专项10 全等三角形的综合探究-【王朝霞系列丛书】2024-2025学年新教材七年级下册数学期末试卷精选（北师大版2024）河南专版

期末复习第2步·攻专项 王朝 专项10 全等三角形的综合探究 根据最新教材编写 满分：40分得分： 编者按：本专项重点考查全等三角形的判定与性质的综合应用，以综合探究的方式呈现全等三角形 的常见模型、动点问题等核心压轴题，助力同学们突破期末高频雄点 1.〔郑州市改编)(8分)下面是小方同学学习轴对称的相关知识时遇到的一个问题并引发的 思考，请帮助小方完成以下学习任务： (1)如图1，点M,N分别是∠AOB的边OA和OB上的点，OM=ON,点P是射线OC上一点， 测得PM=PY.请说明OP平分∠AOB (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD+BC,点P为DC的中点，连接PB.将四边形ABCD 沿着AP翻折，点D刚好与AB上的点E重合，请判断AD与BC的位置关系，并说明理由. C D 图1 图2 2.〔汝州市〕(10分)如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD,在 期末复 AD的左侧作△ADF,其中AD=AF,∠DAF=90°，连接CF 第 (1)若AB=AC,∠BAC=90°. ①当点D在线段BC上时（与，点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系，并说 步 明理由： ②当点D在线段BC的延长线上时，请在图2中用三角板画出相应图形并直接写出①中 项 的结论是否仍然成立 (2)如图3，若AB≠AC,∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当△ABC满足一个什 么条件时，CF⊥BD(请直接写出你探究的结果)？ 图1 图2 图3 河南专版数学七年级下册北师 31 3.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,P,Q分别是边AC,BC上的动 点，PD⊥AB于点D,QE⊥AB于点E,设点P,Q运动的时间是ts(1>0). (1)若点P,Q分别从A,B两点同时出发，沿AC,BC向点C匀速运动，运动速度都为每秒1 个单位长度，其中一点到达终点C后，另一点也随之停止运动，在运动过程中△APD和 △QBE是否保持全等？判断并说明理由 (2)若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位长度的速度向点A匀速运动，到达点A后立 刻以原来的速度沿AC返回到点C.同时，点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位长度 的速度向点C匀速运动，当其中一点到达点C后，另一点也停止运动.当为何值时， △APD和△QBE全等？ B 2 C 备用图 4.〔南宁市〕(12分)如图，等腰三角形ACB中，∠ACB=90°，AC=BC,E为射线CB上一动点， 连接AE,作AF⊥AE,且AF=AE 期末复习第2步 (1)如图1，过点F作FGLAC,交AC于点G,试说明：△AGF≌△ECA. (2)如图2，连接BF交AC于点D,若10 CD =3,试说明：E为BC中点. (3)如图3，当点E在CB的延长线上时，连接BF,与AC的延长线交于点D.若 BC 4 E3则 攻专项 AD CD 图1 图2 图3 32 河南专版数学七年级下册北师所以∠A=90°-∠1=50°，∠0BF=∠3+∠4= 130° 所以L0BG=180°-∠0BF=50°. 所以∠A=∠OBG 因为OA=OB,AE=BG,所以△AOE≌△BOG 所以∠AOE=∠B0G,OE=0G. (7分) (2)16 (7分) (3)理由：因为AB⊥BF,DE⊥BD 因为∠A0B=40°+90°+(90°-80°)=140°， 所以∠ABC=∠EDC=90°. ∠E0F=70°， 因为BC=DC,∠ACB=∠ECD, 所以uEOP=号AOB 所以△ABC≌△EDC. 所以LBOF+∠AOE=∠EOF 所以AB=DE=16m. (10分) 所以LBOF+∠BOG=∠EOF,即∠GOF=∠EOF. 5.解：问题初探：如图①，延长CB至点G,使 因为OF=OF,所以△OGF≌△OEF. BG=DE,连接AG. 所以GF=EF 因为GF=BG+BF=AE+BF, 所以EF=AE+BF=2×(50+70)=240(n mile). 所以此时两舰艇之间的距离是240 n mile. (10分) 图① 因为∠ABC=∠AED=90°， 专项10全等三角形的综合探究 所以LABG=∠AED=90°， 1.解：(1)因为OM=ON,PM=PN,0P=0P, 因为AB=AE=60m, 所以△OPM≌△OPN. 所以△AGB≌△ADE. 所以∠MOP=∠NOP 所以LGAB=∠DAE,AG=AD (2分) 所以OP平分LAOB. (3分) 因为∠BAE=2LCAD=∠BAC+∠CAD+∠DAE, (2)AD∥BC. (4分) 所以LBAC+∠DAE=∠CAD 理由如下：由折叠的性质，得PD=PE,∠PDA= 所以LBAC+∠GAB=LCAD,即∠GAC=∠CAD ∠PEA,AD=AE. 因为AC=AC, 因为AB=AD+BC,AB=AE+BE, 所以△AGC≌△ADC. 所以BE=BC. 所以CG=CD=60m 因为点P为DC的中点，所以PD=PC 所以BC+BG=60m,即BC+DE=60m. 所以PE=PC. 所以C边形ABCE=AB+BC+CD+DE+AE= 因为PB=PB,所以△PEB≌△PCB. 240m. 所以∠PEB=∠PCB. (6分) 所以需要木栅栏共240m. (5分) 所以∠PDA+∠PCB=∠PEA+∠PEB=180°， 拓展应用：如图②，连接EF,延长FB至点G, 所以AD∥BC. (8分) 使BG=AE,连接OG,过点B作ON的平行线. 2.解：(1)①CF=BD,CFLBD. (1分) 北W 理由如下：因为AB=AC,∠BAC=90°， 所以∠ABD=∠ACB=45°，∠DAB+∠CAD=90°. 因为∠DAF=90°，所以LCAF+∠CAD=90°. 所以∠DAB=∠CAF. 图② 因为AD=AF,所以△ABD≌△ACF (3分) 根据题意，得∠1=40°，∠2=∠3=80°，∠4=50° 所以CF=BD,∠ACF=∠ABD=45°. 河南专版数学七年级下册北师 8 所以∠FCB=∠ACB+∠ACF=90°. 综上所述，当t的值为2或4时，△APD和 所以CF⊥BD. (5分) △QBE全等. (10分) ②如图①所示 (7分) 4.解：(1)因为AFLAE. 所以∠FAG+∠CAE=90°. 因为FGLAC, 所以∠FGA=90°，∠FAG+∠F=90°. 所以LCAE=∠F (2分) 图① 因为∠ACB=90°，所以∠FGA=∠ACB ①中的结论仍然成立： (8分) 因为AF=AE,所以△AGF≌△ECA. (4分) (2)当LBCA=45时，CF⊥BD (10分) (2)过点F作FG⊥AC,交AC于点G,如图①. 【解析】过点A分别作AE⊥AC交BC于点E, AG⊥BC于点G,如图② 图① 与(1)同理，得△AGF≌△ECA. 图② 所以FG=AC=BC,AG=CE. 所以LCAE=∠AGC=∠AGE=90 因为∠BCA=45°，所以LCEA=45 因为FG⊥AC,所以∠FGD=90° 所以∠BCA=∠CEA.因为AG=AG,所以△AGC 因为∠ACB=90°，所以∠FGD=∠ACB. ≌△AGE.所以AC=AE. 因为∠FDG=∠BDC,所以△FGD≌△BCD. 与(1)同理，得∠ACF=∠AED=45° (6分) 所以∠BCF=∠ACF+∠BCA=90°. 所以DG=CD 所以CF⊥BD 因为 3.解：(1)△ADP≌△QEB.理由如下：根据题 CD =3,所以A CD =2所以4 C 意，得AP=BQ=t.因为∠C=90°，PDLAB, 因为AG=CE,AC=BC,所以CE= BC=2 QE⊥AB,所以∠ADP=∠C=∠QEB=90°.所 所以E为BC中点. (9分) 以∠A+∠APD=90°，∠A+∠B=90°.所以 LAPD=∠B.所以△ADP≌△QEB. (4分) a号 (12分) (2)根据题意，得当点P运动到点A时，t=8÷ 【解析】过点F作FGLAD,交AD的延长线于 3-号当点P返回到点C时1=8×2+3=5 点G,如图②. 当点Q运动到点C时，t=6÷1=6 因为C=号，BC=AC,CE=BC+BE, 所以当△APD和△QBE全等时，分为两种情 况：①当点P从点C向点A运动，即0<1< 时，则CP=3t,AP=8-3t,BQ=k.因为 △ADP≌△QEB,所以AP=BQ,即8-3t=t. 解得t=2. (7分) ②当点P从点A向点C运动，即氵 9时。 则AP=3t-8,BQ=t.因为△ADP≌△QEB,所 以AP=BQ,即3t-8=t解得t=4. 图② 河南专版数学七年级下册北师 与(2)同理，得△AGF≌△ECA,△FGD≌△BCD. 因为∠A=30°，所以∠AED=180°-∠A- 所以cD=DG,AG=CE所以%-号断以 ∠ADE=105°.所以∠A'ED=∠AED=105°.所 AC4 以∠AEA'=360°-2LAED=150°. CG=3 (2)因为∠A=30°，∠C=80°，所以∠B=180 所以%-登所以2识号 -∠A-∠C=70°.分两种情况：①当点A'在AB CD 3 的右侧时，如图①. 期末复习第3步·练真题 试卷1郑州市中原区 一、选择题 1.C2.A3.A4.D5.D6.B7.C 8.B9.C 10.B【解析】如图，连接AE,AF. 图① 因为A'D∥BC,所以LA'DA=∠B=70° 所以∠A'DE=∠ADE=35° 所以∠A'ED=∠AED=180°-∠A-∠ADE= 115. 因为BA=BC=10,BD是AC边上的中线，所 所以∠AEA'=360°-2∠AED=130°. 以BD⊥AC,AD=CD.所以BD垂直平分AC. ②当点A'在AB的左侧时，如图②. 所以AE=CE.所以CE+EF=AE+EF≥AF 当A,E,F三点共线时，等号成立.由垂线段 最短可知，当AF是BC边上的高时，CE+EF 取最小值.因为CE+EF的最小值为9.6，所 以BC边上的高为96所以5=号×10× 9.6=48.故选B. 图② 二、填空题 因为A'D∥BC,所以LA'DB=∠B=70° 1.号 所以∠ADA'=180°-∠A'DB=110° 12.4.5【解析】过点M作ME1AB于点E. 所以L'DE=LADE=号×360-LAD') 因为∠C=∠D=90°，∠CAB=∠DBA=30°， =125°. 所以∠ABC=60°，所以∠DBC=∠ABC- 所以∠AED=180°-∠A-∠ADE=25°. ∠DBA=30°.所以BD平分∠ABC. 所以ME=MC=4.5cm. 所以LAEA'=2LAED=50°. 132 综上所述，∠AEA'的度数为50°或130° 三、解答题 14.56°【解析】由作图步骤得，MN垂直平分BC. 16.解：(1)平方差公式（或完全平方公式）(2分) 所以DB=DC.所以∠BCD=∠B=28°.所以 (2)一 (4分) ∠BDC=180°-∠BCD-∠B=124°. 所以∠CDA=180°-∠BDC=56°. (3)原式=(4x2-y2-4x2+12xy-9y2)÷(-y） 因为CD=AC,所以∠A=∠CDA=56. =(12xy-10y2)÷(-y） 15.(1)150°(2)50°或130°【解析】(1)因为 =-12x+10y. (6分) A'DLAB,所以∠A'DA=90°.由折叠的性质可 当x=1,y=2时，原式=-12×1+10×2=8. 知，∠A'DE=∠ADE=45°，∠A'ED=∠AED (8分) 河南专版数学七年级下册北师 10