期末押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：北师大版八下全部内容）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升

期末押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版八下全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·广东深圳·二模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，请观察下图窗花图案，是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（2025·内蒙古·二模）某校组织九年级学生开展红色研学活动，参观大青山抗日战争纪念馆．已知该学校离纪念馆千米，位于乌兰察布市卓资县的红石崖旅游风景区内．师生乘大巴车前往，某老师因临时有事，推迟了分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东聊城·二模）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽合肥·二模）已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C． D．2 7．（2025·贵州贵阳·一模）如图，在Rt中，，以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点，，以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，则的长为（　　） A． B．9 C． D．8 8．（2025·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，如果将线段绕点逆时针旋转至，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·四川南充·期末）如果关于的分式方程有非负整数解，关于的不等式组有且只有2个整数解，则所有符合条件的的和是（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 10．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·湖南衡阳·二模）分解因式： ． 12．（2025·广东深圳·二模）某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端升高了 米．      13．（2025·浙江台州·二模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，则的度数为 ． 14．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）已知关于的不等式组只有三个正整数解，则k的取值范围是 ． 15．（24-25九年级下·重庆大足·期末）若关于的方程有整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 16．（24-25八年级下·山东日照·期中）已知：中，，，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．若点落在的内部（包括边界），则的范围是 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18．（24-25八年级下·广东佛山·期中）因式分解： (1)； (2)． 19．（2025·山东德州·二模）先化简，再取一个合适的整数x，使得分式的值为整数，并求此时分式的值． 20．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转可以得到；请直接写出旋转中心的坐标； 21．（2025·山东德州·二模）为更好的开展科学教育，某中学计划新购进一批科学实验器材，其中物理实验器材和化学实验器材成套购买，已知1套物理实验器材的价格是1套化学实验器材价格的3倍，用1200元单独购买物理实验器材的数量比单独购买化学实验器材的数量少4套． (1)每套物理实验器材和每套化学实验器材各是多少元？ (2)若学校计划购进物理、化学实验器材共300套，且物理实验器材套数不少于化学实验器材套数的2倍，当购进物理、化学实验器材各多少套时花费最少？最少花费是多少？ 22．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在等边中，是边上的一点，点在边的延长线上． (1)若______，______，求证：．（请从信息“①，②为的中点，③”中选择两个分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明．） (2)过点作于点，在（1）的条件下，当时，求的长． 23．（24-25八年级下·四川成都·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取到最小值，最小值为 ； (2)假分式可化为带分式形式 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有 个； (3)已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 24．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）【阅读材料】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：（1）求的最小值． 解：， ，， 当时，即当时，有最小值，最小值为1． 再如：求的最大值． 原式， ，， 当时，有最大值，最大值为11． 【问题解决】 (1)当______时，代数式有最小值； (2)用“配方法”求代数式的最大值； (3)已知，则______． (4)如图，王叔叔准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 25．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x的负半轴上，点B在y的正半轴上，点C在x的正半轴上，，，． (1)求的长； (2)点D为线段上一点，且，点P从点C出发沿线段向终点B运动，速度为每秒5个单位长度，过点P作轴，交射线于点Q．设点P的运动时间为t秒，的长为m，求m与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，当的面积为15时，平面内是否存在点R，使以B、P、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出R点坐标，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版八下全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·广东深圳·二模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，请观察下图窗花图案，是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．据此求解即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2．（2025·内蒙古·二模）某校组织九年级学生开展红色研学活动，参观大青山抗日战争纪念馆．已知该学校离纪念馆千米，位于乌兰察布市卓资县的红石崖旅游风景区内．师生乘大巴车前往，某老师因临时有事，推迟了分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 3．（2025·浙江·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键，根据不等式的基本性质逐一进行分析判断即可． 【详解】A.由，两边同时加上b，可得，故A选项正确，符合题意； B. 由，两边同时减去c，得，故B选项错误，不符合题意； C. 由，当时，，当时，，当时，，故C选项错误，不符合题意； D.由 ，当时，，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知，由等腰三角形两底角相等即可求解． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 5．（2025·山东聊城·二模）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是邻补角的性质，多边形的内角和定理的应用，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴； 故选：B． 6．（2025·安徽合肥·二模）已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解，根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故选：C． 7．（2025·贵州贵阳·一模）如图，在Rt中，，以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点，，以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，则的长为（　　） A． B．9 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是关键；由作图知，射线为的平分线，；再由平行线的性质及等腰三角形的判定得；由含30度角直角三角形的性质求得，由即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，射线为的平分线， ； ， ， ， ， ． 在Rt中，， ， ． 故选：B 8．（2025·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，如果将线段绕点逆时针旋转至，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，含度角的直角三角形的性质以及解直角三角形．正确的作出辅助线是解题的关键．根据已知得出，，根据旋转的性质得出是等边三角形，进而可得，则，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴即， ∴ 故选：B． 9．（24-25七年级下·四川南充·期末）如果关于的分式方程有非负整数解，关于的不等式组有且只有2个整数解，则所有符合条件的的和是（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 由题意根据分式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数解以及不等式组只有2个整数解，确定出符合条件m的值，求出它们的和即可． 【详解】解：去分母得：， 解得， 由解为非负整数解，得到，且，即且， 不等式组整理得：， 由不等式组只有2个整数解，得到， 即， 解得：， 则符合题意，它们的和为8. 故选：C． 10．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，勾股定理等知识，设与交于点O，作于，首先利用勾股定理求出，当P与重合时，的值最小，的最小值，从而求解． 【详解】解：设与交于点O，作于．如图所示： 在中，， ∴为等腰直角三角形， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 当P与重合时，的值最小，则的值最小， 的最小值． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·湖南衡阳·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据提公因式以及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12．（2025·广东深圳·二模）某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端升高了 米．      【答案】/1.5 【分析】本题考查了含角的直角三角形定义，熟悉掌握此定义是解题的关键． 过点作于点，即可根据含角的直角三角形中，角所对的边是斜边的一半解答． 【详解】解：过点作于点，如图所示：    ∵，， ∴， 故答案为：． 13．（2025·浙江台州·二模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，由题意可得，由旋转可得，进而根据等腰三角形的性质即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转得，， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）已知关于的不等式组只有三个正整数解，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，先求出不等式组的解集，根据不等式组只有三个正整数解，得到，求出k的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 不等式组只有三个正整数解， ， 解得， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·重庆大足·期末）若关于的方程有整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程和分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的步骤是解本题的关键． 先解分式方程得到，根据分式有意义的条件和有整数解确定或2或，再解得，根据关于的不等式组至少有两个整数解，得到，继而即可求解． 【详解】解： ， 解得：， ∵为整数，且， ∴或或， ∴或2或， 解得：， ∵关于的不等式组至少有两个整数解， ∴， 解得：， ∴舍， ∴或， ∴符合条件的所有整数的和为：， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·山东日照·期中）已知：中，，，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．若点落在的内部（包括边界），则的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠，平行四边形的性质，勾股定理，分别判断点落在三边时的长，再求出点落在的内部（包括边界）时的范围即可． 【详解】解：过作于，于， ∵中，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵把沿折叠到的位置， ∴，，， ∴， ∴点落在左边， 当点落在上时，，则与重合，此时，； 当点落在上时，如图，过作交直线于， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点落在的内部（包括边界），则的范围是， 故答案为：． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】．图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组．先解出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 18．（24-25八年级下·广东佛山·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）提公因式即可求解； （2）提公因式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（2025·山东德州·二模）先化简，再取一个合适的整数x，使得分式的值为整数，并求此时分式的值． 【答案】，当时，原式（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式化简求值，正确掌握分式的运算法则是解题的关键．先通分，再进行分式的减法，再约分化简，得出，然后把代入，即可作答． 【详解】解： ， ，当时，则． 20．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转可以得到；请直接写出旋转中心的坐标； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点即可； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点即可； （3）利用旋转变换的性质求解，连接交于一点，这点即为旋转中心，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图 旋转中心的坐标为 21．（2025·山东德州·二模）为更好的开展科学教育，某中学计划新购进一批科学实验器材，其中物理实验器材和化学实验器材成套购买，已知1套物理实验器材的价格是1套化学实验器材价格的3倍，用1200元单独购买物理实验器材的数量比单独购买化学实验器材的数量少4套． (1)每套物理实验器材和每套化学实验器材各是多少元？ (2)若学校计划购进物理、化学实验器材共300套，且物理实验器材套数不少于化学实验器材套数的2倍，当购进物理、化学实验器材各多少套时花费最少？最少花费是多少？ 【答案】(1)每套物理实验器材600元，每套化学实验器材200元； (2)购进物理实验器材200件，化学实验器材100套，花费最小，最小值是140000元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式，一次函数最值问题，解题的关键是熟练准确找出等量关系． （1）设每套物理实验器材x元，每套化学实验器材y元，根据两种购买方式列出方程即可； （2）设购买物理实验器材m套，则化学实验器材套，总花费w元，根据题意求得，列出一次函数并进行分析即可． 【详解】（1）解：设每套化学实验器材x元，则每套物理实验器材元， 依题意，得， 解得， 检验：当时，分母不为0 是分式方程的解 所以，每套物理实验器材600元，每套化学实验器材200元； （2）解：设购买物理实验器材m套，则化学实验器材套，总花费w元， 依题意，得， 解得， 的最小值是200， ， 因为，所以w随m的增大而增大， 当时，w取得最小值140000元， 此时，， 所以，购进物理实验器材200件，化学实验器材100套，花费最小，最小值是140000元． 22．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在等边中，是边上的一点，点在边的延长线上． (1)若______，______，求证：．（请从信息“①，②为的中点，③”中选择两个分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明．） (2)过点作于点，在（1）的条件下，当时，求的长． 【答案】(1)，为的中点或为的中点， (2)30 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，三线合一，掌握以上知识，含30度角的直角三角形的性质是关键． （1）根据等边三角形的性质，三线合一，等腰三角形的判定和性质即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得到，则，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：选择①，②为的中点，求证：， 证明：是等边三角形， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ； 选择②为的中点，③，求证：， 证明：是等边三角形， ， 为的中点， ，， 在中，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，为的中点或为的中点，； （2）解：如图所示， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．（24-25八年级下·四川成都·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取到最小值，最小值为 ； (2)假分式可化为带分式形式 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有 个； (3)已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3,6 (2)；4 (3)，最大值是 【分析】本题主要考查了分式的加减，分式的化简求值，完全平方公式的应用， 对于（1），根据题中分式确定原式的最小值即可； 对于（2），将假分式化为真分式再判断满足条件的整数值； 对于（3），根据题意将原式改写为，然后根据不等式的性质进行计算可得答案． 【详解】（1）解：令，则， 得， 所以当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3,6； （2）解：， ∵x为整数，且为整数， ∴或或或， 解得或或或，共4个． 故答案为：；4； （3）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， 所以当时，分式取最大值，最大值为． 24．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）【阅读材料】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：（1）求的最小值． 解：， ，， 当时，即当时，有最小值，最小值为1． 再如：求的最大值． 原式， ，， 当时，有最大值，最大值为11． 【问题解决】 (1)当______时，代数式有最小值； (2)用“配方法”求代数式的最大值； (3)已知，则______． (4)如图，王叔叔准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)8 (4)当时，长方形场地的面积有最大值，最大值为243平方米 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解题意，应用配方法解决问题是解题的关键． （1）仿照阅读材料的方法，利用配方法即可求解； （2）仿照阅读材料的方法，利用配方法即可求解； （3）利用配方法得到，，结合求出的值，即可求解； （4）设长为x米，用表示出长方形场地的面积，再利用配方法求出面积最大值和对应的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，即当时，代数式有最小值 故答案为：． （2）解： ， ， ， 当时，有最大值，最大值为5． （3）解：， ， ，， ，， 即，， ， 又， ，， 即，， 解得：，， ． 故答案为：8． （4）解：设长为x米， 由题意得，（米）， 长方形场地的面积 ， ， ， 当时，长方形场地的面积有最大值，最大值为243平方米． 25．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x的负半轴上，点B在y的正半轴上，点C在x的正半轴上，，，． (1)求的长； (2)点D为线段上一点，且，点P从点C出发沿线段向终点B运动，速度为每秒5个单位长度，过点P作轴，交射线于点Q．设点P的运动时间为t秒，的长为m，求m与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，当的面积为15时，平面内是否存在点R，使以B、P、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出R点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，勾股定理，正确画出图形，利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用勾股定理即可解答； （2）求得点的坐标，再求直线的解析式，利用面积法得到点的纵坐标，可求得点的坐标，即可解答； （3）求得点的坐标，利用分类讨论，即分别为对角线，逐一解答即可． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：如图，连接， ， 根据三角形面积公式可得， ， ， ， ， ， ，， 根据题意可得， ， 根据面积法可得点的纵坐标比点的纵坐标等于， 点的纵坐标为， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， ， 解得， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 轴， 点横坐标为， ， ， ； （3）解：如图， ， ， 解得， 则， 当为平行四边形的对角线时，如图， ， 此时， ， ； 当为平行四边形的对角线时，如图， ， 此时， ， 当为平行四边形的对角线时，即为平行四边形的对角线时，如图， ， 此时的中点为， 设， ， 解得， ， 综上所述，点的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$