专题01 整数和整除（4知识点+8种题型+过关测）-【暑假自学课】2025年新六年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

专题01 整数和整除（4知识点+8种题型+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：整数的意义和分类 （1）自然数：零和正整数统称为自然数； （2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数． 知识点02：整除的意义 整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除． 1.整除的条件：（1）除数、被除数都是整数 （2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零 2. 区别“整除”与“除尽”的概念 被除数和除数 商 整除 都是整数，除数不等于0 商是整数，余数为0 除尽 不一定是整数，除数不等于0 商是整数或有限小数，没有余数 注意：其实，整除是除尽的一种特殊形式。 知识点03：因数和倍数的意义 整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数）． 注意：因数和倍数是相互依存的 【技巧总结】 1.找一个数的因数的方法 方法一：列除法算式找。用这个数除以一个整数，除数从1开始试除，注意得到的商必须是整数。我们在列除法算式，找一个数的因数的时候，就用此数分别除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商就是这个数的因数。 方法二：列乘法算式找。根据除法各部分间的关系，“被除数=除数×商”来找，如，找18的因数，先看18是哪两个数相乘的积，那么这两个数就是18的因数。18=1×18,18=2×9,18=3×6，用乘法找一个数的因数时，一般要从自然数1开始一对一对地找，这样不易遗漏。我们在列乘法算式找一个数的因数的时候，把这个数写乘两个整数相乘的形式，算式中的每个整数都是这个数的因数。 2.找一个数的倍数的方法（如找2的倍数的方法） 方法一:列除法算式找。根据倍数的意义，可以列除法算式找出2的倍数。看哪个数除以2，商是整数且没有余数，这个数就是2的倍数，如2÷2=1,4÷2=2,6÷2=3，…那么2，4，6，…都是2的倍数。我们在列除法算式，找一个数的倍数的时候，就是看哪些非0自然数除以这个数商是整数且没有余数，这些数就是这个数的倍数。 方法二：列乘法算式找。2与非零自然数的积都是2的倍数。用2分别乘1,2,3，…。也就是2×1=2,2×2=4,2×3=6，…。那么2,4,6,…。都是2的倍数。我们在列乘法算式找一个数的倍数的时候，就是用这个数依次与非0自然数相乘，所得到的积就是这个数的倍数。 知识点04：能被2、5、3整除的数 1、能被2整除的数 能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数； 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 2、能被5整除的数 能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数． 3、能同时被2、5整除的数 能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数． 4、能被3整除的数 能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数． 【题型1整数的意义和分类】 1． 、 和 统称为整数． 2． 和 统称为自然数． 3．最小的自然数是 ，小于3的自然数是 ． 4．（23-24六年级上·上海宝山·期中）如果一个正整数除以5，商是2，余数是3，那么这个正整数是 ． 5．（23-24六年级上·上海宝山·期中）古代中国计量物体重量时1斤等于16两，那么当时的五斤十二两是 斤． 6．下列各数：、0、23、3.14、、中，自然数有 ． 【题型2整除的意义】 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（   ） A．16和32 B．20和50 C．4和 D．28和7 2.在下列算式中，被除数能被除数整除的是（      ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）下列算式中，第一个数能整除第二个数的是（       ） A．2.5和5 B．25和5 C．25和75 D．0.5和0.5 4．下列等式中表示整除的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）下列算式中，表示整除的算式是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24六年级上·上海闵行·期末）下列各组数中，存在整除关系的是（    ） A．3和1.5 B．18和36 C．6和21 D．1和 7．（22-23六年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（    ） A．最小的正整数是0 B．没有最小的正整数 C．整数一定比小数大 D．所有的自然数都是整数 8．（22-23六年级上·上海徐汇·期中）下列说法中，正确的个数有（    ） ①32能被4整除；       ②1.5能被0.5整除；       ③13能整除13； ④0能整除5；          ⑤25不能被5整除；       ⑥0.3不能整除24． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．， 填“能”或“不能”）说3能整除4.8 【题型3 因数和倍数的认识】 1．（23-24六年级上·上海静安·期中）在等式中，4和6是n的（    ）. A．素因数 B．素数 C．因数 D．合数 2．如果M能被15整除，那么M是（     ） A．15 B．30 C．15的倍数 D．15的因数 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）的最小倍数是 ． 4．根据算式“”，我知道： 是7和9的倍数， 和 是63的因数． 【题型4 因数和倍数的求法】 1．（23-24六年级上·上海·期中）如果一个数是13的倍数，又是26的因数，这个数（        ） A．只有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在 2．（22-23六年级上·上海青浦·期中）下列数中，既是3的倍数，又是60的因数的数是（    ） A．9 B．15 C．20 D．45 3．A=2×5×7，A的因数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 4．（22-23六年级上·上海奉贤·期中）和是的（      ）． A．因数 B．素因数 C．合数 D．素数 5．（23-24六年级上·上海·期中）12所有因数的个数有 个． 6．（24-25六年级上·上海普陀·期中）14的因数有 ． 7．一个整数的最小倍数是201，则这个数是 ． 8．把下列各数填入指定的圈内（每个数只能使用一次）． 1，2，4，5，12，24，30，40，52，60，100 【题型5 2、5的倍数特征】 1．（22-23六年级上·上海·开学考试）从1写到100，一共写了（ ）个数字“5”． A．19 B．20 C．21 D．25 2．下列各组数中能同时被2和5整除的是（    ） A．35 B．42 C．15 D．20 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在，，这个数中， 既是的倍数，又是的倍数． 4．在数30、24、35、12、55、430中，既能被2整除，又能被5整除的数有 ． 5．用0，1，2三个数字组成一个三位数，在这些三位数中，所有能同时被2、5整除的三位数有 个． 6．的结果中末尾有几个0？ 7．用0、2、5这三个数按要求组成没有重复数字的三位数． （1）使它既能被2整除又能被5整除； （2）使它能被2整除，但不能被5整除； （3）使它能被5整除，但不能被2整除． 【题型6 3的倍数特征】 1．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下面四个数中，能同时被3、5整除的是（　　） A．123 B．230 C．135 D．235 2．（24-25六年级上·上海长宁·期中）四位数至少加上 可以同时被、、整除（填写一个正整数）． 3．四位数能同时被，，整除，则的最小值为 ． 4．能被3整除的最小正整数是 ． 【题型7 奇数与偶数的认识】 1.两个连续的自然数的和是（    ） A．奇数 B．偶数 C．奇数或偶数 D．既不是奇数也不是偶数． 2．（23-24六年级上·上海金山·期中）在45，18，60，15四个数中，能被5整除的偶数是 ． 3.三个连续的奇数的和是111，则这三个奇数分别是 ． 4．（23-24六年级上·上海长宁·期中）能同时被3和5整除的最大两位奇数是 ． 【题型8 奇数和偶数的运算性质】 1．两个连续的自然数的积一定是（   ） A．素数 B．合数 C．奇数 D．偶数 2.下列语句中正确的是（    ） A．任何一个能被5整除的数一定是奇数 B．能被5整除的数一定能被10整除； C．能被10整除的数一定能同时被2和5整除 D．两个偶数的商一定是整数． 3．若8个连续奇数的和为96，则其中最小的一个数是 ． 4．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）如果是偶数，则一定是 ．（填“奇数”或“偶数”） 5．把32写成两个连续奇数相加的形式： ． 6．两个奇数的和一定是 ，两个偶数的和一定是 ，一个奇数与一个偶数的和一定是 ．（填“奇数”或“偶数”）． 7．一个三位数，求出所有满足已知条件的三位数： (1)这个三位数是偶数； (2)这个三位数能被5整除； (3)这个三位数能被3整除． 一、单选题 1．（23-24六年级上·上海静安·期中）下列算式中表示整除的算式是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22六年级上·上海宝山·期末）能整除19，那么是（　　） A．19 B．38 C．19的倍数 D．19的因数 3．（22-23六年级上·上海徐汇·阶段练习）用0，1，4，7组成的所有四位数都能被（    ） A．3整除 B．2整除 C．5整除 D．7整除 4．（23-24六年级上·上海虹口·期中）如果30能被M整除，那么M一定是（   ） A．15 B．30 C．30的倍数 D．30的因数 5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（    ） A．10和7 B．5和2.5 C．21和6 D．91和13 二、填空题 6．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）既能被6整除，又能被9整除的数，它 能被54整除（填“一定”或“不一定”或“一定不”） 7．（24-25六年级上·上海·期中）将217至少加上 ，才能同时被2，5整除． 8．（22-23六年级上·上海浦东新·阶段练习）一个车间原有男工人数比女工人数多45人，若调走男工5人，则男工人数正好是女工人数的3倍，那么原有男工 人 9．（22-23六年级上·上海静安·期中）在这个连乘积中，末尾有 个0． 10．（22-23六年级上·上海浦东新·期中）如果用表示a的全部因数的和，如，那么 ． 11．（22-23六年级上·上海徐汇·单元测试）一个四位数恰好等于它各位数字和的倍，则这个四位数是 ． 12．（22-23六年级上·上海徐汇·阶段练习）在41□□这个四位数的方框里填上适当的数，使这个数同时能被2、5、3整除，这个四位数最大是 ． 13．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）有6张卡片，上面分别写1、2、3、4、5、6，从这六张卡片中拿出若干张，排成一个尽可能大的多位数，并使这个多位数能被组成它的所有数整除，这个多位数是 ． 14．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）三个连续两位自然数，它们的平方依次是10，9，8的倍数，请问，三个数中是小的一个是 ． 15．（23-24六年级上·上海·期末）给出一种新规定：对于正整数n，规定（n）表示n的不同因数的个数．比如，5的不同因数是1和5，所以，8的不同因数是1、2、4和8，所以，等等．请你在理解这种新规定的基础上进行计算，那么 ． 16．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）某正整数除以6的结果因数个数变为原来因数个数的，则满足要求最小的两个正整数分别是 ． 17．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）对生活的仔细观察常有意想不到的收获，小生同学就喜欢在生活中观察数学．小兰问小生今天是几月几日，小生说，你随便写一个六位数，并对此进行如下操作：数字中“偶数数字个数”记为a，“奇数数字个数”记为b，“数字位数”记为c，得到新的三位数（此处a允许为0），并对进行同样的操作，如此操作3次之后，把结果乘以9就能得到今天的日期，请问今天日期是 （用四位数字表示，比如10月1日记为1001） 18．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）控制论之父维纳在某年曾经说过：“我现在的年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含0至9各一次，所以所有数字都得朝拜我，我将在数学领域干成一番大事业”．请问，他是在 岁的时候说的这个话． 19．在1后面添上三个数字，组成一个四位数，使它分别能被3、5、11整除，满足条件的最大的四位数是 ． 三、解答题 20.从0，2，5，7四个数中任选三个，组成能同时被2，3，5整除的数，并将这些数从小到大排列 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整数和整除（4知识点+8种题型+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：整数的意义和分类 （1）自然数：零和正整数统称为自然数； （2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数． 知识点02：整除的意义 整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除． 1.整除的条件：（1）除数、被除数都是整数 （2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零 2. 区别“整除”与“除尽”的概念 被除数和除数 商 整除 都是整数，除数不等于0 商是整数，余数为0 除尽 不一定是整数，除数不等于0 商是整数或有限小数，没有余数 注意：其实，整除是除尽的一种特殊形式。 知识点03：因数和倍数的意义 整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数）． 注意：因数和倍数是相互依存的 【技巧总结】 1.找一个数的因数的方法 方法一：列除法算式找。用这个数除以一个整数，除数从1开始试除，注意得到的商必须是整数。我们在列除法算式，找一个数的因数的时候，就用此数分别除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商就是这个数的因数。 方法二：列乘法算式找。根据除法各部分间的关系，“被除数=除数×商”来找，如，找18的因数，先看18是哪两个数相乘的积，那么这两个数就是18的因数。18=1×18,18=2×9,18=3×6，用乘法找一个数的因数时，一般要从自然数1开始一对一对地找，这样不易遗漏。我们在列乘法算式找一个数的因数的时候，把这个数写乘两个整数相乘的形式，算式中的每个整数都是这个数的因数。 2.找一个数的倍数的方法（如找2的倍数的方法） 方法一:列除法算式找。根据倍数的意义，可以列除法算式找出2的倍数。看哪个数除以2，商是整数且没有余数，这个数就是2的倍数，如2÷2=1,4÷2=2,6÷2=3，…那么2，4，6，…都是2的倍数。我们在列除法算式，找一个数的倍数的时候，就是看哪些非0自然数除以这个数商是整数且没有余数，这些数就是这个数的倍数。 方法二：列乘法算式找。2与非零自然数的积都是2的倍数。用2分别乘1,2,3，…。也就是2×1=2,2×2=4,2×3=6，…。那么2,4,6,…。都是2的倍数。我们在列乘法算式找一个数的倍数的时候，就是用这个数依次与非0自然数相乘，所得到的积就是这个数的倍数。 知识点04：能被2、5、3整除的数 1、能被2整除的数 能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数； 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 2、能被5整除的数 能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数． 3、能同时被2、5整除的数 能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数． 4、能被3整除的数 能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数． 【题型1整数的意义和分类】 1． 、 和 统称为整数． 【答案】 负整数 零 正整数 【分析】根据整数的意义和分类即可解答． 【详解】因为整数分为负整数、零和正整数， 故答案为：负整数，零，正整数． 【点睛】本题考查整数的分类，理解整数的意义，熟记整数的分类是解答的关键． 2． 和 统称为自然数． 【答案】 零 正整数 【分析】根据自然数的定义填空． 【详解】零和正整数统称为自然数． 【点睛】本题考查自然数的定义，需要注意零是自然数． 3．最小的自然数是 ，小于3的自然数是 ． 【答案】 0 0、1、2 【分析】根据自然数的意义（0和正整数）即可解答． 【详解】根据自然数的意义，最小的自然数是0，小于3的自然数是0、1、2， 故答案为：0；0、1、2． 【点睛】本题考查了自然数的意义，理解自然数的意义，知道自然数包括0和正整数是解答的关键． 4．（23-24六年级上·上海宝山·期中）如果一个正整数除以5，商是2，余数是3，那么这个正整数是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了被除数、除数、商和余数的关系，求这个数实际是求被除数，求出被除数是解决问题的关键，利用“被除数=商除数+余数”，即可求出． 【详解】 ； 故答案为：13． 5．（23-24六年级上·上海宝山·期中）古代中国计量物体重量时1斤等于16两，那么当时的五斤十二两是 斤． 【答案】 【分析】该题主要考查了整数的除法运算，解题的关键是把十二两转化为斤； 【详解】因为1斤等于16两， 所以五斤十二两斤， 故答案为：． 6．下列各数：、0、23、3.14、、中，自然数有 ． 【答案】0，23 【详解】解：在、0、23、3.14、、中，自然数有0、23. 故答案为：0、23. 【点睛】本题考查了自然数．记住数的分类是解决本题的关键． 【题型2整除的意义】 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（   ） A．16和32 B．20和50 C．4和 D．28和7 【答案】D 【分析】此题考查了整除的辨别能力，关键是能准确理解并运用该知识． 运用整除知识对各选项进行逐一计算、辨别． 【详解】解：∵， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴选项B不符合题意； ∵不是整数， ∴选项C不符合题意； ∵， ∴选项D符合题意， 故选：D． 2.在下列算式中，被除数能被除数整除的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整除的概念可进行求解． 【详解】解：若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除； ∴，而其他选项都不符合整除的概念， 故选C． 【点睛】本题主要考查整除，熟练掌握整除的概念是解题的关键． 3．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）下列算式中，第一个数能整除第二个数的是（       ） A．2.5和5 B．25和5 C．25和75 D．0.5和0.5 【答案】C 【分析】整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零，b为被除数，a为除数，读作“a整除b”或“b能被a整除”． 【详解】解：根据整除的定义，被除数和除数是整数，可排除A、D选项， ，， 不是整数， 所以，25能整除75，符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查整除的定义，熟练掌握整除的定义是解题的关键． 4．下列等式中表示整除的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整除．若整数“”除以大于0的整数“”，商为整数，且没有余数，我们就说能被整除（或说能整除；据此得解． 【详解】解：只有选项A中的被除数、除数和商都是整数，且没有余数，符合整除的意义； 而B C中有余数，D中除数出现了小数，不符合整除的意义． 故选：A． 5．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）下列算式中，表示整除的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整除的定义，若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零，我们就说b能被a整除； 根据整除的定义求解即可． 【详解】解：A、被除数和除数是小数，故不是整除； B、有余数，故不是整除； C、商是小数，故不是整除； D、符合整除定义，故是整除； 故选：D． 6．（23-24六年级上·上海闵行·期末）下列各组数中，存在整除关系的是（    ） A．3和1.5 B．18和36 C．6和21 D．1和 【答案】B 【分析】本题考查了数的整除关系，关键是判断两数都是整数，且能整除．整除关系，是能整除的两个整数的关系． 【详解】解：选项A，1.5不是整数，不合题意． 选项B，，符合题意． 选项C，21不能被6整除，不合题意． 选项D，不是整数，不合题意． 故选：B． 7．（22-23六年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（    ） A．最小的正整数是0 B．没有最小的正整数 C．整数一定比小数大 D．所有的自然数都是整数 【答案】D 【分析】根据自然数，正数，整数，负数的定义判断即可． 【详解】解：A．最小的正整数是1，故选项不符合题意； B．最小的正整数是1，故选项不符合题意； C．整数不一定比小数大，如，故选项不符合题意； D．所有的自然数都是整数，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数中自然数，正数，整数，负数的定义，理解定义是解答此题的关键． 8．（22-23六年级上·上海徐汇·期中）下列说法中，正确的个数有（    ） ①32能被4整除；       ②1.5能被0.5整除；       ③13能整除13； ④0能整除5；          ⑤25不能被5整除；       ⑥0.3不能整除24． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据整除的概念：如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，则a能被b整除，或b能整除a判断即可． 【详解】解：①32能被4整除，故正确； ②1.5和0.5是小数，故不能整除，故错误； ③13能整除13，故正确； ④0不能除5，故错误； ⑤25能被5整除，故错误； ⑥0.3是小数，不能整除24，故正确； 故正确的有3个， 故选B． 【点睛】本题考查了整除的概念，注意掌握整除的概念和前提，以及整除的特征． 9．， 填“能”或“不能”）说3能整除4.8 【答案】不能 【分析】整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零，就说a能被b整除（或说b能整除a）． 【详解】解：因为，都是小数，不是整数， 故不能说3能整除． 故答案为：不能． 【点睛】本题考查的是数的整除性问题，理解整除的概念是解题的关键． 【题型3 因数和倍数的认识】 1．（23-24六年级上·上海静安·期中）在等式中，4和6是n的（    ）. A．素因数 B．素数 C．因数 D．合数 【答案】C 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是由题意得到，；所以4和6是的因数． 【详解】解：在等式中，4和6是的因数； 故选：C． 2．如果M能被15整除，那么M是（     ） A．15 B．30 C．15的倍数 D．15的因数 【答案】C 【知识点】数的整除、因数和倍数的认识 【分析】根据整除的概念即可解答． 【详解】解：如果M能被15整除，则M是15的倍数， 故选：C． 【点睛】本题考查了整除的概念，熟练掌握整除的概念是解题的关键． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）的最小倍数是 ． 【答案】 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】本题主要考查了倍数，掌握倍数的定义是解答本题的关键．根据除0以外的整数的最小倍数是它本身解答即可． 【详解】的最小倍数是． 故答案为：． 4．根据算式“”，我知道： 是7和9的倍数， 和 是63的因数． 【答案】 63 7 9 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】如果自然数a和自然数b的乘积是c，即a×b＝c，那么a、b都是c的因数，c是a和b的倍数． 【详解】由分析得： 63是7和9的倍数，7和9都是63的因数． 【点睛】因数和倍数都表示一个数与另一个数的倍数关系，只能说一个数是另一个数的倍数，另一个数是一个数的因数，而不能孤立地说某个数是倍数，某个数是因数． 【题型4 因数和倍数的求法】 1．（23-24六年级上·上海·期中）如果一个数是13的倍数，又是26的因数，这个数（        ） A．只有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在 【答案】B 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】先找出26的所有因数，再找到这些因数中是13的倍数的数即可得到答案． 【详解】解：26的因数有1，2，13，26，其中只有13，26是13的倍数， 所以如果一个数是13的倍数，又是26的因数，这个数是13或26， 故选B． 【点睛】本题主要考查了因数与倍数，正确找出同时是26的因数，13的倍数的所有数是解题的关键． 2．（22-23六年级上·上海青浦·期中）下列数中，既是3的倍数，又是60的因数的数是（    ） A．9 B．15 C．20 D．45 【答案】B 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】根据倍数和因数的定义解答即可． 【详解】解：A、9是3的倍数，但不是60的因数，故本选项不符合题意； B、15是3的倍数，也是60的因数，故本选项符合题意； C、20不是3的倍数，是60的因数，故本选项不符合题意； D、45是3的倍数，但不是60的因数，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了因数和倍数，解题的关键是掌握因数和倍数的定义．一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数． 3．A=2×5×7，A的因数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】把A算出来等于70，看70能被哪些整数整除． 【详解】因为A=2×5×7=70 而 因此A的因数就有1，70，2，35，5，14，7，10共8个． 故选：D 【点睛】本题主要考查了因数的概念：两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数．注意一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身．掌握因数的概念是解题关键． 4．（22-23六年级上·上海奉贤·期中）和是的（      ）． A．因数 B．素因数 C．合数 D．素数 【答案】A 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数能被数整除（），就叫做的倍数，就叫做的因数． 【详解】∵， ∴和是的因数， 故选A． 【点睛】此题考查的是因数和倍数的意义，应根据其意义进行解答． 5．（23-24六年级上·上海·期中）12所有因数的个数有 个． 【答案】6 【知识点】因数和倍数的求法、因数和倍数的认识 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，根据找一个数的因数的方法解答即可．此题考查的目的是理解掌握因数的意义以及求一个数的因数的方法． 【详解】解：∵ ∴12的因数有：1、2、3、4、6、12，一共6个． 故答案为：6． 6．（24-25六年级上·上海普陀·期中）14的因数有 ． 【答案】 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题考查因数，把14写成和即可得到答案． 【详解】解：， ∴因数为， 故答案为：． 7．一个整数的最小倍数是201，则这个数是 ． 【答案】 【知识点】因数和倍数的认识、因数和倍数的求法 【分析】一个数的最小倍数就是它本身，即可得到答案． 【详解】解：一个整数的最小倍数是，则这个数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查倍数的概念及性质，熟记一个数的最小倍数就是它本身是解决问题的关键． 8．把下列各数填入指定的圈内（每个数只能使用一次）． 1，2，4，5，12，24，30，40，52，60，100 【答案】左圈（部分4的倍数）：24，40，52，100； 中圈（既是4的倍数又是60的因数）：4，12，60； 右圈（部分60的因数）：1，2，5，30． 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数），因数和倍数是相互依存的，据此解答即可． 【详解】解：因为在上述数中，其中 4的倍数有：4，12，24，40，52，60，100； 60的因数有：1，2，4，5，12，30，60； 既是4的倍数又是60的因数有：4，12，60； 因为每个数只能使用一次， 故三个指定的圈内填写的数为： 左圈（部分4的倍数）：24，40，52，100； 中圈（既是4的倍数又是60的因数）：4，12，60； 右圈（部分60的因数）：1，2，5，30． 【点睛】此题考查了倍数和因数，解题的关键是熟练掌握倍数和因数的定义． 【题型5 2、5的倍数特征】 1．（22-23六年级上·上海·开学考试）从1写到100，一共写了（ ）个数字“5”． A．19 B．20 C．21 D．25 【答案】B 【知识点】 2、5的倍数特征 【分析】分3段找出写了数字“5”的个数，再将个数相加求和即可． 【详解】从1到49写了5个数字“5”，从60到100写了4个数字“5”，从50到59写了11个数字“5”，总计写了数字“5”的个数为：（个）． 故选B． 【点睛】本题考查确定数字的个数．在找数字个数的时候要注意进行分段计算． 2．下列各组数中能同时被2和5整除的是（    ） A．35 B．42 C．15 D．20 【答案】D 【知识点】数的整除、 2、5的倍数特征 【分析】分别把35、42、15、20与2和5相除即可判断． 【详解】解：A．∵35÷5＝7，35÷2＝17.5，故A不合题意； B．42÷2＝21，42÷7＝，故B不合题意； C．15÷5＝3，15÷2＝7.5，故C不合题意； D．20÷2＝10，20÷5＝4，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数的整除，熟练掌握除法法则是解题的关键． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在，，这个数中， 既是的倍数，又是的倍数． 【答案】 【知识点】 2、5的倍数特征 【分析】本题考查了、的倍数特征，解题的关键是掌握、的倍数特征，根据、的倍数特征求解即可． 【详解】解：在，，这个数中，既是的倍数，又是的倍数， 故答案为：． 4．在数30、24、35、12、55、430中，既能被2整除，又能被5整除的数有 ． 【答案】30，430 【知识点】 2、5的倍数特征 【分析】本题主要考查了整除的定义，根据能被2整除的数，个位数是偶数．能被5整除的数，个位数是0和5．既能被2整除，又能被5整除的数，个位数是0，进行解答即可． 【详解】解：在数30、24、35、12、55、430中，既能被2整除，又能被5整除的数有30、430． 故答案为：30，430． 5．用0，1，2三个数字组成一个三位数，在这些三位数中，所有能同时被2、5整除的三位数有 个． 【答案】2 【知识点】 2、5的倍数特征 【分析】本题主要考查了求公倍数，能同时被2和5整除的数的个位数字一定要为0，据此求解即可． 【详解】解：能同时被2和5整除的数的个位数字一定要为0，则满足题意的三位数有，，共2个， 故答案为：2． 6．的结果中末尾有几个0？ 【答案】24个 【知识点】 2、5的倍数特征 【分析】先判断所求偶数本身自带的个数，之后再算与的个数，即可得到答案． 【详解】解：偶数中自带个的个数为个， 偶数中自带个的个数为个， 而所含有与的数为，，，四个， 又，于是的个数为个， 所以结果中末尾0的个数为个． 【点睛】本题主要考查倍数，掌握是解题的关键． 7．用0、2、5这三个数按要求组成没有重复数字的三位数． （1）使它既能被2整除又能被5整除； （2）使它能被2整除，但不能被5整除； （3）使它能被5整除，但不能被2整除． 【答案】（1）既能被2整除又能被5整除的是250和520；（2）能被2整除，但不能被5整除的是502；（3）能被5整除，但不能被2整除的是205 【知识点】 2、5的倍数特征 【分析】(1)既能被2整除又能被5整除的数末尾有0，即可得出结果； (2)能被2整除，但不能被5整除的数末尾不能有0和5，即可得出结果； (3)使它能被5整除，但不能被2整除的数末尾不能是偶数，即可得出结果． 【详解】解：用0、2、5组成没有重复数字的三位数分别为250、205、520、502四个数． (1)既能被2整除又能被5整除的是250和520； (2)能被2整除，但不能被5整除的是502； (3)能被5整除，但不能被2整除的是205． 【点睛】本题主要考查的是能被2和5整除的数的特点，掌握能被2和5整除的数的特点是解题的关键． 【题型6 3的倍数特征】 1．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下面四个数中，能同时被3、5整除的是（　　） A．123 B．230 C．135 D．235 【答案】C 【知识点】 3的倍数特征、 2、5的倍数特征 【分析】此题主要考查了整除的性质及应用，解决此题关键是明确同时被3和5整除的数的特征． 能同时被3和5整除的数的特征是：个位上的数是0或5且各个数位上数的和是3的倍数；据此分析即可得解． 【详解】解：A．123的个位上的数不是0或5，不符合题意； B．230中各个数位上数的和不是3的倍数，不符合题意； C．135能同时被3、5整除，符合题意； D．235中各个数位上数的和不是3的倍数，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海长宁·期中）四位数至少加上 可以同时被、、整除（填写一个正整数）． 【答案】 【知识点】 3的倍数特征、 2、5的倍数特征 【分析】本题考查了、、的倍数特征，掌握、、的倍数特征是解题的关键．根据、、的倍数特征求解即可． 【详解】解：， 是、、的公倍数， 至少加上可以同时被、、整除， 故答案为: ． 3．四位数能同时被，，整除，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】 3的倍数特征、 2、5的倍数特征 【分析】此题考查了2的倍数与3、5的倍数的特征，能被2整除的数的个位数字一定是0、2、4、6、8；能被3整除的数的个位上数字之和是3的倍数，能被5整除的个位数字一定是0或5，然后综合在一起进行求解即可． 【详解】∵能同时被，，整除，则， ∴是3的倍数，则最小的 ∴的最小值为 故答案为：． 4．能被3整除的最小正整数是 ． 【答案】3 【知识点】 3的倍数特征 【分析】根据能被3整除的数的特征解答即可． 【详解】解：能被3整除的最小正整数是3． 故答案为：3 【点睛】本题考查了被3整除的数的特征，即所有位数上的数字的和是3的倍数． 【题型7 奇数与偶数的认识】 1.两个连续的自然数的和是（    ） A．奇数 B．偶数 C．奇数或偶数 D．既不是奇数也不是偶数． 【答案】A 【知识点】 奇数与偶数的认识 【分析】根据自然数的排列规律：偶数、奇数、偶数、奇数…；再根据偶数和奇数的性质，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，据此判断即可． 【详解】两个连续的自然数，一个是奇数，另一个是偶数，奇数+偶数=奇数． 故选A． 【点睛】此题考查的目的是掌握自然数的排列规律、偶数和奇数的性质． 2．（23-24六年级上·上海金山·期中）在45，18，60，15四个数中，能被5整除的偶数是 ． 【答案】60 【知识点】 奇数与偶数的认识、数的整除 【分析】本题考查了偶数的定义，数的整除，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先找出四个数中的偶数，再看是否能被5整除即可． 【详解】解：在45，18，60，15四个数中，偶数有18，60，能被5整除的偶数是60． 故答案为：60． 3.三个连续的奇数的和是111，则这三个奇数分别是 ． 【答案】35、37、39 【知识点】 奇数与偶数的认识 【分析】本题考查了奇数的意义，即在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数．已知三个连续的奇数和是111，先求出这三个奇数的即中间数，再根据最大的奇数比中间数多2，最小的奇数比中间数少2，即可解答． 【详解】解：，即三个连续的奇数的中间数为， ，， 即这三个奇数分别是35、37、39， 故答案为：35、37、39． 4．（23-24六年级上·上海长宁·期中）能同时被3和5整除的最大两位奇数是 ． 【答案】 【知识点】 奇数与偶数的认识、数的整除 【分析】本题考查的是能被3、5整除的数的特征．能同时被3、5整除的数要满足：个位上是0或5，而且各个数位上的数的和是3的倍数；据此求出最大两位奇数． 【详解】解：能同时被3、5整除的最大两位奇数是75． 故答案为： 【题型8 奇数和偶数的运算性质】 1．两个连续的自然数的积一定是（   ） A．素数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【答案】D 【知识点】 奇数与偶数的认识、 奇数和偶数的运算性质 【分析】本题考查了奇数与偶数，以及运算性质，掌握偶数与其它自然数的乘积是偶数是解题关键．由题意可知，两个连续自然数中一定有一个偶数，偶数与其它自然数的乘积是偶数，故两个连续自然数的积一定是偶数，即可得到答案． 【详解】解：两个连续自然数中一定有一个偶数，偶数与其它自然数的乘积是偶数，、 故两个连续自然数的积一定是偶数， 故选：D． 2.下列语句中正确的是（    ） A．任何一个能被5整除的数一定是奇数 B．能被5整除的数一定能被10整除； C．能被10整除的数一定能同时被2和5整除 D．两个偶数的商一定是整数． 【答案】C 【分析】根据数的倍数的特征，奇数与偶数的性质依次判断即可. 【详解】A、任何一个能被5整除的数的个数上都是0或5，不一定是奇数； B、能被5整除的数不一定能被10整除； C、能被10整除的数一定能同时被2和5整除； D、两个偶数的商不一定是整数． 故选：C. 【点睛】此题考查数的倍数的特征，奇数与偶数的性质，正确理解并运算解题是关键. 3．若8个连续奇数的和为96，则其中最小的一个数是 ． 【答案】5 【知识点】 奇数和偶数的运算性质 【分析】本题主要考查了奇数的定义，8个连续奇数的和为96，那么中间和为24，即，即可得出最小的数，据此求解即可． 【详解】解：，中间两个数的和为，则为， ∴前4个数分别为 所以最小的奇数为5， 故答案为：5． 4．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）如果是偶数，则一定是 ．（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【知识点】 奇数和偶数的运算性质 【分析】分都是偶数和两奇一偶两种情况进行讨论，分别证明出中有偶数即可． 【详解】解：因为是偶数， 所以都是偶数或两奇一偶； 若都是偶数，则为偶数， 所以是偶数； 若两奇一偶，则为偶数， 所以中最少有一个偶数， 所以是偶数； 所以一定是偶数， 故答案为：偶数． 【点睛】本题考查了奇数，偶数，解题的关键是熟练掌握奇数，偶数的运算性质． 5．把32写成两个连续奇数相加的形式： ． 【答案】/ 【知识点】 奇数和偶数的运算性质、 奇数与偶数的认识 【分析】奇数是不能被2整除的自然数，根据32的特点写成两个连续奇数的和即可． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 【点睛】此题考查了奇数的定义和加法，理解奇数的定义是解题关键． 6．两个奇数的和一定是 ，两个偶数的和一定是 ，一个奇数与一个偶数的和一定是 ．（填“奇数”或“偶数”）． 【答案】 偶数 偶数 奇数 【分析】根据奇数和偶数的定义逐一解答即可． 【详解】解：两个奇数的和一定是偶数，两个偶数的和一定是偶数，一个奇数与一个偶数的和一定是奇数． 故答案为：偶数，偶数，奇数． 【点睛】本题考查了奇数和偶数的定义，属于基础题型，熟知二者的概念是关键． 7．一个三位数，求出所有满足已知条件的三位数： (1)这个三位数是偶数； (2)这个三位数能被5整除； (3)这个三位数能被3整除． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数的整除、 2、5的倍数特征、 3的倍数特征、 奇数和偶数的运算性质 【分析】（1）三位数如果是偶数，则是2的倍数，只要该三位数个位是偶数即可确定答案； （2）三位数如果能被5整除，只要该三位数个位是或即可确定答案； （3）三位数如果能被3整除，只要该三位数各位上的数字之和为的倍数即可确定答案． 【详解】（1）解：当三位数个位是偶数时，这个三位数个位数字必是偶数， 所有满足条件的三位数是； （2）解：当这个三位数能被5整除时，这个三位数个位数字必是或， 所有满足条件的三位数是； （3）解：当这个三位数能被3整除时，这个三位数各位上的数字之和为的倍数， 所有满足条件的三位数是． 【点睛】本题考查整除概念，涉及偶数特征、3的倍数的特征、5的倍数的特征等知识，熟练掌握相关数的特征是解决问题的关键． 一、单选题 1．（23-24六年级上·上海静安·期中）下列算式中表示整除的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查整除的性质及应用，解题的关键是掌握整除：是指一个整数除以另一个不是0的整数，得到的商是整数，而没有余数，我们就说第一个整数能被第二个整数整除，第二个整数能整除第一个整数． 【详解】解：A、属于整除，故符合题意； B、有余数，不是整除，故不合题意； C、中被除数和除数都不是整数，故不是整除，故不合题意； D、中商不是整数，故不是整除，故不合题意； 故选：A． 2．（21-22六年级上·上海宝山·期末）能整除19，那么是（　　） A．19 B．38 C．19的倍数 D．19的因数 【答案】D 【分析】根据整除的概念，即可求解． 【详解】解：能整除19，那么是19的因数， 故选：D 【点睛】此题考查了整除的概念，掌握整除的概念是解题的关键，整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零，就说a能被b整除(或说b能整除a)． 3．（22-23六年级上·上海徐汇·阶段练习）用0，1，4，7组成的所有四位数都能被（    ） A．3整除 B．2整除 C．5整除 D．7整除 【答案】A 【分析】利用所有位上的数的和能被整除，这个数就能被整除 【详解】∵组成的四位数如果是， ∴就不能被或、整除， ∵组成的四位数各个位上的数的和都为， ∴组成的所有四位数能被整除， 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的除法，掌握数的整除是解决问题的关键 4．（23-24六年级上·上海虹口·期中）如果30能被M整除，那么M一定是（   ） A．15 B．30 C．30的倍数 D．30的因数 【答案】D 【分析】本题考查了整除的定义．整除是指整数a除以整数的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a． 【详解】解：30能被M整除，说明M是30的因数． 故选∶D 5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（    ） A．10和7 B．5和2.5 C．21和6 D．91和13 【答案】D 【分析】此题考查整除的意义：整除必须是整数除以一个不为0的整数，商是整数，而没有余数．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不是整除； B．2.5是小数，故不是整除； C．，故不是整除； D．，故是整除； 故选D． 二、填空题 6．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）既能被6整除，又能被9整除的数，它 能被54整除（填“一定”或“不一定”或“一定不”） 【答案】不一定 【分析】本题主要考查了数的整除，由于6和9的最小公倍数为18，则18既能被6整除，又能被9整除的数，但不能被54整除，而6，9，54的最小公倍数为54，则54既能被6整除，又能被9整除的数，还能被54整除，据此可得答案． 【详解】解：既能被6整除，又能被9整除的数，它不一定能被54整除，例如18既能被6整除，又能被9整除的数，但不能被54整除，54既能被6整除，又能被9整除的数，还能被54整除， 故答案为：不一定． 7．（24-25六年级上·上海·期中）将217至少加上 ，才能同时被2，5整除． 【答案】 【分析】本题考查了数的整除，根据能同时被2，5整除的数个位上是或计算即可得解，解题的关键是知道能被2，5整除的数的特征． 【详解】解：能同时被2，5整除的数个位上是或，故最接近217且能同时被2，5整除的数是， ，故将217至少加上，才能同时被2，5整除， 故答案为：． 8．（22-23六年级上·上海浦东新·阶段练习）一个车间原有男工人数比女工人数多45人，若调走男工5人，则男工人数正好是女工人数的3倍，那么原有男工 人 【答案】65 【分析】当调走5人后，男工人数=女工人数，而这时男工人数女工人数，也就是说40是女工人数的2倍，则可求女工人数，然后根据原来男工人数比女工人数多45人求解即可． 【详解】解∶根据题意得女工人数是（人）， 则男工人数是（人）． 故答案为：65． 【点睛】本题考查了整数的应用，理解包含自身几倍的含义是解题的关键． 9．（22-23六年级上·上海静安·期中）在这个连乘积中，末尾有 个0． 【答案】12 【分析】由于，所以积的末尾有多少个零是由因数2和5的个数决定的，又中因数2的个数多于因数5的个数，因此，只要算出中含有多少个因数5即可得出积的末尾有多少个0． 【详解】解：由于， 又中因数2的个数多于因数5的个数， 只要算出中含有多少个因数5即可得出积的末尾有多少个0： 5、10、15、20、25、30、35、40、45、50； （个） 即算式中含有12个因数5， 所以积的末尾有12个0． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了2、5的倍数的特征，明确若干个数相乘积的末尾有多少个零是由因数2和5的个数决定的是完成本题的关键． 10．（22-23六年级上·上海浦东新·期中）如果用表示a的全部因数的和，如，那么 ． 【答案】 【分析】根据题意即可求得及的值，据此即可求得． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，理解题意，正确运算是解决本题的关键． 11．（22-23六年级上·上海徐汇·单元测试）一个四位数恰好等于它各位数字和的倍，则这个四位数是 ． 【答案】或/5589或3726 【分析】根据，得出这个四位数是的倍数，则数字和也是的倍数，也就是说这个四位数字和可能是：，，，，，然后分情况计算判断即可． 【详解】解：，所以这个四位数是的倍数，则数字和也是的倍数，也就是说这个四位数字和可能是：，，，，，逐一试验： 数字和为，则数是：，不符合， 数字和为，则数是：，符合， 数字和为，则数是：，符合， 数字和为，则数是：，不符合， 数字和为，则数是：，不符合． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了数的整除特征，根据题意分情况计算判断是解答本题的关键． 12．（22-23六年级上·上海徐汇·阶段练习）在41□□这个四位数的方框里填上适当的数，使这个数同时能被2、5、3整除，这个四位数最大是 ． 【答案】 【分析】利用整除的定义，能被和整除，个位上的数只能是，然后根据能被整除确定十位上数的最大值即可 【详解】∵四位数能被和整除，个位上的数只能是， ∴这个四位数为， ∵这个四位数为能被整除， ∴符合条件的四位数有：、、， ∴这个四位数最大是， 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数的除法，解题的关键是掌握整除的定义 13．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）有6张卡片，上面分别写1、2、3、4、5、6，从这六张卡片中拿出若干张，排成一个尽可能大的多位数，并使这个多位数能被组成它的所有数整除，这个多位数是 ． 【答案】6432 【分析】此题考查被数整除的数应具有的特征，考虑若选了每个数字，为了满足整除，所组成的数字应满足的特征．同时考虑这些特征，选出最大的值． 【详解】解：∵可选数字没有0， ∴2和5不能同时出现． 若选了3，则所选数字的和必须为3的倍数， 若选了4，则所组成的数字最后两位是4的倍数， 若同时选择了2和3，则同时被2、3整除的数必为6的倍数， 为了使得所排的数尽可能大，应让6在第一位，同时考虑以上因素，最大值为6432． 故答案为：6432． 14．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）三个连续两位自然数，它们的平方依次是10，9，8的倍数，请问，三个数中是小的一个是 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查倍数．根据平方是10的倍数，则原数也是10的倍数，可设第一个数是，由题意得是9的倍数，则，，x和的各位相加是，是8的倍数，化简后是整数，必须是奇数，符合条件的最小，进而求得答案． 【详解】解：设第一个数是，则是9的倍数； 那么，，x和的各位相加是； 是8的倍数，则，那么是整数，必须是奇数，符合条件的最小． 则最小的是． 故答案为：50． 15．（23-24六年级上·上海·期末）给出一种新规定：对于正整数n，规定（n）表示n的不同因数的个数．比如，5的不同因数是1和5，所以，8的不同因数是1、2、4和8，所以，等等．请你在理解这种新规定的基础上进行计算，那么 ． 【答案】13 【分析】本题考查了求一个数的因数的方法．先找出6的所有因数，其个数为的值，同样找出36的所有因数，其个数为的值，再把这两个值相加即可． 【详解】解：6的因数有：1、2、3、6，共4个，所以； 24的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个，所以； ， 故答案为：13． 16．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）某正整数除以6的结果因数个数变为原来因数个数的，则满足要求最小的两个正整数分别是 ． 【答案】12和18 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题主要考查了因数有关的问题．设原数分解质因数后的形式为，因数的个数为，求出除以3后的结果，由题意，列出等式，把问题转化成求整数解的问题解答即可． 【详解】解：设原数分解质因数后的形式为，因数的个数为， 由题意得：， 若要使这个正整数最小，则b越小越好， 当时，， 当时，， 所以这个正整数的最小值为，． 故答案为：12和18 17．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）对生活的仔细观察常有意想不到的收获，小生同学就喜欢在生活中观察数学．小兰问小生今天是几月几日，小生说，你随便写一个六位数，并对此进行如下操作：数字中“偶数数字个数”记为a，“奇数数字个数”记为b，“数字位数”记为c，得到新的三位数（此处a允许为0），并对进行同样的操作，如此操作3次之后，把结果乘以9就能得到今天的日期，请问今天日期是 （用四位数字表示，比如10月1日记为1001） 【答案】 【分析】此题考查了整数问题的综合应用，解题的关键是读懂题意，找出其中的规律求出这个数．先根据题意任意写一个自然数，再按照每一步的要求写出下一个数，当出现相同的数时，即可得出答案． 【详解】任意写一个自然数， 第一步: 的偶数数字是, 有个数字, ∴新三位数是, 第二步：的偶数数字为个，奇数个为个，总共个数； ∴新三位数是; 第三步：的偶数数字为个，奇数个为个，总共个数； ∴新三位数是； ， 故答案为: . 18．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）控制论之父维纳在某年曾经说过：“我现在的年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含0至9各一次，所以所有数字都得朝拜我，我将在数学领域干成一番大事业”．请问，他是在 岁的时候说的这个话． 【答案】18 【分析】本题主要考查了实验法．本题先通过缩小范围然后再试验．首先一个数的立方是四位数，四次方是六位数，得出年龄在18和21之间，然后再去掉20、21，因为它的个位数字分别是“0”，“1”；然后再试一试，可得答案为18． 【详解】解：∵， ∴他的年龄大于或等于18岁； ∵，， ∴他的年龄小于22岁 ∴他的年龄可能为18，19，20，21，22， ∵个位数是0和1的数，无论是几次方，个位数扔是0和1，重复， ∴21，22不符合题意， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 所以他是在18岁的时候说的这个话． 故答案为：18 19．在1后面添上三个数字，组成一个四位数，使它分别能被3、5、11整除，满足条件的最大的四位数是 ． 【答案】1980 【分析】设这个四位数为(其中，且都为整数)．根据能被3、5、11整除的特点，可得出1+a+b+c的值能被3整除、c的值为0或5、1+b= a+c．再根据要使这个四位数最大，即得出1+b=9，a+c=9，进而可求出a=9，b=8，c=0，即这个四位数为1980． 【详解】设这个四位数为(其中，且都为整数)． ∵这个四位数能被3整除， ∴1+a+b+c的值能被3整除． ∵这个四位数能被5整除， ∴c的值为0或5． ∵这个四位数能被11整除， ∴1+b= a+c． ∵要使这个四位数最大， ∴1+b=9，a+c=9， ∴a=9，b=8，c=0， ∴这个四位数为1980． 故答案为：1980． 【点睛】本题考查能被3、5、11整除的数的特征．考查学生的思维能力，掌握能被3、5、11整除的数的特征是解题关键． 三、解答题 20.从0，2，5，7四个数中任选三个，组成能同时被2，3，5整除的数，并将这些数从小到大排列 【答案】 【分析】从0，2，5，7四个数中任选三个，组成能同时被2，5整除的数，则末位肯定是0，能被3整除，则各位数字之和必须是3的倍数，得到另外两位数字只能选2和7或5和7，则2、7、0组成的三位数是、，5、7、0组成的三位数是、，即可得到答案． 【详解】解：∵从0，2，5，7四个数中任选三个，组成能同时被2，5整除的数， ∴末位肯定是0， ∵能被3整除， ∴各位数字之和必须是3的倍数， ∵，，9和12都能被3整除， ∴另外两位数字只能选2和7或5和7， 则2、7、0组成的三位数是、，5、7、0组成的三位数是、， ∴将这些数从小到大排列为． 【点睛】此题考查了数的整除，熟练掌握被2，3，5整除的数的特征是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$