答案.此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，证明是直角三角形是解题的关键. 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且为直角. ， 购买这草皮需要的钱为：元. 答：购买这种草坪需要元. 提升专练 1．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，快递站P位于一条南北走向的街道旁，街道上原有两个自助快递柜M和N，且，因道路维修，从P到N的路径暂时封闭．物流公司决定利用街道上一废弃设施，另建一个快递柜Q（点M、Q、N在同一直线上），且．经测量，千米，千米，求新建快递柜Q和原有快递柜N之间的距离． 【答案】0.7千米 【分析】本题考查了等腰三角形，勾股定理．熟练掌握等腰三角形定义，勾股定理，是解题的关键． 可得，设千米，则，根据，得，解得，即得． 【详解】解：∵， ∴． ∵在中，千米，千米， ∴千米， 设千米， 则千米． 在中，，， ∴． 解得． 答：新建快递柜Q和原有快递柜N之间的距离为0.7千米． 2．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B、C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，； （2）设米，若点恰好在边的垂直平分线上， 则米，米， 在中，， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 3．（2025·湖南张家界·二模）材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． (1)在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________． A．        B．  C．       D． (2)如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米． (3)已知，求的最小值．（可结合图形） 【答案】(1)D (2)50米 (3)10 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系，勾股定理等知识，解题的关键是理解轴对称的性质． （1）如图，根据轴对称的性质作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，根据三角形三边关系可解本题； （2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．过点作，与的延长线交于点．根据勾股定理求得即可求解； （3）如图，设线段，作，取，，的值可看作的值． 【详解】（1）解：选：D， 理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接， 由轴对称的性质可得：， ，， 在中，， ， 故选：D． （2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程． 过点作，与的延长线交于点， 则． 在中，米，米． （米）． （3）如图，设线段， 作，取，， 的值可看作的值． 当三点共线时，的值最小， 即的最小值为的长． 作于点， ∴ 则， ， 的最小值为10． 4．（24-25八年级下·北京大兴·期中）阅读以下材料： 在数学学习中，我们常常需要对具有特定结构的代数式进行深入探究．以非负实数范围内的代数运算为例，通过建立代数式与已有知识体系之间的联系，可以有效解决相关问题。 例如：化简时，我们知道对于任意非负实数，有． 因此，我们进行了如下分析，因为，，所以 ． 回答下列问题： (1)化简：； (2)在平面直角坐标系中，已知正方形的面积为，且点在轴正半轴上，点在第四象限，直接写出点的坐标，并用直尺和圆规画出正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1) (2)；图见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，二次根式的性质与化简，勾股定理，完全平方公式，解题的关键是掌握相关知识解决问题 （1）根据例题，进行计算求解； （2）先结合例题，求出正方形的边长，结合题意即可得出点的坐标；结合勾股定理和圆规，先确定点的位置，再根据正方形的性质画图即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：∵正方形的面积为，且， 即正方形的边长为， 又∵点在轴正半轴上，点在第四象限， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 如图：正方形即为所求． 作图思路：如图： 第一步，作等腰直角三角形，使得，，， 则， 第二步，以点为圆心，的长为半径，画弧，与的正半轴交于点，则， 第三步，作直角三角形，使得，， 则， 第四步，以点为圆心，的长为半径，画弧，与的正半轴交于点，则， 此时，， 第四步，以点为圆心，的长为半径，画弧，与的负半轴交于点； 分别以点、点为圆心，的长为半径，画弧，两弧交于点； 连接、、、，所得四边形即为所求． 5．（2025·安徽宿州·二模）数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵，∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴ ① ．（填“>”或“<”） ∵， ∴． ∵= ② = ③ ，= ④ ， ∴， ∴，，为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，为勾股数，且，求的值． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】本题主要考查了勾股数，完全平方公式，不等式的性质，一元二次方程等知识点，解题的关键是读懂题意掌握勾股数公式的推导过程． （1）利用不等式的性质和完全平方公式逐步进行计算即可； （2）根据三个数的大小关系分三种情况进行讨论，然后利用勾股数公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴①处填； ∵ ∴②处填，③处填； ∵， ∴④处填， 故答案为：，，，． （2）解：根据勾股数的定义可得， 当时，， 解得， 则； 当时，， 解得，（负值舍去） 则； 当时，， 解得，不符合题意，该种情况不成立； 所以，或． 6．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）在学习勾股定理逆定理后，小蔡、小雷、小杜、小潘四人合作小组在探究判定直角三角形条件时发现：如图①，中，为边上高，当满足时，是直角三角形． (1)请你验证他们发现是否正确？ (2)如图②是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图③所示的图形，已知斜梁经测量，斜梁，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁，请问该房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)安全，理由见解析． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （2）根据勾股定理得，再得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （2）解：安全，理由如下： ， ，， ∴在中，根据勾股定理得， ，， ， 是直角三角形，即， ∴这个房梁安全． 7．（24-25八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系上，点P的坐标为，点Q的坐标为，点R的坐标为．    (1)求的值； (2)当为直角三角形时，求直线的表达式． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理，点的坐标，一次函数，熟练掌握勾股定理，点的坐标，以及待定系数法求出一次函数的表达式是解决问题的关键． （1）依题意得点在轴的正半轴上，，，，，再由勾股定理，，由此可得出答案； （2）根据点在轴的正半轴上得，，因此当为直角三角形时，只有，由勾股定理得，即，由此解出，进而得点，然后利用待定系数法求出直线的表达式即可． 【详解】（1）解： 点，点，点， 点在轴的正半轴上，，，， ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ； （2）解： 点在轴的正半轴上， ，， 当为直角三角形时，只有， 在中，由勾股定理得： ， 由（1）可知：，，， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 点， 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：． 8．（2025·广东清远·二模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如3图，如果想要绳子缠绕笔筒圈，正好从点绕到正上方的点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面展开图为长方形即可求解； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图所示为笔筒卷的侧面展开图 由题意得：裁剪出的包装纸的面积等于圆柱形的侧面积 ∴裁剪出的包装纸的面积为 （2）解：如图所示，作点关于点的对称点，连结交于点，连结，由题意可知点是的中点，，此时最短，即绳子缠绕笔筒圈，所需绳子的长度最短， ∴绕2圈所需绳子的最短长度为 9．（2025·河南焦作·二模）综合与实践 对于几何图形，一般从组成图形的要素及相关要素之间的关系来研究它的定义、性质、判定、应用等方面的内容．请运用已有的经验对“筝形”进行研究． 定义：以一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形． (1)理解运用 如图1，正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点．点在格点上，请在图1所给的两个网格中分别画出一个筝形，要求在格点上． (2)性质探究 根据定义可得出筝形边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是筝形．对角线所在的直线是它的对称轴． ①连接与的位置关系是_____； ②若，求筝形的面积（用含的式子表示） (3)拓展延伸 如图3，在中，，分别在边上取点，使四边形是筝形，请直接写出筝形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①垂直平分；② (3)或 【分析】本题考查了画轴对称图形，垂直平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）根据定义分别以为对称轴画出图形，即可求解； （2）①根据轴对称图形的性质可得，进而可得垂直平分； ②根据三角形的面积公式计算，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当所在直线为对称轴时，如图，过点作于点，①当所在直线为对称轴时，分别求得对角线长，进而根据面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图 （2）①连接与的位置关系是垂直平分； ∵四边形是筝形．对角线所在的直线是它的对称轴． ∴ ∴垂直平分； ②如图 ∵ ∴ ∴ （3）解：①当所在直线为对称轴时，如图，过点作于点， ∵四边形是筝形，为对角线时， ∴，， ∵在中，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 在中，， 在中， ∴ ∴，，即， ∵， ∴，解得： ∴， ∴ ①当所在直线为对称轴时，如图， ∵四边形是筝形，为对角线时， ∴， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，则， ∴． 10．（24-25八年级下·河南周口·期中）补充填空：完成证明 (1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． (2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】本题考查了旋转性质，勾股定理以及完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解上下文，旋转不会改变面积大小，因此以为边长的大正方形的面积等于把边长为、的两个正方形连在一起的面积是，即可作答． （2）根据正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积以及正方形的面积等于边长乘边长，列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为． 由于它们的面积相等，即． 故答案为：，； （2）解：观察图4：正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积， 或正方形的面积等于边长乘边长， 即． 真题感知 一、单选题 1．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求的最小值转化为其相等线段的最小值．连接，根据矩形的性质可知：，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长． 【详解】解：中，，，， ， 连接，如图所示： ∵于点，于点，， ∴， 四边形是矩形， ， 当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小， ∴此时． 故选：B． 2．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是， 故选：D． 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：B． 4．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 5．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 7．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得到：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：图①中，∵， 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：48． 三、解答题 9．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$