6.3.2 二项式系数的性质(同步练习)-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.3.2　二项式系数的性质 基础过关练 题组一　二项式系数的和与对称性 1.在(a+b)n的展开式中,与第k项的二项式系数相同的项是(　　) A.第(n-k)项　　　　B.第(n-k-1)项 C.第(n-k+1)项 　　　　D.第(n-k+2)项 2.在的展开式中,第4项和第5项的二项式系数相等,则展开式中x5的系数为(　　) A. 3.(多选题)在的展开式中,下列说法正确的是(　　) A.常数项是16 B.系数为有理数的项共有4项 C.第5项和第6项的二项式系数相等 D.奇数项的二项式系数之和为256 4.在的展开式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于　　　　.  题组二　二项式系数的增减性与最值问题 5.在(x+1)24的展开式中,系数最大的项是(　　) A.第11项　　　　B.第12项　　　　C.第13项　　　　D.第14项 6.(多选题)在(1+x)n(n∈N*)的展开式中,若第6项为二项式系数最大的项,则n的值可能为(　　) A.11　　　　B.10　　　　C.9　　　　D.8 7.(多选题)在的展开式中,下列说法正确的有(　　) A.常数项为第三项 B.二项式系数之和为729 C.系数最大的项为第三项 D.系数最大的项的系数为240 题组三　赋值法求系数和 8.若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(　　) A.1　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.2 9.(多选题)若(2x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(　　) A.a0=1 B.a0+a1+a2+a3+a4=16 C.a0+a2+a4=41 D.a1+a3=40 10.已知多项式(x+1)5=a0(x-1)5+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0+a1+…+a5=　　　　. 11.在(x2-y)6的展开式中,各项系数的绝对值之和为　　　　.  12.已知的展开式中共有13项. (1)求展开式中的常数项; (2)求展开式中各项系数之和. 能力提升练 题组一　二项式系数的性质及其应用 1.(多选题)若的展开式的二项式系数之和为32,则(　　) A.展开式共有5项 B. C.展开式的常数项为40 D.展开式的第5项的系数为5 2.(多选题)已知的展开式中的第4项与第5项的二项式系数相等,则　　 (　　) A.n=7 B.展开式中的所有项的系数之和为128 C.常数项为945 D.x5的系数为21 3.已知(x+3x2)n. (1)若x=1,n=2 024,求它的值被7除的余数; (2)若它的展开式的二项式系数之和为128,求展开式中系数最大的项. 题组二　赋值法求系数和 4.若(1+2x)(1-x+x2)9=a0+a1x+a2x2+…+a19x19,则a1+a2+…+a18的值是(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 5.已知(x2+1)(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a2+a4+a6+a8=(　　) A.10 935　　　　B.5 546　　　　C.5 467　　　　D.5 465 6.若(3x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值是(　　) A.15　　　　B.-32　　　　C.-27　　　　D.-17 7.(多选题)已知(1+x)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7,则下列选项正确的有(　　) A.a0=1　　　　B.a6=14 C.a0+a1+…+a7=1　　　　D.a1+a3+a5+a7=-364 8.在(x-2y+z)7的展开式中,所有形如xaybz2(a,b∈N)的项的系数之和是　　　　.  9.已知x4+x8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8,则a0=　　　　,a1+a3+a5+a7=　　　　.  10.在下列三个条件中任选一个,补充在问题中的横线上,并解答. 条件①:展开式中前三项的二项式系数之和为22; 条件②:展开式中所有项的二项式系数之和减去所有项的系数之和等于64; 条件③:展开式中的常数项为第三项. 问题:已知的　　　　,求:  (1)展开式中二项式系数最大的项; (2)展开式中所有的有理项; (3)展开式中所有项的系数之和. 答案与分层梯度式解析 6.3.2　二项式系数的性质 基础过关练 1.D 2.B 3.ACD 5.C 6.ABC 7.CD 8.A 9.AC 1.D　第k项的二项式系数是,故第(n-k+2)项的二项式系数与第k项的二项式系数相同. 2.B　由题意得,所以n=7, 所以.故选B. 3.ACD　,r=0,1,…,9. 选项A中,令-,故A正确;选项B中,令∈Z,解得r=1,3,5,7,9,所以展开式的系数为有理数的项共有5项,故B错误;选项C中,因为,所以第5项和第6项的二项式系数相等,故C正确;选项D中,奇数项的二项式系数和为28=256,故D正确.故选ACD. 4.答案　252 解析　∵在的展开式中,所有的二项式系数之和为256,∴2n=256,解得n=8, ∴, 令=252. 5.C　(x+1)24的展开式的通项为Tr+1=x24-r,r=0,1,…,24, 它的各项系数就是二项式系数, 因为n=24,所以(x+1)24的展开式有24+1=25项,中间一项的二项式系数最大, 则系数最大的项是第13项.故选C. 6.ABC　当n=11时,二项式系数最大的项是第6项和第7项,符合题意;当n=10时,二项式系数最大的项是第6项,符合题意;当n=9时,二项式系数最大的项是第5项和第6项,符合题意;当n=8时,二项式系数最大的项是第5项,不符合题意.故选ABC. 7.CD　26-rx6-2r,r=0,1,2,3,4,5,6. 令6-2r=0,得r=3,所以常数项为第四项,故A错误;展开式的二项式系数之和为26=64,故B错误; 由 24=240,故C、D正确.故选CD. 解题模板　求二项展开式中系数最大的项,先设展开式中第(k+1)项的系数ak+1最大,再利用求出k的取值范围,结合k∈N,确定k的值,进而解决问题. 8.A　在(2x+)4=1.故选A. 9.AC　对于A,令x=0,得a0=(-1)4=1,故A正确; 对于B,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2×1-1)4=1,故B错误; 对于C,D,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2-1)4=81, 又因为a0+a1+a2+a3+a4=1, 所以两式相加得2(a0+a2+a4)=82,两式相减得2(a1+a3)=-80, 即a0+a2+a4=41,a1+a3=-40,故C正确,D错误. 故选AC. 10.答案　31 解析　令x=1,得a1+a2+a3+a4+a5=25=32, 令x=0,得-a0=1,即a0=-1, 所以a0+a1+…+a5=32-1=31. 11.答案　64 解析　令x=1,y=-1,得各项系数的绝对值之和为26=64. 12.解析　(1)由题意得n=12, 则·212-k·x24-3k,k=0,1,…,12, 令24-3k=0,解得k=8, 故展开式中的常数项为T9=·24=7 920. (2)令x=1,可得展开式中各项系数之和为312=531 441. 能力提升练 1.BC 2.ABD 4.A 5.D 6.D 7.BC 1.BC　由,其展开式共有6项,因此A错误; ,因此B正确; ,r=0,1,2,…,5, 令·22=40,因此C正确; ·24=80,因此D错误.故选BC. 2.ABD　因为,解得n=7,因此A正确; 令x=1,可得展开式中的所有项的系数之和为(3-1)7=27=128,因此B正确; 37-r·(-1)r·x2r-7,r=0,1,…,7, 令2r-7=0,得r=∉N,所以不存在常数项,因此C错误; 令2r-7=5,得r=6,所以x5的系数为31·(-1)6=21,因此D正确.故选ABD. 3.解析　(1)因为x=1,n=2 024, 所以(x+3x2)n=42 024=24 048=2×81 349=2×(1+7)1 349 =2(×71 349), 显然=1, 所以42 024被7除的余数为2. (2)因为(x+3x2)n的展开式的二项式系数之和为128, 所以2n=128,所以n=7, 则(x+3x2)n=(x+3x2)7,其展开式的通项为Tr+1=x7+r(0≤r≤7,r∈N), 假设展开式中系数最大的项为第(r+1)项, 则 即 即解得5≤r≤6, 又r∈N,所以r=5或r=6, 所以展开式中系数最大的项为第6,7项, 即T6=35x13=5 103x13. 4.A　令x=0,得a0=1, 令x=1,得a0+a1+a2+…+a18+a19=(1+2)×(1-1+1)9=3,又(1+2x)(1-x+x2)9的展开式中含x19的项为2x·(x2)9=2x19,所以a19=2, 所以a1+a2+…+a18=3-a0-a19=3-1-2=0,故选A. 5.D　令x-1=t,得(t2+2t+2)(1+2t)7=a0+a1t+a2t2+…+a9t9,令t=0,得a0=2,令t=1,得a0+a1+a2+…+a9=10 935,令t=-1,得a0-a1+a2-…-a9=-1, 所以a0+a2+a4+a6+a8==5 467,所以a2+a4+a6+a8=5 467-a0=5 467-2=5 465.故选D. 6.D　令x=0,可得(-2)5=a0,所以a0=-32, 设f(x)=(3x-2)5,g(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0, 则f '(x)=3×5×(3x-2)4, g'(x)=5a5x4+4a4x3+3a3x2+2a2x+a1, 所以3×5×(3x-2)4=5a5x4+4a4x3+3a3x2+2a2x+a1, 令x=1,可得15=a1+2a2+3a3+4a4+5a5, 所以a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-32+15=-17. 故选D. 7.BC　令t=1-x,则x=1-t,所以(2-t)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7. 对于A,令t=0,得a0=(2-0)7=27=128,因此A错误; 对于B,(2-t)7的展开式的通项为Tr+1=27-rtr,r=0,1,…,7, 令r=6,则a6=(-1)6·2=14,因此B正确; 对于C,令t=1,得a0+a1+a2+…+a7=(2-1)7=1①,因此C正确; 对于D,令t=-1,得a0-a1+a2-…-a7=(2+1)7=37②, 由①②得a1+a3+a5+a7==-1 093,因此D错误.故选BC. 8.答案　-21 解析　因为(x-2y+z)7=[(x-2y)+z]7,所以展开式中含z2的项为×(1-2)5×12=-21. 9.答案　2;136 解析　在x4+x8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8中,令x=1,可得a0=2, 令x=0,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8=0,① 令x=2,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=272,② 由①②可得a1+a3+a5+a7=136. 10.解析　(1)选①,由题意得=22,即(n+7)·(n-6)=0,得n=6(负值舍去). 选②,令x=1,可得展开式中所有项的系数之和为0. 由-0=2n=64,得n=6. 选③,,r=0,1,…,n, 因为展开式中的常数项为第三项,所以得n=6. 由n=6得展开式的二项式系数最大为, 则展开式中二项式系数最大的项为T4=. (2)由(1)知n=6,. 因为0≤r≤6,r∈N,∈Z, 所以r=0,2,4,6, 则有理项为T1=x-6=x-6. (3)在=0, 所以展开式中所有项的系数之和为0. 学科网（北京）股份有限公司 $$