（期末必刷练）专题02 填空题（专项练习）-2024-2025学年五年级下册数学 人教版

2024-2025学年人教版数学五年级下学期高频易错压轴真题考点分类必刷培优练 专题02 填空题 （33个重难点考点讲练 共66题） 易错重难点考点01：根据倍数的特征解决问题 2 易错重难点考点02：倍数和因数的综合应用 2 易错重难点考点03：奇数和偶数的认识 2 易错重难点考点04:2,3,5的倍数的特征的综合 3 易错重难点考点05：质数与合数的综合应用 3 易错重难点考点06：运算性质（奇数和偶数） 3 易错重难点考点07：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 4 易错重难点考点08：组合体的表面积（长方体、正方体） 4 易错重难点考点09：体积的等积变形（长方体、正方体） 5 易错重难点考点10：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 5 易错重难点考点11：长方体、正方体的容积 5 易错重难点考点12：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 6 易错重难点考点13：单位“1”的热认识与确定 6 易错重难点考点14：求一个数占另一个数几分之几 7 易错重难点考点15：真分数、假分数、带分数的认识 7 易错重难点考点16：假分数与带分数或整数的互化 7 易错重难点考点17：根据真分数、假分数和带分数的特征组数 8 易错重难点考点18：分数的基本性质的应用 8 易错重难点考点19：分解质因数 8 易错重难点考点20：公因数与最大公因数 8 易错重难点考点21：用最大公因数解决问题 8 易错重难点考点22：约分的认识与应用 9 易错重难点考点23：用最小公倍数解决实际问题 9 易错重难点考点24：同分子分数的大小比较 9 易错重难点考点25：通分的认识与应用 9 易错重难点考点26：异分母异分子分数的大小比较 10 易错重难点考点27：异分母分数加减法 10 易错重难点考点28：分数的加减法运算 10 易错重难点考点29：分数的加减法 10 易错重难点考点30：分数加减法简便运算 11 易错重难点考点31：打电话问题 11 易错重难点考点32：复式折线统计图 11 易错重难点考点33：找次品 12 易错重难点考点01：根据倍数的特征解决问题 1．（23-24五年级下·河北张家口·期中）小红的年龄是2和7的倍数，妈妈的年龄是小红年龄的倍数，也是42的因数。小红的年龄是( )，妈妈的年龄是( )。 2．（24-25五年级上·河南郑州·期末）一个数的最小因数与最大因数的和是16，这个数的最小倍数是( )。 易错重难点考点02：倍数和因数的综合应用 3．（22-23五年级下·浙江杭州·期中）如图，用60个大小相同的正方形拼成一个大长方形。60＝( )×( )，所以( )是( )的倍数。 4．（21-22五年级下·全国·课后作业）猜电话号码。 0871－ABCDEFG 提示：A－8的最小倍数；B－最小的自然数；C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数；E－它的所有因数是1、2、3、6；F－它的所有因数是1、3；G－它只有1个因数。这个电话号码是0871－( )。 易错重难点考点03：奇数和偶数的认识 5．（24-25五年级下·宁夏银川·期中）在36、25、41、103、210、18中，( )是奇数，( )是偶数，( )既是2的倍数，又是3的倍数。 6．（24-25五年级下·重庆潼南·期中）三个连续偶数的和是198，这三个偶数是( )，( )，( )。 易错重难点考点04:2,3,5的倍数的特征的综合 7．（24-25五年级下·福建福州·期中）用0、2、3、7这四个数字组成一个同时是2、3和5的倍数的最小四位数是( )。 8．（24-25五年级下·重庆渝北·期中）用2，5，0，7中的任意三个数按要求组成相应的三位数。（各写两个即可） 2的倍数：( )；3的倍数：( )；5的倍数：( )；同时是2、5、3的倍数：( )。 易错重难点考点05：质数与合数的综合应用 9．（22-23五年级下·河北保定·期中）平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 10．（22-23五年级下·河南三门峡·期中）李浩和王乐玩数字游戏，李浩设置了一个六位数字密码如下： 个位：既是偶数，又是质数。 十位：既是5的倍数，又是5的因数。 百位：既是2的倍数，又是3的倍数。 千位：既不是质数，也不是合数。 万位：既是奇数，又是合数。 十万位：一位数中最大的合数。 如果你是王乐，你能解开此密码吗？试一试：( )。 易错重难点考点06：运算性质（奇数和偶数） 11．（23-24五年级下·福建莆田·期末）著名的数学猜想——“孪生素数猜想”中所说的“孪生素数”是指相差2的两个质数，如3和5都是质数，且5－3＝2，所以3和5就是一对孪生素数。同理，5和7也是一对孪生素数。 (1)写出20以内除了3和5，5和7以外的两组孪生质素数：( )和( )，( )和( )。 (2)如果用a和b表示任意对孪生素数，那么2a＋b的和一定是( )。（填“奇数”或“偶数”）我是这样推算答案的：( )。 12．（23-24五年级下·重庆荣昌·期末）乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 易错重难点考点07：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 13．（24-25五年级下·湖北武汉·期中）一个长方体的底面是一个边长20厘米的正方形，长方体的高为40厘米。如果把它的高增加5厘米，那么它的表面积会增加( )平方厘米。 14．（2025五年级下·全国·专题练习）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是 。 易错重难点考点08：组合体的表面积（长方体、正方体） 15．（24-25五年级下·北京大兴·期中）如下图所示，用棱长1厘米的小正方体摆立体图形。第4个立体图形的表面积是( )平方厘米，第6个立体图形的表面积是( )平方厘米，第n个立体图形的表面积是( )平方厘米。 16．（22-23五年级下·山西晋中·期中）下边两个立体图形都是由棱长为1cm的正方体搭成。 ①号的表面积可以这样计算： 根据①号表面积的求法，②号表面积是( )。（要写出算式） 易错重难点考点09：体积的等积变形（长方体、正方体） 17．（24-25五年级下·河南南阳·期中）如左图，是由棱长1cm的小正方体拼成的，这个图形的表面积是( )。至少添上( )个这样的小正方体可以组合成一个大一些的正方体。 18．（24-25五年级下·广东东莞·期中）一个长方体，长、宽、高分别是8厘米、6厘米和4厘米，从中截去一个最大的正方体后，剩下的体积是( )立方厘米。 易错重难点考点10：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 19．（24-25五年级下·福建福州·期中）如图图形的体积是( )cm3。 20．（24-25六年级下·海南海口·期末）如图，由棱长是3和5的两个正方体搭成的图形，它的表面积是( )，体积是( )。 易错重难点考点11：长方体、正方体的容积 21．（24-25五年级下·贵州黔南·期中）下图是一块长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子，这个盒子长( )厘米，宽( )厘米，高( )厘米，容积是( )立方厘米。 22．（24-25五年级下·山西晋中·期中）如下图，在一个长方体容器中，摆了若干个棱长为1厘米的正方体。玻璃容器的容积是( )立方厘米。 易错重难点考点12：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 23．（24-25五年级下·北京大兴·期中）有一个长方体水箱，从里面量底面积是24平方分米，水面高度是5分米。将一个西瓜放入水箱，完全浸没在水中，水面高度上升到5.4分米。这个西瓜的体积是( )立方分米。 24．（23-24五年级下·四川凉山·期末）一个长方体水槽从里面量底面积是0.85dm2，高是2dm。里面装有一些水和一块石块（石块完全浸没在水中），这时水深15cm，取出石块后水深下降到11cm，这块石块的体积是( )dm3。 易错重难点考点13：单位“1”的热认识与确定 25．（23-24五年级下·湖北黄石·期末）用分数表示下面各图中涂色部分的大小。                                                    26．（23-24五年级下·河南三门峡·期末）一节数学课的时间是小时。在王老师的数学课中，学生“自主探究、合作交流、表达分享”的时间是这节课的。第一个“”，是把( )看作“1”，平均分成3份，表示这样的2份，是( )分钟；第二个“”，是把( )看作“1”，平均分成3份，表示这样的2份。 易错重难点考点14：求一个数占另一个数几分之几 27．（2023·湖北荆州·小升初真题）如图中的正方形被分成9个相同的小正方形，其中阴影三角形面积是原正方形面积的。 28．（23-24五年级下·江西九江·期末）每盒牛奶是这组牛奶的。 5个书签是这套书签的。 8个鸡蛋是这盒鸡蛋的。 易错重难点考点15：真分数、假分数、带分数的认识 29．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）如果是最小的假分数，那么a＝( )；如果是最大的真分数，那么a＝( )。 30．（24-25五年级下·广西贵港·期中）在直线上面的括号里填上适当的带分数，在直线下面的括号里填上适当的假分数。 易错重难点考点16：假分数与带分数或整数的互化 31．（23-24五年级下·广东江门·期中）在里，当x( )时，它是真分数；当x( )时，它是能化成整数的假分数；当x( )时，它是能化成带分数的假分数。 32．（2024·河南信阳·小升初真题）的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，它比最小的质数少( )个这样的分数单位。 易错重难点考点17：根据真分数、假分数和带分数的特征组数 33．（18-19五年级下·湖南张家界·期中）在中，当a( )时，它是真分数；当a( )或( )，它是假分数。 34．（23-24五年级上·辽宁大连·期末）（x是非零自然数）中，如果它是一个真分数，那么x有( )种填法；如果它是一个假分数，那么x最小是( )。 易错重难点考点18：分数的基本性质的应用 35．（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）在括号里填上适当的数。                           36．（24-25五年级下·重庆忠县·期中）的分子加上15，要使分数的大小不变，分母应( )。 易错重难点考点19：分解质因数 37．（23-24五年级下·湖北襄阳·期末）“书香浸润心灵，阅读点亮人生。”李铭特别喜欢读名著，这天他读到《西游记》第四回“官封弼马心何足，名注齐天意未宁”时发现左右两页页码的乘积正好是420。那么他读到的这两页的页码分别是 和 。 38．（23-24四年级下·山东济南·期末）小亮在计数器上拨出一个两位数，个位上是最小的合数，十位上是最小的质数，这个两位数是( )，把这个两位数分解质因数是( )。 易错重难点考点20：公因数与最大公因数 39．（24-25五年级下·海南海口·周测）找出下列各分数中分子和分母的最大公因数，写在括号里。 ( )    ( )    ( ) ( )    ( )    ( ) 40．（23-24五年级下·山西忻州·期末）的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再添上( )个这样的分数单位就是9和24的最大公因数。 易错重难点考点21：用最大公因数解决问题 41．（23-24五年级下·湖北孝感·期末）李老师要把一张长75cm、宽50cm的长方形纸剪成若干个同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是( )cm，能剪( )个。 42．（23-24五年级下·北京朝阳·期末）端午节是每年的农历五月初五，是我国首个入选非遗的节日。端午节前夕，圆圆家一共包了24个蛋黄粽和36个蜜枣粽，他们想把粽子分装成礼盒送给亲朋好友品尝。如果每盒里都有这两种口味的粽子，且分完后都没有剩余，他们最多能分装出( )个同样的粽子礼盒。 易错重难点考点22：约分的认识与应用 43．（24-25五年级下·海南海口·周测）的分子、分母的最大公因数是( )，用最大公因数把这个数约分成最简分数是( )。 44．（24-25五年级下·全国·单元测试）一个分数的分子与分母的和是30，约分后是，原来的分数是( )。 易错重难点考点23：用最小公倍数解决实际问题 45．（23-24五年级下·重庆九龙坡·期末）王师傅用下面规格的瓷砖铺一个正方形图案，这个正方形图案的边长至少是( )分米，至少需要( )块这样的瓷砖。 46．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）书法社团的学生平均分成4人一组或6人一组，都正好能分完，如果社团人数在40～50人之间，那么这个书法社团有( )人。 易错重难点考点24：同分子分数的大小比较 47．（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( )       ( ) 48．（23-24五年级下·山西阳泉·期末）通过本学期的学习，我们掌握了分数比较大小的方法。 ( ) 我可以直接比较出大小，因为：( )。 我还可以通分比较出大小，我是这样做的：( )。 易错重难点考点25：通分的认识与应用 49．（23-24五年级下·湖南长沙·期末）在2024秋季校运会中，李磊和王明都报名参加跑步比赛，李磊跑完全程用了40秒，王明用了分，( )跑得更快。 50．（23-24五年级下·北京石景山·期末）在、和这三个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 易错重难点考点26：异分母异分子分数的大小比较 51．（23-24五年级上·河南商丘·期末）把和化成分母是24而大小不变的分数分别是( )和( )，所以( )（填“＞”或“＜”）。 52．（23-24五年级下·河北邢台·期末）小红和小丽每人一杯同样的果汁，小红喝了一杯果汁的，小丽喝了一杯果汁的，( )剩下的果汁多。 易错重难点考点27：异分母分数加减法 53．（23-24五年级下·山西阳泉·期末）爷爷给小东榨了一杯果汁，他喝了半杯后加满水，又喝了杯，又加满水，最后一气喝光了，那么小东喝了果汁( )杯，水( )杯。 54．（23-24五年级下·湖北鄂州·期末）一杯纯牛奶，小壮喝了杯后，兑满水又喝了一半。小壮一共喝了( )杯纯牛奶，( )杯水。 易错重难点考点28：分数的加减法运算 55．（24-25五年级下·海南海口·周测）已知，，，那么( )。 56．（24-25五年级下·海南海口·周测）在横线上填上适当的数或运算符号。 （ ＋ ）     ＋ － （ ）    （＋ ）＋（ ＋ ） 易错重难点考点29：分数的加减法 57．（23-24五年级下·湖北十堰·期末）小美一家三口每天早上都会喝牛奶。一天爸爸新打开一盒1升的牛奶，给妈妈倒了升，给小美和自己各倒了升。三人一共喝了( )升牛奶；这盒l升的牛奶还剩( )升。 58．（23-24五年级下·河南三门峡·期末）《庄子•天下篇》中有述：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”！意思是一尺长的棍棒，今日截取它的一半，即，明日取它一半的一半……永远也截不完。按照这样的方法，如果木棒长32分米，第三日截取的长度是( )分米，这三日截取的长度占总长度的( )。 易错重难点考点30：分数加减法简便运算 59．（22-23五年级下·河南周口·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )          －( ) ( )          ＋＋( )＋（＋） 易错重难点考点31：打电话问题 61．（23-24五年级下·河南安阳·期末）皮影戏，又称“影子戏”或“灯影戏”，是中国民间古老的传统艺术。某皮影戏剧团12名成员有紧急演出，团队负责人要打电话尽快通知到每名成员（一对一进行传达），每次通话需要1分钟，最少( )分钟才能通知到每个人。 62．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）学校乐团受邀参加展演活动，因为时间紧迫，老师需要尽快通知到每一名队员，如果采用打电话的方式，每分钟通知1人，要通知到乐团的26名队员，最少需要( )分钟。 易错重难点考点32：复式折线统计图 63．（24-25五年级下·全国·单元测试）下面是某小学2018－2024年体检患龋齿人数情况统计图，根据统计图回答问题。 (1)( )年男生患龋齿的人数最少，( )年女生患龋齿的人数最少。 (2)男、女生患龋齿人数最多的是( )年，一共( )人。 (3)从总体上看，男、女生患龋齿的人数呈( )趋势。女生从( )年到( )年患龋齿的人数出现了回升。男生患龋齿的人数出现了( )次回升。 64．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）看图回答下列问题。 轿车和货车沿同一路线行驶情况统计表： （1）（    ）时整，两车相距最远，是（    ）千米。 （2）轿车在路上停留了（    ）小时。 （3）货车平均每小时行驶（    ）千米。 （4）从7时到12时，货车行驶的路程是轿车行驶路程的。 易错重难点考点33：找次品 65．（24-25五年级下·全国·单元测试）一箱饮料有20瓶，其中一瓶稍微轻一些，另外19瓶质量相同，至少称（    ）次就一定能找出轻的这一瓶。你能补全图来表示出全过程吗？ 66．（19-20五年级下·全国·周测）寻找假珍珠。 盒子里有18颗外表完全相同的珍珠，已知里面有一颗是假的，比真的轻一些。请你用没有砝码的天平找出假珍珠，至少需要称几次？下面是小乐和小芸设计的两种方案，但都不完整，请你补充完整。 (1)小乐的方案： ①将18颗珍珠平均分为2份（18＝9＋9）。天平两边各放1份，( )的一边有假珍珠。 ②再将有假珍珠的1份平均分为( )份，称( )次就可以找到有假珍珠的1份，判断过程是 。 ③ 。 ④共称了( )次。 (2)小芸的方案 ①将18颗珍珠平均分3份（18＝6＋6＋6）。任取2份放在天平上，若两边平衡，则( )的1份有假珍珠；若不平衡，则( )的1份有假珍珠。 ② 。 ③ 。 ④共称了( )次。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学五年级下学期高频易错压轴真题考点分类必刷培优练 专题02 填空题 （33个重难点考点讲练 共66题） 易错重难点考点01：根据倍数的特征解决问题 2 易错重难点考点02：倍数和因数的综合应用 2 易错重难点考点03：奇数和偶数的认识 3 易错重难点考点04:2,3,5的倍数的特征的综合 4 易错重难点考点05：质数与合数的综合应用 5 易错重难点考点06：运算性质（奇数和偶数） 6 易错重难点考点07：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 7 易错重难点考点08：组合体的表面积（长方体、正方体） 10 易错重难点考点09：体积的等积变形（长方体、正方体） 12 易错重难点考点10：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 13 易错重难点考点11：长方体、正方体的容积 14 易错重难点考点12：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 15 易错重难点考点13：单位“1”的热认识与确定 16 易错重难点考点14：求一个数占另一个数几分之几 17 易错重难点考点15：真分数、假分数、带分数的认识 19 易错重难点考点16：假分数与带分数或整数的互化 19 易错重难点考点17：根据真分数、假分数和带分数的特征组数 20 易错重难点考点18：分数的基本性质的应用 21 易错重难点考点19：分解质因数 22 易错重难点考点20：公因数与最大公因数 23 易错重难点考点21：用最大公因数解决问题 24 易错重难点考点22：约分的认识与应用 25 易错重难点考点23：用最小公倍数解决实际问题 26 易错重难点考点24：同分子分数的大小比较 27 易错重难点考点25：通分的认识与应用 28 易错重难点考点26：异分母异分子分数的大小比较 29 易错重难点考点27：异分母分数加减法 30 易错重难点考点28：分数的加减法运算 30 易错重难点考点29：分数的加减法 31 易错重难点考点30：分数加减法简便运算 33 易错重难点考点31：打电话问题 35 易错重难点考点32：复式折线统计图 35 易错重难点考点33：找次品 38 易错重难点考点01：根据倍数的特征解决问题 1．（23-24五年级下·河北张家口·期中）小红的年龄是2和7的倍数，妈妈的年龄是小红年龄的倍数，也是42的因数。小红的年龄是( )，妈妈的年龄是( )。 【答案】 14 42 【思路引导】根据题意先找出42的因数，再从42的因数里面找出同时是2和7的倍数的数，小的数是小红的年龄，大的数是妈妈的年龄。 【完整解答】小红的年龄：需同时是2和7的倍数，即最小公倍数为14。 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。 其中只有14和42是14的倍数。排除不合理数据（如14岁与小红同龄），妈妈的年龄应为42岁。 因此，小红14岁，妈妈42岁。 2．（24-25五年级上·河南郑州·期末）一个数的最小因数与最大因数的和是16，这个数的最小倍数是( )。 【答案】15 【思路引导】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；据此可知：这个数的最小因数是1，用16减去1求出这个数的最大因数，也就是这个数本身，一个数的最小倍数是它本身。 【完整解答】16－1＝15 所以这个数的最小倍数是15。 易错重难点考点02：倍数和因数的综合应用 3．（22-23五年级下·浙江杭州·期中）如图，用60个大小相同的正方形拼成一个大长方形。60＝( )×( )，所以( )是( )的倍数。 【答案】 4 15 60 4和15 【思路引导】根据找一个数的因数和倍数的方法，因为60＝4×15，再根据因数和倍数的定义，在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。据此解答即可。 【完整解答】根据题意，用60个大小相同的正方形拼成一个大长方形。60＝4×15，所以60是4和15的倍数。 【考点评析】此题考查了找一个数的因数和倍数的方法，应熟练掌握其方法，并能灵活运用。 4．（21-22五年级下·全国·课后作业）猜电话号码。 0871－ABCDEFG 提示：A－8的最小倍数；B－最小的自然数；C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数；E－它的所有因数是1、2、3、6；F－它的所有因数是1、3；G－它只有1个因数。这个电话号码是0871－( )。 【答案】8054631 【思路引导】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数。 【完整解答】8的最小倍数是8；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4；6的因数有1、2、3、6；3的因数有1、3；只有1个因数的是1。所以这个电话号码是0871－8054631。 【考点评析】一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。 易错重难点考点03：奇数和偶数的认识 5．（24-25五年级下·宁夏银川·期中）在36、25、41、103、210、18中，( )是奇数，( )是偶数，( )既是2的倍数，又是3的倍数。 【答案】 25、41、103 36、210、18 36、210、18 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数；同时是2和3倍数的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8，各个位上数字相加的和是3的倍数，据此解答。 【完整解答】分析可知，在36、25、41、103、210、18中，25、41、103是奇数，36、210、18是偶数，36、210、18既是2的倍数，又是3的倍数。 6．（24-25五年级下·重庆潼南·期中）三个连续偶数的和是198，这三个偶数是( )，( )，( )。 【答案】 64 66 68 【思路引导】要求这三个连续偶数分别是多少，应该先根据“三个连续偶数的和是198”这个条件，算出这三个偶数的平均数，即中间的偶数，则最大的一个偶数是中间的偶数加2，最小的一个偶数是中间的偶数减2，即可得出结论。 【完整解答】198÷3＝66 66＋2＝68 66－2＝64 则这三个偶数是64，66，68。 易错重难点考点04:2,3,5的倍数的特征的综合 7．（24-25五年级下·福建福州·期中）用0、2、3、7这四个数字组成一个同时是2、3和5的倍数的最小四位数是( )。 【答案】2370 【思路引导】2的倍数：个位是2，4，6，8，0的数；3的倍数：各个数位上的数字之和能被3整除的数；5的倍数：个位是0或5的数；据此可知：一个数既是2的倍数又是5的倍数，则个位一定是0，再结合3的倍数特征让千位、百位和十位上的数字都最小即可。 【完整解答】同时是2、3和5的倍数的最小四位数，个位一定是0，千位最小是2，百位最小是3，则十位是7，即这个最小四位数是2370。 8．（24-25五年级下·重庆渝北·期中）用2，5，0，7中的任意三个数按要求组成相应的三位数。（各写两个即可） 2的倍数：( )；3的倍数：( )；5的倍数：( )；同时是2、5、3的倍数：( )。 【答案】 250、752（答案不唯一） 270、207（答案不唯一） 250、270（答案不唯一） 270、720（答案不唯一） 【思路引导】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。同时是2、5、3的倍数，则这个三位数的个位上应是0，而各数位上的数字之和应是3的倍数。据此组数即可。 【完整解答】2＋7＝9 用2，5，0，7中的任意三个数按要求组成相应的三位数。（各写两个即可） 2的倍数：250、752；3的倍数：270、207；5的倍数：250、270；同时是2、5、3的倍数：270、720。（答案不唯一） 易错重难点考点05：质数与合数的综合应用 9．（22-23五年级下·河北保定·期中）平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 【答案】4210958 【思路引导】最小的合数是4，最小的质数是2，既不是质数也不是合数的数是1，比最小的质数小2的数是0，10以内最大的合数是9，因数只有1和5的数是5，一位数中最大的偶数是8，所以平平家的电话号码是4210958。 【完整解答】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是4210958。 10．（22-23五年级下·河南三门峡·期中）李浩和王乐玩数字游戏，李浩设置了一个六位数字密码如下： 个位：既是偶数，又是质数。 十位：既是5的倍数，又是5的因数。 百位：既是2的倍数，又是3的倍数。 千位：既不是质数，也不是合数。 万位：既是奇数，又是合数。 十万位：一位数中最大的合数。 如果你是王乐，你能解开此密码吗？试一试：( )。 【答案】991652 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 据此确定各数位上的数，写出这个数即可。 【完整解答】个位：既是偶数，又是质数，这个数是2。 十位：既是5的倍数，又是5的因数，这个数是5。 百位：既是2的倍数，又是3的倍数，这个数是6。 千位：既不是质数，也不是合数，这个数是1。 万位：既是奇数，又是合数，这个数是9。 十万位：一位数中最大的合数，这个数是9。 因此密码是：991652 【考点评析】关键是理解因数和倍数的含义，掌握2和3的倍数的特征，掌握奇数、偶数、质数、合数的分类标准。 易错重难点考点06：运算性质（奇数和偶数） 11．（23-24五年级下·福建莆田·期末）著名的数学猜想——“孪生素数猜想”中所说的“孪生素数”是指相差2的两个质数，如3和5都是质数，且5－3＝2，所以3和5就是一对孪生素数。同理，5和7也是一对孪生素数。 (1)写出20以内除了3和5，5和7以外的两组孪生质素数：( )和( )，( )和( )。 (2)如果用a和b表示任意对孪生素数，那么2a＋b的和一定是( )。（填“奇数”或“偶数”）我是这样推算答案的：( )。 【答案】(1) 11 13 17 19 (2) 奇数 2a表示偶数，b表示奇数，偶数＋奇数＝奇数 【思路引导】（1）根据“孪生素数”的定义，找出20以内的除了3和5，5和7以外的两组孪生质素数即可。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 （2）无论a是偶数还是奇数，2a一定是偶数，b是奇数，根据奇偶数的运算性质求解。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 【完整解答】（1）20以内除了3和5，5和7以外的两组孪生质素数：11和13，17和19。 （2）如果用a和b表示任意对孪生素数，那么2a＋b的和一定是奇数。 我是这样推算答案的：2a表示偶数，b表示奇数，偶数＋奇数＝奇数，所以2a＋b的和一定是奇数。 12．（23-24五年级下·重庆荣昌·期末）乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 【答案】 2 5 【思路引导】因为a、b均为质数，且3a＋7b＝41，所以3a和7b一定是一奇数一偶数，又因为和＝41，则b小于7，小于7的只数只有2、3、5，因为奇数乘偶数等于偶数，所以a或b一定有一个2。即可把2代入等式推算出另一个数，符合“a、b均为质数”即可得解。 【完整解答】当a＝2时 解： 2、5均为质数，推算成立； 当b＝2时 解： 9不是质数，故推算不成立。 根据以上思考，乐乐推算出a是2，b是5。 易错重难点考点07：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 13．（24-25五年级下·湖北武汉·期中）一个长方体的底面是一个边长20厘米的正方形，长方体的高为40厘米。如果把它的高增加5厘米，那么它的表面积会增加( )平方厘米。 【答案】400 【思路引导】长方体底面是边长20厘米的正方形，高增加5厘米，增加的表面积是4个完全相同的长方形的面积之和。这些长方形的长为底面正方形的边长20厘米，宽为增加的高5厘米，根据“长方形面积＝长×宽”计算出一个这样的长方形面积，再用一个长方形的面积乘4，即可求解。 【完整解答】20×5×4 ＝100×4 ＝400（平方厘米） 所以它的表面积会增加400平方厘米。 14．（2025五年级下·全国·专题练习）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是 。 【答案】6个 【思路引导】1．计算最底层正方体的表面积 正方体表面积公式为S＝6a2（a为棱长），最底层正方体棱长a＝2，其一个面的面积为2×2＝4，那么最底层正方体的表面积（包含底面）为6×4＝24 2．分析上层正方体一个面的面积规律 我们通过观察图形来确定上层正方体一个面的面积与下层的关系。可以发现，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，把下层正方体上底面的正方形沿对角线分割，能直观看到上层正方体底面占下层正方体底面的一半。所以最底层正方体一个面面积是4，从下往上数，第二层正方体一个面面积是4÷2＝2，第三层正方体一个面面积是2÷2＝1，依此类推。 3．计算不同层数时塔形的表面积并确定最少个数 当有2个正方体时，表面积为最底层正方体表面积加上第二层正方体4个侧面的面积（因为第二层上底面与第一层接触，不增加表面积），即24＋4×2＝32。 当有3个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1 当有4个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1＋4×0.5 当有5个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25 当有6个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25＋4×0.125，超过了39。所以正方体个数至少是6个。 【完整解答】最底层正方体一个面面积：2×2＝4，最底层正方体表面积（含底面） 6×4＝24。 2个正方体时表面积：24＋4×2 ＝24＋8 ＝32 3个正方体时表面积： 24＋4×2＋4×1 ＝24＋8＋4 ＝36 4个正方体时表面积： 24＋4×2＋4×1＋4×0.5 ＝24＋8＋4＋2 ＝38 5个正方体时表面积： 24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25 ＝24＋8＋4＋2＋1 ＝39 6个正方体时表面积： 24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25＋4×0.125 ＝24＋8＋4＋2＋1＋0.5 ＝39.5 所以正方体个数至少是6个。 【考点评析】本题的关键在于通过直观观察图形，准确找出上层与下层正方体一个面面积的变化规律，再结合正方体表面积公式进行计算。在计算时，需明确每增加一层正方体，其各面在总表面积计算中所起的作用，即哪些面增加了表面积，哪些面因重合不产生影响，进而逐步算出不同正方体数量时塔形的表面积。 易错重难点考点08：组合体的表面积（长方体、正方体） 15．（24-25五年级下·北京大兴·期中）如下图所示，用棱长1厘米的小正方体摆立体图形。第4个立体图形的表面积是( )平方厘米，第6个立体图形的表面积是( )平方厘米，第n个立体图形的表面积是( )平方厘米。 【答案】 18 26 4n＋2 【思路引导】第1个：1个正方体，表面积是： （1×1）×6 ＝1×6 ＝6（平方厘米） 表面积可以写成：4×1＋2； 第2个：两个正方体拼在一起，减少两个（1×1）平方厘米的面积，表面积是： （1×1）×（6×2－2） ＝1×（12－2） ＝1×10 ＝10（平方厘米） 表面积可以写成：4×2＋2 第3个：三个正方体拼在一起，减少四个（1×1）平方厘米的面积，表面积是： （1×1）×（6×3－4） ＝1×（18－4） ＝1×14 ＝14（平方厘米） 表面积可以写成：4×3＋2 …… 由此可知，每增加一个正方体，就多了4个面，可以看作小正方体的个数乘4，再加上左右两个面的面积就是立体图形的表面积，当n个正方体拼在一起，表面积是（4n＋2） 平方厘米，由此解答即可。 【完整解答】根据分析可知，第n个立体图形的表面积是（4n＋2）平方厘米。 n＝4时： 4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（平方厘米） n＝6时： 4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（平方厘米） 用棱长1厘米的小正方体摆立体图形。第4个立体图形的表面积是18平方厘米，第6个立体图形的表面积是26平方厘米，第n个立体图形的表面积是（4n＋2）平方厘米。 16．（22-23五年级下·山西晋中·期中）下边两个立体图形都是由棱长为1cm的正方体搭成。 ①号的表面积可以这样计算： 根据①号表面积的求法，②号表面积是( )。（要写出算式） 【答案】（5＋6＋5）×2×1＝32（cm2） 【思路引导】根据①号表面积的算法，求②号的表面积；②号从上面看，可以看到5个小正方形；从正面看，可以看到6个小正方形；从左面看，可以看到5个小正方形，同理，从下面、后面、右面也可以看到同样多的小正方形，所以一共看到（5＋6＋5）×2个小正方形，再乘每个小正方形的面积，即是②号的表面积。 【完整解答】（5＋6＋5）×2×1 ＝（11＋5）×2×1 ＝16×2×1 ＝32（cm2） ②号表面积是32cm2。 易错重难点考点09：体积的等积变形（长方体、正方体） 17．（24-25五年级下·河南南阳·期中）如左图，是由棱长1cm的小正方体拼成的，这个图形的表面积是( )。至少添上( )个这样的小正方体可以组合成一个大一些的正方体。 【答案】 30平方厘米/30cm2 19 【思路引导】分别数出从正面、上面、右面看到的小正方形的个数，把它们相加的和乘2求出一共有多少个棱长为1cm的正方体的面，再乘边长是1cm的正方形的面积即可求出这个图形的表面积； 组合成一个大一些的正方体的棱长为3个小正方体的长度，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出大一些的正方体的个数，再减去原来小正方体的个数8即可解答。 【完整解答】1×1＝1（） （4＋6＋5）×2×1 ＝（10＋5）×2×1 ＝15×2×1 ＝30（） 3×3×3－8 ＝9×3－8 ＝27－8 ＝19（个） 所以这个图形的表面积是30，至少添上19个这样的小正方体可以组合成一个大一些的正方体。 18．（24-25五年级下·广东东莞·期中）一个长方体，长、宽、高分别是8厘米、6厘米和4厘米，从中截去一个最大的正方体后，剩下的体积是( )立方厘米。 【答案】128 【思路引导】根据题意可知：在这个长方体中截取一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据分别计算出长方体、正方体的体积，再用长方体的体积减去正方体的体积即可解答。 【完整解答】8×6×4－4×4×4 ＝48×4－16×4 ＝192－64 ＝128（立方厘米） 所以剩下的体积是128立方厘米。 易错重难点考点10：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 19．（24-25五年级下·福建福州·期中）如图图形的体积是( )cm3。 【答案】48 【思路引导】 如图，将这个组合体分成两部分，下边是长4cm，宽4cm，高2cm的长方体，上边是长4cm，宽4cm，高（4－2）厘米的长方体体积的一半，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【完整解答】4×4×2＋4×4×（4－2）÷2 ＝32＋16×2÷2 ＝32＋16 ＝48（cm3） 图形的体积是48cm3。 20．（24-25六年级下·海南海口·期末）如图，由棱长是3和5的两个正方体搭成的图形，它的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 186 152 【思路引导】通过平移，将小正方体上面的面平移到下面，它的表面积＝大正方体的表面积＋小正方体1个面的面积×4，正方体表面积＝棱长×棱长×6；它的体积＝大正方体的体积＋小正方体的体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【完整解答】5×5×6＋3×3×4 ＝150＋36 ＝186（） 5×5×5＋3×3×3 ＝125＋27 ＝152（） 它的表面积是186，体积是152。 易错重难点考点11：长方体、正方体的容积 21．（24-25五年级下·贵州黔南·期中）下图是一块长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子，这个盒子长( )厘米，宽( )厘米，高( )厘米，容积是( )立方厘米。 【答案】 25 15 5 1875 【思路引导】这个盒子的长＝原来长方形的长－2×正方形的边长，这个盒子的宽＝原来长方形的宽－2×正方形的边长，这个盒子的高等于减去的这个正方形的边长；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，所得结果即为这个盒子的容积。 【完整解答】长：35－2×5 ＝35－10 ＝25（厘米） 宽：25－2×5 ＝25－10 ＝15（厘米） 高：5厘米 容积：25×15×5＝1875（立方厘米） 因此这个盒子长25厘米，宽15厘米，高5厘米，容积是1875立方厘米。 22．（24-25五年级下·山西晋中·期中）如下图，在一个长方体容器中，摆了若干个棱长为1厘米的正方体。玻璃容器的容积是( )立方厘米。 【答案】72 【思路引导】看图可知，长方体容器的长6厘米，宽4厘米，高3厘米，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出这个玻璃容器的容积。 【完整解答】6×4×3 ＝24×3 ＝72（立方厘米） 所以玻璃容器的容积是72立方厘米。 易错重难点考点12：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 23．（24-25五年级下·北京大兴·期中）有一个长方体水箱，从里面量底面积是24平方分米，水面高度是5分米。将一个西瓜放入水箱，完全浸没在水中，水面高度上升到5.4分米。这个西瓜的体积是( )立方分米。 【答案】9.6 【思路引导】根据题意可知，水面上升部分的体积，就是西瓜的体积，根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【完整解答】24×（5.4－5） ＝24×0.4 ＝9.6（立方分米） 有一个长方体水箱，从里面量底面积是24平方分米，水面高度是5分米。将一个西瓜放入水箱，完全浸没在水中，水面高度上升到5.4分米。这个西瓜的体积是9.6立方分米。 24．（23-24五年级下·四川凉山·期末）一个长方体水槽从里面量底面积是0.85dm2，高是2dm。里面装有一些水和一块石块（石块完全浸没在水中），这时水深15cm，取出石块后水深下降到11cm，这块石块的体积是( )dm3。 【答案】0.34 【思路引导】水面下降的体积就是石块的体积，长方体水槽底面积×水面下降高度＝石块的体积，据此列式计算，注意统一单位。 【完整解答】15cm＝1.5dm、11cm＝1.1dm 0.85×（1.5－1.1） ＝0.85×0.4 ＝0.34（dm3） 这块石块的体积是0.34dm3。 易错重难点考点13：单位“1”的热认识与确定 25．（23-24五年级下·湖北黄石·期末）用分数表示下面各图中涂色部分的大小。                                                    【答案】；；； 【思路引导】（1）把大长方形看作单位“1”，平均分成5份，涂色部分占了3份，据此解答。 （2）把多边形看作单位“1”，平均分成8份，涂色部分占了8份，据此解答。 （3）把大正方形看作单位“1”，有2个大正方形，即为2个单位，第一个大正方形平均分成4份，涂色部分占了4份，可看作1个单位，第二个大正方形平均分成4份，涂色部分占了3份，两者相加即可，据此解答。 （4）把大三角形看作单位“1”，2个三角形就是2个单位，2大三角形平均分成6份，涂色部分占了6份，将两者相加即可。 【完整解答】 ＋＝＋＝ 26．（23-24五年级下·河南三门峡·期末）一节数学课的时间是小时。在王老师的数学课中，学生“自主探究、合作交流、表达分享”的时间是这节课的。第一个“”，是把( )看作“1”，平均分成3份，表示这样的2份，是( )分钟；第二个“”，是把( )看作“1”，平均分成3份，表示这样的2份。 【答案】 1小时 40 小时 【思路引导】先找出单位“1”，根据分数的意义，把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。据此分析即可。 【完整解答】1小时＝60分 （分） 根据分析可知： 一节数学课的时间是小时。在王老师的数学课中，学生“自主探究、合作交流、表达分享”的时间是这节课的。第一个“”，是把1小时看作“1”，平均分成3份，表示这样的2份，是40分钟；第二个“”，是把小时（或40分钟）看作“1”，平均分成3份，表示这样的2份。 易错重难点考点14：求一个数占另一个数几分之几 27．（2023·湖北荆州·小升初真题）如图中的正方形被分成9个相同的小正方形，其中阴影三角形面积是原正方形面积的。 【答案】 【思路引导】将小正方形的边长看作1，原正方形的边长看作3，那么三角形的底是2，高是3。根据正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，分别求出原正方形的面积和阴影三角形面积。再以原正方形的面积为单位“1”，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，用阴影三角形面积除以原正方形面积即可。 【完整解答】（2×3÷2）÷（3×3） ＝3÷9 ＝ ＝ 阴影三角形面积是原正方形面积的。 28．（23-24五年级下·江西九江·期末）每盒牛奶是这组牛奶的。 5个书签是这套书签的。 8个鸡蛋是这盒鸡蛋的。 【答案】；； 【思路引导】求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。 共有4盒牛奶，求每盒牛奶是这组牛奶的几分之几，就是求1是4的几分之几，用除法计算； 共有6个书签，求5个书签是这套书签的几分之几，就是求5是6的几分之几，用除法计算； 共有15个鸡蛋，求8个鸡蛋是这盒鸡蛋的几分之几，就是求8是15的几分之几，用除法计算。 【完整解答】1÷4＝ 5÷6＝ 8÷15＝ 每盒牛奶是这组牛奶的； 5个书签是这套书签的； 8个鸡蛋是这盒鸡蛋的。 易错重难点考点15：真分数、假分数、带分数的认识 29．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）如果是最小的假分数，那么a＝( )；如果是最大的真分数，那么a＝( )。 【答案】 7 8 【思路引导】要使是假分数，则a为等于或小于7整数。要使是真分数，则a为大于7的任意一个整数，据此填空即可。 【完整解答】如果是假分数，a 是整数且a≤7，最大是7； 如果是真分数，a 是整数且a＞7，最小为8； 所以如果是最小的假分数，那么a＝7；如果是最大的真分数，那么a＝8。 30．（24-25五年级下·广西贵港·期中）在直线上面的括号里填上适当的带分数，在直线下面的括号里填上适当的假分数。 【答案】见详解 【思路引导】分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数，看图可知，将1平均分成4份，因此分母是4，根据所占份数确定分子，即假分数；1和2之间的带分数的整数部分是1，2和3之间的带分数的整数部分是2，根据所占份数确定带分数的分子即可。 【完整解答】 易错重难点考点16：假分数与带分数或整数的互化 31．（23-24五年级下·广东江门·期中）在里，当x( )时，它是真分数；当x( )时，它是能化成整数的假分数；当x( )时，它是能化成带分数的假分数。 【答案】 大于0小于10 是10的倍数 大于10 【思路引导】分子比分母小的分数叫做真分数；分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于或等于1；把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数；据此解答。 【完整解答】在里，当x大于0小于10时，它是真分数；当x是10的倍数时，它是能化成整数的假分数；当x大于10时，它是能化成带分数的假分数。 32．（2024·河南信阳·小升初真题）的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，它比最小的质数少( )个这样的分数单位。 【答案】 5 7 【思路引导】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。对于真分数、假分数来说，分子是几，就有几个这样的分数单位。 最小的质数是2，先把2化成分母为6而大小不变的假分数，再看分子与的分子相差几，就是它比最小的质数少几个这样的分数单位。 【完整解答】的分数单位是，它有5个； 最小的质数是2； 2＝，里面有12个； 12－5＝7（个） 填空如下： 的分数单位是（），它有（5）个这样的分数单位，它比最小的质数少（7）个这样的分数单位。 易错重难点考点17：根据真分数、假分数和带分数的特征组数 33．（18-19五年级下·湖南张家界·期中）在中，当a( )时，它是真分数；当a( )或( )，它是假分数。 【答案】 小于7 等于7 大于7 【思路引导】分子小于分母的分数就是真分数；分子等于或大于分母的分数就是假分数；据此解答即可。 【完整解答】在中，当a小于7时，它是真分数；当a等于7或大于7，它是假分数。 34．（23-24五年级上·辽宁大连·期末）（x是非零自然数）中，如果它是一个真分数，那么x有( )种填法；如果它是一个假分数，那么x最小是( )。 【答案】 7/七 8 【思路引导】根据真分数的意义：分子小于分母的分数叫做真分数；是真分数，x小于8；假分数的意义：分子大于或等于分母的分数叫做假分数，x大于或等于8；据此解答。 【完整解答】是真分数，x可能是1，2，3，4，5，6，7，一共有七种填法； 是假分数，x最小，分子等于分母，x是8。 （x是非零自然数）中，如果它是一个真分数，那么x有7种填法；如果它是一个假分数，那么x最小是8。 易错重难点考点18：分数的基本性质的应用 35．（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）在括号里填上适当的数。                           【答案】；7；8；2； 6；12；6；1；48；9 【思路引导】分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【完整解答】 ， ， ， 填空如下：                         36．（24-25五年级下·重庆忠县·期中）的分子加上15，要使分数的大小不变，分母应( )。 【答案】乘4或加上24 【思路引导】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 的分子加上15得20，相当于分子5乘4，根据分数的基本性质，要使分数的大小不变，分母也要乘4得32，再减去原来的分母，即是分母应该加上的数。 【完整解答】分子相当于乘： （5＋15）÷5 ＝20÷5 ＝4 分母也应乘4或加上： 8×4－8 ＝32－8 ＝24 的分子加上15，要使分数的大小不变，分母应（乘4或加上24）。 易错重难点考点19：分解质因数 37．（23-24五年级下·湖北襄阳·期末）“书香浸润心灵，阅读点亮人生。”李铭特别喜欢读名著，这天他读到《西游记》第四回“官封弼马心何足，名注齐天意未宁”时发现左右两页页码的乘积正好是420。那么他读到的这两页的页码分别是 和 。 【答案】 20 21 【思路引导】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 这两页的页码是相邻的两个自然数，且乘积正好是420，就说明420是每个自然数的倍数，据此将420分解质因数，写成由几个质数相乘的形式，再把分解的质数适当组合起来，然后把质数相乘的积作为这两页的页码。 【完整解答】 420＝2×2×3×5×7 2×2×5＝20 3×7＝21 他读到的这两页的页码分别是20和21。 38．（23-24四年级下·山东济南·期末）小亮在计数器上拨出一个两位数，个位上是最小的合数，十位上是最小的质数，这个两位数是( )，把这个两位数分解质因数是( )。 【答案】 24 24＝2×2×2×3 【思路引导】最小的合数是4，最小的质数是2，则这个数是24；把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数，据此填空即可。 【完整解答】24＝2×2×2×3 这个两位数是24，把这个两位数分解质因数是24＝2×2×2×3。 易错重难点考点20：公因数与最大公因数 39．（24-25五年级下·海南海口·周测）找出下列各分数中分子和分母的最大公因数，写在括号里。 ( )    ( )    ( ) ( )    ( )    ( ) 【答案】 2 8 16 5 27 19 【思路引导】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【完整解答】4＝2×2、26＝2×13，4和26的最大公因数是2； 16＝2×2×2×2、72＝2×2×2×3×3，2×2×2＝8，16和72的最大公因数是8； 48＝2×2×2×2×3、80＝2×2×2×2×5，2×2×2×2＝16，48和80的最大公因数是16； 25＝5×5、65＝5×15，25和65的最大公因数是5； 54＝2×3×3×3、81＝3×3×3×3，3×3×3＝27，54和81的最大公因数是27； 38＝2×19、95＝5×19，38和95的最大公因数是19。 （2）    （8）    （16） （5）    （27）    （19） 40．（23-24五年级下·山西忻州·期末）的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再添上( )个这样的分数单位就是9和24的最大公因数。 【答案】 11 13 【思路引导】带分数化成假分数后，看分母是几，分数单位就是几分之一，分子是几，这个分数就包含几个分数单位。用分解质因数法求出9和24的最大公因数，将最大公因数化成这个分数单位的假分数，分子与原假分数分子的差就是要添加分数单位的个数，据此解答。 【完整解答】，所以的分数单位是，它有11个这样的分数单位。 ，，所以9和24的最大公因数是3。 ，，所以再添13个这样的分数单位就是9和24的最大公因数。 易错重难点考点21：用最大公因数解决问题 41．（23-24五年级下·湖北孝感·期末）李老师要把一张长75cm、宽50cm的长方形纸剪成若干个同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是( )cm，能剪( )个。 【答案】 25 6 【思路引导】根据题意，把一张长75cm、宽50cm的长方形纸剪成若干个同样大小的正方形而没有剩余，说明剪出的正方形的边长是75和50的公因数； 求剪出的正方形的最大边长，就是求75和50的最大公因数；用分解质因数的方法求出75和50的最大公因数，再分别求出长、宽各可以剪几个，最后相乘就是至少剪的个数。 【完整解答】75＝3×5×5 50＝2×5×5 75和50的最大公因数：5×5＝25 即正方形的边长最大是25cm。 75÷25＝3（个） 50÷25＝2（个） 一共：3×2＝6（个） 剪出的正方形的边长最大是25cm，能剪6个。 42．（23-24五年级下·北京朝阳·期末）端午节是每年的农历五月初五，是我国首个入选非遗的节日。端午节前夕，圆圆家一共包了24个蛋黄粽和36个蜜枣粽，他们想把粽子分装成礼盒送给亲朋好友品尝。如果每盒里都有这两种口味的粽子，且分完后都没有剩余，他们最多能分装出( )个同样的粽子礼盒。 【答案】12 【思路引导】每盒里都有这两种口味的粽子，且分完后都没有剩余，说明分装的礼盒数量是24和36的公因数。求他们最多能分装出多少个同样的粽子礼盒，就是求24和36的最大公因数。 运用质因数分解法求几个数的最大公因数，几个数全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是它们的最大公因数。 【完整解答】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 24和32的最大公因数是2×2×3＝12。 则他们最多能分装出12个同样的粽子礼盒。 易错重难点考点22：约分的认识与应用 43．（24-25五年级下·海南海口·周测）的分子、分母的最大公因数是( )，用最大公因数把这个数约分成最简分数是( )。 【答案】 4 【思路引导】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。约分根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【完整解答】12＝2×2×3 20＝2×2×5 2×2＝4 的分子、分母的最大公因数是4，用最大公因数把这个数约分成最简分数是。 44．（24-25五年级下·全国·单元测试）一个分数的分子与分母的和是30，约分后是，原来的分数是( )。 【答案】 【思路引导】根据约分的方法，一个分数的分子和分母同时除以它们的最大公因数即可得到最简分数。 已知一个分数的分子与分母的和是30，约分后是，可以把约分后的分母看作3份，分子看作2份，一共是（3＋2）份，用原来分数的分子与分母的之和除以总份数，求出一份数，也就是约分时除以的最大公因数；据此倒推，约分后的最简分数的分子和分母分别乘最大公因数数，即是原来的分数。 【完整解答】30÷（3＋2） ＝30÷5 ＝6 原来的分子：2×6＝12 原来的分母：3×6＝18 原来的分数是。 易错重难点考点23：用最小公倍数解决实际问题 45．（23-24五年级下·重庆九龙坡·期末）王师傅用下面规格的瓷砖铺一个正方形图案，这个正方形图案的边长至少是( )分米，至少需要( )块这样的瓷砖。 【答案】 12 6 【思路引导】由于用这个瓷砖铺一个正方形图案，正方形的四个边长相等，所以这个正方形的边长应该是长方形的长和宽的公倍数，由于至少是多少分米，就是求6和4的最小公倍数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；由于都铺完且没有剩余，可以根据正方形的面积公式：边长×边长，长方形的面积公式：长×宽，求出瓷砖和图案的面积，用图案的面积除以瓷砖的面积即可求出需要多少块。 【完整解答】6＝2×3；4＝2×2 6和4的最小公倍数：2×2×3＝12 所以图案的边长是12分米 12×12÷（6×4） ＝144÷24 ＝6（块） 这个正方形图案的边长至少是12分米，至少需要6块这样的瓷砖。 46．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）书法社团的学生平均分成4人一组或6人一组，都正好能分完，如果社团人数在40～50人之间，那么这个书法社团有( )人。 【答案】48 【思路引导】根据题意，书法社团的学生平均分成4人一组或6人一组，都正好能分完，说明这个书法社团的人数是4和6的公倍数，先求出4和6的最小公倍数，再找出这个最小公倍数在40～50之间的倍数，进而得解。 【完整解答】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 12×4＝48（人） 40＜48＜50 所以，这个书法社团有48人。 易错重难点考点24：同分子分数的大小比较 47．（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( )       ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＜ 【思路引导】同分子分数比较大小，分母大的反而小；异分母分数比较大小，先把分母转化成相同分母，分子大的分数大；带分数转化成假分数，分母不变，整数与分母相乘再加上分数部分的分子的和作为分子，据此解答即可。 【完整解答】，则 ，则 ，，则 48．（23-24五年级下·山西阳泉·期末）通过本学期的学习，我们掌握了分数比较大小的方法。 ( ) 我可以直接比较出大小，因为：( )。 我还可以通分比较出大小，我是这样做的：( )。 【答案】 ＞ 分子相同，分母大的反而小 ＞ 【思路引导】比较分数的大小：同分母分数，分子大的分数比较大；同分子分数，分母小的分数比较大；分子分母都不相同的分数，先通分，求出两个分数的分母的最小公倍数，把它作为这两个分数的公分母，然后依据分数的基本性质，把原分数分别化成以公分母为分母的分数，分子大的分数比较大。 【完整解答】（1） （2）我可以直接比较出大小，因为分子相同，分母大的反而小； （3） 我还可以通分比较出大小，我是这样做的：。 易错重难点考点25：通分的认识与应用 49．（23-24五年级下·湖南长沙·期末）在2024秋季校运会中，李磊和王明都报名参加跑步比赛，李磊跑完全程用了40秒，王明用了分，( )跑得更快。 【答案】王明 【思路引导】1分＝60秒，先将40秒化成以分作单位的数，再进行大小比较，谁所用的时间少，则谁就跑得快，据此解答。 分数大小的比较：分母相同时，分子越大，分数值就越大；分子相同时，分母越大，分数值反而越小；分子、分母都不相同时，化成同分母或同分子的分数进行比较。 【完整解答】40÷60＝（分） 因为，所以。 王明用时比李磊少，所以王明跑得更快。 50．（23-24五年级下·北京石景山·期末）在、和这三个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 【思路引导】分数比较大小，同分母分数，分子大的就大；同分子分数，分母小的就大；异分母分数比较大小，先通分，即找出4、8、6的最小公倍数，那后利用分数的基本性质，把这三个数转化为以这个最小公倍数为分母的同分母分数，然后按照同分母分数比较大小的方法比较大小。 【完整解答】 所以，在、和这三个数中，最大的数是，最小的数是。 易错重难点考点26：异分母异分子分数的大小比较 51．（23-24五年级上·河南商丘·期末）把和化成分母是24而大小不变的分数分别是( )和( )，所以( )（填“＞”或“＜”）。 【答案】 ＞ 【思路引导】根据分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外）分数大小不变，由于8×3＝24，把第一个分数的分子和分母都乘3；6×4＝24，把第二个分数的分子和分母都乘4即可换成分母是24而大小不变的分数；根据同分母分数比较大小的方法，分母相同，分子越大，分数越大，据此即可比较。 【完整解答】＝；＝ ＞；所以＞ 把和化成分母是24而大小不变的分数分别是和，所以＞。 52．（23-24五年级下·河北邢台·期末）小红和小丽每人一杯同样的果汁，小红喝了一杯果汁的，小丽喝了一杯果汁的，( )剩下的果汁多。 【答案】小红 【思路引导】果汁相同，直接比较喝的分率大小即可，喝的多，剩下的少，喝的少，剩下的多；据此解答。 【完整解答】＝ ＝ ＜，所以＜。小红喝的少，所以小红剩下的果汁多。 易错重难点考点27：异分母分数加减法 53．（23-24五年级下·山西阳泉·期末）爷爷给小东榨了一杯果汁，他喝了半杯后加满水，又喝了杯，又加满水，最后一气喝光了，那么小东喝了果汁( )杯，水( )杯。 【答案】 1 【思路引导】中间没有加果汁，最后一气喝光了，则小东喝了1杯果汁；往杯子中加了多少杯水，最后就喝了多少杯水，他喝了半杯后加满水，加了杯水，又喝了杯，又加满水，又加了杯水，将两次加的水相加即可。 【完整解答】水：＋＝＋＝（杯） 小东喝了果汁1杯，水杯。 54．（23-24五年级下·湖北鄂州·期末）一杯纯牛奶，小壮喝了杯后，兑满水又喝了一半。小壮一共喝了( )杯纯牛奶，( )杯水。 【答案】 【思路引导】将一杯纯牛奶看作单位“1”，小壮喝了杯后，喝了杯纯牛奶，还剩杯纯牛奶，兑满水，此时杯子里有杯纯牛奶和杯水，又喝了一半，杯的一半是杯，则又喝了杯纯牛奶和杯水，将两次喝的纯牛奶相加即可。 【完整解答】＋＝＋＝（杯） 小壮一共喝了杯纯牛奶，杯水。 易错重难点考点28：分数的加减法运算 55．（24-25五年级下·海南海口·周测）已知，，，那么( )。 【答案】 【思路引导】根据已知，可以将算式中的转化为，转化为，转化为，再将括号去掉，在去掉括号的过程中，注意括号前面的符号，如果是加号就直接去括号，不改变括号里面的符号，如果括号前面是减号，就要将括号里面的加号便减号，减号变加号，然后再计算，可以简便计算。 【完整解答】 则 56．（24-25五年级下·海南海口·周测）在横线上填上适当的数或运算符号。 （ ＋ ）     ＋ － （ ）    （＋ ）＋（ ＋ ） 【答案】 ＋ 【思路引导】加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：a＋b＋c＝a＋（b＋c） 减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c） 据此应用加减法运算定律，可以把分母相同的分数先加减，使计算比较简便。 【完整解答】根据分析可得： 易错重难点考点29：分数的加减法 57．（23-24五年级下·湖北十堰·期末）小美一家三口每天早上都会喝牛奶。一天爸爸新打开一盒1升的牛奶，给妈妈倒了升，给小美和自己各倒了升。三人一共喝了( )升牛奶；这盒l升的牛奶还剩( )升。 【答案】 【思路引导】异分母分数相加减，先通分再计算，将三人喝的牛奶相加就是三人一共喝的牛奶，一盒牛奶的容积－一共喝的牛奶＝还剩的牛奶，据此列式计算。 【完整解答】＋＋ ＝＋ ＝＋ ＝（升） 1－＝（升） 三人一共喝了升牛奶；这盒l升的牛奶还剩升。 58．（23-24五年级下·河南三门峡·期末）《庄子•天下篇》中有述：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”！意思是一尺长的棍棒，今日截取它的一半，即，明日取它一半的一半……永远也截不完。按照这样的方法，如果木棒长32分米，第三日截取的长度是( )分米，这三日截取的长度占总长度的( )。 【答案】 4 【思路引导】把这根木棒的全长看作单位“1”，今日截取它的一半，即，还剩下全长的1－＝；第二日取它一半的一半，即取的一半是，剩下全长的－＝；第三日取剩下的一半，即的一半是； 根据分数的意义可知的意思是，把这根木棒的全长看作单位“1”，平均分成8份，第三日取的长度占1份；据此用全长除以8，即可求出一份的长度，也就是第三日取的长度； 再把前三日分别取了全长的、、相加，求出这三日截取的长度占总长度的几分之几。 【完整解答】第一天取后，还剩下全长的：1－＝ 第二天取剩下的一半，即的一半是； 剩下全长的：－＝－＝ 第三天取剩下的一半，即的一半是； 第三日取了：32÷8＝4（分米） 这三日截取的长度占总长度的： ＋＋ ＝＋＋ ＝ 所以，第三日截取的长度是4分米，这三日截取的长度占总长度的。 易错重难点考点30：分数加减法简便运算 59．（22-23五年级下·河南周口·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )          －( ) ( )          ＋＋( )＋（＋） 【答案】 ＞ ＜ ＜ ＝ 【思路引导】分数大小的比较： 分母相同时，分子越大，分数值就越大； 分子相同时，分母越大，分数值反而越小。 （1）先根据分数的基本性质把化成分母为30而大小不变的分数，再与比较大小； （2）先计算出－的得数，再与比较大小；真分数＜1，假分数≥1，则真分数＜假分数； （3）把化成假分数，再与比较大小； （4）根据加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），给＋＋添上括号后再与另一个算式比较大小。 【完整解答】（1）＝＝ ＞，所以＞； （2）－＝－＝ ＜1，＞1，则＜； 所以，－＜； （3）＝ ＜，所以＜； （4）＋＋＝＋（＋） 60．（23-24五年级下·河南周口·期中）在括号里填适当的数，使等式成立。              【答案】；； ；； 【思路引导】根据加法交换律和加法结合律的定义，以及字母表示对本题进行解答即可。 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；用字母表示为：a＋b＝b＋a； 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 【完整解答】＝＋＝＋＝，本题运用了加法交换律； ＝＋（＋） ＝＋1 ＝ 本题运用了加法结合律； ＝（＋）＋（＋） ＝1＋1 ＝2 本题运用了加法交换律和加法结合律。 综上所述：，括号里填； 易错重难点考点31：打电话问题 61．（23-24五年级下·河南安阳·期末）皮影戏，又称“影子戏”或“灯影戏”，是中国民间古老的传统艺术。某皮影戏剧团12名成员有紧急演出，团队负责人要打电话尽快通知到每名成员（一对一进行传达），每次通话需要1分钟，最少( )分钟才能通知到每个人。 【答案】4 【思路引导】通知的最慢的情况就是老师一个一个的通知需要12分钟，最少的情况就是老师通知1个学生，接着学生和老师一起通知其他的学生。即第1分钟：1名；第2分钟：1＋2＝3（名）；第3分钟：3＋4＝7（名），以此类推，直到通知的人数大于等于12名。据此解答。 【完整解答】第一分钟通知到1名学生； 第二分钟最多可通知到3名学生； 第三分钟最多可通知到7名学生； 第四分钟最多可通知到15名学生； 最少4分钟才能通知到每个人。 62．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）学校乐团受邀参加展演活动，因为时间紧迫，老师需要尽快通知到每一名队员，如果采用打电话的方式，每分钟通知1人，要通知到乐团的26名队员，最少需要( )分钟。 【答案】5 【思路引导】打电话通知队员，每分钟通知1人。最快的方案是每个人都不空闲，即老师依次通知，同时每人接到通知后马上通知其他人，据此解答。 【完整解答】由分析得： 第1分钟通知1人，第2分钟能通知2人，第3分钟能通知4人，第4分钟能通知8人，第5分钟能通知16人，此时总共通知的人数为：1＋2＋4＋8＋16＝31（人）＞26人。 即要通知到乐团的26名队员，最少需要5分钟。 易错重难点考点32：复式折线统计图 63．（24-25五年级下·全国·单元测试）下面是某小学2018－2024年体检患龋齿人数情况统计图，根据统计图回答问题。 (1)( )年男生患龋齿的人数最少，( )年女生患龋齿的人数最少。 (2)男、女生患龋齿人数最多的是( )年，一共( )人。 (3)从总体上看，男、女生患龋齿的人数呈( )趋势。女生从( )年到( )年患龋齿的人数出现了回升。男生患龋齿的人数出现了( )次回升。 【答案】(1) 2023 2024 (2) 2018 157 (3) 下降 2020 2022 2 【思路引导】（1）先找出实线的最低点，就是男生患龋齿的人数最少的年份，再找出虚线的最低点，就是女生患龋齿的人数最少的年份，； （2）找出这两条线的最高点，就是这一年男生、女生患龋齿的人数最多的年份，再把它们的人数相加即可； （3）根据折线的总体变化趋势，从总体上看，男、女生患龋齿的人数呈下降趋势；女生患龋齿的人数从2020到2022年出现了回升，男生患龋齿的人数在2020到2021年、2023年到2024年分别出现了回升，据此解答。 【完整解答】（1）2023年男生患龋齿的人数最少，2024年女生患龋齿的人数最少。 （2）76＋81＝157（人） 男、女生患龋齿人数最多的是2018年，一共157人。 （3）从总体上看，男、女生患龋齿的人数呈下降趋势。女生从2020年到2022年患龋齿的人数出现了回升。男生患龋齿的人数出现了2次回升。 64．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）看图回答下列问题。 轿车和货车沿同一路线行驶情况统计表： （1）（    ）时整，两车相距最远，是（    ）千米。 （2）轿车在路上停留了（    ）小时。 （3）货车平均每小时行驶（    ）千米。 （4）从7时到12时，货车行驶的路程是轿车行驶路程的。 【答案】（1）9；40； （2）1； （3）60； （4） 【思路引导】（1）根据复式折线统计图可知，两条折线统计图距离最远对应的时间就是两车相距最远的时间，据此确定两车此时的路程，再相减即可解答； （2）据图可知，轿车9时开始停留，10时重新出发，据此求出停留时间即可； （3）根据速度＝路程÷时间代入数据列式计算即可； （4）用12时整货车行驶的路程除以轿车行驶的路程即可。 【完整解答】（1）140－100＝40（千米） 9时整，两车相距最远，是40千米。 （2）10－9＝1（小时） 轿车在路上停留了1小时。 （3）300÷（12－7） ＝300÷5 ＝60（千米） 货车平均每小时行驶60千米。 （4）300÷280＝＝ 从7时到12时，货车行驶的路程是轿车行驶路程的。 易错重难点考点33：找次品 65．（24-25五年级下·全国·单元测试）一箱饮料有20瓶，其中一瓶稍微轻一些，另外19瓶质量相同，至少称（    ）次就一定能找出轻的这一瓶。你能补全图来表示出全过程吗？ 【答案】3；图见详解 【思路引导】根据找次品的方法，结合给出的图示可得：一箱饮料有20瓶，其中一瓶质量较轻，另外19瓶质量相同，首先将其分成三份（7、7、6），接下来先将7、7这两组放在天平的两边，有两种情况：①天平平衡：②天平不平衡。若天平平衡，可得质量较轻的那瓶在6瓶的那组，接下来将其继续分组（2、2、2）进行判断，若不平衡取出天平较高的一端的那一组，分组（2、2、3）继续寻找，直至找到次品，据此完成图示即可。 【完整解答】由分析可知： 一箱饮料有20瓶，其中一瓶稍微轻一些，另外19瓶质量相同，至少称3次就一定能找出轻的这一瓶。图如下所示： 66．（19-20五年级下·全国·周测）寻找假珍珠。 盒子里有18颗外表完全相同的珍珠，已知里面有一颗是假的，比真的轻一些。请你用没有砝码的天平找出假珍珠，至少需要称几次？下面是小乐和小芸设计的两种方案，但都不完整，请你补充完整。 (1)小乐的方案： ①将18颗珍珠平均分为2份（18＝9＋9）。天平两边各放1份，( )的一边有假珍珠。 ②再将有假珍珠的1份平均分为( )份，称( )次就可以找到有假珍珠的1份，判断过程是 。 ③ 。 ④共称了( )次。 (2)小芸的方案 ①将18颗珍珠平均分3份（18＝6＋6＋6）。任取2份放在天平上，若两边平衡，则( )的1份有假珍珠；若不平衡，则( )的1份有假珍珠。 ② 。 ③ 。 ④共称了( )次。 【答案】(1) 轻 3 1 见详解 见详解 3 (2) 没称 轻 见详解 见详解 3 【思路引导】已知18颗珍珠中有一颗是假的，比真的轻一些，根据小乐和小芸的方案，用没有砝码的天平找出假珍珠，把两人的方案补充完整。 【完整解答】（1）小乐的方案： ①将18颗珍珠平均分为2份（18＝9＋9）。天平两边各放1份，（轻）的一边有假珍珠。 ②再将有假珍珠的1份平均分为（3）份，称（1）次就可以找到有假珍珠的1份，判断过程是称其中任意2份，若天平平衡，则没称的1份中有假珍珠；若不平衡，则轻的1份中有假珍珠。 ③与第二步相同，将有假珍珠的1份再平均分为3份，每份1个，称一次便可知道哪颗是假珍珠。 ④共称了（3）次。 （2）小芸的方案 ①将18颗珍珠平均分3份（18＝6＋6＋6）。任取2份放在天平上，若两边平衡，则（没称）的1份有假珍珠；若不平衡，则（轻）的1份有假珍珠。 ②将有假珍珠的1份平均分成3份（2，2，2），称其中任意2份，若天平平衡，则没称的1份有假珍珠；若不平衡，则轻的1份有假珍珠。 ③将有假珍珠的1份中的2颗珍珠分别放在天平两边称一次，轻的一颗为假珍珠。 ④共称了（3）次。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$