6.3 二项式定理(课件)-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.3 二项式定理 知识点 1 二项式定理 必备知识 清单破 二项式定理 公式(a+b)n= an+ an-1b1+…+ an-kbk+…+ bn,n∈N*叫做二项式定理 (a+b)n的二项展开式  an+ an-1b1+…+ an-kbk+…+ bn,n∈N* 二项式系数  (k=0,1,2,…,n) 二项展开式的通项 展开式的第(k+1)项:Tk+1= an-kbk 备注 在二项式定理中,若设a=1,b=x,则得到公式:(1+x)n=  + x+ x2+…+ xk+…+ xn 第1讲　描述运动的基本概念 　 1.对称性 　　与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 = . 2.增减性与最大值 　　当k< 时, 随k的增加而增大;由对称性知,二项式系数的后半部分, 随k的增加而减 小.当n是偶数时,中间的一项 取得最大值;当n是奇数时,中间的两项 与 相等,且同时 取得最大值. 3.各二项式系数的和 (a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n,即 + + +…+ =2n. 　　在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即 + +  +…= + + +…. 知识点 2 二项式系数的性质 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1. an-kbk是(a+b)n的展开式中的第几项? 2.(a+b)n与(b+a)n的二项展开式在结构形式上相同吗? 3.二项展开式中项的系数与二项式系数一定相等吗? 4.在(1-x)9的展开式中,系数最大的项是第5项和第6项吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.第(k+1)项. 2.不相同.尽管(a+b)n与(b+a)n的二项展开式是相等的,但它们在结构形式上却不相同.(a+b)n的 二项展开式中的项按a的降幂、b的升幂排列,第(k+1)项为 an-kbk;(b+a)n的二项展开式中的项 按b的降幂、a的升幂排列,第(k+1)项为 bn-kak. 3.不一定.项的系数是指除变量外连同符号的常数部分,与变量的系数有关,而第(k+1)项的二 项式系数为 ,与变量的系数无关. 4.不是.展开式共10项,其中奇数项系数为正,偶数项系数为负,所以系数最大的项是第5项. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 二项展开式中的特定项(项的系数)问题 关键能力 定点破 　　求二项展开式中的特定项(项的系数),实质是考查其通项Tk+1= an-kbk,一般需要建立方程 求k,再将k的值代回求解,注意k的取值范围为0,1,2,…,n. (1)求第m项:令k+1=m,直接代入通项. (2)求含am的项:令n-k=m,解出k的值,代入通项. (3)求常数项:隐含条件是字母的指数为0. (4)求有理项:令通项的所有字母的指数都等于整数,求解时必须合并通项中同一字母的指数, 根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性求解. (5)求整式项:令通项中同一字母的指数合并后为非负整数,求解方式与求有理项一致. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　在 的展开式中,第6项为常数项. (1)求n的值; (2)求含x2的项的系数与二项式系数; (3)求展开式中所有的有理项. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1) 的展开式的通项为Tr+1=  ×(-3)r = ×(-3)r (r=0,1,2,…,n).因为 展开式的第6项为常数项,所以 =0,解得n=10. (2)由(1)知Tr+1= ×(-3)r ,r=0,1,…,10. 令 =2,得r=2,所以含x2的项的系数为 ×(-3)2=405,含x2的项的二项式系数为 =45. (3)根据题意得 所以r=2或r=5或r=8,所以展开式中的有理项分别为T3= ×(-3)2x2= 405x2,T6= ×(-3)5=-61 236,T9= ×(-3)8x-2=295 245x-2. 方法总结    已知展开式的某项或其系数求参数,可由通项写出已知项,根据题中数据得到参 数的值. 第1讲　描述运动的基本概念 1.求两个二项式乘积的展开式中特定项的一般步骤 (1)分别求每个二项展开式的通项; (2)找到构成展开式中特定项的组成部分; (3)利用多项式乘法分别相乘即可. 2.求三项展开式中特定项的方法 (1)因式分解法:先通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分别展开. (2)逐层展开法:先将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组用二项式定 理展开. (3)利用组合知识:把(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的构成,注意最后把各 个同类项合并. 定点 2 两个二项式乘积、三项展开式问题 第1讲　描述运动的基本概念 典例　(1)在 (1+x)6的展开式中,含x2的项的系数为 (　    ) A.15　　　    B.20　　　    C.30　　　    D.35 (2)(x2+3x+2)5的展开式中x2的系数为　　　    . C 800 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)(1+x)6的展开式的通项为Tk+1= xk,k=0,1,2,…,6. 因为 (1+x)6=(1+x)6+ (1+x)6, 所以展开式中含x2的项为 x2+ × x4=30x2,所以展开式中含x2的项的系数为30. (2)解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5, (1+x)5的展开式的通项为Tr+1= xr, (2+x)5的展开式的通项为Tk+1= 25-kxk, 所以 的展开式的通项为  25-k·xr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N, 令r+k=2,可得 或 或  因此, 的展开式中x2的系数为  ×23+  ×24+  ×25=800. 解法二: = ,其展开式的通项为Tk+1= (x2+3x)5-k2k(0≤k≤5,k∈N), 第1讲　描述运动的基本概念  的展开式的通项为Tr+1= (x2)5-k-r(3x)r= 3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N), 所以Tk+1=  2k3rx10-2k-r(0≤k≤5,且0≤r≤5-k,k,r∈N), 令10-2k-r=2,可得k=3,r=2或k=4,r=0. 当k=3,r=2时,x2的系数为  ×23×32=720; 当k=4,r=0时,x2的系数为  ×24×30=80. 综上, 的展开式中x2的系数为720+80=800. 解法三:(x2+3x+2)5表示5个因式(x2+3x+2)的乘积,要得到含x2的项,分以下两种情况:①从1个因 式中取x2,其余4个因式中都取2;②从2个因式中取3x,其余3个因式中都取2,故x2的系数为 ×24 + ×32×23=80+720=800. 第1讲　描述运动的基本概念 　 　　“赋值法”是解决与展开式中项的系数有关的问题的常用方法,根据所求,灵活地对字 母赋值,通常赋的值为0,1或-1. (1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子,求其展开式中各项系数之和时只需 令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子,求其展开式中各项系数之和时只需令x=y=1 即可. (2)一般地,令f(x)=(ax+b)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则(ax+b)n的展开式中各项系数之和为f(1);奇数 项系数之和为a0+a2+a4+…=  ;偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=  ;常数项 为f(0). (3)对于{man}(m∈N*,n∈N)的求和问题,可考虑利用导数结合赋值求解. 定点 3 赋值法求展开式中的系数和 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知(3x-1)7=a0x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7. (1)求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|的值; (2)求a1+a3+a5+a7的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)令x=-1,得-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=(-4)7. (3x-1)7的展开式的通项为Tr+1= ·(3x)7-r·(-1)r= ·37-r·(-1)r·x7-r(r=0,1,2,…,7),易知奇数项的系数为 正,偶数项的系数为负, 所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-(-4)7=16 384. (2)令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=27,① 记-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=(-4)7为②, ①+②,得2(a1+a3+a5+a7)=27-47=27-214, 所以a1+a3+a5+a7=26-213=-8 128. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　设(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R),求a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024的值. 解析    对已知式两边分别求导得-4 048(1-2x)2 023=a1+2a2x+3a3x2+…+2 024a2 024x2 023(x∈R), 令x=1,得a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024=4 048. 第1讲　描述运动的基本概念 1.求展开式中二项式系数最大的项时,可根据二项式系数的性质解决,当n为奇数时,中间两项 的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. 2.求二项展开式中系数的最大值的思路 (1)二项展开式中的系数是关于正整数n的式子,所以可以看成关于n的函数,结合函数的单调 性判断系数的增减性,从而求出系数的最大值. (2)在系数均为正值的前提下,如果第(r+1)项的系数最大,则与之相邻两项(第r项、第(r+2)项) 的系数均不大于第(r+1)项的系数,由此列不等式组可确定r的取值范围,再依据r∈N*来确定r 的值,即可求出系数的最大值. 定点 4 展开式中二项式系数、系数的最大值问题 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知 . (1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大 的项的系数; (2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79,求展开式中系数最大的项. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得 + =2 ,即n2-21n+98=0,解得n=7或n=14. 当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项,且第4项的系数为 × ×23= , 第5项的系数为 × ×24=70. 当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是第8项,且第8项的系数为 × ×27=3 432. (2)由题意得 + + =79,即n2+n-156=0,解得n=12或n=-13(舍去), 所以 = ×(1+4x)12. 设展开式中第(r+1)项的系数最大, 则 解得 ≤r≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 又r∈N,所以r=10, 所以展开式中系数最大的项为第11项,为 × ×(4x)10=16 896x10. 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用二项式定理进行近似计算 利用二项式定理进行近似计算的关键在于构造恰当的多项式(a+b)n(n∈N*,a∈Z,|b|<1),并根 据近似要求,对其展开式的项进行合理取舍,从而确定其近似值. 2.利用二项式定理解决整除或求余数问题 (1)利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造一个与题目条件有关的二项式,通常 把被除数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,使 其展开式中的某些项均含有除数这个因数,这时通常只考虑其中不含有这个因数的项就可以了. (2)利用二项式定理求余数时,要注意余数的取值范围,余数大于零且小于除数,切记余数不能 为负数,所以利用二项式定理展开变形后,若“剩余部分”是负数,则要注意进行转换. 定点 5 二项式定理的应用 第1讲　描述运动的基本概念 3.利用二项式定理证明有关的等式或不等式 (1)证明的关键为二项式定理的正用或逆用,应注意要巧妙地构造多项式,同时熟练掌握二项 展开式及其结构特点. (2)证明不等式时,应注意通过增加或去掉若干项的方法进行放缩. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　(1)0.9986的近似值为　　　    ;(精确到0.001) (2)S= + +…+ 除以9的余数为　　　    ; (3)设a∈Z,且0≤a<13,若512 022+a能被13整除,则a=　　　    . 0.988 7 12 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)0.9986=(1-0.002)6=1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002)2+…+ ×(-0.002)6. ∵展开式中的第三项T3= ×(-0.002)2=15×0.0022=0.000 06<0.001,且第三项以后的项的绝对 值都远小于0.001, ∴从展开式的第三项起,以后的项都可以忽略不计, ∴0.9986=(1-0.002)6≈1-6×0.002=0.988. (2)S= + +…+ =227-1=89-1=(9-1)9-1= ×99- ×98+ ×97-…+ ×9- -1=9×( ×98- ×97 + ×96-…+ )-2=9×( ×98- ×97+ ×96-…+ -1)+9-2, 故S除以9的余数为7. (3)512 022+a=(52-1)2 022+a= ×522 022- ×522 021+ ×522 020-…- ×52+1+a,∵512 022+a能 被13整除,且 ×522 022- ×522 021+ ×522 020-…- ×52能被13整除, ∴1+a也能被13整除. 又∵0≤a<13,a∈Z,∴a=12. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 求证:(1)( )2+( )2+( )2+…+( )2= ; (2)对一切n∈N*,都有2≤ <3. 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)构造等式(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n,∵ 是(1+x)2n的展开式中xn的系数,∴ 是(1+x)n·(1+ x)n的展开式中xn的系数. 在(1+x)n·(1+x)n中,若第一个因式取常数项x0,其系数为 ,则第二个因式应取xn,其系数为 ,此 时xn的系数为  =( )2;……;若第一个因式取xr,其系数为 ,则第二个因式应取xn-r,其系数 为 ,此时xn的系数为  =( )2;……, ∴(1+x)n·(1+x)n的展开式中xn的系数为  +  +…+  +…+  =( )2+( )2+…+ ( )2+…+( )2. ∴( )2+( )2+( )2+…+( )2= = = . (2)∵ = + · + · + · +…+ · =1+1+ · + · · +…+ ·  · ·…· , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴2≤ <2+ + +…+ <2+ + +…+ =2+ + +…+ = 3- <3, 当且仅当n=1时, =2; 当n≥2时,2< <3. 故对一切n∈N*,都有2≤ <3. 第1讲　描述运动的基本概念 $$