第19章 培优专题 一次函数与方程、不等式的综合(8题型)-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

培优专题 一次函数与方程、不等式的综合 题型一、已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知直线与直线的交点横坐标为．根据图象有下列四个结论，①：②：③方程的解是；④不等式的解集是．其中正确的结论有 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 由图象可知，故①正确，②错误；由直线与直线的交点横坐标为，得到方程的解是，故③正确；由图象可知，当时，直线在直线的上方，得到不等式的解集是，故④错误；即可得到答案． 【详解】解： 由图象可知， 故①正确，②错误； 直线与直线的交点横坐标为， 方程的解是， 故③正确； 由图象可知，当时，直线在直线的上方， 即， ， 不等式的解集是， 故④错误； 综上所述，正确的结论有：①③， 故答案为：①③． 2．（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图直线与交于点，点的横坐标是，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数图象的交点的横坐标就是两个一次函数解析式所构成的一元一次方程的解即可求解，掌握一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交于点，点的横坐标是， ∴的方程的解为：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，把一次函数（，为常数，）．在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴及上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“”形图象，例如，如图1就是函数的“”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“”形图象； (2)在（1）的条件下，根据图象2，下列关于该函数性质的说法正确的有______．（填序号） ①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，函数表达式为，当时，； ③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值0； (3)在（1）的条件下，若一次函数的“”形图象与轴交于点A，与直线相交于，两点（点在点的左侧）， ①点的坐标为______；点的坐标为______． ②求的面积． (4)如图3，已知，，若一次函数（）的“”形图象与线段有二个交点，则的取值范围是______． 【答案】(1)作图见解析 (2)①②③ (3)①，；②20 (4)或 【分析】本题考查一次函数的应用及两直线的交点问题，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）对于一次函数，先求与坐标轴交点，令，则；令，则．画出的图象，再将轴下方部分沿轴向上翻折，得到“”形图象． （2）从图象对称性、不同区间函数表达式及最值点三方面，依据“”形图象性质与翻折规则进行判断． （3）①由一次函数解析式确定点A的坐标即可，然后联立求出交点坐标， ②结合图形利用分割法求三角形面积即可； （4）对k的取值范围进行分类讨论，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）①从图象看，沿直线对折，图象左右两部分能完全重合，所以该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线，①正确． ②当时，图象在轴下方，翻折后函数表达式为；当时，图象在轴及上方，函数表达式为，②正确． ③．观察图象可知，在自变量取值范围内，最低点是，即当时有最小值，③正确． 故答案为：①②③； （3）①∵一次函数的“”形图象与轴交于点， ∴，对于（部分）可得，即． 联立， 将代入得： ． 解得， 把代入得 ， ∴． 联立， 将代入得： ． 解得， 把代入得 ， ∴． 故答案为：，； ②过作轴于，过作轴于， 则，，，，． ． （4）当时，一次函数过定点，要使“”形图象与线段有两个交点，当直线过时， ， 解得， 所以． 当时，当直线过时，， 解得， 所以． 综上所述：或． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知一次函数 和 （是常数，）， 我们称 是的迭代函数，如函数 的迭代函数是 ，即 ; 当 时，函数 的图象与它的迭代函数 的图象交于点 ， 我们称点 是这个函数的迭代点． (1)填空:函数 的迭代函数是_____，这个函数迭代点 的坐标为_____． (2)对于任意(，是常数，)的迭代函数，若、是其迭代函数图象上两个不重合的点，求证：当时，总有． (3)若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)，证明见详解 【分析】（1）根据题意即可写出函数的迭代函数，再与函数联列，求解即可得到迭代点的坐标； （2）根据题意写出的迭代函数，根据，即可证明y随x的增大而增大； （3）联列函数和它的迭代函数，即可求出点P，故若点P的坐标为时，则有． 本题考查了一次函数的性质，两条直线相交或平行问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得函数的迭代函数为， 即， 联列可得， 解得， ∴函数迭代点的坐标为； 故答案为：，； （2）证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，）， 即， ∵， ∴， ∴在函数中，y随x的增大而增大， ∵、是其迭代函数图象上两个不重合的点， ∴当时，总有； （3）解：．证明如下： 由题意可得：函数的图象与它的迭代函数的图象交于点P， 联列可得：， 解得：， 即点P坐标为， ∴若点P的坐标为时，则m，n的数量关系为． 题型二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 5．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知函数中，当 时，图象在轴上方． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与x轴的交点，以及一次函数的性质，先求出直线与x轴的交点横坐标，再根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：当时，， 解得． ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，图象在轴上方． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴y轴交于点B，C，且与的图象交于点． (1)求m，b的值； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用．待定系数法求出函数的解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． （1）将代入，求出的值，再将点代入，进行求解即可； （2）利用图象法解不等式即可； （3）先求出点A和点B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）由题意得，点在的图象上， ， ； ， ，在直线上， ， ； （2）， 由图象可知，若，则x的取值范围是； （3），当时，， ， ，当时，， ， ． 7．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求A，B两点的坐标． (2)若将直线向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若P为y轴上一点，将直线沿AP翻折，使得点B刚好落在坐标轴上，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据题意分别令，得出，，根据勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得平移后的直线与轴的交点为，设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入，即可求解； （3）设点关于的对称点为，，分在轴负半轴，在轴正半轴，当在轴正半轴，三种情况，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得直线解析式为， ∵将直线向左平移个单位长度，， ∴平移后的直线与轴的交点为， 设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入得， ， ∴， ∴平移后的直线所对应的函数表达式为． （3）解：设点关于的对称点为，， 当在轴负半轴时，如图所示， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时，， ∴点与点重合，即， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质，一次函数的平移以及勾股定理，分类讨论是解（3）的关键． 8．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出不等式的解集为______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴， 将点代入， 得，解得， ∴， ∴这两个函数的解析式分别为和； （2）解：在中，令，得， ∴． 在中，令，得， ∴． ∴； （3）解：由函数图象可知，当时，． ∴不等式的解集为：． 题型三、利用图象法解一元 一次方程 9．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，根据图象判断增减性，以及的符号，进而判断出所过象限，判断①和②，根据交点坐标判断③，图象法判断④． 【详解】解：由图象可知：对于函数来说，y随x的增大而减小；故①正确； ∴， 由图象可知：当时，， ∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴， ∴，故③正确； 由图象可知：当时，； 当时，， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 10．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）已知关于的方程：只有一个解，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的解，令，进而得到两个函数图象只有一个交点，根据题意，画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：令， ∵只有一个解， ∴两个函数图象只有一个交点， 画出函数图象如下： 由图可知，当直线过图象的最低点时，满足题意， ∵， ∴当时，， 把代入，得：， 故答案为：1． 11．（24-25八年级下·北京西城·期中）在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 0 … ①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格； ②请在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象： ①写出关于这个函数的一条性质：__________________； ②当时，的取值范围是__________________； (3)进一步探究函数图象发现； ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小（答案不唯一）；② (3)①2；② 【分析】（1）①将x的值代入对应的解析式即可求得； ②根据描点法画出函数图象即可； （2）①根据函数图象可以写出该函数图象的一条性质； ②根据函数图象写出当时，的取值范围即可； （3）①根据图象即可得出结论； ②根据关于x的方程无解，得出函数的图象与无交点，然后观察图象即可得出结论． 【详解】（1）①解：∵， ∴当时，； 当时，； 1 2 3 4 ②函数图象如图， （2）解：①函数的最小值是，函数图象最低点的坐标是，函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小等； ②根据函数图象可知：当时，； （3）解：①观察图形可知， 方程有2个解； ②关于x的方程无解， 则函数的图象与直线无交点， 观察图形可知，此时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质．画出函数的图象，利用数形结合法是解题的关键． 12．（24-25八年级下·山东青岛·期中）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知A、两点的坐标分别为，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是______； (2)若点的坐标为，则关于的不等式的解集是______； (3)关于的不等式组的解集是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）利用直线与x轴的交点即为时，对应的x的值为方程的解，据此即可解答； （2）利用两直线与x轴的交点坐标，结合图象即可即可解答； （3）利用图象求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴的交点为， ∴关于x的方程的解是， （2）解：∵一次函数和一次函数的交点， ∴根据图象可得关于x的不等式解集为． （3）解：∵一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知A、两点的坐标分别为，， ∴关于的不等式组的解集是． 题型四、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 13．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的是（   ） A．①② B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查的是一次函数的图象与性质、利用两直线的交点坐标确定不等式的解集等知识点，灵活利用数形结合的方法解题是关键． 根据一次函数过一、二、四象限，可得、，则，故①符合题意；由，可得y随x增大而减小，故②不符合题意；当、、，结合函数图象可得：，故③符合题意；由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3，当时，，即，故④符合题意；由函数图象可得：当时，可得，故⑤不符合题意． 【详解】解：∵一次函数过一，二，四象限， ∴、， ∴，故①符合题意； ∵， ∴y随x增大而减小， ∵，是直线上不重合的两点， 当，则，则；当，则，则，故②不符合题意； 当、、， 结合函数图象可得：，故③符合题意； 由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3， ∴当时，，即，故④符合题意； 由函数图象可得：当时，，故⑤不符合题意； 综上，①③④正确． 故选：B． 14．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 根据得，结合直线与直线交于点，可得的值，再利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：由，得， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线与直线交于点， 又∵， ∴根据图像得：， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示． （1）关于的方程的解为 ，关于的不等式的解集为 ； （2）关于，的二元一次方程组的解是 （3）不等式的解集为 【答案】 ， ； ； ． 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可知一次函数与轴的交点为，由此进行分析即可； （2）由图象可知函数和的图象的交点纵坐标为，由此进行分析即可； （3）由（2）知函数和的图象的交点为，由此进行分析即可得出不等式的解集． 【详解】解：（1）由图象可知：一次函数与轴的交点为， 当时，， 即关于的方程的解为， 当时，， 即关于的不等式的解集为， 故答案为：，； （2）由图象可知函数和的图象的交点纵坐标为， 当时，代入，得，解得， 关于，的二元一次方程组的解是； 故答案为：； （3）由（2）知函数和的图象的交点为， 不等式的解集为． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）已知一次函数的图像经过点，且与直线都经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当的函数值大于的函数值时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一元一次不等式的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数是解题的关键． （1）将代入得出，进而待定系数法求解析式，即可求解． （2）依题意，，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：， ∴， 将，代入， 得， 解得：， ∴； （2）解：依题意，， 解得：． 题型五、根据两条直线的交点求不等式的解集 17．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用一次函数的性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性质及数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， 所以①正确； ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 所以②错误； ∵当时，， ∴关于x的方程的解为， 所以③正确； ∵当，直线在直线的下方， ∴时，． 所以④错误． 故答案为：C． 18．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想成为解题的关键． 由题意可得：关于x的不等式组的解集为一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方，x轴上方所对应的自变量取值范围，再根据函数图象即可解答． 【详解】解：由题意可得：关于x的不等式组的解集为一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方，x轴上方所对应的自变量取值范围，即． 故选D． 19．（23-24八年级下·广西河池·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 ， ； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 时，y随x的增大而增大； ②方程有 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 【答案】(1)x为任意实数 (2)1， (3)见解析 (4)①；②2；③ 【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据函数解析式可得自变量x的取值范围是x为任意实数； （2）把分别代入解析式可得m，n的值； （3）根据表中各组对应值描点，画出函数的图象即可； （4）①由图象可得答案；②观察图象可知，当时，或，即得方程有2个解；③由图象可知，当时，直线与的图象无交点即可解答． 【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是x为任意实数． 故答案为：x为任意实数； （2）解：当时，； 当时，． 故答案为：1，； （3）解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下： ； （4）解：①由图象可知，当时，y随x的增大而增大； ②由图象可知，当时，， ∴方程有2个解； ③由图象可知，当时， ∴关于x的方程无解，a的取值范围是． 故答案为：①；②2；③． 20．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）图中所给的直线是一次函数的图象． (1)请直接在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (2)求出两条直线的交点的坐标，并在图中标出点的位置； (3)根据图象，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)图象见解析 (2)，图见解析 (3) 【分析】本题考查的是一次函数与方程和不等式的关系，解二元一次方程组，直接利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． （1）根据题意画出函数的图象即可； （2）解方程组即可得到结论； （3）根据函数的图象即可得到结论． 【详解】（1）解：一次函数的图象如图所示， （2）解：由题意得：， 解得：， ∴点的坐标为， 点的坐标如图所示． （3）解：由图象可知，当时，的取值范围为． 题型六、两直线的交点与二元一次方程组的解 21．（2025·宁夏吴忠·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（   ） A．由图象可知； B．方程组的解为； C．方程的解为； D．当时． 【答案】D 【分析】先观察直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解；然后根据直线与x轴交点的坐标可判断C；最后根据直线在直线的上方，确定自变量的取值范围解答D即可． 【详解】解：因为直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，所以； 则A正确； 因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程的解是， 则B正确； 因为直线与x轴交点的坐标是， 所以方程的解是， 则C正确； 因为从交点向左时直线在直线的上方， 所以当时，， 则D不正确． 故选：D． 22．（24-25八年级下·山西临汾·期中）如图，点的坐标可以看成是方程组 的解． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先利用待定系数法分别求出两直线的解析式，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案． 【详解】解：设过点，的直线的解析式为，则 ， 解得：， 该一次函数的解析式为； 设过点，的直线的解析式为，则 ， 解得：， 该一次函数的解析式为； 点的坐标可以看成是方程组的解， 故答案为：． 23．（24-25八年级下·福建福州·期中）直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，得出点A的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．先求得交点A的坐标，即可求出点A的轨迹，进而判断出直线直线与直线平行，即可求出m的值． 【详解】解：∵直线与直线（是常数，且）交于点A， 解析式联立 解得，， ∴ ∴， 当m为一个的确定的值时，是的正比例函数， 即：点A在直线上， ∵点A到直线的距离总是一个定值， ∴直线与直线平行， ∴， ∴ 故答案为：． 24．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）若直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线相交的问题，解答此题的关键是解一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法．联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可． 【详解】解：联立，得 ， 解得， ∵交点在第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七、图象法解二元一次方程组 25．（24-25八年级上·广西梧州·期中）综合与实践 学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成： 【动手操作】 （1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象． 【观察实践】 （2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标； 【应用迁移】 （3）结合图象，直接写出方程组的解； （4）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）3；；图见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】此题考查一次函数的图象与性质以及一次函数和不等式的关系． （1）将代入，令，求出坐标，再根据要求画出图象即可； （2）观察图象，写出交点的坐标即可； （3）根据交点的坐标即可得到结论； （4）根据图象的交点，写出当一次函数位于图象上时求x的取值范围即可． 【详解】解：（1）当时，， 当时，， 两个函数的图象如图所示： 故答案为：3；； （2）观察图象知，交点的坐标为； （3）观察图象知，交点的坐标为， ∴方程组的解为； （4）满足时自变量x的取值范围是． 26．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）在数学拓展课上，智慧小组通过数形结合的思想进一步研究二元一次方程组和一次函数之间的关系． 已知二元一次方程组 (1)补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为________． (2)分别将表格1、表格2中的每组数值，作为点的横坐标和纵坐标，在图1的平面直角坐标系中描出表格内各点，再顺次连接各点，并写出一条你所获取的信息． (3)实践小组将和（，为常数）两个方程的解按照上述方法在平面直角坐标系中绘制的图象如图2所示，两直线交于点．直接写出方程组的解，并求出，的值． 【答案】(1)补全表格见解析， (2)是 与的交点 (3)， 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系； （1）根据函数解析式补全表格，进而根据表格得出方程组的解； （2）根据表格画出函数图象，进而根据函数图象，写出一条所获取的信息． （3）根据两直线交点坐标，得出方程组的解，进而得出关于的二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为 故答案为：． （2）解：如图所示， 根据图象可得，是 与的交点； （3）解：根据函数图象可得和的交点为 ∴方程组的解 ∴原方程组为： 解得： 27．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 【答案】(1)画图见解析； (2)，； (3)． 【分析】（）根据画函数图象的步骤即可求解； （）当时，，，即可求出，两点的坐标； （）根据图象即可求出方程组的解； 本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：列表： 如图， （2）解：当时，，， ∴，； （3）解：根据图象可知：方程组的解为． 28．（23-24八年级下·福建泉州·期末）（1）知识再现： 如图1，在中，，顶点C在直线l上．过点A、B分别作于点D，于点E，求证：． （2）活动探究： 我们知道，在平面直角坐标系中，点的位置与n的取值有关．小明同学想研究点N的位置是否均在某一个函数图象上，于是联想到课本中的方法：①研究函数图象性质的方法，即列表、描点、连线、验证；②类比解方程组的消元法，即设，，用消元法可求得y与x的关系，即可以知道点N在什么函数的图象上． 请你任选上述一种方法判断：对于m取任意一实数，相应的点是否在某一个函数图象上？请说明你的判断理由． （3）拓展应用： 如图2，在直角坐标系中，点轴于点A,轴于点C,P是线段上的一个动点，第一象限内的点Q是直线与直线的交点，点R在平面内．若以A、P、Q、R，为顶点的四边形是以为对角线的正方形，求a的值． 【答案】（1）见解析；（2）符合点M在直线上；（3）或 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）方法一：画出图象，根据图象即可发现这些点在同一直线上，利用待定系数法求解即可； 方法二：设，，用消元法可求y与x的表达式； （3）求得Q点坐标，可得点在直线上，分两种情况：通过证得三角形全等，得出关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ． 在与中， ， ． （2）解：点在的图象上． 方法一： 列表： … 0 1 2 3.5 … … 0 1 2.5 … … … 描点：如图 连线：如图 通过描点观察发现这些点在同一直线上， 设一次函数的解析式为，取点和点代入， 得，解得， 所以y和x的函数关系式为， 验证：当时，， 所以符合点M在直线上． 方法二： ∵， ∴， ∴． ∴y和x的函数关系式为． ∴符合点M在直线上． （3）解：由，得， 所以点． 由题可知以A、P、Q、R为顶点的四边形是以为对角线正方形有两种情形． （1）情形一： 点Q在线段下方，如图， 因为四边形是正方形，所以， 过Q作直线轴于点M，交线段与点N，同理（1）得， 所以， 因为， 所以， 所以； （2）情形二： 点Q在线段上方，如图，因为四边形是正方形，所以， 过Q作直线轴于点M，交所在直线于点N， 同理（1）得， 所以，因为， 所以，所以． 综上或． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程、求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型八、求直线围成的图形面积 29．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）已知，直线与轴、轴分别交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）求出点D的坐标，利用计算解题； （3）根据，列方程求出的值，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）当时，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得或， 当时，，点P的坐标为； 当时，，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 30．（24-25八年级下·辽宁锦州·阶段练习）如图，一次函数和的图象相交于点B，且一次函数分别与y轴和x轴交于A和C，若． (1)求直线的解析式； (2)若不等式的解集是．求a的值． (3)的图象与x轴交于点P，在（2）的条件下求的面积 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象以及利用不等式解集求解一次函数中未知数，两直线的交点问题，解题的关键在于熟练掌握待定系数法求解析式以及学会利用图象法找出关键信息交点的横坐标． （1）根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据图像即可求出点横坐标，将点横坐标代入即可求出点坐标，将其代入即可求出的值； （3）先求出与轴交点，则求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，和在一次函数上， ，， ， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：的解集是，点为和交点， 的横坐标为1． 将点的横坐标1代入中，解得． ． 将代入中，， ； （3）解：由（2）得， 当时，， 解得：， ∴， ∴ ∴． 31．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)请根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式，面积问题等．掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）将代入求解即可； （2）由（1）得，结合函数图象即可得出结果； （3）根据题意确定，得出，结合图象根据求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， ∴； （2）由（1）得， 根据图象得：当时，的图象在下方，即此时， ∴的取值范围是． （3）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，；当时，； ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴． 32．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，点、的坐标分别为，，直线与坐标轴交于、两点． (1)求四边形的面积． (2)不解不等式，直接写出的解集； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键． （1）先根据A，B两点坐标求出直线的函数解析式，再结合直线的函数解析式，求得的坐标，然后将四边形的面积转化为的面积与的面积之差即可； （2）观察函数图象，即可解决问题． 【详解】（1）解：将点A和点B坐标代入得， 解得 则直线的函数解析式为． 由得，， 则， 故点E的坐标为． 将代入得，， ∴点C的坐标为，则， 则． 又∵， ∴． （2）由函数图象可知，的解集为． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图象如图，则下列说法：①；②是方程的解；③若点）是这个函数的图象上的两点，且，则；④当时，，则．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，关键是灵活运用一次函数的性质．图象过第一，二，四象限，可得，可判定①；根据增减性，可判断③④，由图象与x轴的交点可判定②． 【详解】解：∵图象过第一，二，四象限， ∴，故①正确； ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵一次函数与轴的交点坐标为， ∴是方程的解，故②正确； 当时，， ∴当时，；时，， 代入得， 解得，故④正确； 综上，正确的个数有4个， 故选：D． 2．（24-25八年级下·北京房山·期中）如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由函数图象可知， 当时，一次函数的图象在直线的上方，即， 所以不等式的解集为． 故选：A． 3．（2025·河北石家庄·一模）已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键． 先求出两个函数与轴的交点坐标，从而求出的值，分别代入，求出、值，将其相加即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， 同理，可得出：直线与轴的交点坐标为， ∴两直线与轴交点间的距离． 联立直线成方程组， 得：， 解得：， ∴直线的交点坐标为． ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，； 当时，； ， 故选D． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知一次函数（、是常数）的图象经过点和点，则下列说法中，不正确的是（    ） A．图象不经过第四象限 B．函数值随自变量的增大而增大 C．方程的解是 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，以及利用一次函数图象解不等式等知识，求出函数解析式是解答本题的关键． 先求出一次函数解析式，然后根据一次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， ∴． A．∵，∴图象不经过第四象限，故正确； B．∵，∴函数值随自变量的增大而增大，故正确； C．令，解得，∴方程的解是，故正确； D． 令，解得，∵函数值随自变量的增大而增大，∴不等式的解集是，故不正确； 故选D． 5．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，且经过点，直线与交于点． (1)求m的值； (2)求直线的表达式； (3)求的面积； (4)根据图象，直接写出关于x的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3)3 (4) 【分析】（）把点的坐标代入直线的解析式求出的值； （）根据点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答； （）根据两直线解析式确定A、D点的坐标，然后利用三角形面积公式计算； （4）观察图象，可直接写出的解集． 【详解】（1）解：把的坐标代入，得， 解得：； （2）解：把，的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：对于直线，当时，，解得，则， 对于直线，当时，，解得，则， ∴； （4）解：观察图象，可知解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 6．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在y轴上找一点，使得的值最大，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，三角形三边关系的应用，正确利用数形结合解题是解题关键． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）利用两直线与轴交点横坐标，结合图象得出答案； （3）①利用三角形面积公式求得即可；②记交轴于点，此时最大，再求解直线解析式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，， ∴关于x的方程的解是，关于x的不等式的解集是， 故答案为：， （2）∵关于x的不等式的解集是，关于x的不等式的解集是， ∴关于x的不等式组的解集， 故答案为： （3）①点C的坐标为．, ∴的面积为， 故答案为： ②，记交轴于点，    此时，此时最大， 设直线为， ∴，解得， 直线为， 令，则， 7．（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，已知直线经过点，交y轴于点B，直线与直线交于点C，交y轴于点D． (1)求b的值； (2)求的面积； (3)当时，x的取值范围是 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标求不等式的解集，两直线围成的面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）把A点坐标代入中求解即可； （2）先求出C点和D点坐标，然后求出BD的长，计算面积即可； （3）利用函数图像求解不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得． （2）解：由（1）知，直线， 当， ∴． 由题意知，． 解得，即． 同理：又由知，． ∴． 所以． （3）解：当时，即， 由（2）知，． 当时，，此时， ∴直线与轴交于点， ∴由图象知，当时， 则的取时， 则的取值范围是． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)填空： ①线段的长度为 ； ②方程组的解为 ； (2)结合图形直接写出的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①解方程得到，，得，根据勾股定理得，代入数据计算即可； ②根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到结论； （2）根据图形可知，两函数图象的交点，再结合图形可得结论； （3）利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：①在中， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴线段的长度为， 故答案为：； ②∵直线与直线交于点， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）∵直线与直线交于点，直线与轴交于点， 当时，直线的图象在直线的下方且在轴的上方， ∴的解集为； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，一次函数与二元一次方程组的关系，利用图象解不等式，三角形的面积等知识点，掌握一次函数的图象与性质，利用图象解不等式及求三角形的面积是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 一次函数与方程、不等式的综合 题型一、已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知直线与直线的交点横坐标为．根据图象有下列四个结论，①：②：③方程的解是；④不等式的解集是．其中正确的结论有 ． 2．（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图直线与交于点，点的横坐标是，则关于的方程的解是 ． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，把一次函数（，为常数，）．在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴及上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“”形图象，例如，如图1就是函数的“”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“”形图象； (2)在（1）的条件下，根据图象2，下列关于该函数性质的说法正确的有______．（填序号） ①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，函数表达式为，当时，； ③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值0； (3)在（1）的条件下，若一次函数的“”形图象与轴交于点A，与直线相交于，两点（点在点的左侧）， ①点的坐标为______；点的坐标为______． ②求的面积． (4)如图3，已知，，若一次函数（）的“”形图象与线段有二个交点，则的取值范围是______． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知一次函数 和 （是常数，）， 我们称 是的迭代函数，如函数 的迭代函数是 ，即 ; 当 时，函数 的图象与它的迭代函数 的图象交于点 ， 我们称点 是这个函数的迭代点． (1)填空:函数 的迭代函数是_____，这个函数迭代点 的坐标为_____． (2)对于任意(，是常数，)的迭代函数，若、是其迭代函数图象上两个不重合的点，求证：当时，总有． (3)若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明． 题型二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 5．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知函数中，当 时，图象在轴上方． 6．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴y轴交于点B，C，且与的图象交于点． (1)求m，b的值； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)求的面积． 7．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求A，B两点的坐标． (2)若将直线向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若P为y轴上一点，将直线沿AP翻折，使得点B刚好落在坐标轴上，直接写出点P的坐标． 8．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出不等式的解集为______． 题型三、利用图象法解一元 一次方程 9．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）已知关于的方程：只有一个解，则的值是 ． 11．（24-25八年级下·北京西城·期中）在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 0 … ①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格； ②请在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象： ①写出关于这个函数的一条性质：__________________； ②当时，的取值范围是__________________； (3)进一步探究函数图象发现； ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． 12．（24-25八年级下·山东青岛·期中）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知A、两点的坐标分别为，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是______； (2)若点的坐标为，则关于的不等式的解集是______； (3)关于的不等式组的解集是______． 题型四、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 13．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的是（   ） A．①② B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 14．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 15．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示． （1）关于的方程的解为 ，关于的不等式的解集为 ； （2）关于，的二元一次方程组的解是 （3）不等式的解集为 16．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）已知一次函数的图像经过点，且与直线都经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当的函数值大于的函数值时，求x的取值范围． 题型五、根据两条直线的交点求不等式的解集 17．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 18．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·广西河池·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 ， ； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 时，y随x的增大而增大； ②方程有 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 20．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）图中所给的直线是一次函数的图象． (1)请直接在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (2)求出两条直线的交点的坐标，并在图中标出点的位置； (3)根据图象，当时，直接写出的取值范围． 题型六、两直线的交点与二元一次方程组的解 21．（2025·宁夏吴忠·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（   ） A．由图象可知； B．方程组的解为； C．方程的解为； D．当时． 22．（24-25八年级下·山西临汾·期中）如图，点的坐标可以看成是方程组 的解． 23．（24-25八年级下·福建福州·期中）直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是 ． 24．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）若直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是 ． 题型七、图象法解二元一次方程组 25．（24-25八年级上·广西梧州·期中）综合与实践 学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成： 【动手操作】 （1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象． 【观察实践】 （2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标； 【应用迁移】 （3）结合图象，直接写出方程组的解； （4）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 26．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）在数学拓展课上，智慧小组通过数形结合的思想进一步研究二元一次方程组和一次函数之间的关系． 已知二元一次方程组 (1)补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为________． (2)分别将表格1、表格2中的每组数值，作为点的横坐标和纵坐标，在图1的平面直角坐标系中描出表格内各点，再顺次连接各点，并写出一条你所获取的信息． (3)实践小组将和（，为常数）两个方程的解按照上述方法在平面直角坐标系中绘制的图象如图2所示，两直线交于点．直接写出方程组的解，并求出，的值． 27．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 28．（23-24八年级下·福建泉州·期末）（1）知识再现： 如图1，在中，，顶点C在直线l上．过点A、B分别作于点D，于点E，求证：． （2）活动探究： 我们知道，在平面直角坐标系中，点的位置与n的取值有关．小明同学想研究点N的位置是否均在某一个函数图象上，于是联想到课本中的方法：①研究函数图象性质的方法，即列表、描点、连线、验证；②类比解方程组的消元法，即设，，用消元法可求得y与x的关系，即可以知道点N在什么函数的图象上． 请你任选上述一种方法判断：对于m取任意一实数，相应的点是否在某一个函数图象上？请说明你的判断理由． （3）拓展应用： 如图2，在直角坐标系中，点轴于点A,轴于点C,P是线段上的一个动点，第一象限内的点Q是直线与直线的交点，点R在平面内．若以A、P、Q、R，为顶点的四边形是以为对角线的正方形，求a的值． … 0 1 2 3.5 … … 0 1 2.5 … … … 题型八、求直线围成的图形面积 29．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）已知，直线与轴、轴分别交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（24-25八年级下·辽宁锦州·阶段练习）如图，一次函数和的图象相交于点B，且一次函数分别与y轴和x轴交于A和C，若． (1)求直线的解析式； (2)若不等式的解集是．求a的值． (3)的图象与x轴交于点P，在（2）的条件下求的面积 31．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)请根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 32．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，点、的坐标分别为，，直线与坐标轴交于、两点． (1)求四边形的面积． (2)不解不等式，直接写出的解集； 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图象如图，则下列说法：①；②是方程的解；③若点）是这个函数的图象上的两点，且，则；④当时，，则．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·北京房山·期中）如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北石家庄·一模）已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知一次函数（、是常数）的图象经过点和点，则下列说法中，不正确的是（    ） A．图象不经过第四象限 B．函数值随自变量的增大而增大 C．方程的解是 D．不等式的解集是 5．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，且经过点，直线与交于点． (1)求m的值； (2)求直线的表达式； (3)求的面积； (4)根据图象，直接写出关于x的不等式组的解集． 6．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在y轴上找一点，使得的值最大，求点的坐标． 7．（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，已知直线经过点，交y轴于点B，直线与直线交于点C，交y轴于点D． (1)求b的值； (2)求的面积； (3)当时，x的取值范围是 ．（直接写出结果） 8．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)填空： ①线段的长度为 ； ②方程组的解为 ； (2)结合图形直接写出的解集； (3)求的面积． 试卷第1页，共3页 1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $$