高二数学期末模拟卷01（新高考八省专用，测试范围：人教A版2019选修二、三全部）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 01 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修二+选择性必修三。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，其前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 2．若随机变量的分布列如下表，表中数列是公比为2的等比数列，则（   ） 1 2 3 A． B． C． D． 3．若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 5．学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 6．足球运动被誉为“世界第一运动”，深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．给出下列2个结论：①，②．则下列说法正确的是（    ） A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立 C．①②都成立 D．①②都不成立 7．某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（    ） A．72 B．54 C．48 D．36 8．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为， B．一组数的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大 C．若随机变量，则 D．若随机变量，且，则 10．已知，则下列描述正确的是（   ） A．偶数项的二项式系数和为128 B．除以5所得的余数是1 C． D． 11．设函数，则（    ） A．当时，有极大值4 B．当时， C．当时， D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答）. 13．已知随机变量，若，则 . 14．已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 16．（15分）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 17．（15分）已知函数是的一个极值点． (1)求的值； (2)若直线与的图象相切，求的值． 18．（17分）某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 19．（17分）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，小明第1天随机等可能选择一家用午餐．若他在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择去餐厅的概率为．记小明同学第天选择去餐厅用午餐的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修二+选择性必修三。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，其前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 2．若随机变量的分布列如下表，表中数列是公比为2的等比数列，则（   ） 1 2 3 A． B． C． D． 3．若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 5．学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 6．足球运动被誉为“世界第一运动”，深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．给出下列2个结论：①，②．则下列说法正确的是（    ） A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立 C．①②都成立 D．①②都不成立 7．某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（    ） A．72 B．54 C．48 D．36 8．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为， B．一组数的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大 C．若随机变量，则 D．若随机变量，且，则 10．已知，则下列描述正确的是（   ） A．偶数项的二项式系数和为128 B．除以5所得的余数是1 C． D． 11．设函数，则（    ） A．当时，有极大值4 B．当时， C．当时， D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答）. 13．已知随机变量，若，则 . 14．已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 16．（15分）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 17．（15分）已知函数是的一个极值点． (1)求的值； (2)若直线与的图象相切，求的值． 18．（17分）某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 19．（17分）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，小明第1天随机等可能选择一家用午餐．若他在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择去餐厅的概率为．记小明同学第天选择去餐厅用午餐的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式． 2 / 4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷01 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D B A A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD AB AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．0.15/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）由， 可得时，， 解得，（2分） 时，，又， 两式相减可得， 即有，（4分） 数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以；（6分） （2）数列满足， 所以．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而，（4分） 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励.（7分） （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而，（13分） 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由题设且，又， 所以，此时，则，（4分） 区间上，单调递减，区间上，单调递增， 所以是的极小值点，故；（7分） （2）由题设，若直线与的切点为，则， 故切线方程为，即， 显然与是同一条直线，所以，（11分） 令且，则， 所以在上单调递增，又时， 综上，有唯一根为， 所以.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为.（5分） （2）记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， “甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ，（9分） 同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为， 为人中从号门出学校的人数，则， ，， ，， ，（15分） 故的分布列为： ，.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）设“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，， 与互斥．由题意，，，， 所以，（3分） 由全概率公式得；（7分） （2）“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，． 与互斥且对立．由题意，，当，时， ，，，，， 所以li ， 所以，（15分） 又，故，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，所以．（17分） 2 / 4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修二+选择性必修三。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，其前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据裂项相消法求前n项和为，从而可得的值. 【详解】因为， 所以， 故. 故选：C. 2．若随机变量的分布列如下表，表中数列是公比为2的等比数列，则（   ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列通项公式用表示、，再结合概率和为求出，最后根据期望公式计算． 【详解】已知数列是公比为的等比数列，可得，． 因为随机变量的所有概率之和为，即，将，代入可得： ，合并同类项得，解得． 根据离散型随机变量的期望公式，把，，代入可得： ． 故选：D． 3．若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】基本事件总数为，利用分步乘法原理结合排列组合求出符合条件的方案数，从而可求出概率. 【详解】从6人中选3人排列共有种，由题意得 去班的方案有：种； 去B班的方案有： 种；去C班的方案有： 种； 所以，满足条件的方案数是：. 所以所求概率是. 故选：D. 4．已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义结合题设条件，列出方程组，求解即得. 【详解】依题意，，解得. 故选：B. 5．学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数，再确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数，最后根据条件概率公式得结果． 【分析】第一步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数： 先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法，再从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判以及第四裁判， 注意到四名裁判中既有男生也有女生，所以有种选法， 故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数为， 第二步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数： 先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法； 再从名男生中选出一名担任第四裁判，有种选法； 最后从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判，有种选法， 故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数为， 因此，四名裁判中既要有男生，也要有女生，且在女裁判员担任主裁判的条件下， 第四裁判员是男生的概率为， 故选：A. 6．足球运动被誉为“世界第一运动”，深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．给出下列2个结论：①，②．则下列说法正确的是（    ） A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立 C．①②都成立 D．①②都不成立 【答案】A 【分析】根据给定条件，直接求出；求出的关系，再求出通项公式，进而作差判断. 【详解】由乙或丙传球给其他两个人，得，①正确； 依题意，第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，且第次触球的人， 有的概率将球传给甲，于是，， 而，因此是以为首项，为公比的等比数列， 则，即，则， ，，②错误. 故选：A 7．某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（    ） A．72 B．54 C．48 D．36 【答案】D 【分析】根据分组分配及分步计算原理，先将4人分成3组，再分配到3个实验室可解. 【详解】将4名研究生助理分成3组，有种方法，再将3个组分配到3个实验室有种方法. 故选：D. 8．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前项和公式建立方程，进而求解鬼工球的层数. 【详解】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即. 根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为10. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为， B．一组数的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大 C．若随机变量，则 D．若随机变量，且，则 【答案】AD 【分析】利用极差和方差的性质可判断A选项；利用平均数和方差的计算公式可判断B；利用独立重复试验的概率公式可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，数据的极差为6，则数据的极差为， 数据的方差为2，则数据的方差为，故A正确； 对于B选项，由题意可知，若再插入一个数，则平均数变为，即平均数不变， 而原来的数据的方差为， 同理可算得新数据的方差为，所以方差会变小，故B错误； 对于C选项，若随机变量，则，故C错误； 对于D选项，若随机变量，且， 则，故D正确. 故选：AD. 10．已知，则下列描述正确的是（   ） A．偶数项的二项式系数和为128 B．除以5所得的余数是1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据奇数项和偶数项的二项式系数的关系判断A的真假；利用二项式定理探索余数问题判断B的真假；利用赋值法判断C的真假；利用导数的运算，结合赋值法可判断D的真假. 【详解】对A：根据二项式系数的性质可得，所有项的二项式系数和为，并且奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，均为，故A正确； 对B：因为，所以除以5所得的余数是1.故B正确； 对C：因为，，，，均为正数，，，，均为负数，令，则： ， 再令得：，所以，故C错误； 对D：因为， 令得：； 令得：. 所以，故D错误. 故选：AB 11．设函数，则（    ） A．当时，有极大值4 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，即可求解极值判断A，举反例即可求解B，根据函数的单调性即可求解C，利用作差法，结合不等式的性质即可求解D. 【详解】由可得， 当时，，当或时，在，单调递增， 当在单调递减，故当时，取极大值4，故A正确， 对于B,当时，取，则，此时，故B错误， 对于C, 当时，，且当时，，此时在单调递增， 但由于，故与的大小关系不确定，因此无法判断,C错误， 对于D, ， 当时，故，因此 ，所以，故D正确， 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】将问题转化为求的展开式中的系数，然后利用的展开式通项求出含的系数，即可得解. 【详解】的展开式中的系数等价于的展开式中的系数， 而的展开式的通项为， 令得的展开式中的系数为， 即的展开式中的系数为. 故答案为： 13．已知随机变量，若，则 . 【答案】0.15/ 【分析】根据正态曲线的对称性，结合正态分布的概率表示，可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 14．已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先利用同构法将题设不等式转化为，再构造函数，利用导数与函数单调性的关系得到，从而将问题转化为对恒成立，，再次构造函数求得最值即可得解. 【详解】不等式，可化为，， 令，则， 所以在上单调递增， 因为，，所以，，则， 所以不等式，即为， ，即对恒成立， 令，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，则，即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用时，求得，进而得到数列为公比为3的等比数列，最后根据首项和公比写出通项公式即可； （2）根据裂项相消求和计算即可. 【详解】（1）由， 可得时，， 解得， 时，，又， 两式相减可得， 即有， 数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以； （2）数列满足， 所以． 16．（15分）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解 (2)乙所说为假 【分析】（1）由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可； （2）假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论． 【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 17．（15分）已知函数是的一个极值点． (1)求的值； (2)若直线与的图象相切，求的值． 【答案】(1)；(2)2. 【分析】（1）对函数求导，根据极值点求得，注意验证结果即可； （2）若直线与的切点为，应用导数的几何意义求该点处的切线方程，进而得到且，并应用导数研究零点求得，即可得. 【详解】（1）由题设且，又， 所以，此时，则， 区间上，单调递减，区间上，单调递增， 所以是的极小值点，故； （2）由题设，若直线与的切点为，则， 故切线方程为，即， 显然与是同一条直线，所以， 令且，则， 所以在上单调递增，又时， 综上，有唯一根为， 所以. 18．（17分）某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 【答案】(1)，说明见解析， (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）利用全概率公式求出每个人从号门出校园的概率均为，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望、方差公式可得出、的值. 【详解】（1）依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为. （2）记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， “甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ， 同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为， 为人中从号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： ，. 19．（17分）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，小明第1天随机等可能选择一家用午餐．若他在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择去餐厅的概率为．记小明同学第天选择去餐厅用午餐的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式． 【答案】(1);(2)证明见解析，． 【分析】（1）设“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，，由题意得，根据全概率公式计算即可； （2）利用全概率公式得，再利用构造法即可证明并求得的通项公式. 【详解】（1）设“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，， 与互斥．由题意，，，， 所以， 由全概率公式得； （2）“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，． 与互斥且对立．由题意，，当，时， ，，，，， 所以li ， 所以， 又，故，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，所以． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$