4、初中核心知识-【一战成名新中考·乾坤卷】2024广西中考原创压轴卷（全学科）

中考心法·广西数学 数 学 保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （２）若ＯＢ＝２，求ＡＢ的长． 解：（１）所作线段ＡＯ，ＯＢ如图所示； ４分 !!!!!!!!!!!!! （２）∵∠Ａ＝３０°，∠ＡＢＣ＝９０°， ∴ＡＣ＝２ＢＣ， ∵ＡＯ＝ＢＣ，∴ＡＣ＝２ＡＯ， ∴ＯＣ＝ＡＯ，即点Ｏ为ＡＣ的中点， ∵ＯＢ＝２，∴ＡＣ＝２ＯＢ＝４， ６分 !!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ＢＣ＝２，∴ＡＢ＝ 　 ＡＣ２－ＢＣ槡 ２＝２　槡３． １０分!!!!!!!!!!!! 答题得分点 １．正确作出解图，得４分； ２．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出对应关系，得６分； ３．根据已知条件解出最终结果，得１０分． 四、初中核心知识 初中核心知识记背 １．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象与性质（图象一条倾斜的直线） ｋ，ｂ符号 ｋ＞０ ｋ＜０ ｂ＞０ ｂ＜０ ｂ＝０ ｂ＞０ ｂ＜０ ｂ＝０ 大致图象 经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 判断倾斜 方向、增 减性看ｋ ｋ＞０，图象呈“／”，必过第一、三象 限，ｙ随ｘ的增大而增大 ｋ＜０，图象呈“＼”，必过第二、四 象限，ｙ随ｘ的增大而减小 ４４ 中考心法·广西数学 数 学 续表 判断与ｙ 轴交点位 置看ｂ ｂ＞０，图象交于ｙ轴的正半轴，必过第一、二象限； ｂ＝０，图象过原点； ｂ＜０，图象交于ｙ轴的负半轴，必过第三、四象限 与ｙ轴 交点 令ｘ＝０，求对应的ｙ值，交点坐标为（０，ｂ） 与ｘ轴 交点 令ｙ＝０，求对应的ｘ值，交点坐标为（－ｂｋ，０） ２．一次函数图象上点的纵坐标大小比较 方法一：特值比较法．将两个点的横坐标代入解析式，计算出对应纵坐标的 值再比较； 方法二：图象法．先根据题意画出函数图象，再结合增减性比较，如图： 　　　　　 　　　　 ｙ随ｘ的增大而增大 当ｘ１＜ｘ２时，ｙ１＜ｙ２ 　　　　　　 ｙ随ｘ的增大而减小 当ｘ１＜ｘ２时，ｙ１＞ｙ２ ３．一次函数解析式的确定（待定系数法） （１）设一次函数的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）； （２）用图象上的点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）的横、纵坐标分别去替换函数解析式 中的ｘ和ｙ，得到二元一次方程组 ｙ１＝ｋｘ１＋ｂ， ｙ２＝ｋｘ２＋ｂ{ ； （３）解方程组，求出ｋ，ｂ的值； （４）将ｋ，ｂ代入所设解析式即可． 简记为： 【拓展】根据表格确定函数解析式： ｘ －２ －１ ０ １ ２ ３ ｙ ６ ４ ２ ０ －２ －４ 由表格数据可知，当ｘ＝０时，ｙ的值即为 ｂ的值；当 ｙ＝０时，ｘ的值即为一 次函数的解，通过代值即可求出一次函数的解析式． ５４ 中考心法·广西数学 数 学 ４．一次函数图象的平移（要点：ｋ不变） 平移前解析式 平移方式（ｍ＞０） 平移后解析式 简记 ｙ＝ｋｘ＋ｂ （ｋ≠０） 向左平移ｍ个单位长度 ｙ＝ｋ（ｘ＋ｍ）＋ｂ 向右平移ｍ个单位长度 ｙ＝ｋ（ｘ－ｍ）＋ｂ 向上平移ｍ个单位长度 ｙ＝ｋｘ＋ｂ＋ｍ 向下平移ｍ个单位长度 ｙ＝ｋｘ＋ｂ－ｍ ｘ左加右减 等号右边整体 上加下减 ５．反比例函数的图象与性质（图象双曲线） 图象 性质 解析式 ①图象分别位于第一、三 象限； ②在每一个象限内，ｙ随ｘ 的增大而减小 ①图象分别位于第二、四 象限； ②在每一个象限内，ｙ随ｘ 的增大而增大 共性： ①图象关于直线ｙ＝ ±ｘ成轴对称；关 于原点成中心 对称； ②图象上任意一点 Ｐ（ｘ，ｙ）的横、纵 坐标之积均为 ｋ，即ｘｙ＝ｋ ｙ＝ｋｘ （ｋ＞０） ｙ＝ｋｘ （ｋ＜０） ６．反比例函数图象上点的纵坐标大小比较 （１）在同一象限时，根据函数的增减性来比较，ｋ＞０，ｙ随 ｘ的增大而减小；ｋ ＜０，ｙ随ｘ的增大而增大； （２）在不同象限时，ｘ轴上方的图象上点的纵坐标 大，反之则小；最简单的比较方法就是画出草 图，标出各点，在图象中比较大小．如图，在 ｙ＝ ｋ ｘ（ｋ＞０）中，若ｘ１＜０＜ｘ２＜ｘ３，则ｙ１＜ｙ３＜ｙ２． ６４ 中考心法·广西数学 数 学 ７．ｋ的几何意义 过反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线段，垂线段与坐标轴围成的 矩形的面积为｜ｋ｜．如图，Ｓ矩形ＡＢＯＣ＝２，Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＡＣＯ＝１． ８．与ｋ的几何意义有关的面积计算（常考：两个反比例函数） 两 个 反 比 例 函 数 初始图形 衍生图形 初始图形 衍生图形 Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝｜ｋ１｜ ＋｜ｋ２｜ Ｓ△ＡＢＯ＝Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２（｜ｋ１｜＋｜ｋ２｜） Ｓ矩形ＡＢＥＤ＝｜ｋ１｜－ ｜ｋ２｜ Ｓ△ＢＯＣ＝ １ ２（｜ｋ１｜－｜ｋ２｜） ９．二次函数的图象与性质（图象抛物线） 解析式 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ ｙ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２） 大 致 图 象 ａ＞０ 开口 向上 ａ＜０ 开口 向下 ７４ 中考心法·广西数学 数 学 续表 对称轴 直线ｘ＝－ｂ２ａ 直线ｘ＝ｈ 直线ｘ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ 顶点坐标 （－ｂ２ａ， ４ａｃ－ｂ２ ４ａ ） （ｈ，ｋ） ——— 最 值 ａ＞０ 当ｘ＝－ｂ２ａ时， ｙ有最小值， ｙ最小 ＝ ４ａｃ－ｂ２ ４ａ 当ｘ＝ｈ时， ｙ有最小值， ｙ最小 ＝ｋ 当ｘ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ 时， ｙ有最小值 ａ＜０ 当ｘ＝－ｂ２ａ时， ｙ有最大值， ｙ最大 ＝ ４ａｃ－ｂ２ ４ａ 当ｘ＝ｈ时， ｙ有最大值， ｙ最大 ＝ｋ 当ｘ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ 时， ｙ有最大值 增 减 性 ａ＞０ 在对称轴左侧时，ｙ随ｘ增大而减小； 在对称轴右侧时，ｙ随ｘ增大而增大 ａ＜０ 在对称轴左侧时，ｙ随ｘ增大而增大； 在对称轴右侧时，ｙ随ｘ增大而减小 １０．二次函数解析式的确定 （１）基本方法：待定系数法； （２）求二次函数解析式时，先观察题设中给出的条件，根据已知条件设出 合适的二次函数解析式． 已知条件 任意三点坐标 与ｘ轴的两个交点＋任意一点坐标 顶点＋任意一点 对称轴＋最值＋任意一点 常设解析式 一般式：ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０） 交点式：ｙ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）（ａ≠０） 顶点式：ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０） ８４ 中考心法·广西数学 数 学 隐含条件： （１）图形过原点→ｃ＝０，设ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ（ａ≠０）； （２）对称轴为ｙ轴→ｂ＝０，设ｙ＝ａｘ２＋ｃ（ａ≠０）； （３）顶点在ｘ轴上→顶点纵坐标为０，即顶点为（ｈ，０），设 ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２（ａ ≠０）． １１．二次函数图象的平移 平移前的解析式 平移方式 平移后的解析式 规律总结 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ （ａ≠０） 向左 平 移 ｍ 个单位长度 ｙ＝ａ（ｘ＋ｍ）２＋ ｂ（ｘ＋ｍ）＋ｃ 向右 平 移 ｍ 个单位长度 ｙ＝ａ（ｘ－ｍ）２＋ ｂ（ｘ－ｍ）＋ｃ 向上平移ｎ个 单位长度 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋ｎ 向下平移ｎ个 单位长度 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ－ｎ ｘ左加右减 等号右边整 体上加下减 １２．分析判断函数图象题的要点 （１）确定横轴和纵轴表示的量：看横轴和纵轴表示的函数意义； （２）找特殊点，起点、终点、转折点、交点，理解此刻的状态或变化； （３）分析每一段运动过程的变化规律与图象上升、下降的变化趋势，排除 部分选项； （４）注意是否需要分类、分段讨论．注意分类讨论时自变量的取值范围． １３．特殊三角形的性质 三角形 性质 面积 等腰三角形 （１）两腰相等，两底角相等； （２）顶角的平分线、底边上的中线，底 边上的高重合（三线合一）； （３）两腰上的中线、高线、角平分线分 别对应相等； （４）为轴对称图形，对称轴为顶角的平 分线所在的直线 Ｓ＝１２ａｈ （ａ为底边长，ｈ为 底边上的高） ９４ 中考心法·广西数学 数 学 续表 等边三角形 （１）三条边均相等，三个内角均为６０°； （２）每条边上的中线、高线、角平分线 均重合（三线合一）； （３）三条高线、三条中线、三条角平分 线均相等； （４）为轴对称图形，有３条对称轴 Ｓ＝１２ａｈ＝ 槡３ ４ａ ２ （ａ为边长，ｈ为边 上的高） 直角三角形 （１）直角三角形两锐角之和等于９０°； （２）斜边上的中线等于斜边的一半； （３）勾股定理：如果直角三角形两直角 边长分别为 ａ，ｂ，斜边长为 ｃ，那么 ｃ２＝ａ２＋ｂ２ Ｓ＝１２ａｂ＝ １ ２ｃｈ （ａ，ｂ为两直角边 长，ｃ为斜边长，ｈ 为斜边上的高） １４．特殊角的三角函数值 　　　　α 　 　三角函数　　　　　 ３０° ４５° ６０° ｓｉｎα １２ 槡２ ２ 槡３ ２ ｃｏｓα 槡３ ２　 槡２ ２ １ ２ ｔａｎα 槡３ ３ １ 槡３ １５．特殊四边形的性质及关系 （１）特殊四边形的性质 特殊四 边形 边 角 对角线 对称性 平行四 边形 对边平行 且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图形 ０５ 中考心法·广西数学 数 学 续表 矩形 对边平行 且相等 四个角都 是直角 对角线互相平分且 相等 轴对称图形； 中心对称图形 菱形 对边平行、四 条边都相等 对角相等 对角线互相垂直平 分，且每一条对角线 平分一组对角 轴对称图形； 中心对称图形 正方形 对边平行、四 条边都相等 四个角都 是直角 对角线互相垂直平分 且相等，每一条对角 线平分一组对角 轴对称图形； 中心对称图形 注：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质． （２）特殊四边形之间的关系 １６．切线的判定 （１）定义法：直线和圆有唯一的公共点时，这条直线为圆的切线； （２）判定定理法 具体内容：过半径外端且垂直于半径 的直线是圆的切线； 运用情况：直线与圆的公共点明确； 步骤：点Ａ在⊙Ｏ上，连接ＯＡ，证明 ＯＡ⊥ＣＤ； 简称：公共点明确，连半径，证垂直          ． １５ 中考心法·广西数学 数 学 （３）距离法 具体内容：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则此直线 是圆的切线； 运用情况：直线与圆的公共点不明确； 步骤：过点Ｏ作ＯＡ⊥ＣＤ于点Ａ，证明ＯＡ＝ｒ； 简称：公共点不明确，作垂直，证与半径相等        ． １７．扇形弧长与面积的计算 公式 圆的周长 Ｃ＝２πｒ 扇形的弧长 ｌ＝ｎπｒ１８０ 圆的面积 Ｓ＝πｒ２ 扇形的面积 Ｓ＝ｎπｒ ２ ３６０＝ １ ２ｌｒ ｒ为⊙Ｏ的半径， ｎ°为 ) ＡＢ所对的圆心角的 度数， ｌ是扇形ＡＯＢ的弧长 １８．五种基本尺规作图 （１）作一条线段等于已知线段 作法 图示 ①作射线ＯＰ； ②以点Ｏ为圆心，线段ａ的长为半径作弧，交射线 ＯＰ于点Ａ，ＯＡ即为所求线段 （２）作一个角等于已知角 作法 图示 ①在∠α上以点Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，分别 交∠α的两边于点Ｐ，Ｑ； ②作射线Ｏ′Ａ； ③以点Ｏ′为圆心，ＯＰ长为半径作弧，交Ｏ′Ａ于点Ｍ； ④以点Ｍ为圆心，ＰＱ长为半径作弧，交前弧于点Ｎ； ⑤过点Ｎ作射线Ｏ′Ｂ，∠ＢＯ′Ａ即为所求的角 ２５ 中考心法·广西数学 数 学 （３）作角的平分线 作法 图示 ①以点Ｏ为圆心，任意长为半径作弧，分别交ＯＡ，ＯＢ 于点Ｎ，Ｍ； ②再分别以点Ｍ，Ｎ为圆心，大于１２ＭＮ的长为半径作 弧，两弧相交于点Ｐ； ③作射线ＯＰ，ＯＰ即为所求角的平分线 （４）作线段的垂直平分线 作法 图示 ①分别以点 Ａ，Ｂ为圆心，大于 １２ＡＢ的长为半径在 ＡＢ两侧作弧； ②连接两弧交点，所成直线即为所求垂直平分线 （５）过一点作已知直线的垂线 类型１：点在直线上（图中点Ｐ） 作法 图示 ①以点Ｐ为圆心，任意长为半径向点Ｐ两侧作弧，交 直线于Ａ，Ｂ两点； ②再分别以点Ａ，Ｂ为圆心，大于１２ＡＢ的长为半径在 直线同侧作弧，两弧交于点Ｍ； ③作直线ＭＰ，直线ＭＰ即为所求垂线 类型２：点在直线外（图中点Ｐ） 作法 图示 ①任取一点Ｍ，使点Ｍ与点Ｐ在已知直线的两侧； ②以点Ｐ为圆心，ＰＭ长为半径作弧，交直线于 Ａ，Ｂ 两点； ③分别以点Ａ，Ｂ为圆心，大于１２ＡＢ的长为半径在直 线同侧作弧，两弧交于点Ｎ； ④作直线ＰＮ，直线ＰＮ即为所求垂线 ３５