加练7 菱形&加练8 正方形-【一战成名新中考·乾坤卷】2024广西中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练答案及解析·广西数学 数 学 ５．任务一：证明：如题图②， ∵ＢＤ是斜边ＡＣ上的中线， ∴ＡＤ＝ＣＤ， 又∵ＤＥ＝ＢＤ， ∴四边形ＡＢＣＥ是平行四边形， 又∵∠ＡＢＣ＝９０°， ∴平行四边形ＡＢＣＥ是矩形， ∴ＢＥ＝ＡＣ， ∵ＤＥ＝ＢＤ＝１２ＢＥ， ∴ＢＤ＝１２ＡＣ； 任务二：Ａ； 任务三：解：∵ＡＢ＝１２，ＡＣ＝ＣＤ＝６， ∴ＢＣ＝６，∵Ｅ为ＣＤ的中点，∴ＣＥ＝１２ＣＤ＝３， 如解图，过点Ｆ作ＦＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，过点Ｇ作ＧＩ⊥ＡＢ于点Ｉ， 过点Ｇ作ＧＪ⊥ＦＨ于点Ｊ，交ＣＤ于点Ｋ， 则四边形ＨＩＧＪ为矩形，∴ＧＩ＝ＨＪ，ＧＪ＝ＨＩ， ∵ＣＤ⊥ＡＢ，ＦＨ⊥ＡＢ，∴ＦＨ∥ＣＤ， 又∵Ｆ是ＡＤ的中点，∴ＦＨ＝１２ＣＤ＝３，ＡＨ＝ＣＨ＝ １ ２ＡＣ＝３， 同理，ＧＩ＝１２ＣＥ＝ ３ ２，ＢＩ＝ＣＩ＝ １ ２ＢＣ＝３， ∴ＦＪ＝ＦＨ－ＨＪ＝ＦＨ－ＧＩ＝３２，ＧＪ＝ＨＩ＝ＣＨ＋ＣＩ＝６， ∴在Ｒｔ△ＦＧＪ中，ＦＧ＝ ＦＪ２＋ＧＪ槡 ２＝ 槡３ １７２ ． 第５题解图 ６．解：（１）３；【解法提示】∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴∠Ａ＝９０°， ＡＢ＝ＣＤ＝５，ＢＣ＝ＡＤ＝４，由折叠的性质得 Ｃ′Ｄ＝ＣＤ＝５，∴ ＡＣ′＝ 　 Ｃ′Ｄ２－ＡＤ槡 ２＝ 　 ５２－４槡 ２＝３． （２）由（１）得ＡＣ′＝３，∴ＢＣ′＝ＡＢ－ＡＣ′＝２， 由折叠的性质得Ｃ′Ｅ＝ＣＥ， 设ＢＥ＝ｘ，则Ｃ′Ｅ＝ＣＥ＝４－ｘ， 在Ｒｔ△ＢＥＣ′中，ＢＥ２＋ＢＣ′２＝Ｃ′Ｅ２， ∴ｘ２＋２２＝（４－ｘ）２，解得ｘ＝３２， 即ＢＥ＝３２，∴ＣＥ＝４－ ３ ２＝ ５ ２， 连接ＥＥ′，如解图①， 第６题解图① 由平移的性质得Ｅ′Ｅ＝ＢＣ′＝２，ＥＥ′∥ＡＢ∥ＣＤ，Ｄ′Ｅ′∥ＤＥ， ∴△ＦＥＥ′∽△ＦＣＤ′∽△ＥＣＤ， ∴ＥＦＥＥ′＝ ＣＥ ＣＤ＝ ５ ２ ５＝ １ ２， ∴ＥＦ＝１２ＥＥ′＝１； （３）　槡８５或 　 槡５．【解法提示】如解图②，当Ａ，Ｅ，Ｃ′三点共线且 点Ｅ在 ＡＣ′上时，过点 Ｄ作 ＤＭ⊥ＢＣ交 ＣＢ的延长线于点 Ｍ，则四边形ＤＭＢＣ′为矩形，∴ＢＭ＝Ｃ′Ｄ＝５，ＤＭ＝ＢＣ′＝２， ∴ＣＭ＝９，∴ＣＤ＝ ＤＭ２＋ＣＭ槡 ２ 槡＝ ８５；如解图③，当Ａ，Ｃ′， Ｅ三点共线且点Ｅ在ＡＣ′的延长线上时，过点 Ｄ作 ＤＮ⊥ＢＣ 交ＢＣ的延长线于点Ｎ，则ＤＮ＝ＢＣ′＝２，ＢＮ＝Ｃ′Ｄ＝５，∴ＣＮ ＝１，∴ＣＤ＝ 　 ＤＮ２＋ＣＮ槡 ２＝　槡５．综上所述，ＣＤ的长为 　 槡８５ 或 　 槡５． 图② 　　 图③ 第６题解图 加练七　菱形 １．５　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，ＡＣ＝６，∴ＡＣ⊥ＢＤ，ＤＯ＝ ＢＯ，ＡＯ＝ＯＣ＝１２ＡＣ＝３，∵Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ＝ １ ２×６ＢＤ ＝２４，∴ＢＤ＝８，∴ＢＯ＝１２ＢＤ＝４，在 Ｒｔ△ＡＯＢ中，由勾股定 理得ＡＢ＝ 　 ＡＯ２＋ＢＯ槡 ２＝ 　 ３２＋４槡 ２＝５． ２．１０ｃｍ　【解析】如解图，连接 ＢＥ，∵ＢＤ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＢＥＤ＝９０°，在 Ｒｔ△ＡＢＥ中，ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝４５＝ ＢＥ ＡＢ，设 ＢＥ ＝４ｘ，ＡＢ＝５ｘ，则 ＡＥ＝３ｘ，∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＢ＝ ＡＤ，∵ＤＥ＝１，∴５ｘ＝１＋３ｘ，解得 ｘ＝１２，∴菱形 ＡＢＣＤ的周 长为４ＡＢ＝４×５×１２＝１０（ｃｍ）． 第２题解图 ３．７５°　【解析】如解图，连接 ＢＤ，记 ＡＢ与 ＤＣ′的交点为 Ｐ， ∵四边形 ＡＢＣＤ为菱形，∴ＡＢ＝ＡＤ，∵∠Ａ＝６０°，∴△ＡＢＤ 为等边三角形，∠ＡＤＣ＝１２０°，∠Ｃ＝６０°，∴∠ＢＤＣ＝６０°， ∵ＤＣ′是ＡＢ的垂直平分线，∴Ｐ为 ＡＢ的中点，ＤＰ为∠ＡＤＢ 的平分线，则∠ＡＤＰ＝∠ＢＤＰ＝３０°，∴∠ＰＤＣ＝９０°，由折叠 的性质得到∠ＣＤＥ＝∠ＰＤＥ＝４５°，在△ＤＥＣ中，∠ＤＥＣ                                                                       ＝ １２ 乾卷加练答案及解析·广西数学 数 学 １８０°－（∠ＣＤＥ＋∠Ｃ）＝７５°． 第３题解图 ４．２ 　 槡５ ３　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，ＡＣ＝８，ＢＤ＝４，∴ ∠ＡＯＤ＝９０°，ＯＢ＝ＯＤ＝１２ＢＤ＝２，ＯＣ＝ＯＡ＝ １ ２ＡＣ＝４．在 Ｒｔ△ＡＯＤ中，由勾股定理得ＡＤ＝ 　 ＯＡ２＋ＯＤ槡 ２＝２　槡５．∵点Ｇ 为 ＣＦ的中点，∴ＯＧ是△ＣＡＦ的中位线，∴ＯＧ＝１２ＡＦ，ＯＧ ∥ＡＦ，∴∠ＤＦＥ＝∠ＯＧＥ，∠ＦＤＥ＝∠ＧＯＥ．∵点 Ｅ为 ＯＤ的 中 点， ∴ ＤＥ ＝ ＯＥ． 在 △ＤＥＦ 和 △ＯＥＧ 中， ∠ＤＦＥ＝∠ＯＧＥ， ∠ＦＤＥ＝∠ＧＯＥ， ＤＥ＝ＯＥ { ， ∴△ＤＥＦ≌△ＯＥＧ（ＡＡＳ），∴ＯＧ＝ＤＦ．∵ ＤＦ＋ＡＦ＝ＡＤ＝２　槡５，∴ＯＧ＋ＡＦ＝ＯＧ＋２ＯＧ＝２ 　 槡５，∴ＯＧ ＝２ 　 槡５ ３． ５．解：（１）菱形； （２）成立；理由：如解图①，连接ＡＤ，ＢＣ， ∵∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＤ， ∴∠ＡＰＣ＋∠ＣＰＤ＝∠ＢＰＤ＋∠ＣＰＤ， ∴∠ＡＰＤ＝∠ＣＰＢ， 又∵ＰＡ＝ＰＣ，ＰＤ＝ＰＢ， ∴△ＡＰＤ≌△ＣＰＢ（ＳＡＳ），∴ＡＤ＝ＣＢ， ∵Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＡＣ，ＡＢ，ＢＤ，ＣＤ的中点， ∴ＥＦ，ＦＧ，ＧＨ，ＥＨ分别是△ＡＢＣ，△ＡＢＤ，△ＢＣＤ，△ＡＣＤ的 中位线， ∴ＥＦ＝１２ＢＣ、ＦＧ＝ １ ２ＡＤ，ＧＨ＝ １ ２ＢＣ，ＥＨ＝ １ ２ＡＤ， ∴ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ＝ＥＨ， ∴四边形ＥＦＧＨ是菱形； 图① 　　 图② 第５题解图 （３）２０．【解法提示】由题知 Ｅ，Ｆ分别为 ＡＣ，ＡＢ的中点， 又∵ＡＢ＝８，ＡＣ＝６，∴ＡＥ＝３，ＡＦ＝４，由题知∠ＢＡＣ＝９０°， ∴在Ｒｔ△ＡＥＦ中，ＥＦ２＝ＡＥ２＋ＡＦ２，由勾股定理可解得 ＥＦ＝ ５．由（２）可得四边形ＥＦＧＨ是菱形，∴四边形 ＥＦＧＨ的周长 为４×５＝２０． 加练八　正方形 １．５ 　 槡２ ２　【解析】设ＡＭ＝ｘ，连接 ＡＣ交 ＢＤ于点 Ｏ，交 ＭＮ于点 Ｆ，过点Ｎ作 ＮＫ⊥ＢＤ于点 Ｋ，过点 Ｅ作 ＥＧ⊥ＭＮ于点 Ｇ， ∵四边形ＡＢＣＤ是边长为４的正方形，∴ＡＢ＝ＡＤ＝４，∠ＢＡＤ＝ ９０°，∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ＝４５°，ＡＣ⊥ＢＤ，∴ＢＤ＝４ 　 槡２，∵ＡＭ＝ＡＮ＝ ｘ，∴ＤＮ＝４－ｘ，ＭＮ＝　槡２ｘ，∠ＡＭＮ＝∠ＡＢＤ＝４５°，∴ＭＮ∥ ＢＤ，∴ＥＧ＝ＯＦ＝ＮＫ＝ 　 槡２ ２ＤＮ＝ 　 槡２ ２（４－ｘ）＝ＤＫ，∵ＢＥ＝ １ ４ＢＤ，∴ＢＥ＝ 　 槡２，∴ＤＥ＝３ 　 槡２，∴ＧＮ＝ＥＫ＝ＤＥ－ＤＫ＝３ 　 槡２ － 　 槡２ ２（４－ｘ）＝ 　 槡２ ２ｘ＋ 　 槡２，∴ＭＧ＝ＭＮ－ＧＮ＝ 　 槡２ｘ－（ 　 槡２ ２ｘ＋ 　 槡２）＝ 　 槡２ ２ｘ－ 　 槡２，∵ＥＮ⊥ＭＥ，ＥＧ⊥ＭＮ，∴△ＥＭＧ∽△ＮＥＧ， ∴ＭＧＥＧ＝ ＥＧ ＧＮ，∴ＥＧ ２＝ＭＧ·ＧＮ，即［ 　 槡２ ２（４－ｘ）］ ２＝（ 　 槡２ ２ｘ－ 　 槡２）（ 　 槡２ ２ｘ＋ 　 槡２），解得ｘ＝ ５ ２，∴ＭＮ＝ 　 槡２ｘ＝ ５　槡２ ２． 第１题解图 　　 第２题解图 ２．５　【解析】如解图，连接ＡＣ，ＡＱ，∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形， ＰＣ绕点Ｐ逆时针旋转９０°得到线段 ＰＱ，∴∠ＡＣＢ＝∠ＰＣＱ ＝４５°，∴∠ＢＣＰ＝∠ＡＣＱ，ｃｏｓ∠ＡＣＢ＝ＢＣＡＣ＝ 　 槡２ ２，ｃｏｓ∠ＰＣＱ＝ ＰＣ ＱＣ＝ 　 槡２ ２，∴ ＢＣ ＡＣ＝ ＰＣ ＱＣ，∴△ＢＣＰ∽△ＡＣＱ，∴ ＢＰ ＡＱ＝ 　 槡２ ２，∵ＢＰ＝ 　 槡２，∴ＡＱ＝２，∴Ｑ在以 Ａ为圆心，ＡＱ为半径的圆上，在 ＡＤ 上截取 ＡＥ＝１，连接 ＥＱ，ＣＥ，∵ＡＥＡＱ＝ ＡＱ ＡＤ＝ １ ２，∠ＱＡＥ＝ ∠ＤＡＱ，∴△ＱＡＥ∽△ＤＡＱ，∴ＥＱＱＤ＝ １ ２，即 ＥＱ＝ １ ２ＱＤ， ∴ １２ＤＱ＋ＣＱ＝ＥＱ＋ＣＱ≥ＣＥ，∵ＣＥ＝ 　 ＤＥ２＋ＣＤ槡 ２＝５，∴ １ ２ＤＱ＋ＣＱ的最小值为５． ３．槡２５ 解 题 关 键 点 过点Ｆ作ＦＫ⊥ＢＣ于点Ｋ，延长ＢＣ到点Ｍ，使ＣＭ＝ＢＣ，连 接ＡＭ交ＣＤ于点 Ｎ，连接 ＭＧ，ＧＡ，ＢＧ，由翻折可得△ＡＢＧ ≌△ＨＧＢ（ＳＡＳ），再证得△ＦＥＫ≌△ＢＧＣ，即可推出 ＢＨ＋ ＥＦ＝ＡＧ＋ＭＧ，利用三角形三边关系可得ＢＨ＋ＥＦ≥ＡＭ，由 于当点Ｇ与点Ｎ重合时，ＡＧ＋ＭＧ＝ＡＭ，此时 ＡＧ＋ＭＧ的 值最小，故ＢＨ＋ＥＦ的值也最小，运用勾股定理即可求得 答案                                                                       ． ２２ 乾卷加练答案及解析·广西数学 数 学 【解析】如解图，过点Ｆ作ＦＫ⊥ＢＣ于点Ｋ，延长ＢＣ到点Ｍ， 使ＣＭ＝ＢＣ，连接 ＡＭ交 ＣＤ于点 Ｎ，连接 ＭＧ，ＧＡ，ＢＧ．∵四 边形ＡＢＣＤ是正方形，∴∠ＢＡＤ＝∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ＝９０°，ＡＢ ＝ＢＣ，∴ＣＤ⊥ＢＭ，∴ＣＤ垂直平分 ＢＭ，∴ＭＧ＝ＢＧ，由翻折 得ＡＢ＝ＨＧ，∠ＡＢＧ＝∠ＨＧＢ，∵ＢＧ＝ＧＢ，∴△ＡＢＧ≌△ＨＧＢ， ∴ＧＡ＝ＢＨ，由翻折知 ＥＦ⊥ＢＧ，又∵ＦＫ⊥ＢＣ，∴∠ＦＫＥ＝ ∠ＢＣＧ＝９０°，∴∠ＥＦＫ＋∠ＦＥＫ＝∠ＧＢＣ＋∠ＦＥＫ＝９０°，∴ ∠ＥＦＫ＝∠ＧＢＣ，∵∠ＢＡＤ＝∠ＡＢＣ＝∠ＢＫＦ＝９０°，∴四边形 ＡＢＫＦ是矩形，∴ＡＢ＝ＦＫ，∴ＦＫ＝ＢＣ，∴△ＦＥＫ≌△ＢＧＣ，∴ ＥＦ＝ＢＧ，∴ＥＦ＝ＭＧ，∴ＢＨ＋ＥＦ＝ＡＧ＋ＭＧ，∵ＡＧ＋ＭＧ≥ ＡＭ，∴ＢＨ＋ＥＦ≥ＡＭ，∴当点 Ｇ与点 Ｎ重合时，ＡＧ＋ＭＧ＝ ＡＭ，此时 ＡＧ＋ＭＧ的值最小，∴ＢＨ＋ＥＦ的值也最小，在 Ｒｔ△ＡＢＭ中，∵∠ＡＢＭ＝９０°，ＡＢ＝２，ＢＭ＝２ＢＣ＝４，∴ＡＭ＝ 　 ＡＢ２＋ＢＭ槡 ２＝ 　 ２２＋４槡 ２＝２　槡５，∴ＢＨ＋ＥＦ的最小值是２ 　 槡５． 第３题解图 ４．（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＣＢ＝ＣＤ，∠ＢＣＦ＝∠ＤＣＦ＝４５°， 在△ＣＢＦ和△ＣＤＦ中， ＣＢ＝ＣＤ， ∠ＢＣＦ＝∠ＤＣＦ， ＣＦ＝ＣＦ { ， ∴△ＣＢＦ≌△ＣＤＦ（ＳＡＳ）； （２）①证明：∵ＦＧ⊥ＤＥ， ∴∠ＥＦＧ＝９０°， ∴∠Ｇ＋∠ＦＥＧ＝９０°， ∵∠ＣＤＥ＋∠ＣＥＤ＝９０°， ∴∠ＣＤＥ＝∠Ｇ， 由（１）知△ＣＢＦ≌△ＣＤＦ， ∴∠ＣＢＦ＝∠ＣＤＦ， ∴∠ＣＢＦ＝∠Ｇ， ∴ＦＢ＝ＦＧ； ②解：∵∠ＦＤＮ＋∠ＦＮＤ＝９０°，∠ＯＦＮ＋∠ＦＮＤ＝９０°， ∴∠ＦＤＮ＝∠ＯＦＮ， ∴ｔａｎ∠ＯＦＮ＝ｔａｎ∠ＢＤＥ＝１２， ∴ＯＦ＝２ＯＮ＝４，ＯＣ＝ＯＤ＝２ＯＦ＝８， ∴ＣＦ＝ＯＣ－ＯＦ＝４， 如解图，作ＦＨ⊥ＢＧ于Ｈ，则ＣＨ＝２ 　 槡２， 第４题解图 ∵ＯＣ＝８， ∴ＢＣ＝　槡２ＯＣ＝８ 　 槡２， ∴ＢＨ＝ＢＣ－ＣＨ＝６　槡２， 由①知ＢＦ＝ＦＧ，且ＦＨ⊥ＢＣ， ∴ＧＨ＝ＢＨ＝６　槡２， ∴ＣＧ＝ＧＨ－ＣＨ＝６　槡２－２ 　 槡２＝４ 　 槡２． ５．解：（１）ＦＧ＝ＦＤ；等腰直角；【解法提示】如解图，连接 ＡＦ．∵ 四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴∠Ｂ＝∠Ｄ＝∠ＥＣＦ＝９０°，ＡＢ＝ ＡＤ，由翻折可知ＡＧ＝ＡＢ，∠ＡＧＥ＝∠Ｂ＝９０°，∴∠ＡＧＦ＝∠Ｄ ＝９０°，ＡＤ＝ＡＧ，∵ＡＦ＝ＡＦ，∴Ｒｔ△ＡＦＤ≌Ｒｔ△ＡＦＧ，∴ＦＧ＝ ＦＤ．∵∠ＣＧＥ＝９０°，∠ＧＣＥ＝４５°，∴∠ＣＥＦ＝４５°，∵∠ＥＣＦ ＝９０°，∴∠ＣＥＦ＝∠ＣＦＥ＝４５°，∴ＣＥ＝ＣＦ，∴△ＥＣＦ是等腰 直角三角形． 第５题解图 （２）ＦＧ＝ＦＤ，理由如下： ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＤ＝ＡＢ， 由翻折可知∠ＡＧＥ＝∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＧ＝ＡＢ＝ＡＤ， ∴∠ＡＧＦ＝∠Ｄ＝９０°， ∵ＡＦ＝ＡＦ， ∴Ｒｔ△ＡＧＦ≌Ｒｔ△ＡＤＦ（ＨＬ）， ∴ＦＧ＝ＦＤ； （３）１５４．【解法提示】由（２）可知ＦＧ＝ＦＤ，设ＦＧ＝ｘ，则ＦＣ＝ ５－ｘ，ＦＥ＝３＋ｘ．在 Ｒｔ△ＥＣＦ中，ＦＥ２＝ＦＣ２＋ＥＣ２，∴（３＋ ｘ）２＝（５－ｘ）２＋２２，解得ｘ＝５４，∴ＦＤ的长为 ５ ４，∴ＣＦ＝ＣＤ －ＦＤ＝５－５４＝ １５ ４． 加练九　圆 １．５　【解析】如解图，连接 ＯＣ交 ＡＢ于点 Ｄ．设 ＯＡ＝ＯＣ＝ｒ 米，由题意知ＯＣ⊥ＡＢ，∴ＡＤ＝ＢＤ＝１２ＡＢ＝４米，∵ＣＤ＝２， ∴ＯＤ＝ｒ－２，在Ｒｔ△ＡＤＯ中，ｒ２＝４２＋（ｒ－２）２，∴ｒ＝５． 第１题解图 ２．Ｄ　【解析】由题意得 ＯＣ⊥ＡＢ，∴ＡＣ＝ＢＣ＝１２ＡＢ，∠ＯＣＡ＝ ９０°，∵ＯＡ＝ＯＤ＝６ｃｍ，ＣＤ＝３ｃｍ，∴ＯＣ＝ＯＤ－ＣＤ＝６－３＝ ３（ｃｍ），在Ｒｔ△ＯＡＣ中，由勾股定理得 ＡＣ＝ 　 ＯＡ２－ＯＣ槡 ２＝ 　 ６２－３槡 ２＝３　槡３（ｃｍ），∴ＡＢ＝２ＡＣ＝６ 　 槡３（ｃｍ），∴截面圆中 弦ＡＢ的长为６　槡３ｃｍ                                                                       ． ３２ 乾卷加练·广西数学 数 学 加练七　菱形 （每年０－１道，３分或８分） ◆性质、动点、折叠问题，预估题位：１６－１８ １．如图，菱形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于 点Ｏ，若 ＡＣ＝６，Ｓ菱形 ＡＢＣＤ＝２４，则 ＡＢ的 长为 　　　　． 第１题图 　 第２题图 ２．如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝４５，对角 线ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，以点 Ｏ为圆心，ＯＢ 长为半径作⊙Ｏ，交 ＡＤ于点 Ｅ，已知 ＤＥ＝ １ｃｍ，则菱形ＡＢＣＤ的周长为　　　　． ３．（２０２３贵港四模）如图，在菱形纸片 ＡＢＣＤ 中，∠Ａ＝６０°，点 Ｅ在 ＢＣ边上，将菱形纸片 ＡＢＣＤ沿 ＤＥ折叠，点 Ｃ的对应点为 Ｃ′，且 ＤＣ′是 ＡＢ的垂直平分线，则∠ＤＥＣ的大小 为　　　　． 第３题图 　　 第４题图 ４．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＣ＝８，ＢＤ＝４，ＡＣ交 ＢＤ于点Ｏ，Ｅ为ＯＤ上一动点（不与点 Ｏ，Ｄ 重合），连接 ＣＥ并延长，交 ＡＤ于点 Ｆ，点 Ｇ 为ＣＦ的中点，连接 ＯＧ．若点 Ｅ为 ＯＤ的中 点，则ＯＧ＝　　　　． ◆菱形的判定及性质，预估题位：２３ ５．【阅读理解】小明根据以往习题总结出“依次 连接任意一个四边形各边中点所得四边形 （即原四边形的中点四边形）一定是平行四 边形”．如图①，点Ｐ是线段ＡＢ的中点，分别 以ＡＰ和 ＢＰ为边在线段 ＡＢ的同侧作等边 三角形ＡＰＣ和等边三角形ＢＰＤ，连接ＡＤ和 ＢＣ，他想到了四边形ＡＢＤＣ的中点四边形一 定是菱形． 于是，他又进一步探究：如图②，若Ｐ是线段 ＡＢ上任一点，在 ＡＢ的同侧作△ＡＰＣ和 △ＢＰＤ，使 ＰＣ＝ＰＡ，ＰＤ＝ＰＢ，∠ＡＰＣ＝ ∠ＢＰＤ，连接ＣＤ，设点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＡＣ， ＡＢ，ＢＤ，ＣＤ的中点，顺次连接 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ． 请你结合以上内容解决三个问题： （１）猜想四边形 ＡＢＤＣ的中点四边形 ＥＦＧＨ 的形状为　　　　； （２）当点Ｐ在线段 ＡＢ的上方时，如图③，在 △ＡＰＢ的外部作△ＡＰＣ和△ＢＰＤ，其它条件 不变，（１）中结论还成立吗？请说明理由； （３）在（２）的条件下，若∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝８， ＡＣ＝６，则四边形ＥＦＧＨ的周长为　　　　． 图① 　 图② 　 图③ 第５                                                                 题图 ９５ 乾卷加练·广西数学 数 学 加练八　正方形 （每年０－１道，３分或１０分） ◆动点、折叠问题，预估题位：１８ １．如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，点Ｅ是对角 线ＢＤ上的一点，且 ＢＥ＝１４ＢＤ，点 Ｍ是边 ＡＢ上的一个动点，连接ＭＥ，过点Ｅ作ＥＮ⊥ ＭＥ交ＡＤ于点Ｎ，连接 ＭＮ，当 ＡＭ＝ＡＮ时， 线段ＭＮ的长为　　　　． 第１题图 　　　 第２题图 ２．【全角度考法探究·旋转】如图，在边长为４ 的正方形ＡＢＣＤ内有一动点 Ｐ，且 ＢＰ＝　槡２． 连接ＣＰ，将线段ＰＣ绕点Ｐ逆时针旋转９０° 得到线段ＰＱ．连接ＣＱ，ＤＱ，则１２ＤＱ＋ＣＱ的 最小值为 　　　　． 第３题图 ３．如图，在边长为２的正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分别是边 ＢＣ，ＡＤ上的点，连接ＥＦ，将四 边形ＡＢＥＦ沿ＥＦ折叠，点Ｂ 的对应点Ｇ恰好落在ＣＤ边 上，点Ａ的对应点为Ｈ，连接ＢＨ，则ＢＨ＋ＥＦ的 最小值是　　　　． ◆几何探究，预估题位：２５或２６ ４．（２０２４南宁青秀区开学）如图①，正方形ＡＢ ＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，Ｅ是边ＢＣ 上一点，连接ＤＥ交ＡＣ于点Ｆ，连接ＢＦ． （１）求证：△ＣＢＦ≌△ＣＤＦ； （２）如图②，过点 Ｆ作 ＤＥ的垂线，交 ＢＣ的 延长线于点Ｇ，交ＯＢ于点Ｎ． ①求证：ＦＢ＝ＦＧ； ②若ｔａｎ∠ＢＤＥ＝１２，ＯＮ＝２，求ＣＧ的长． 第４题图 ５．【综合与实践】 活动课上，老师让同学们翻折正方形 ＡＢＣＤ 进行探究活动，同学们经过动手操作探究， 发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】如图①，过点Ａ引射线ＡＨ，交边 ＣＤ于点 Ｈ（点 Ｈ与点 Ｄ不重合）．通过翻 折，使点Ｂ落在射线 ＡＨ上的点 Ｇ处，折痕 ＡＥ交ＢＣ于Ｅ，延长ＥＧ交ＣＤ于Ｆ． 【问题探究】： （１）如图②，当点 Ｈ与点 Ｃ重合时，ＦＧ与 ＦＤ的大小关系是　　　　　　；△ＣＦＥ是 　　　　三角形； （２）如图③，当点 Ｈ为边 ＣＤ上任意一点时 （点Ｈ与点Ｃ不重合），连接ＡＦ，猜想ＦＧ与 ＦＤ的数量关系，并说明理由； （３）在（２）的条件下，当 ＡＢ＝５，ＢＥ＝３时， ＣＦ的长为　　　　． 图① 　　 图② 　　 图③ 第５                                                                 题图 ０６