第一章三角形的证明知识点复习检测　2024—2025学年北师大版八年级数学下册

2025学年北师大版八年级数学下册 第一章《三角形的证明》知识点复习检测 一、选择题 1．用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（　　） A． B． C． D． 2．用反证法证明某个命题的结论“ ”时，第一步应假设（　　） A． B． C． D． 3．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，则对角线BD的长为（　　） A． B．6 C． D． 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 5．如图，是三角形的中位线，且，若，，则的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图1是边长分别为的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是（　　） A．割⑤补⑥ B．割③补① C．割①补④ D．割③补② 7．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交DC的延长线于点E，连接BE，若□ABCD的周长为28，△BCE的周长为18，则CE的长是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E.若AD=4，△AEC的周长为17，则△ABC的周长为（　　） A．20 B．21 C．25 D．30 9．如图，在中，的垂直平分线交AB于点，垂足为D，CE平分，若BE，则AE的长（　　） A． B．1 C．2 D． 10．如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是　（1） 　． 12．如图，在中，过点A作于点E．若，则的大小是　（1） 　度． 13．如图，矩形中，，，点E为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为　 　． 14．如图，正方形的边长为6，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为　（1） 　． 15．如图，在中，对角线AC与BD相交于点．则的面积为　 　． 16．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应假设三角形外角中　 　. 17．如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为　 　． 18．如图，▱ABCD中，为对角线，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若AD⊥BD，BD=4，BC=8，则的长为　 　． 19．如图，中，，分别是，的中点．若，，，则的长等于　（1） 　． 20．如图，在中，，平分交于点D，于点M，若，．则线段的长是　（1） 　． 三、证明题 21．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长． 22．如图，在中，，，平分交于点E，于点D． （1）求证： （2）若，，求的长． 四、解答题 23．如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B、C处于同一水平面上）的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 24．如图，在中，，平分，交于点E．，． （1）求，，的度数； （2）求的周长． 25．已知a，b，c满足， （1）求，b，c的值； （2）试问以，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由． 五、实践探究题 26．旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”. 【问题解决】如图1，P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB. （1）则点P与P'之间的距离为PP'=　 　，　 　°(直接写出答案) （2）在(1)的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作BH⊥AP，交AP延长线于H，请你根据他的思路，计算　 　(直接写出答案) （3）【类比探究】如图3，点P是正方形ABCD内一点，.求的度数?请写出完整过程；　 　(直接写出答案) （4）【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接PP'、A'C，记A'C与AB交于点D，可知，，由，，可知为等边三角形，有.故，因此，当A'、P'、P、C共线时，如图5，有最小值为A'C. 请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值为　 　(直接写出答案) 27．综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系，因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90° （1）【初步探究】小鸣将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD，CE后，发现他们之间存在着一定的关系，如图（1），请证明：BD=CE且BD⊥CE； （2）【深入探究】若∠ADB=90°，O点为BC的中点，旋转过程中，当点D、点E和点O三点共线时，如图2，求证：OE=OD+BD. （3）【拓展探究】如图3，当∠BDC=60°，BD=2，AD=，则CD=　 　（直接写出结果） 六、综合题 28．如图，在▱ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，DB⊥AB于点B.若AB=6，AD=AE=10，点P，Q为射线AB上的两个动点，点P从A出发沿射线AB方向运动，点Q从E出发沿射线AB方向运动，AP=3EQ. （1）求AC的长. （2）当以P，Q，D，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求EQ的长. （3）当三角形ACP为等腰三角形时，求EQ的长. 29．如图，在平面直角坐标系中，点A是直线l：y=在第一象限内的一个动点，点B在x轴正半轴上.以OA，OB（OA<OB）为边构造□AOBP，点P关于直线AB 的对称点 为Q，连接AQ，BQ，线段AQ与x轴的交点为C. （1）求证：AC=BC； （2）当AC⊥OB时，求 （3）若 B 点坐标为（4，0），直接写出当△BCO是等腰三角形时P点的坐标. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】反证法 【解析】【解答】解：用反证法证明命题，首先应假设命题不成立，即提出与结论相反的假设，原命题的结论为∠A≠∠C，所以用反证法证明命题首先应假设∠A＝∠C. 故答案为：D. 【分析】在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做反证法.本题根据反证法的定义即可得出答案. 2．【答案】D 【知识点】反证法 【解析】【解答】解：用反证法证明某个命题的结论“ ”时，第一步应假设 ； 故答案为：D. 【分析】找出a>0的反面即可. 3．【答案】B 【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质 【解析】【解答】解：如图所示， 四边形ABCD是菱形 是等边三角形 故答案为：B. 【分析】由于菱形的四条边相等，所以是等腰三角形；因为 ∠A＝60° ，所以又是等边三角形，所以BD等于AB等于6. 4．【答案】C 【知识点】菱形的性质；直角三角形的性质 5．【答案】C 【知识点】直角三角形的性质；三角形的中位线定理 6．【答案】B 【知识点】勾股定理的证明 7．【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质 【解析】【解答】解：如图所示 四边形ABCD是平行四边形 故答案为：C. 【分析】先由平行四边形的性质可得其邻边BC与CD的和等于14，再由OE垂直BD可得OE是对角线BD的垂直平分线，即有BE等于DE，再利用等量代换可把△BCE的周长转化为BC+CD与CE2倍的和即可. 8．【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：由题意知：MN垂直平分AB， ∴EA=EB，AB=2AD=8， ∵ C△AEC17， ∴AC+AE+CE=17， ∴AC+BE+CE=17， ∴BC+AC=17 ∴ C△ABC=17+8=25 故答案为：25. 【分析】 根据题意，MN是AB的垂直平分线，故EA=EB；已知AD=4，可得AB=2AD=8，△AEC的周长转化为AC与BC的和，进而求△AB出周长。 9．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：∵DE垂直平分BC ∴EC=EB=2 ∴∠ECB=∠B=30° ∵CE平分∠ACB ∴∠ACE=∠BCE=30° ∴∠A=180°-30°-30°-30°=90° ∴ 故答案为：B 【分析】根据垂直平分性质可得EC=EB=2，根据等边对等角可得∠ECB=∠B=30°，再根据角平分线定义可得∠ACE=∠BCE=30°，再根据角之间的关系可得∠A，再根据直角三角形斜边上的中线即可求出答案. 10．【答案】D 【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质 11．【答案】17 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为：17． 故答案为17． 【分析】根据绝对值，二次根式的非负性可得x，y值，再根据等腰三角形性质分类讨论，结合三角形三边关系即可求出答案. 12．【答案】35 【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的性质 13．【答案】或 【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形的判定；正方形的判定；角平分线的判定 【解析】【解答】解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点 矩形中：，， 四边形MBPD'为矩形， 点在的角平分线上，， ， 矩形MBPD'为正方形， ， 设，则， ， ， 由折叠得性质可知：， 在中，由勾股定理得： ， 解得或， 或． 在中，设，则， 当时，，， ， 解得，即， 当时，，，， ， 解得，即． 故答案为：或． 【分析】 连接，过作，交于点，于点，作交于点，利用三个角是直角可得四边形MBPD'为矩形；利用角平分线得性质得到：，即可得到邻边相等的矩形MBPD'为正方形，从而得到，设，表示出，AM，再利用勾股定理求出，再分两种情况讨论：利用勾股定理即可求出． 14．【答案】 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质 15．【答案】 【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形的性质 16．【答案】最多有一个钝角 【知识点】反证法 【解析】【解答】解： 用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时， 应假设：三角形三个外角中最多有一个钝角． 故答案为：最多（至多）有一个钝角. 【分析】 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立 . 17．【答案】6 【知识点】角平分线的性质 18．【答案】5 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】解：连接BE. 根据题意，可设 ∵四边形ABCD 是平行四边形， 在 中， 由勾股定理，得 解得 即 故答案为：5. 【分析】根据作图MN是线段AB的垂直平分线，则有MA=MB，在 中，利用勾股定理解题即可. 19．【答案】5 【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 20．【答案】4 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理 21．【答案】解：（1）∵AB=AC，AB=AD， ∴∠ABC=∠ACB，∠ABD=∠ADB. ∵∠DAC=∠ABC， ∴∠DAC=∠ACB， ∴AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠ABD=∠CBD， ∴BD平分∠ABC. （2）过点O作OE⊥BC于点E. ∵∠DAC=45°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠BAC=90°. ∵BD平分∠ABC， ∴OA=OE. 在Rt△OCE中，OE=CE=OA=1， ∴OC=. 【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质 【解析】【分析】（1）根据题意先求出∠ABC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，再求出AD∥BC，最后根据平行线的性质求出∠ADB=∠CBD，以及角平分线证明求解即可； （2）根据题意先求出∠ABC=∠ACB=45°，再根据角平分线求出OA=OE，最后利用勾股定理计算求解即可。 22．【答案】（1）解：，平分，， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可知：，∵， ， ， ， ． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质 23．【答案】（1） （2）米 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理 24．【答案】（1），， （2） 【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质 25．【答案】（1）． （2）构成三角形，周长40，面积 60． 【知识点】因式分解﹣公式法；勾股定理的逆定理；算术平方根的性质（双重非负性） 26．【答案】（1）3；150° （2） （3）解：将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H由旋转可得：∠PBP'=90°，BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠BP'C=∠APB∴△BP'P为等腰直角三角形∴∠BP'P=45°在Rt△BPP'中，由勾股定理可得PP'2=BP'2+BP2=8∴PP'2+P'C2=9，PC2=9∴PC2=PP'2+P'C2∴△PP'C为直角三角形，即∠PP'C=90°∴∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=135°∴∠APB=∠BP'C=135°∴ （4） 【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：（1）由题意可得： BP'=PC=5，AP'=AP，∠PAC=∠P'AB ∵∠PAC+∠BAP=60° ∴∠PAP'=60° ∴△APP'为等边三角形 ∴PP'=AP=AP'=3 ∵PP'2+BP2=BP2 ∴△BPP'为直角三角形 ∴∠BPP'=90° ∴∠APB=90°+60°=150° 故答案为：3；150° （2）由（1）知，∠APP'=60°，∠P'PB=90° ∴∠BPH=30° ∵BH⊥AP ∴∠H=90° ∵PB=4 ∴ ∴ ∴ 故答案为： （4）将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE ∴AP=AF，∠PAF=60°=∠EAD，AE=AD ∴△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形 ∴AP=PF=AF 作EH⊥BC于点H交AD于点G ∴∠AEG=30° ∴ ∵ ∴当点E，F，G，H四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH ∵GH=AB=3 ∴ ∴PA+PD+PQ的最小值为 故答案为： 【分析】（1）由题意可得BP'=PC=5，AP'=AP，∠PAC=∠P'AB，根据角之间的关系可得∠PAP'=60°，再根据等边三角形判定定理可得△APP'为等边三角形，则PP'=AP=AP'=3，再根据勾股定理逆定理可得△BPP'为直角三角形，则∠BPP'=90°，再根据角之间的关系即可求出答案. （2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BPH=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得AH，再根据勾股定理即可求出答案. （3）将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H，由旋转可得：∠PBP'=90°，BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠BP'C=∠APB，根据等腰直角三角形判定定理可得△BP'P为等腰直角三角形，则∠BP'P=45°，根据勾股定理可得PP'2=BP'2+BP2=8，PP'2+P'C2=9，PC2=9，再根据勾股定理逆定理可得△PP'C为直角三角形，即∠PP'C=90°，再根据角之间的关系可得∠APB=∠BP'C=135°，再根据正方形面积即可求出答案. （4）将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则AP=AF，∠PAF=60°=∠EAD，AE=AD，根据等边三角形判定定理可得△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形，则AP=PF=AF，作EH⊥BC于点H交AD于点G，则∠AEG=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得当点E，F，G，H四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH，则，即可求出答案. 27．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90° ∴AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE ∴∠BAD=∠CAE ∴△ABD≌△ACE ∴BD=CE （2）证明：过C作CM∥BD 则∠DBO=∠MCO ∵OBC的中点 ∴OB=OC 在△BDO和△CMO ∴△BDO≌△CMO ∴CM=BD，OM=OD ∵∠ADB=90°，∠DAE=90° ∴BD∥AE ∵CM∥BD ∴CM∥AE ∴∠ECM=90° 由（1）可知△ABD≌△ACE ∴∠AEC=∠ADB=90° ∵AD=AE，∠DAE=90° ∴∠AED=45° ∴∠AED=∠CEM=45° ∴∠CME=∠CEM=45° ∴CE=CM 由勾股定理可得 ∴ （3） 【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形 【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BE于点G，过点B作BF⊥DC于点F ∵∠BDC=60° 在Rt△BDF中，∠DBF=30°，BD=2 ∴ ∴ ∵AB=AC，AG⊥BC ∴ 设AG=CG=x 由（1）知△ABD≌△ACE，则 ∴ 在Rt△AGE中，由勾股定理可得AG2+GE2=AE2 即 解得：或(舍去) ∴ ∴ ∴ 【分析】（1）根据等腰三角形性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，则∠BAD=∠CAE，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACE，则BD=CE，即可求出答案. （2）过C作CM∥BD，则∠DBO=∠MCO，根据线段中点可得OB=OC，再根据全等三角形判定定理可得△BDO≌△CMO，则CM=BD，OM=OD，再根据直线平行判定定理可得BD∥AE，则CM∥AE，即∠ECM=90°，再根据全等三角形性质可得∠AEC=∠ADB=90°，根据等腰直角三角形性质可得∠AED=∠CEM=45°，则∠CME=∠CEM=45°，即CE=CM，再根据勾股定理可得ME，再根据边之间的关系即可求出答案. （3）过点A作AG⊥BE于点G，过点B作BF⊥DC于点F，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得BF，根据直角三角形斜边上的中线可得，设AG=CG=x，根据全等三角形性质及边之间的关系可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，根据勾股定理可得FC，再根据边之间的关系即可求出答案. 28．【答案】（1）解：∵DB⊥AB于点B ∴∠ABD=90° 在Rt△ABD中，AB=6，AD=10 ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=BD=4，AC=2OA， 在Rt△ABO中，AB=6，OB=4， ∴ ∴AC=2OA=4； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=6， 设EQ=x， ∵点P，Q为射线AB上的两个动点，点P从A出发沿射线AB方向运动，点Q从E出发沿射线AB方向运动，AP=3EQ ∴AP=3x， ①当四边形CDPQ是平行四边形时，PQ=CD=6， 此时PQ=10+x-3x， ∴10+x-3x=6 解得x=2， ∴EQ=2 ②当四边形CDQP是平行四边形时，QP=CD=6， 此时QP=3x-（10+x）， ∴3x- (10+x) =6 解得x=8， ∴EQ=8， 综上， 当以P，Q，D，C四点为顶点的四边形是平行四边形时， EQ长为2或8； （3）解：设EQ=x，则AP=3x， ①当AP=CP时，△ACP为等腰三角形 过点C作CH⊥AB于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，且AB=CD=6， ∵BD⊥AB，CH⊥AB， ∴BD∥CH，∠CHB=90°， ∴四边形DBHC是矩形， ∴BH=CD=6，CH=BD=8， ∴PH=AH-AP=AB+BH-AP=6+6-3x， ∴在Rt△PHC中，CP=， ∴3x= 解得x=，即EQ=； ②当AP=AC时，△ACP为等腰三角形， 3x=4 得x=，即EQ=； ③当AC=PC时，△ACP为等腰三角形， ∵AC=PC，CH⊥AP， ∴AP=2AH=24， ∴3x =24， 解得x=8，即EQ=8， 综上，EQ的值为，，8. 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；分类讨论 【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠ABD=90°，在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD=8，由平行四边形的对角线互相平分得OB=BD=4，AC=2OA，进而在Rt△ABO中，利用勾股定理算出OA，从而即可得出答案； （2）由平行四边形的对边相等得AB=CD=6，设EQ=x，则AP=3x，由于AB∥CD，P、Q始终在射线AB上，所以 以P，Q，D，C四点为顶点的四边形是平行四边形存在两种情况：①当四边形CDPQ是平行四边形时，PQ=CD=6，此时PQ=10+x-3x，②当四边形CDQP是平行四边形时，QP=CD=6，此时QP=3x-（10+x），分别列出方程求解即可得出答案； （3）设EQ=x，则AP=3x，若△ACP为等腰三角形，需分三类讨论：①当AP=CP时，△ACP为等腰三角形，过点C作CH⊥AB于点H，由平行四边形对边平行且相等得AB∥CD，且AB=CD=6，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行，得BD∥CH，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形得四边形DBHC是矩形，由矩形对边相等得BH=CD=6，CH=BD=8，根据线段和差表示出PH，在Rt△PHC中，利用勾股定理表示出CP，从而即可建立方程，求解可得EQ的长；②当AP=AC时，△ACP为等腰三角形，据此建立方程，求解得出EQ的长；③当AC=PC时，△ACP为等腰三角形，由等腰三角形的三线合一得AP=2AH=24，从而即可建立方程，求解得出EQ得长，综上可得答案. 29．【答案】（1）证明：∵四边形AOBP是平行四边形， ∴AP//OB， ∴∠BAP＝∠ABO， ∵点P关于直线AB的对称点为Q， ∴∠BAP＝∠QAB， ∴∠QAB＝∠ABO， ∴AC＝BC （2）解：过点P作PM⊥x轴于点M， 易得△AOC≌△PBM， ∵四边形AOBP是平行四边形，AC⊥OB， ∴OB＝AP，AC⊥AP， 设A点坐标(3a，4a)， ∴OC＝3a，AC＝4a， ∵AC＝BC， ∴BC＝AC＝4a，AP＝AQ＝7a，OM＝10a，PM＝4a，CQ＝3a， ∴OP＝ OQ＝， ∴ （3）解：过点A作AN垂直x轴于点N， 设AN＝4m，ON＝3m， 则OA＝BP＝BQ＝5m， 当点A在第一象限时 ①当BC＝BQ时， BC＝5m，OC＝4－5m，CN＝4－8m， ∵AC＝BC， ∴AC＝5m， ∴在Rt△ACN中，AN2＋CN2＝AC2 即(4m)2＋(4－8m)2＝(5m)2 解得m1＝，m2＝(舍去)， ∴P() ②当BC＝CQ时， ∵OB＝AQ，AC＝BC， ∴OB－BC＝AQ－AC， 即CQ＝OC， ∴OC＝BC＝BC＝AC＝2， ∴CN＝2－3m， ∴在Rt△ACN中， AN2＋CN2＝AC2 即(4m)2＋(2－3m)2＝22 解得m＝， ∴P() ③当CQ＝BQ时， OC＝CQ＝BQ＝5m， ∴CN＝2m，AC＝BC＝4－5m， ∴在Rt△ACN中， AN2＋CN2＝AC2 即(2m)2＋(4m)2＝(4－5m)2 解得m3＝(舍去)，m4＝ ∴P() 综上，P点坐标()，()，() 【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠BAP＝∠ABO，根据对称性得到∠BAP＝∠QAB，进而即可求证； （2）过点P作PM⊥x轴于点M，根据全等三角形的性质和平行四边形的性质得到过点P作PM⊥x轴于点M，进而设A点坐标(3a，4a)，分别表示出OM和PM的长度，利用勾股定理求出OP长和OQ的长度，进而即可求解； （3）过点A作AN垂直x轴于点N，设AN＝4m，ON＝3m，则OA＝BP＝BQ＝5m，分三种情况讨论，①当BC＝BQ时，②当BC＝CQ时，③当CQ＝BQ时，分别根据勾股定理列出方程计算即可. 试题分析部分 1、试卷总体分布分析 总分：65分 分值分布 客观题（占比） 22.0(33.8%) 主观题（占比） 43.0(66.2%) 题量分布 客观题（占比） 11(37.9%) 主观题（占比） 18(62.1%) 2、试卷题量分布分析 大题题型 题目量（占比） 分值（占比） 选择题 10(34.5%) 20.0(30.8%) 填空题 10(34.5%) 35.0(53.8%) 证明题 2(6.9%) 5.0(7.7%) 解答题 3(10.3%) 5.0(7.7%) 实践探究题 2(6.9%) 0.0(0.0%) 综合题 2(6.9%) 0.0(0.0%) 3、试卷难度结构分析 序号 难易度 占比 1 普通 (37.9%) 2 容易 (41.4%) 3 困难 (20.7%) 4、试卷知识点分析 序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号 1 角平分线的概念 2.0(3.1%) 9 2 三角形全等的判定 0.0(0.0%) 27 3 含30°角的直角三角形 0.0(0.0%) 26,27 4 菱形的性质 4.0(6.2%) 3,4 5 三角形的中位线定理 7.0(10.8%) 5,19 6 等腰三角形的性质-等边对等角 2.0(3.1%) 9 7 直角三角形全等的判定-HL 0.0(0.0%) 22 8 矩形的性质 2.0(3.1%) 13 9 反证法 6.0(9.2%) 1,2,16 10 平行线的判定与性质 5.0(7.7%) 21,27 11 两直线平行，内错角相等 0.0(0.0%) 29 12 等腰三角形的性质 10.0(15.4%) 11,21,27,28 13 直角三角形的性质 11.0(16.9%) 4,5,12,15 14 矩形的判定与性质 0.0(0.0%) 28 15 勾股定理的证明 2.0(3.1%) 6 16 垂线段最短及其应用 2.0(3.1%) 10,26 17 角平分线的性质 9.0(13.8%) 10,17,21,22,24 18 正方形的判定 2.0(3.1%) 13 19 平行四边形的性质 11.0(16.9%) 7,12,15,18,24,28,29 20 等边三角形的判定与性质 0.0(0.0%) 26 21 算术平方根的性质（双重非负性） 10.0(15.4%) 11,25 22 线段垂直平分线的性质 8.0(12.3%) 7,8,9,18,23 23 矩形的判定 2.0(3.1%) 13 24 绝对值的非负性 5.0(7.7%) 11 25 等腰三角形的判定与性质 12.0(18.5%) 3,14,20,22 26 勾股定理 16.0(24.6%) 13,14,15,18,20,23,26,28,29 27 分类讨论 0.0(0.0%) 28 28 正方形的性质 5.0(7.7%) 14 29 直角三角形斜边上的中线 7.0(10.8%) 9,19 30 因式分解﹣公式法 5.0(7.7%) 25 31 等腰三角形的判定 0.0(0.0%) 24,29 32 三角形三边关系 5.0(7.7%) 11 33 尺规作图-垂直平分线 2.0(3.1%) 18 34 角平分线的判定 2.0(3.1%) 13 35 全等三角形中对应边的关系 0.0(0.0%) 29 36 三角形全等及其性质 0.0(0.0%) 27 37 勾股定理的逆定理 10.0(15.4%) 19,23,25,26 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$