期末考试模拟（1）2024-2025学年北师大版数学七年级下册

2024-2025年度七年级下册数学期末考试模拟（1） （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列事件是必然事件的为（　　） A．掷一枚骰子，3点朝上 B．任意买一张足球票，座位号是5的倍数 C．明天一定会下雨 D．地球每天都在自转 4．（本题3分）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为（m），所经过的时间为（min），下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）程程在收拾家务时，把32个玩具随机放入两个箱子（每个箱子都放），第一个箱子放入a个，第二个箱子放入b个．这个问题中的变量是（   ） A．a B．6 C．a和32 D．a和b 6．（本题3分）已知某三角形的三边长分别为3，7，，则的值可以是（    ） A．1 B．4 C．7 D．10 7．（本题3分）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（   ） A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球 8．（本题3分）如图，已知：，，，．则x，y，z之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，下列推理中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果那么 D．如果，那么       10．（本题3分）若的积中x项的系数是，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．6 11．（本题3分）如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交于D，交于E，连接，若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 12．（本题3分）要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 方案Ⅰ ①如图1，选定点O； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点D，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点O； ②连接，并分别延长到点F，E，使； ③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 二、填空题（共15分） 13．（本题3分）华为最新研发的纳米级传感器，其厚度为米，用科学记数法表示为 ． 14．（本题3分）如图，中，，，的垂直平分线与相交于点，则的周长 ． 15．（本题3分）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量之间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 11 12 下列说法正确的是 ． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为； ③物体质量每增加，弹簧长度增加； ④所挂物体质量为时，弹簧长度为． 16．（本题3分）如图，某地进行城市规划，在一条新修的公路旁有一家超市，现要在公路上建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，应建在处，其依据是 ． 17．（本题3分）如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 三、解答题（共69分） 18．（本题5分）先化简，再求值：．其中． 19．（本题6分）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“一”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是_____． (2)明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜，请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 20．（本题6分） 如图，是 的角平分线，E是上一点，且 (1)用无刻度的直尺和圆规作 的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的角平分线交于F，当时，求证： 21．（本题8分）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用时间（单位：）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？ (2)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ (3)从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 22．（本题8分）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)试说明：； (2)若与互余，试说明：． 23．（本题8分）如图，点B，C，D在同一条直线上，，且． (1)试说明． (2)若，C是的中点，求的长． 24．（本题8分）某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，现要美化这块空地，在上面修建如图所示的“T”型花圃（阴影部分），在花圃内种花草．    (1)用含x，y的式子表示“T”型花画的面积并化简． (2)当时，求“T”型花画的面积． 25．（本题10分）本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题： 如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为． 【问题解决】 （1）下列结论错误的是（      ） A．　B．　C．　D． （2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数； 【探索发现】 （3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系． 26．（本题10分）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年度七年级下册数学期末考试模拟（1） （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方及合并同类项，熟练掌握幂运算法则及合并同类项得法则是解题的关键．根据幂运算法则及合并同类项法则，即可判断答案． 【详解】解：A、，所以A选项错误，不符合题意； B、，所以B选项正确，符合题意； C、，所以C选项错误，不符合题意； D、，所以D选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．（本题3分）如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对顶角，根据对顶角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵是对顶角，， ∴； 故选A． 3．（本题3分）下列事件是必然事件的为（　　） A．掷一枚骰子，3点朝上 B．任意买一张足球票，座位号是5的倍数 C．明天一定会下雨 D．地球每天都在自转 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 根据必然事件，随机事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 掷一枚骰子，3点朝上，是随机事件，故该选项不符合题意； B. 任意买一张足球票，座位号是5的倍数，是随机事件，故该选项不符合题意； C. 明天一定会下雨，是随机事件，故该选项不符合题意； D. 地球每天都在自转，是必然事件，故该选项符合题意； 故选：D． 4．（本题3分）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为（m），所经过的时间为（min），下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象表示变量间的关系，注意正确理解每段时间与路程的变化情况是解题关键．分别对每段时间的路程与时间的变化情况进行分析，画出路程与时间图象，再与选项对比判断即可． 【详解】解：对各段时间与路程的关系进行分析如下： 从家到凉亭，用时10分钟，路程400米，s从0增加到400米，t从0到5分； 在凉亭休息5分钟，t从5分到10分，s保持400米不变； 从凉亭到公园，用时间5分钟，路程400米，t从10分到15分，s从400米增加到800米； 则能近似刻画与之间的关系的是： 故选：A． 5．（本题3分）程程在收拾家务时，把32个玩具随机放入两个箱子（每个箱子都放），第一个箱子放入a个，第二个箱子放入b个．这个问题中的变量是（   ） A．a B．6 C．a和32 D．a和b 【答案】D 【分析】此题考查了变量和常量的概念，掌握其概念是解答本题的关键．变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量；常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量，据此求解即可． 【详解】这个问题中的变量是a和b． 故选：D． 6．（本题3分）已知某三角形的三边长分别为3，7，，则的值可以是（    ） A．1 B．4 C．7 D．10 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系．先根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求得的取值范围，然后根据选项中的数据可得答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，7，m， ∴，则， 故选项C中的7满足题意， 故选：C． 7．（本题3分）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（   ） A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球 【答案】C 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，先求出总球数，再分别求出概率，即可得解． 【详解】解：由题意可得：总球数为， ∴摸出白球的概率为， 摸出红球的概率为， 摸出绿球的概率为， 摸出黑球的概率为， 故选：C． 8．（本题3分）如图，已知：，，，．则x，y，z之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点E作，则，由平行线的性质可得，，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（本题3分）如图，下列推理中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；     B. 如果，不能得出，故该选项不正确，不符合题意； C. 如果那么，故该选项正确，符合题意；     D. 如果，不能得出，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 10．（本题3分）若的积中x项的系数是，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果中x项的系数是，确定出a的值即可． 【详解】解： ， ∵的积中x项的系数是， ∴， ∴， 故选：B． 11．（本题3分）如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交于D，交于E，连接，若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据三角形的周长公式可得，则可得，然后根据三角形的周长公式计算即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：D． 12．（本题3分）要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 方案Ⅰ ①如图1，选定点O； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点D，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点O； ②连接，并分别延长到点F，E，使； ③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， ∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行. 故选：D． 二、填空题（共15分） 13．（本题3分）华为最新研发的纳米级传感器，其厚度为米，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时是负数；由此进行求解即可得到答案． 由即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 14．（本题3分）如图，中，，，的垂直平分线与相交于点，则的周长 ． 【答案】10 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质，数形结合分析是关键． 根据垂直平分线的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵直线是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为， 故答案为：10 ． 15．（本题3分）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量之间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 11 12 下列说法正确的是 ． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为； ③物体质量每增加，弹簧长度增加； ④所挂物体质量为时，弹簧长度为． 【答案】①③④ 【分析】本题考查变量和常量，熟练掌握变量是变化的量，常量是固定不变的量，是解题的关键．根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案． 【详解】解：①x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确； ②弹簧不挂重物时的长度为，错误； ③物体质量每增加，弹簧长度增加，正确； ④所挂物体质量为时，弹簧长度为，正确 故答案为：①③④． 16．（本题3分）如图，某地进行城市规划，在一条新修的公路旁有一家超市，现要在公路上建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，应建在处，其依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，根据直线外一点与直线上所有的点连接的线段中，垂线段最短，可知为了使超市距离车站最近，应建在处． 【详解】解：， 又直线外一点与直线上所有的点连接的线段中，垂线段最短， 为了使超市距离车站最近，应建在处． 故答案为：垂线段最短． 17．（本题3分）如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出t值即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，，， ∴点重合，点在点右侧， 此时，， ∴， 解得：； 当时，， 当点在点左侧时， 此时，， ∴， 解得：； 当点在点右侧时， 此时，， ∴， 解得：； 综上：则t的值为或或时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 三、解答题（共69分） 18．（本题5分）先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，得到化简的结果，再把代入化简后的代数式计算即可. 【详解】解： ； 当时， 原式. 19．（本题6分）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“一”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是_____． (2)明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜，请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)； (2)该游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查了游戏公平性的判断，解题关键是会运用概率公式求解． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出明明、红红获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”、“是”、“一”、“中”、“人”、“我”、“骄”、“傲”这8个汉字， ∴转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是； “我”的笔画数是7， “是”的笔画数是9， “一”的笔画数是1， “中”的笔画数是4， “人”的笔画数是2， “我”的笔画数是7， “骄”的笔画数是9， “傲”的笔画数是， 8个汉字中笔画数是奇数的汉字有5个， 指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是； （2）游戏不公平，理由如下： 笔画多于7画的汉字有3个，分别是：是，骄，傲；笔画不多于7画的汉字有5个，分别是：我，一，中，人，我． ∴明明获胜的概率是； 红红获胜的概率是 明明获胜的概率≠红红获胜的概率． ∴该游戏不公平． 20．（本题6分） 如图，是 的角平分线，E是上一点，且 (1)用无刻度的直尺和圆规作 的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的角平分线交于F，当时，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可； （2）根据角平分线的定义得到，再由，可得，由等腰三角形的性质可得，最后根据平行线的判定可得结论． 【详解】（1）解：如图，射线即为所作； （2）证明：分别平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：作角平发线，角平分线的定义，等腰三角形的性质及平行线的判定，解决本题的关键是熟练掌握角平分线的作法，角平分线的定义，等腰三角形的性质及平行线的判定． 21．（本题8分）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用时间（单位：）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？ (2)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ (3)从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 【答案】(1)反映了对概念的接受能力和提出概念所用时间两个变量之间的关系 (2)当提出概念所用时间为时，学生的接受能力最强 (3)当时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低． 【分析】本题主要考查了变量及变量之间的关系，理解题意，分析出表格中的数据变化规律，是解题的关键． （1）根据自变量与因变量的定义即可求解； （2）根据表格中时，y的值最大是59.9，即可求解； （3）根据表格中的数据即可求解． 【详解】（1）解：反映了对概念的接受能力和提出概念所用时间两个变量之间的关系． （2）解：当时，y的值最大是59.9， 答：提出概念所用时间为13分钟时，学生的接受能力最强． （3）解：由表中数据可知：当时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱． 22．（本题8分）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)试说明：； (2)若与互余，试说明：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）结合角平分线定义得到，即可证明； （2）结合题意得到，再根据等量代换得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 23．（本题8分）如图，点B，C，D在同一条直线上，，且． (1)试说明． (2)若，C是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据平行线的性质、垂直的定义，余角的性质可得出，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质和线段中点的定义求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， 在中，， ∵， ∴， ， 又，， ， ； （2）解：由（1）得， ，， 又点是的中点， ， ． 24．（本题8分）某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，现要美化这块空地，在上面修建如图所示的“T”型花圃（阴影部分），在花圃内种花草．    (1)用含x，y的式子表示“T”型花画的面积并化简． (2)当时，求“T”型花画的面积． 【答案】(1) (2)“”型区域的面积是平方米 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积； （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把，代入求解即可． 【详解】（1）解： “”型区域的面积为： ． （2）解：当，时， (平方米) 答：“”型区域的面积是平方米． 25．（本题10分）本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题： 如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为． 【问题解决】 （1）下列结论错误的是（      ） A．　B．　C．　D． （2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数； 【探索发现】 （3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系． 【答案】（1）D （2），，， （3），理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质和平行公理的推论是解题的关键． （1）根据平行线的性质逐项判断即可； （2）利用平行线的性质与邻补角性质求解即可； （3）过点E作，根据平行线的性质得出，再证明，得到，从而由得出结论． 【详解】解：（1）A、∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 又∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等，原结论错误，故此选项符合题意； 故选：D． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）， 理由：过点E作，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．（本题10分）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 【答案】（1）①；②（2）见解析（3） 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，，又，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到，从而得证结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明．，，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，，再证明，可得为等边三角形，从而，再根据面积即可求解． 【详解】解：（1）①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长至F，使． 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵， 由外角定理得：， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故平分． （3）如图3，延长至点，使得， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，， 从而， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， 故为等边三角形， ∴． 设点F到的距离为， ∵面积为16.8， ∴， ∴，即点F到的距离为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$