精品解析：江西省上饶市弋、铅、横联考2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

弋横铅高一数学试卷 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的） 1. ，若，则实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为， 由，可得，解得. 故选：B． 2. 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式计算即可. 【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期 故选：A. 3. 如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】A 【解析】 【分析】先求得扇形圆心角，然后求得米，再利用勾股定理和扇形面积公式求得正确答案. 【详解】如图，连接．因为是弧的中点，所以，米． 因为，所以，所以， 所以是等边三角形，则． 因为米，所以米，米， 则该扇形菜地的面积是平方米． 故选：A. 4. 如图，在平面直角坐标系内，角的始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点.若线段绕点逆时针旋转得，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，，设点为角的终边与单位圆的交点，依题意可得，利用诱导公式求出的值，即可得解. 【详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以，， 设点为角的终边与单位圆的交点，则， 所以， 所以点的纵坐标为. 故选：D 5. 在中，内角的对边分别为，若，，且，则的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理即得，由正弦定理即得，再根据余弦定理，利用即可得，最后根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为，由余弦定理有， 由正弦定理有， 所以， 所以面积. 故选：B. 6. 已知，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和差余弦公式结合同角三角函数关系计算求解. 【详解】已知，， 所以，， 所以 . 故选：B. 7. 已知函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得，，判断函数在上的单调性，结合单调性判断，，的大小，由此可得结论. 【详解】因为， 所以，， 因为函数，在上都单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以， 所以， 故选：D. 8. 已知平面向量满足，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再给出的例子，即可得到的最小值为. 【详解】①由于，故 所以 . 这就得到，故. ②另一方面，对，，，原条件全部满足，此时. 综合①②两方面，可知的最小值为． 故选：C. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 设，是两个非零向量，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. ，的夹角为钝角 D. 若实数使得成立，则为负数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平面向量的模长、线性运算的概念以及向量模长的三角不等式判断即可得出结论. 【详解】由可知，不会同向共线，因此： 对于A，当，不共线时，根据向量的减法法则可得， 当，反向共线时，，即可得，即A正确， 对于B，由A中等号成立的条件，可得B错误； 对于C，当，的夹角为锐角时，根据向量加法的平行四边形法则可得，即C错误； 对于D，若实数使得成立，则，共线， 由于，则，反向共线，所以为负数，即D正确. 故选：AD 10. 函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦型三角函数的性质依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对于选项A，由图可知，的最小值为0，则， 当1时，，，部分图象可以如选项A所示. 对于选项B，当时，的部分图象可以如选项B所示. 对于选项C，由，得，即， 当时，的部分图象可以如选项C所示. 对于选项D，由，得，即， 则，此时，排除D 故选：ABC 11. 将锐角三角形置于平面直角坐标系中，，为轴上方一点，设中的对边分别为且，则的外心纵坐标可能落在以下（ ）区间内. A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用余弦定理求得，然后可得，利用二次函数性质求出的范围，结合已知可得，结合平方关系和正弦定理求出半径范围，即可求纵坐标范围. 【详解】由题知，，，由余弦定理得， 又，解得，同理：， 所以， 所以， 由二次函数性质可得，即， 又，所以， 因为为锐角，所以， 即外接圆半径为，则，即， 由外心定义可知，的外心在轴上， 记的外心纵坐标为，则， 因为与和交集非空，与和交集为空间， 所以BD正确，AC错误. 故选：BD 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在正方形中，是的中点.若，则的值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】建系，利用平面向量线性运算的坐标表示可得，求解即可. 【详解】在正方形中，以点为原点，直线，分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图， 设正方形的边长为，则，，，， ，，，， 因为，即， 于是得，解得， 所以的值为. 故答案为：. 13. 在中，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先将目标式切变弦变形整理，然后利用余弦定理计算将条件代入，结合目标式可得答案. 【详解】． 由余弦定理得． 由正弦定理得，从而． 所以． 故答案为：. 14. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D是AB的中点．若且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换，求得，再由，列出方程求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】根据题意，，由，即为， 由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，可得，所以 又因为为的一条中线，可得， 所以， 即，解得或（舍）. 由余弦定理得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：发现，从而可变为，利用正弦定理可进行边化角. 四､解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知点在角的终边上. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的定义即可得到答案； （2）求出角的正弦和余弦，再利用诱导公式化简代入即可. 【小问1详解】 因为点在角的终边上， 所以. 【小问2详解】 因为， ， 所以. 16. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且当时取得最大值． （1）求的解析式； （2）若函数的图象与的图象关于轴对称，求函数在区间内的值域． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用平移变换求出，再由取得最大值的条件求出即可. （2）由（1）求出，再利用正弦函数的性质求出值域. 【小问1详解】 依题意，，由当时，取得最大值， 得，则，解得，而，则， 所以的解析式是． 【小问2详解】 由（1）得，则， 由，得，则， 因此， 所以函数在区间内的值域为. 17. 已知平面上的两个向量（），． （1）求证：向量与垂直； （2）当向量与的模相等时，求的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据已知计算即可得证明． （2）由，两边平方求解． 【小问1详解】 证明： 因为， 所以与垂直． 【小问2详解】 由， 两边平方，得， 整理，得， 而，所以， 即． 即， ∴，即，． 又，∴． 18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且. （1）若边，，的平分线交BC边于点D.求AD的长； （2）若E为BC边上任意一点，，. （ⅰ）用，表示； （ⅱ）求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，利用余弦定理得，根据等面积法可得结果。 （2）（i）利用向量的线性运算表示，（ii）进而得到，结合基本不等式中1的代换可得的最小值． 【小问1详解】 由得，，即， ，由得，， ，， 由余弦定理得，，即，得， 为的平分线，， ，， . 【小问2详解】 （i）由已知得，，即， . （ii）易知， ，， ，即， ，当且仅当时等号成立， 的最小值为. 19. 在中，对应的边分别为. （1）求； （2）奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ①用向量证明二维柯西不等式：； ②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，利用三角恒等式化简即可求值； （2）①利用数量积的定义，得到，再利用数量积和模的坐标表示，即可证明结果；②根据条件及三角形面积公式，利用，得到，结合余弦定理，令，得到，再求出的范围，即可求出结果. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得，， 因为，所以， 所以， 所以，即， 因为， 所以， 因为，所以， 故，又，所以； 【小问2详解】 ①设，由，得， 从而，即； ②. 又， . 由三维分式型柯西不等式有. 当且仅当即时等号成立. 由余弦定理得， 所以，即， 则， 令，则. 因为，得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 令，则在上递减， 当即时，有最大值， 此时有最小值（此时与可以同时取到） 【点睛】关键点点睛：本题关键是仿照三维分式型柯西不等式的形式进行构造，找到所求要素与柯西不等式的内在联系，再结合余弦定理和基本不等式等知识进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 弋横铅高一数学试卷 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的） 1. ，若，则实数为（ ） A. B. C. D. 2. 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 3. 如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 4. 如图，在平面直角坐标系内，角的始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点.若线段绕点逆时针旋转得，则点的纵坐标为（ ） A B. C. D. 5. 在中，内角的对边分别为，若，，且，则的面积（ ） A B. C. D. 6 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量满足，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 设，是两个非零向量，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. ，的夹角为钝角 D. 若实数使得成立，则为负数 10. 函数部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 11. 将锐角三角形置于平面直角坐标系中，，为轴上方一点，设中的对边分别为且，则的外心纵坐标可能落在以下（ ）区间内. A. B. C. D. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在正方形中，是的中点.若，则的值为___________. 13. 在中，若，则__________． 14. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D是AB的中点．若且，，则________． 四､解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知点在角的终边上. （1）求的值； （2）求的值. 16. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且当时取得最大值． （1）求的解析式； （2）若函数的图象与的图象关于轴对称，求函数在区间内的值域． 17. 已知平面上的两个向量（），． （1）求证：向量与垂直； （2）当向量与模相等时，求的大小． 18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且. （1）若边，，的平分线交BC边于点D.求AD的长； （2）若E为BC边上任意一点，，. （ⅰ）用，表示； （ⅱ）求的最小值. 19. 在中，对应的边分别为. （1）求； （2）奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ①用向量证明二维柯西不等式：； ②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $