专题01 一次函数综合题（7知识点+3核心考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

专题01 一次函数综合题（7知识点+3核心考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 一次函数的概念 知识点02 一次函数的图象 知识点03 一次函数（y=kx+b（k≠0）） ①当时，函数值y随自变量x的值增大而增大； ②当时，函数值y随自变量x的值增大而减小； 知识点04 k、b对直线y=kx+b位置的影响 经过第一、二、三象限 经过第一、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、二、四象限 经过第二、四象限 经过第二、三、四象限 知识点05 一次函数的应用 （1）根据实际问题建立一次函数解析式的方法 ①找等量关系；②把已知的条件代入，变化的两个量用变量x、y来表示；③求定义域：既要根据解析式又要根据实际意义求定义域. （2）利用一次函数解决决策问题 ①先根据题意建立函数解析式；②再根据解析式画函数的图像；③根据图像作出决策. 考点一：一次函数图象与坐标轴的交点问题 例1．（24-25八年级下·上海·月考）已知直线和直线．求： (1)这两条直线的交点A的坐标； (2)这两条直线与x轴所围成的三角形的面积． 【变式1-1】（23-24八年级下·上海闵行·月考）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且它们都经过点． (1)求点、点坐标； (2)过点作的平行线交轴于点，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在一动点，使是等腰三角形？若存在，请直线写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，点、分别在线段、上，． (1)求、两点的坐标； (2)求的度数； (3)如果的面积是面积的，求点的坐标． 【变式1-3】（22-23八年级下·上海静安·期中）已知：直线与轴交于点，与轴交于点，将绕着坐标原点逆时针旋转，与轴交于点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积． 考点二：一次函数与反比例函数综合 例2.（24-25八年级下·上海·月考）如图所示，直线与两坐标轴分别交于点A、B，双曲线的图象与该直线交于点C、D，已知，点C的横坐标为2． (1)求a，k的值； (2)点E在y轴上，满足，求点E的坐标； (3)点M在x轴上，满足，求点M的坐标． 【变式2-1】（22-23八年级上·上海·月考）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，在第一象限内与反比例函数图像交于点，垂直于轴，垂足为点，且，设点是该反比例函数图像上一点，若的面积是6，求点的坐标． 【变式2-2】已知反比例函数与一次函数的图像都经过点，且一次函数的图像与x轴交于点B． (1)求a、k的值； (2)直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D，那么请确定与的大小关系； (3)若点E为x轴上一动点，是否存在以为腰的等腰，如果存在请写出E点坐标，如果不存在，请说明理由． 【变式2-3】已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点．点C为函数的图像上一点，过点C作轴，交反比例函数的图像于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)如果，求点C的坐标； (3)如果，求点D的坐标． 【变式2-4】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，且，与反比例函数的图像交于点，，且． (1)求一次函数的解析式； (2)点在轴负半轴上，当的面积为4时，求点的坐标． 【变式2-5】（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出和的交点D的坐标，并根据图像法观察，直接写出当时，求x的取值范围． 【变式2-6】如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数）的图象交于点和．    (1)求一次函数的解析式． (2)求的面积． (3)若点E是x轴上一动点，且，请直接写出点E的坐标． 【变式2-7】（22-23八年级下·上海长宁·期中）如图，在直角坐标平面内，直线经过，且分别与y轴、双曲线交于点B、点．    (1)分别求k与m的值； (2)向下平移直线，使得新的直线分别与y轴、双曲线交于点D、点E．如果，求点E的坐标． 【变式2-8】将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）． (1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积； (2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值； (3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，且点P正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式． 【变式2-9】如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作于点，求的值； （3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标． 考点三：一次函数与几何综合 例3. （2023八年级下·上海·专题练习）函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以线段为边在第一象限内作等边． (1)求点的坐标； (2)将沿着直线翻折，点落在点处，求直线的解析式； (3)在轴上是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式3-1】（24-25八年级下·上海·月考）已知直线与直线都经过点． (1)求的值； (2)当________时，； (3)求这两条直线与轴围成的三角形的面积． 【变式3-2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，直线 分别交轴、轴于两点，交双曲线于点，过点 分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接． (1)求证：平分； (2)对于任意非零的实数，求证：为定值，并求出该定值； (3)是否存在直线，使得点为线段的中点？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】（24-25八年级下·上海·月考）已知一条直线经过点，点，将这条直线向左平移与轴负半轴、轴负半轴分别交于点、点，使． (1)求以直线为图象的解析式； (2)过顶点的直线将的面积平分，请直接写出直线的解析式． 【变式3-4】（23-24八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴的交点分别为点A和点B． (1)求的周长； (2)如果直线l经过线段的中点C，且与直线平行，求直线l、直线与轴围成的三角形的面积． 【变式3-5】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求的长和点的坐标； (2)若点在直线上，且的面积等于5，求点坐标； (3)求直线的解析式． 【变式3-6】（24-25八年级下·上海·月考）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以为边在第二象限内作等边． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上有一点，求的面积． (3)在x轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-7】（24-25八年级下·上海·月考）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、． (1)求的面积及点到直线的距离； (2)若第三象限存在一点，如图2所示，使得，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，双曲线图像上有一点，满足，直接写出所有满足条件的点坐标． 【变式3-8】（22-23八年级下·上海·月考）如图，直线经过点，与轴交于点，点在轴上． (1)求的值； (2)动点在线段上运动，连接、．设的面积为，求出与之间函数关系式，并写出的取值范围； (3)能否为等腰三角形；若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【变式3-9】（22-23八年级下·上海浦东新·月考）如图已知一次函数的图像与坐标轴交于A、B点，点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合），过点B作，垂足为F，联结， (1)点B的坐标为___________． (2)当直线的表达式为时，求此时的面积． (3)设，，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 【变式3-10】如图，已知点A（0，6），点C（3，0），将线段AC绕点C顺时针旋转，点A落在点B处，点D是x轴上一动点． (1)求直线BC的解析式； (2)联结B、D．若，求点D的坐标； (3)联结A、D交线段BC于点Q，且∠OAC＝∠CAQ．求△BCD的面积． 【变式3-11】（24-25八年级下·上海·期中）如果直线与直线相交于点，且夹角为，则称为为的半直交线，点为半直交点，这个的角为半直角． (1)若直线为轴，直线的解析式为，当为的半直交线时，的值为______； (2)直线分别与轴，轴交于，两点，点是轴上点右侧的一点，且，点在直线上，其横坐标为，判断是否为半直角，并说明理由； (3)直线的解析式为，与轴交于点，与轴交于点，点是轴上的一个动点，直线是直线的半直交线，求点的坐标． 【变式3-12】（24-25八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，直线向上平移2个单位后与直线重合，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出点A的坐标，求直线的表达式； (2)直线与直线交于点C，与x轴交于点D，求的面积． 【变式3-13】（24-25八年级下·上海金山·期中）已知直线的图像与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限作等边三角形． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标； (3)点，在直线上是否存在一点使得三角形为等腰三角形？若存在直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【变式3-14】（24-25八年级下·上海·期中）如图，直线分别交轴、轴于点和点，点在直线上． (1)求的值； (2)已知是轴上的点，如果的面积为4，求点的坐标． 【变式3-15】（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知点，点，将直线绕点顺时针旋转，点落在点处， (1)求点坐标． (2)已知点是内一点，求的取值范围． (3)点是轴上一动点（不与原点重合），直线与的夹角和相等，请直接写出点坐标． 【变式3-16】（24-25八年级下·上海·期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； (3)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 【变式3-17】（24-25八年级下·上海黄浦·期中）探究活动 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】    （1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角，直接写出第三个点的坐标是 ； （2）如图1，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【变式3-18】（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分． (1)求点A，B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)当时，试在直线上找一点P，使得，直接写出点P的坐标． 【变式3-19】（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3-20】（23-24八年级下·上海黄浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 【变式3-21】（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【变式3-22】在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点；直线：与轴交，两直线交于轴上一点． (1)求这两条直线的解析式； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． (3)若点在直线上，且满足与的面积相等，求点的坐标． 一、单选题 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下面是两位同学对于某个一次函数（k、b为常数，且）图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·上海虹口·期末）甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（    ）    （1）山的高度为340米 （2）甲乙二人不同时出发 （3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟 （4）乙出发分钟后登顶 （5）甲出发5分钟后追上乙 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 4．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如果直线经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是 ． 5．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是 ． 6．（23-24八年级下·上海青浦·期末）将直线平移，使其经过点，平移后的直线的表达式是 ． 7．（23-24八年级下·上海金山·期末）已知直线的截距等于1，且经过点，那么这条直线的表达式是 ． 8．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果、是一次函数图象上不同的两点，那么 0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 9．（22-23八年级下·上海静安·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点与点为“坐标轴等距点”．已知点A的坐标为，如果点B在直线上，且A，B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为 ． 10．（22-23八年级下·上海长宁·期末）已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于（升），那么这辆汽车装满油后至多行驶 （千米）后需要再次加油．    11．（23-24八年级下·上海静安·期末）如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“等值点”，比如：点是函数图像上的“等值点”．已知点，点B是函数图像上的“等值点”，点C是函数图像上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点D的坐标是 ． 三、解答题 12．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 13．（24-25八年级下·上海·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，将直线向右平移个单位，交反比例函数在第一象限的图像于C、D两点，联结． (1)求点A坐标； (2)如果，且满足，求k的值； (3)延长交x轴于点E，如果，且四边形为等腰梯形，求m的值． 14．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一次函数综合题（7知识点+3核心考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 一次函数的概念 知识点02 一次函数的图象 知识点03 一次函数（y=kx+b（k≠0）） ①当时，函数值y随自变量x的值增大而增大； ②当时，函数值y随自变量x的值增大而减小； 知识点04 k、b对直线y=kx+b位置的影响 经过第一、二、三象限 经过第一、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、二、四象限 经过第二、四象限 经过第二、三、四象限 知识点05 一次函数的应用 （1）根据实际问题建立一次函数解析式的方法 ①找等量关系；②把已知的条件代入，变化的两个量用变量x、y来表示；③求定义域：既要根据解析式又要根据实际意义求定义域. （2）利用一次函数解决决策问题 ①先根据题意建立函数解析式；②再根据解析式画函数的图像；③根据图像作出决策. 考点一：一次函数图象与坐标轴的交点问题 例1．（24-25八年级下·上海·月考）已知直线和直线．求： (1)这两条直线的交点A的坐标； (2)这两条直线与x轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数的交点的问题，与坐标轴围成的三角形面积问题： （1）联立函数解析式，解方程组即可求解交点坐标； （2）分别求出两直线与轴交点坐标，即可确定三角形的底，再用面积公式求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：， ∴交点坐标； （2）解：对于，当时，，解得：， ∴直线与轴交于点； 对于，当时，，解得：， ∴直线与轴交于点， ∴两条直线与x轴所围成的三角形的面积为． 【变式1-1】（23-24八年级下·上海闵行·月考）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且它们都经过点． (1)求点、点坐标； (2)过点作的平行线交轴于点，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在一动点，使是等腰三角形？若存在，请直线写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或或 或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了一次函数的综合，涉及一次函数与二元一次方程，一次函数与坐标轴交点问题，等腰三角形的性质，掌握灵活运用这些知识是解题的关键． （1）根据点求出直线、的解析式，即可求解； （2）根据，可设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析，即可求出点的坐标； （3）分为三种情况讨论：①以为底时；②以为底时；③以为底时；根据等腰三角形的性质列出方程即可求解． 【详解】（1）解：直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， ， 直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， 解得：， ； （2）， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ； （3）①以为底时， ，， ， 设， ， ， 或； ②以为底时，则， 设，且， ， 解得：（舍去）或， ； ③以为底时，点在的中垂线上， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或或 或． 【变式1-2】（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，点、分别在线段、上，． (1)求、两点的坐标； (2)求的度数； (3)如果的面积是面积的，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）将，分别代入，即可求解， （2）计算的边长，求出，由，根据等边对等角，三角形外角定理，即可求解， （3）作，设，由“的面积是面积的”列出等量关系式，求出的长度，即可求解， 本题考查了，一次函数图像上的点，含角的直角三角形，勾股定理，三角形外角定理，解题的关键是：根据题意列出等量关系． 【详解】（1）解：当时，，解得：， ∴点， 当时，，解得：， ∴点； （2）解：∵，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点作，垂足为点， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：，， ∵、分别在线段、上， ∴，即：，解得：， ∴， .∴点． 【变式1-3】（22-23八年级下·上海静安·期中）已知：直线与轴交于点，与轴交于点，将绕着坐标原点逆时针旋转，与轴交于点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积． 【答案】(1)，； (2)或． 【知识点】根据旋转的性质求解、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）先求出、的长，进而利用旋转的性质即可得解； （2）由，，求出点的坐标，进而即可求得的面积． 【详解】（1）解：对于直线， 令得，解得， 令，得， ∴直线与轴交于点，与轴交于点， ∴，， ∵将绕着坐标原点逆时针旋转，与轴交于点，与轴交于点， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵过点作直线与轴交于点， ∴或， ∵， ∴当时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，坐标与图象以及旋转图形的性质，熟练掌握一次函数的性质时解题的关键． 考点二：一次函数与反比例函数综合 例2.（24-25八年级下·上海·月考）如图所示，直线与两坐标轴分别交于点A、B，双曲线的图象与该直线交于点C、D，已知，点C的横坐标为2． (1)求a，k的值； (2)点E在y轴上，满足，求点E的坐标； (3)点M在x轴上，满足，求点M的坐标． 【答案】(1)，； (2)点E的坐标为或； (3)点M的坐标为或． 【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合问题． （1）先求得和，利用待定系数法求得直线，再求得，据此求解即可； （2）联立求得，根据三角形面积公式列式得到，求得，据此求解即可； （3）设，利用勾股定理列式得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 将代入， 得， 解得， ∴直线， 当，则， ∴， ∵双曲线的图象经过点， ∴； （2）解：由（1）得双曲线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∵， ∴点E的坐标为或； （3）解：设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，即， 整理得， 解得或， ∴点M的坐标为或． 【变式2-1】（22-23八年级上·上海·月考）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，在第一象限内与反比例函数图像交于点，垂直于轴，垂足为点，且，设点是该反比例函数图像上一点，若的面积是6，求点的坐标． 【答案】或 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】设反比例函数为，根据题意求得点、的坐标，求得反比例函数的解析式，设，根据的面积是6，即可求解． 【详解】解：设反比例函数为， 直线与轴交于点，则， 由可得， ，即， 则，即， 设，到的距离为， 由的面积是6可得， 解得或， 即或 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及了三角形面积，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质，正确求得反比例函数的解析式． 【变式2-2】已知反比例函数与一次函数的图像都经过点，且一次函数的图像与x轴交于点B． (1)求a、k的值； (2)直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D，那么请确定与的大小关系； (3)若点E为x轴上一动点，是否存在以为腰的等腰，如果存在请写出E点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【知识点】反比例函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是反比例函数、反比例函数与一次函数的交点的求法以及等腰三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、利用二元二次方程组求出反比例函数与一次函数的交点坐标是解题的关键； （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出a的值，代入一次函数求出k; （2）根据坐标与图形的关系，证明得到答案; （2）分和两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可. 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， ， 将代入一次函数的图像得， ， 解得：； （2）解：直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D， ， 解得，， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， 如图，作轴，轴， ，点A的坐标为， ，， 点C的坐标为 ，， 在和中， ， ， ． （3）点B的坐标为，点C的坐标为， ， 当点在点的左侧，时，点的坐标为； 当点在点的右侧，时，点的坐标为； 当点在点的左侧，时，点的坐标为； 当点E的坐标为、、时，是以为腰的等腰三角形． 【变式2-3】已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点．点C为函数的图像上一点，过点C作轴，交反比例函数的图像于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)如果，求点C的坐标； (3)如果，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)C（4，6） (3)D（10，1）． 【知识点】公式法解一元二次方程、解分式方程（化为一元一次）、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）由一次函数的解析式求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）求得A的坐标，然后根据中点公式即可求得点C的坐标； （3）根据等腰三角形的性质，则CD的中点的纵坐标为点B的纵坐标，据此列分式方程求得即可． 【详解】（1）解：∵一次函数y＝x+4的图象与反比例函数(x＞0)的图像交于点B（a，5）， ∴5=a+4， ∴a=2， ∴点B（2，5）， ∴m=2×5=10， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵一次函数y＝x+4的图像与y轴交于点A， 令 则 ∴A（0，4）， ∵点B（2，5），BC=AB， ∴C（4，6）； （3）设，则， 如图，过B作于H， ∵B（2，5），BC=BD， 轴， ∴CD的中点的坐标为（c，5）， ∴ 整理得： 解得c1=2，c2=10， 经检验：它们都是原方程的根，但是不符合题意，舍去， ∴D（10，1）． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，分式方程的解法，求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【变式2-4】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，且，与反比例函数的图像交于点，，且． (1)求一次函数的解析式； (2)点在轴负半轴上，当的面积为4时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、等腰三角形的性质和判定、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，等腰三角形的判定与性质等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）过点D作轴于点H，联结，根据，确定均是等腰直角三角形，继而求出坐标，再由待定系数法即可求解； （2）先求出点D坐标，再求出反比例函数解析式，再联立反比例函数与一次函数解析式求出交点C坐标，最后由即可求解． 【详解】（1）解：过点D作轴于点H，联结， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 将，代入 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：将代入 得，， 解得：， ∴， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为， 联立反比例函数和一次函数解析式得， 解得：或， ∴， 如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点在轴负半轴上， ∴． 【变式2-5】（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出和的交点D的坐标，并根据图像法观察，直接写出当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)，或 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键求出函数解析式，利用数形结合的思想， （1）在中，，，再用待定系数法即可求解； （2）求出点D坐标，观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， 故点A、B的坐标分别为、， 将点A、B的坐标代入直线的表达式得，， 解得：， 故直线的表达式为； 当时，， 点C的坐标为， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得， 解得：， 故反比例函数的解析式； （2）解：直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D， 联立， 解得：或 ， 点C在第一象限，点D在第三象限， 点D坐标为， 观察图象知，当时，x的取值范围是或． 【变式2-6】如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数）的图象交于点和．    (1)求一次函数的解析式． (2)求的面积． (3)若点E是x轴上一动点，且，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)15 (3)点E的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）设一次函数解析式为，先将代入，求得反比例函数解析式，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求得点A坐标，利用待定系数法即可求解； （2）求得点D的坐标，根据即可求解． （3）分两种情况讨论，①过点A作轴，则，即可得到，②作，交y轴于点F，过点A作轴，设，则，由勾股定理求得点F坐标，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将代入，可得， ∴， 将代入， 可得， ∴， 将和代入， 可得，解得：， ∴； （2）当时，， 解得：， ∴， （3）解： 如图，过点A作轴，    则， ∴， ∵ ∴， 如图，作，交y轴于点F，过点A作轴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得， ∴，， 设直线的解析式为，代入，， 可解得， 当时，， ∴， 综上，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，以及勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键． 【变式2-7】（22-23八年级下·上海长宁·期中）如图，在直角坐标平面内，直线经过，且分别与y轴、双曲线交于点B、点．    (1)分别求k与m的值； (2)向下平移直线，使得新的直线分别与y轴、双曲线交于点D、点E．如果，求点E的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、等腰三角形的性质和判定、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将点代入即可得出k的值，再求出点C的坐标，最后将点C的坐标代入即可求出m的值； （2）根据平移的性质，设平移后直线的函数表达式为，则，，过点E作轴于点F，得出，则，进而得出，把代入求出b的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入得： ， 解得：， ∴该直线的函数表达式为：， 将点代入得：， ∴， 将点代入得：， ∴该双曲线的函数表达式为：， 综上：，； （2）解：把代入得：， ∴， 设平移后直线的函数表达式为：， 把代入得：， ∴， ∴， 过点E作轴于点F， ∵， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：，， ∴或．    【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握函数平移规律，等腰三角形的性质，以及一次函数和反比例函数图象上点在坐标特征． 【变式2-8】将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）． (1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积； (2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值； (3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，且点P正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式． 【答案】(1)84 (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先求出点B坐标，继而可得OB，由翻折性质可得：，根据勾股定理可得OC的长，根据三角形面积公式即可求解； （2）设，，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的长，从而得到点A坐标，将点A（，0）代入可得k的值； （3）连接CE交AB于点P，由轴对称的性质可得当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，将直线AB和直线CE的解析式联立可得点P，继而即可求得反比例函数解析式． 【详解】（1）∵将代入，得：， ∴点B（0，-7）， ∴， 又∵点D（0，18），即， ∴， 由翻折的性质可得：， 在Rt△BOC中，由勾股定理可得：， ∴直线BC的坐标三角形的面积； （2）设，， ∵在Rt△AOB中，由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴点A（，0）， ∵将点A（，0）代入，得：， ∴， （3）如图，连接CE交AB于点P， ∵点C与点D关于直线AB对称， ∴， ∴， ∴当点P、C、E在一条直线上时，有最小值， 又∵DE的长度不变， ∴当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小， 设直线CE的解析式， 将点C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：， 解得：， ∴直线CE的解析式， 联立， 解得：， ∴点P（-9，5）， 设反比例函数解析式为， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【点睛】本题考查一次函数的综合运用，涉及到翻折的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，解题的关键是求得各直线解析式，明确当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小． 【变式2-9】如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作于点，求的值； （3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3），，． 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据题意为等腰直角三角形，过点分别作轴于，轴于，则设，根据一次函数的图像经过点,求得的值，进而求得的坐标,即可求得反比例函数解析式； （2）根据在中，①，在中，②，①－②即可求得； （3）分三种情况讨论①若，，如图，连接，证明，进而求得，从而求得的坐标，即可求得点的坐标；②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为，证明，设，由，可得，解方程即可求得点坐标；③若，如图，过点作轴于，过作轴于，证明，设，则，由，可得，解方程即可求得点坐标；综合①②③即可求得所有的坐标． 【详解】（1）过点分别作轴于，轴于，如图， 四边形是矩形， 是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ， 设， 点在直线上， ， 解得， ， 反比例函数（）的图像经过点， ， ， 反比例函数的解析式为； （2） , 把代入，解得， ， ， 在中，①， 在中，②， ①-②,得， （3）①若，，如图，连接， 在与中， ， ， ， 又， ， 即， ， ， 把代入，得， ， ②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为， 在与， ， ， ， 设，则， 由， 可得， 解得， 经检验，m是原方程的解， ， ， ， ③若，如图，过点作轴于，过作轴于， 在与中， ， ， ， 设，则， 由， 可得， 解得， 经检验，m是原方程的解， ， ， ， 综上所述，存在点符合题意，其坐标为，，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，解可化为一元二次方程的分式方程，掌握以上知识是解题的关键． 考点三：一次函数与几何综合 例3. （2023八年级下·上海·专题练习）函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以线段为边在第一象限内作等边． (1)求点的坐标； (2)将沿着直线翻折，点落在点处，求直线的解析式； (3)在轴上是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】（1）可先求得A、B坐标，再求得，从而可证得轴，则可求得C点坐标； （2）由对称性可知点D在y轴上，可求得D点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）可设，可表示出和的长，分和三种情况，可分别得到关于t的方程，则可求得t的值，可求得E点坐标． 【详解】（1）解：在中，令可解得，令可得， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴轴， ∴； （2）解：∵将沿着直线翻折，点C落在点D处， ∴， ∴点D在y轴上，且， ∴， ∴可设直线解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线解析式为； （3）解：假设存在E点，使为等腰三角形，其坐标为， ∵， ∴，，且， 若为等腰三角形，则有和三种情况， ①当时，则有，即，解得，此时E点坐标为； ②当时，则有，即，解得或，此时E点坐标为或； ③当时，则有，即，解得（与A点重合，舍去）或，此时E点坐标为； 综上可知存在满足条件的E点，其坐标为或或或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及勾股定理、等边三角形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中证得轴是解题的关键，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中用E点坐标分别表示出的长是解题的关键． 【变式3-1】（24-25八年级下·上海·月考）已知直线与直线都经过点． (1)求的值； (2)当________时，； (3)求这两条直线与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2) (3)5 【知识点】求一次函数解析式、比较一次函数值的大小、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的几何应用，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键． （1）先将点代入直线得的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入直线即可得的值； （2）画出两个一次函数的大致图像，结合函数图像求解即可得； （3）先分别求出两个一次函数与轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入直线得：， ∴， 将点代入直线得：， 解得． （2）解：由（1）可知，，， 在平面直角坐标系中，画出两个一次函数的大致图像如下： 由函数图像可知，当时，， 故答案为：． （3）解：如图，设直线与轴交于点，直线与轴交于点， 对于直线，当时，，即， 对于直线，当时，，即， ∴， ∵， ∴的边上的高为， ∴的面积为， 即这两条直线与轴围成的三角形的面积为5． 【变式3-2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，直线 分别交轴、轴于两点，交双曲线于点，过点 分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接． (1)求证：平分； (2)对于任意非零的实数，求证：为定值，并求出该定值； (3)是否存在直线，使得点为线段的中点？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，定值为 (3)存在直线,使得点为线段的中点，直线的解析式为 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（）由一次函数解析式可得，即得，得到，进而可得，即可求证； （）设点的坐标为，可得，即得，同理可得，得到，即可求证； （）由点为线段的中点得，进而可得，得到，即得到，代入反比例函数解析式可得，即可求解． 【详解】（1）证明：把代入，得；把代入，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）证明：设点的坐标为， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又由（）可知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为； （3）解：存在，理由如下： 当点为线段的中点时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或（不合，舍去）， ∴直线的解析式为， 即存在直线,使得点为线段的中点，直线的解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式3-3】（24-25八年级下·上海·月考）已知一条直线经过点，点，将这条直线向左平移与轴负半轴、轴负半轴分别交于点、点，使． (1)求以直线为图象的解析式； (2)过顶点的直线将的面积平分，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1)直线为图象的解析式； (2)直线的解析式为或或． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合、三线合一 【分析】（）利用待定系数法求直线解析式为，再通过等腰三角形的性质求出点，又这条直线向左平移与轴负半轴、轴负半轴分别交于点、点，则设直线为图象的解析式为，然后把点代入即可求解； （）设中点为，中点为，中点为，分别求出，，，然后利用待定系数法求解析式即可； 本题考查了待定系数法求解析式，一次函数平移，等腰三角形的性质，三角形中线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线解析式为，且过点，点， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵， ∴， ∵点， ∴点， ∵将这条直线向左平移与轴负半轴、轴负半轴分别交于点、点， 设直线为图象的解析式为， ∴，解得：， ∴直线为图象的解析式； （2）解：如图，设中点为，中点为，中点为， ∴，，， ∵点，点，点， ∴，，， ∴设直线即直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 同理：直线解析式为，直线解析式为， 综上可知：直线的解析式为或或． 【变式3-4】（23-24八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴的交点分别为点A和点B． (1)求的周长； (2)如果直线l经过线段的中点C，且与直线平行，求直线l、直线与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要是考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，根据勾股定理求的长，问题可求解； （2）设，由题意易得，然后可得直线l的表达式为，进而问题可求解 【详解】（1）解：令时，则有，令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为； （2）解：∵点在直线上，可设． ∵点是中点， ∴． ∴， 解得，，， 经检验，均是原方程的根，但是， ∴符合题意，不符合题意（舍去）， 即， 依题意可设直线l的表达式为． 把代入中，得，∴． ∴直线l的表达式为， 设直线l与轴的交点为点D， ∴点D的坐标为， ∴． 过作轴，垂足为点， ∴． 那么直线l、直线与轴围成的三角形的面积为 【变式3-5】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求的长和点的坐标； (2)若点在直线上，且的面积等于5，求点坐标； (3)求直线的解析式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出，，根据勾股定理即可求出，根据折叠的性质可知，求出，即可求出点C的坐标； （2）根据的面积等于5，和三角形的面积公式得出点P的纵坐标绝对值为2，则点P的纵坐标为2或，把点P纵坐标代入，即可求出点P的坐标； （3）设，则，根据列出方程，求出t的值，得出点D坐标，再设直线的解析式为，把，代入得，求出k和b的值即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴，则， 把代入得：， 解得：， ∴，则， ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的面积等于5， ∴， ∵， ∴，则或， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 综上：或； （3）解：设，则， ∵将沿直线折叠得到， ∴， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点坐标，一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求解一次函数解析式的方法，成轴对称的两个图形对应边相等，以及勾股定理的内容． 【变式3-6】（24-25八年级下·上海·月考）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以为边在第二象限内作等边． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上有一点，求的面积． (3)在x轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、等边三角形的性质、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】（1）首先令，解方程得到，然后根据勾股定理求出的长，根据等边三角形的性质证明，得到点的坐标为；设直线的解析式为．解方程组即可得到结论； （2）求出，过点作轴于点H，求出，，根据，即可求解； （3）设出点，分，，三种情况，列方程即可得出结论． 【详解】（1）解：将代入，则； 令，解得：； ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 过点A作于点G， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴点纵坐标为2， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点在直线上， 则，解得：， ∴， 如图，过点作轴于点H， 则， ∴， ∴， ； （3）解：设， ∵， ∴， 当时，即， 则， 解得：， ∴点M的坐标为； 当时，即， 则， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，即， 则， 解得：或， ∴点M的坐标为或； 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，等腰三角形的性质，要充分利用函数图象的性质是解决此题的关键． 【变式3-7】（24-25八年级下·上海·月考）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、． (1)求的面积及点到直线的距离； (2)若第三象限存在一点，如图2所示，使得，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，双曲线图像上有一点，满足，直接写出所有满足条件的点坐标． 【答案】(1)6， (2) (3)或或或 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）分别令，求出的坐标，三角形的面积公式求出的面积，等积法求出点到直线的距离即可； （2）过点作轴的平行线，作，证明，进行求解即可； （3）根据，过点作的平行线，等距平移，在的上方作的平行线，两条平行线与双曲线的交点即为点． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点到直线的距离为， 则：， ∴； ∴点到直线的距离为． （2）过点作轴的平行线，作， 则：，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：； （3）①过点作的平行线，设解析式为， 把代入，得：， ∴， ∴， ∴当点在直线上时，， 联立，解得：或， ∴或； ②将直线向上平移个单位，得到直线， 则：当点在直线上时，， 联立，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 【变式3-8】（22-23八年级下·上海·月考）如图，直线经过点，与轴交于点，点在轴上． (1)求的值； (2)动点在线段上运动，连接、．设的面积为，求出与之间函数关系式，并写出的取值范围； (3)能否为等腰三角形；若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，点坐标为或或或 【知识点】等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）将点的坐标代入直线中，即可求出； （2）利用三角形的面积公式即可得出与之间函数关系式，并写出的取值范围； （3）利用等腰三角形的性质分三种情况，建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：直线经过点， ， ； （2）点，点， 的面积为 ， ， 直线与轴交于点， ， ； （3）点，点， 则 ，，， Ⅰ、当时，， 解得：或， 或； Ⅱ、当时，， 解得：， ； Ⅲ、当时，， 解得：（舍去）或， ； 综上所述，能为等腰三角形，满足条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 【变式3-9】（22-23八年级下·上海浦东新·月考）如图已知一次函数的图像与坐标轴交于A、B点，点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合），过点B作，垂足为F，联结， (1)点B的坐标为___________． (2)当直线的表达式为时，求此时的面积． (3)设，，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)8 (3)， 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）求出时的值，即可得解； （2）先求出点的坐标，进而求出，的长，勾股定理求出的长，等积法，求出的长，勾股定理求出的长，过点作于点，再用等积法求出的长，然后利用面积公式求出的面积即可． （3）同法（2），利用等积法求出函数解析式即可，根据点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合），确定定义域即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与坐标轴交于A、B点， 当时，，解得：， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，当时，；当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， 过点作于点， 则：，即：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴； ∵点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合）， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用．解题的关键是正确的求出点的坐标，利用等积法和勾股定理求线段的长． 【变式3-10】如图，已知点A（0，6），点C（3，0），将线段AC绕点C顺时针旋转，点A落在点B处，点D是x轴上一动点． (1)求直线BC的解析式； (2)联结B、D．若，求点D的坐标； (3)联结A、D交线段BC于点Q，且∠OAC＝∠CAQ．求△BCD的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）过B点作BM⊥x轴交于M，证明（AAS），求出B（9，3），再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线AC的解析式，由，可设直线BD的解析式为，将点B（9，3）代入求解，从而可得答案； （3）作O点关于直线AC的对称点E，联结AE与x轴交于D，与线段BC交于Q，设CD=y，ED=x，由勾股定理得，①，②，联立①②可得x=4，y=5，即可求D（8，0），再求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，过B点作BM⊥x轴交于M， ∵∠ACB＝， ∴∠ACO+∠BCM＝， ∵∠ACO+∠OAC＝， ∴∠BCM＝∠OAC， ∵AC＝BC，∠AOC＝∠CMB＝， ∴△ACO≌△CBM（AAS）， ∴BM＝OC，CM＝AO， ∵A（0，6），C（3，0）， ∴BM＝3，CM＝6， ∴B（9，3）， 设直线CB的解析式为y＝kx+b， ∴ 解得 ， ∴； （2）设直线AC的解析式为， ∴ ， 解得 ∴， ∵， 设直线BD的解析式为， ∵B（9，3）， ∴， 解得， ∴， ∴ （3）作O点关于直线AC的对称点E，联结AE与x轴交于D，与线段BC交于Q， 由对称性可知，∠OAC＝∠CAQ， ∵A（0，6），C（3，0）， ∴OA＝AE＝6，OC＝CE＝3， 设CD＝y，ED＝x， ∴ 解得（不合题意的根舍去） ∴CD＝5， ∴D（8，0）， ∴ 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，二元二次方程组的解法是解题的关键． 【变式3-11】（24-25八年级下·上海·期中）如果直线与直线相交于点，且夹角为，则称为为的半直交线，点为半直交点，这个的角为半直角． (1)若直线为轴，直线的解析式为，当为的半直交线时，的值为______； (2)直线分别与轴，轴交于，两点，点是轴上点右侧的一点，且，点在直线上，其横坐标为，判断是否为半直角，并说明理由； (3)直线的解析式为，与轴交于点，与轴交于点，点是轴上的一个动点，直线是直线的半直交线，求点的坐标． 【答案】(1)或 (2)是半直角，理由见解析 (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）易得直线与直线相交于点，分两种情况：当时，当时，根据半直交线的定义，求出与轴的交点，即可求出值； （2）根据题意，画出图象，过点作轴于点，证明，推出，进行判断即可； （3）分点在点的左侧和右侧，两种情况，进行讨论求解． 【详解】（1）解：直线的解析式为， 当时，，即直线必过； 直线为轴，直线的解析式为，为的半直交线， 点，直线与轴的夹角为， ， 当时：如图，， 则：， ， ， 将代入得：， 解得：； 当时：如图， 同法可得：， 将代入得：， 解得：； 综上：的值为或， 故答案为：或； （2）是半直角，理由如下： ，当时，，当时，， ，， ， 点是轴上点右侧的一点，且， ， ， 点在直线上，其横坐标为， ， 过点作轴于点， ， 则，， ，， 又， ， ， ， ， ， 是半直角； （3），当时，；当时，， ，， ，； 当点在点左侧时，过点作，过点作轴于点， 则：， ， ， 直线是直线的半直交线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为：，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 解得：， ； 当点在点右侧时，过点作，交直线于点，过点作轴于点， 同法可证：， ，， ， ， 设直线的解析式为：，将、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 解得： ； 综上：或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形，解题的关键是掌握相关知识并分类讨论． 【变式3-12】（24-25八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，直线向上平移2个单位后与直线重合，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出点A的坐标，求直线的表达式； (2)直线与直线交于点C，与x轴交于点D，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，正确求出直线解析式是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律即可求出直线解析式，进而可求出点A坐标； （2）联立两函数解析式求出点C坐标，再求出点D坐标，最后利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵直线向上平移2个单位后与直线重合， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：联立，解得， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-13】（24-25八年级下·上海金山·期中）已知直线的图像与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限作等边三角形． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标； (3)点，在直线上是否存在一点使得三角形为等腰三角形？若存在直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【知识点】公式法解一元二次方程、求一次函数解析式、一次函数与几何综合、等边三角形的性质 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、等腰三角形的定义、解一元二次方程、全等三角形的判定与性质等知识，分类讨论求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求直线解析式即可； （2）过点B作于点G，如图，先利用等边三角形的性质求得，，再证明推导出轴，进而可求解； （3）由题意，设，分、、三种情况，利用两点坐标距离公式和一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：∵直线的图像与轴，轴分别交于，两点， ∴，解得 ∴直线的解析式为； （2）解：由，得，，， ∵是等边三角形， ∴， 过点B作于点G，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴点C坐标为； （3）解：存在．由题意，设， ∵， ∴， ， ， 当时，即， 则， 解得：或 ∴点P的坐标为或； 当时，即， 则， 解得：， ∴点P的坐标为； 当时，即， 则， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴点P的坐标为； 综上，满足条件的点P的坐标为或或或． 【变式3-14】（24-25八年级下·上海·期中）如图，直线分别交轴、轴于点和点，点在直线上． (1)求的值； (2)已知是轴上的点，如果的面积为4，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据直线上的点的坐标满足直线的解析式来求解和的值； （2）设，则可求，利用求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， ∴直线， ∵点在直线上， ∴， 解得：． （2）解：如图，设， ∵点在轴上，且在直线上， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴点到轴的距离为，点到轴的距离为， ∵的面积为， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴点的坐标为或． 【变式3-15】（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知点，点，将直线绕点顺时针旋转，点落在点处， (1)求点坐标． (2)已知点是内一点，求的取值范围． (3)点是轴上一动点（不与原点重合），直线与的夹角和相等，请直接写出点坐标． 【答案】(1)点坐标为； (2)； (3)点坐标为． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，全等三角的判定与性质，求一次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作轴于点，则，由旋转性质可知：，，证明，然后根据全等三角形的性质可得，，再由线段和差求解即可； （）先求出解析式为，解析式为，由点是内一点，列出不等式组，然后解不等式组即可； （）设交轴于点，如图，当时，过作轴于点，证明四边形是矩形，，则，同上理可得直线解析式为，当时，，即有，则，然后利用线段和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点，则， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∴，， ∴， ∴点坐标为； （2）解：设解析式为，解析式为， ∴，， 解得：，， ∴设解析式为，解析式为， ∵点是内一点， ∴，即， 解得：； （3）解：设交轴于点， 如图，当时，过作轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点，点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同上理可得：直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 综上可知：点坐标为． 【变式3-16】（24-25八年级下·上海·期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； (3)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 【答案】(1)，或，或， (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键在于构造“一线三等角”的全等． （1）先求出，即，然后分三种情况讨论，利用“一线三等角”的全等进行求解即可； （2）先求出，则，过点作轴于点H，同上可证明：，，再由即可求解； （3）当时，，则可求，过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N，可得，同上可证明：，即可得到，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当， ∴，即， ①当，记直线交y轴于点D，如图： ∵直线与轴垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； ②，过点F作轴于点D，如图： 同理可证明：， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 当，记直线交y轴于点D，过点A作直线的垂线，垂足为点H，如图： 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 综上所述：，或，或，； （2）解：当，， 解得：， ∴， ∴， 过点作轴于点H， 同上可证明：， ∴， ∴； （3）解：当时，， 令，则， 解得， ∴， 过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N， ∵，， ∴， ∴， 同上可证明：， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入，得：, 解得：， ∴直线表达式为． 【变式3-17】（24-25八年级下·上海黄浦·期中）探究活动 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】    （1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角，直接写出第三个点的坐标是 ； （2）如图1，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或或或． 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）过点C作y轴的垂线，垂足为D，先求出A、B坐标得到的长，再证明推出的长即可得到答案； （2）先证可得，进而得到，最后根据待定系数法即可解答； （3）分，点P在x轴上方或下方和点P在x轴上方或下方，四种情况，分别运用全等三角形的判定与性质和二元一次方程组解答即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作y轴的垂线，垂足为D， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴； ∵是以B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点B作交直线l于点C，过点C作轴于D，    ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，当时，， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴； 设直线l对应的函数表达式为， 将和代入得    解得 ∴直线l解析式为． （3）当，，P在x轴的上方， 如图：过P作轴，交于M，交y轴于N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ①②联立解得：， ∴； 当，，P在x轴的下方， 如图：    同理可得， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ③④联立解得：， ∴； 当，，P在x轴的上方，如图 同理可证明， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ⑤⑥联立解得：， ∴；    当，，P在x轴的下方， 如图： 同理可证明， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ①②联立解得：， ∴．    综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质与判定、、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键． 【变式3-18】（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分． (1)求点A，B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)当时，试在直线上找一点P，使得，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的综合应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）对于，分别令和，求出y值和x值，即得出答案； （2）结合（1）可求出，由题意可知或．设，直线的解析式为，即得出．分类讨论：当时和当时，分别列方程求出t的值，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意结合（2）可知直线的解析式为．过点作x轴垂线，交直线于点C．设，则，即可求出，再根据三角形面积公式可求出，可求得，再分别求出即可． 【详解】（1）解：对于，令，则， ∴； 令，则， 解得：， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． ∵过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分， ∴或． 设，直线的解析式为， ∴． 当时，即， 解得：． ∴，即． 将，代入， 得：，解得：， ∴此时直线的解析式为； 当时，即， 解得：． ∴，即． 将，代入， 得：，解得：， ∴此时直线的解析式为． 综上可知直线的表达式为或； （3）解：∵， ∴由（2）可知，即此时直线的解析式为． 如图，过点作x轴垂线，交直线于点C． 设，则， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， 解得：． 当时，，即； 当时，，即． 综上可知点P的坐标为或． 【变式3-19】（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，解得，再进一步求出，即可求解； （3）连接，先证明四边形为菱形，再通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴轴交于，与轴交于， ∴令，则， ∴ 令，则， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ， ∴， 在上运动与重合时，与重合则， ∵与不重合， ∴． （3）解：连接，如图： ∶垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 且在上 ∴当与重合时， 如图： 当在A上方与重合时， ，， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 综上，为或． 【变式3-20】（23-24八年级下·上海黄浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，4或或或8 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）在中，当时，；当时，；即可得出答案；求出点，代入直线即可得出答案； （2）求出，则，；①设，则，过作于，由三角形面积S与t之间的函数关系式； ②过作于，则，，由勾股定理求出；分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【详解】（1）解在中，当时，； 当时，； ，； 点在直线上， ， 又点也在直线上， ， 解得：； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过作于，如图1所示： 则， ∴， ②存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则，， ， ； 、当时，， ， ； 、当时，如图2所示： 则， ，， ，或； 、当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， 与重合，， ， ； 综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式3-21】（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)点B的坐标为，点E的坐标为 (2) (3)是等腰三角形 (4)，定义域为 【知识点】一次函数与几何综合、角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，勾股定理，三角形的面积，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求出长，再利用解题即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）设点F的坐标为，利用勾股定理得到，求出点F的坐标，然后判断三角形的形状即可； （4）先利用勾股定理得到长，然后根据解题计算即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 过点E作于点H， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为； （2）设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （3）设点F的坐标为， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴点F的坐标为， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：由勾股定理可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵点是线段上的一个动点， ∴． 【变式3-22】在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点；直线：与轴交，两直线交于轴上一点． (1)求这两条直线的解析式； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． (3)若点在直线上，且满足与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)：，： (2)或或 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】把代入可得直线：，把，代入可得直线：； 设，又，，，分三种情况：若，为对角线，则，的中点重合，，解得；若，为对角线，，解得；若，为对角线，，解得； 设直线交于，设，可得，，根据与的面积相等，有，即可解得点的坐标为或 【详解】（1）解：把代入得：，解得， 直线：， 在中，令得， ， 把，代入得： ，解得， 直线：． （2）设， ∵，，， 若，为对角线，则，的中点重合， ，解得， ； 若，为对角线，同理可得： ，解得， ； 若，为对角线，可得： ，解得， ， 综上所述，的坐标是或或． （3）解：设直线交于，如图： 设， ， 在中，令得， ， ， ， 与的面积相等， ， 当时，，解得舍去， 当时，，解得， ， 当时， ，解得， ， 综上所述，点的坐标为或 ． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 一、单选题 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．根据一次函数和反比例函数的增减性逐项判定即可得． 【详解】解：A、一次函数中，，所以随的增大而增大，则此项符合题意； B、一次函数中，，所以随的增大而减小，则此项不符合题意； C、反比例函数中，，所以函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，则此项不符合题意； D、反比例函数中，，所以函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，则此项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下面是两位同学对于某个一次函数（k、b为常数，且）图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键． 根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【详解】解：∵该函数的图象经过点． ， 故， 故D正确，不符合题意； ∵该函数的图象不经过第三象限，经过点． ， 故， 故A、B正确，不符合题意； ， ， ， ， 故C错误，符合题意， 故选：C． 3．（22-23八年级下·上海虹口·期末）甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（    ）    （1）山的高度为340米 （2）甲乙二人不同时出发 （3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟 （4）乙出发分钟后登顶 （5）甲出发5分钟后追上乙 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】（1）由函数图象可直接判断； （2）由两函数图象与y轴的交点坐标作出判断； （3）由山的高度及甲的登山速度分析求解； （4）由函数图像分析乙的登山速度，从而求出其登山时间； （5）通过求函数解析式的交点坐标进行分析计算． 【详解】解：（1）由函数图象可得山的高度为340米，故此说法正确，符合题意； （2）由题意，甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，    由图象可得，， ∴甲出发时，乙已经距离地面米，即甲乙二人不同时出发，故此说法正确，符合题意； （3）由图象可得甲出发1分钟时，距离地面米， ∴甲在出发2分钟内的登山速度为米/分， 又∵已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶， ∴甲在出发2分钟后的登山速度为米/分， （分钟）， （分钟）， ∴甲登顶的时间为自己出发后7分钟，故此说法正确，符合题意； （4）由图象可得乙的登山速度为米/分 ∴乙的登山时间为（分），即乙出发42.5分钟后登顶，故此说法正确，符合题意； （5）设直线的函数解析式为，把，代入， ，解得， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为，把，代入， ，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得 ∴甲出发5分钟后追上乙，故此说法正确，符合题意， 正确的有5个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，关键是准确识图． 二、填空题 4．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如果直线经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件和一次函数的性质得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象与系数的关系，能得出关于m的不等式是解题的关键． 5．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】根据一次函数的性质，通过题中，可判断随着x的增大而增大，即可得答案． 【详解】解：， ， 随着x的增大而增大， 点在一次函数的图像上，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握，随着x的增大而增大． 6．（23-24八年级下·上海青浦·期末）将直线平移，使其经过点，平移后的直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，根据平移不改变的值，可设平移之后的直线的解析式为：，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设平移之后的直线的解析式为：， 将代入直线解析式得：， ∴平移后的直线的表达式是， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·上海金山·期末）已知直线的截距等于1，且经过点，那么这条直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据“直线的截距等于1，”计算求出b值，然后代入点即可得解． 【详解】解：直线的截距等于1， ， 直线经过点， ，解得， 这条直线的表达式是， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果、是一次函数图象上不同的两点，那么 0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小，即可比较出与，与的大小，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题． 【详解】， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∴若，则，若，则，故与始终异号，故． 故答案为：< 9．（22-23八年级下·上海静安·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点与点为“坐标轴等距点”．已知点A的坐标为，如果点B在直线上，且A，B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为 ． 【答案】或 【分析】设，由等距点的定义列方程计算即可，注意分类讨论，求出不同情况下的值即可． 【详解】∵点B在直线上， ∴设， 点到x、y轴的距离中的最小值为， 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， 由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，，解得或（舍去）， 此时； 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， 由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，，解得或（舍去）， 此时； 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， A，B两点不是“坐标轴等距点”； 综上所述，点B的坐标为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“坐标轴等距点”． 10．（22-23八年级下·上海长宁·期末）已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于（升），那么这辆汽车装满油后至多行驶 （千米）后需要再次加油．    【答案】 【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为升时行驶的路程，此题得解． 【详解】解：设该一次函数解析式为，将，，，代入得 ， 解得， 该一次函数解析式为． 当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 11．（23-24八年级下·上海静安·期末）如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“等值点”，比如：点是函数图像上的“等值点”．已知点，点B是函数图像上的“等值点”，点C是函数图像上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点D的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题在新定义下考查了两个函数图象交点，根据等值点定义得等值点在直线图象上，联立方程组，，求解方程组可求出点B，C的坐标，再根据等腰梯形的定义可得点D的坐标． 【详解】解：根据等值点定义得等值点在直线图象上， ∴联立方程组， 解得，， ∴， 联立， 解得，， ∴； 如图， ∴ ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴点的坐标为，或 故答案为：或． 三、解答题 12．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）令，求得；令，求得，即可得出点A、B坐标； （2）过点P作于C，设，则，，根据，得，求出值即可求解． （3）设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F，根据题意可求得，，再利用等积法求，，则，由点Q在第四象限，即可写出点Q坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴， 令，则， ∴． （2）解：如图，过点P作于C， ∵点P在直线上， ∴设， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）解：如图，设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q在第四象限， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点问题，直线与坐标轴围成的三角形面积问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，三角形的面积．熟练掌握利用等积法求高是解题的关键． 13．（24-25八年级下·上海·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，将直线向右平移个单位，交反比例函数在第一象限的图像于C、D两点，联结． (1)求点A坐标； (2)如果，且满足，求k的值； (3)延长交x轴于点E，如果，且四边形为等腰梯形，求m的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、已知两点坐标求两点距离、一次函数与反比例函数的交点问题、等腰梯形的性质定理 【分析】（1）先由待定系数法求出函数解析式，再令，解方程即可； （2）先根据平移求出直线表达式，设出点C的参数坐标，再由，根据两点间距离公式建立方程求解； （3）延长交轴于点，由等腰梯形的性质结合平行线导角得到，设，则，求得，求出直线表达式为，与反比例函数解析式联立求出，再直线表达式为：，则，那么． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴； （2）解：由题意得将向右平移2个单位后的点为，， ∴设直线表达式为：， 代入得，， 解得：， ∴直线表达式为， 设， ∵， ∴， 解得：（舍）或， ∴， 将代入得，， 反比例函数解析式为：； （3）解：延长交轴于点 ∵四边形是等腰梯形， ∴，, ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：， ∴， 设直线表达式为：， 代入，得：， 解得：， ∴直线表达式为， 与反比例函数解析式联立：， 解得：或（舍）， ∴， 将代入得，， 解得：， ∴直线表达式为：， 当，， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数的平移问题，解一元二次方程，两点间距离公式，等腰梯形的性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 14．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)正确，直线过定点 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①将点代入，求出m的值，进而得到直线的表达式，联立直线、的表达式，即可求出的坐标；②根据四边形是等腰梯形，且，得到点在平行于直线过点B的直线上，且，求出直线的解析式，设，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可； （2）根据题意得到直线的表达式为：，求出，联立直线、的表达式，求出，如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，得到，根据点落在与直线平行的直线上，求出直线的解析式为：，当时，，即可得出直线过定点． 【详解】（1）解：①将点代入，则， ， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， ②如图， 四边形是等腰梯形，且， 点在平行于直线过点B的直线上，且， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 由图形可得， ， ， 解得：或， 当时，，此时，， ， 四边形是平行四边形， ， 则四边形不是梯形，故舍去， 当，， 同理：，， ，与不平行， 四边形是等腰梯形， 故，则； （2）解：根据题意：直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， 如图，过点作轴的垂线，垂足分别为， 则，， ， 由旋转的旋转得：，， ， ， ， ， ， 点落在与直线平行的直线上， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 直线过定点． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，旋转的性质，需要掌握待定系数法确定函数关系式,函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，两条直线平行及交点等相关知识，属新定义型题目． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$