加练5 平行四边形&加练6 矩形-【一战成名新中考·乾坤卷】2024广西中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练答案及解析·广西数学 数 学 最大值＝１２ＰＭ·ＰＮ＝ １ ２× １３ ２× １３ ２＝ １６９ ８；当 ＢＤ最小时 ＰＭ最小，△ＰＭＮ的面积最小，此时点 Ｄ在线段 ＢＣ上，如 解图③，∴ＢＤ＝ＢＣ－ＣＤ＝１０－３＝７，∴ＰＭ＝ＰＮ＝７２，∴ Ｓ△ＰＭＮ的最小值＝ １ ２ＰＭ·ＰＮ＝ １ ２× ７ ２× ７ ２＝ ４９ ８．综上所 述，△ＭＰＮ面积的最大值为１６９８，最小值为 ４９ ８． 加练五　平行四边形 １．Ｃ　【解析】如解图，延长ＥＭ交ＡＢ于点Ｆ，∵四边形ＡＢＣＤ是 平行四边形，∴ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＦＥ＝∠２，∵∠３＝∠４＝４５°，∠１ ＝３０°，∴∠ＡＦＥ＝∠１＋∠３＝３０°＋４５°＝７５°，∴∠２＝７５°． 第１题解图 ２．Ｃ　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ为平行四边形，∴ＣＤ＝ＡＢ＝８， ＡＤ＝ＢＣ＝６，ＣＤ∥ＡＢ，∴∠ＡＥＤ＝∠ＢＡＥ，∵∠ＤＡＢ的平分线 ＡＥ交 ＣＤ于点 Ｅ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＥ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＤ， ∴ＥＤ＝ＡＤ＝６，∴ＥＣ＝ＣＤ－ＥＤ＝８－６＝２． ３．Ｄ　【解析】设 ＢＣ＝ｘ，∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ，∵ＡＢＣＤ的周长为３０，∴ＢＣ＋ＣＤ＝ １５，∴ＣＤ＝１５－ｘ，∵ＡＥ⊥ＢＣ于点 Ｅ，ＡＦ⊥ＣＤ于点 Ｆ，∴ ＳＡＢＣＤ＝ＢＣ·ＡＥ＝ＣＤ·ＡＦ，∴５ｘ＝７．５（１５－ｘ），解得 ｘ＝９， ∴ＳＡＢＣＤ＝ＢＣ·ＡＥ＝９×５＝４５． ４．Ｂ　【解析】如解图，过点Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于点Ｍ，过点Ｃ作ＣＮ ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｎ，连接ＢＥ交 ＡＣ于点 Ｆ，由折叠 及平行四边形的性质可知 ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＥ，∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ＝ ∠ＥＣＡ，ＡＣ是ＢＥ的垂直平分线，∴ＣＦ⊥ＢＦ．∵∠ＤＡＢ＝６０°， ＡＤ＝２，∴ＡＭ＝１，ＤＭ＝　槡３，∴ＣＮ＝ＤＭ＝ 　 槡３，ＢＮ＝ＡＭ＝１， ∴ＡＮ＝ＡＢ＋ＢＮ＝４＋１＝５，∴在 Ｒｔ△ＡＣＮ中，ＡＣ＝ 　 ＡＮ２＋ＣＮ槡 ２＝　槡２５＋３＝２ 　 槡７，∵ＳＡＢＣＤ＝ＡＢ·ＤＭ＝ＡＣ· ＢＦ，∴４×　槡３＝２ 　 槡７ＢＦ，解得 ＢＦ＝ ２　槡２１ ７ ，∴在 Ｒｔ△ＣＢＦ中， ＣＦ＝ 　 ＢＣ２－ＢＦ槡 ２ ＝ 　 ２２－（２ 　 槡２１ ７ ）槡 ２ ＝４ 　 槡７ ７，易得四边形 ＡＤＥＣ为等腰梯形，∴在等腰梯形 ＡＤＥＣ中，ＤＥ＝ＡＣ－２ＣＦ ＝２　槡７－２× ４　槡７ ７ ＝ ６　槡７ ７． 第４题解图 ５．９２－８　槡１９　【解析】如解图，延长 ＤＡ到点 Ｍ，使 ＤＭ＝ＤＢ， 连接ＦＭ，ＣＭ，过点Ｃ作ＣＮ⊥ＡＤ于点Ｎ，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＢＣ 交ＢＣ的延长线于点 Ｈ，∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ∥ＣＤ，ＣＤ＝ＡＢ＝４，ＢＣ＝ＡＤ＝６，∴∠ＭＤＦ＝ ∠ＤＢＥ，又∵ＤＦ＝ＢＥ，∴△ＤＭＦ≌△ＢＤＥ，∴ＭＦ＝ＤＥ，∴ＤＥ ＋ＣＦ＝ＭＦ＋ＣＦ，∴当点 Ｍ，Ｆ，Ｃ三点共线时，（ＦＣ＋ＥＤ）２ 最小，最小值为ＣＭ２．∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＤＣＨ＝∠ＡＢＣ＝６０°，∴ ＣＨ＝１２ＣＤ＝２，ＤＨ＝ 　 槡３ＣＨ＝２ 　 槡３，∴ＢＨ＝ＢＣ＋ＣＨ＝６＋２＝ ８，∴ＢＤ＝ 　 ＢＨ２＋ＤＨ槡 ２＝２　槡１９，∴ＤＭ 槡＝２ １９，∵ＤＮ∥ＣＨ， ＣＮ⊥ＡＤ，ＤＨ⊥ＣＨ，∴四边形ＮＣＨＤ是矩形，∴ＤＮ＝ＣＨ＝２， ＣＮ＝ＤＨ＝２　槡３，∴ＭＮ＝ＤＭ－ＤＮ＝２ 　 槡１９－２，∴在Ｒｔ△ＣＭＮ 中，ＣＭ２＝ＭＮ２＋ＣＮ２＝９２－８　槡１９，∴（ＤＥ＋ＣＦ） ２的最小值 为９２－８　槡１９． 第５题解图 ６．解：设问１：如解图①所示，射线ＢＥ即为所求； 第６题解图① 设问２：如解图②所示，点Ｆ即为所求； 第６题解图② 设问３：如解图③所示，直线ＰＱ即为所求； 第６题解图③ 设问４：∵ＢＥ平分∠ＡＢＣ， ∴∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＣ， ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ＝４，ＡＤ＝ＢＣ， ∴∠ＡＥＢ＝∠ＥＢＣ， ∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ， ∴ＡＥ＝ＡＢ＝４， ∵ＡＢＣＤ的周长为２０， ∴ＡＢ＋ＡＤ＝１０， ∴ＡＤ＝６， ∴ＤＥ＝ＡＤ－ＡＥ＝６－４＝２                                                                       ． ９１ 乾卷加练答案及解析·广西数学 数 学 加练六　矩形 １．４ 　 槡１０ ３ 　【解析】如解图，连接ＡＣ交ＥＦ于点Ｏ，∵线段ＥＦ恰 好平分矩形ＡＢＣＤ的面积，∴点Ｏ是矩形的对称中心，∴ＢＥ ＝ＤＦ＝１，作ＤＩ∥ＥＦ交ＡＢ于点 Ｉ，ＡＪ∥ＧＨ交 ＢＣ于点 Ｊ，∵ 四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＤＦ∥ＩＥ，∴四边形 ＤＩＥＦ是平行四 边形，∴ＥＩ＝ＤＦ＝１，∴ＡＩ＝ＡＢ－ＢＥ－ＥＩ＝２，同理可得，ＡＪ＝ ＧＨ，∵ＥＦ⊥ＧＨ，∴ＤＩ⊥ＡＪ，易得∠ＡＩＤ＝∠ＡＪＢ，∴△ＡＤＩ∽ △ＢＡＪ，∴ＢＪＡＩ＝ ＢＡ ＡＤ，∴ ＢＪ ２＝ ４ ６，解得 ＢＪ＝ ４ ３，在Ｒｔ△ＡＢＪ中， 由勾股定理得，ＡＪ＝ 　 ＡＢ２＋ＢＪ槡 ２＝ 　 １６＋１６槡 ９＝ ４　槡１０ ３ ，∴ＧＨ ＝４ 　 槡１０ ３ ． 第１题解图 ２．Ｂ　【解析】∵将矩形ＡＢＣＤ沿ＤＥ折叠，点Ａ恰好落在ＢＣ上 的点Ｆ处，∴ＡＥ＝ＥＦ，∠ＥＦＤ＝∠Ａ＝９０°，∠ＡＤＥ＝∠ＦＤＥ， ∴∠ＥＦＢ＋∠ＤＦＣ＝９０°，∵∠Ｃ＝９０°，∴∠ＤＦＣ＋∠ＣＤＦ＝ ９０°，∴∠ＣＤＦ＝∠ＥＦＢ，又∵∠Ｂ＝∠Ｃ，∴△ＥＢＦ∽△ＦＣＤ， ∵ｔａｎ∠ＡＤＥ＝１２，∴ｔａｎ∠ＥＤＦ＝ ＥＦ ＤＦ＝ １ ２，∴ ＢＥ ＦＣ＝ ＢＦ ＤＣ＝ １ ２， 设ＢＥ＝ａ，ＢＦ＝ｘ，则 ＦＣ＝２ａ，ＤＣ＝２ｘ，易得 ＥＦ＋ＢＥ＝ＤＣ， ∴ 　 ａ２＋ｘ槡 ２＋ａ＝２ｘ，整理得 ａ＝３４ｘ，∴ ＤＣ ＢＣ＝ ２ｘ ２· ３４ｘ＋ｘ ＝ ４ ５，如解图，过点Ｇ作ＧＮ⊥ＢＣ于点 Ｎ，∴ＧＮ⊥ＡＤ，∵ＦＧ⊥ ＤＨ，∴易得△ＧＮＦ∽△ＤＡＨ，∴ＦＧＤＨ＝ ＧＮ ＡＤ＝ ＤＣ ＢＣ＝ ４ ５． 第２题解图 　 第３题解图 ３．Ｃ　【解析】过点Ｇ作 ＮＧ⊥ＡＢ，ＧＨ⊥ＥＤ′，垂足分别为 Ｎ，Ｈ， 由折叠得四边形ＡＤ′ＥＤ是正方形，ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＤ′＝ＡＤ′＝５， ＢＣ＝ＢＣ′＝５，∠Ｃ＝∠ＢＣ′Ｆ＝９０°，ＦＣ＝ＦＣ′，∴Ｄ′Ｂ＝ＥＣ＝８ －５＝３，∴在 Ｒｔ△Ｃ′ＢＤ′中，Ｃ′Ｄ′＝ （ＢＣ′）２－（ＢＤ′）槡 ２ ＝ ５２－３槡 ２＝４，∴Ｃ′Ｅ＝５－４＝１，在 Ｒｔ△ＥＦＣ′中，设 ＦＣ′＝ｘ， 则ＥＦ＝３－ｘ，由勾股定理得１２＋（３－ｘ）２＝ｘ２，解得ｘ＝５３， ∵∠ＢＣ′Ｄ′＋∠ＧＣ′Ｈ＝９０°，∠ＧＣ′Ｈ＋∠Ｃ′ＧＨ＝９０°， ∴∠ＢＣ′Ｄ′＝∠Ｃ′ＧＨ，又 ∵ ∠ＧＨＣ′＝∠ＢＤ′Ｃ′＝９０°， ∴△ＢＣ′Ｄ′∽△Ｃ′ＧＨ，∴Ｃ′Ｈ∶ＧＨ∶Ｃ′Ｇ＝ＢＤ′∶Ｃ′Ｄ′∶ＢＣ′＝ ３∶４∶５，设Ｃ′Ｈ＝３ｍ，则 ＧＨ＝４ｍ，Ｃ′Ｇ＝５ｍ，∴ＨＤ′＝ＮＧ＝ ＡＮ＝４－３ｍ，ＮＤ′＝５－（４－３ｍ）＝１＋３ｍ＝ＧＨ＝４ｍ，解得 ｍ ＝１，∴Ｃ′Ｇ＝５ｍ＝５，∴ＦＧ＝ＦＣ′＋Ｃ′Ｇ＝２０３． ４．解：设问１：如解图所示，直线ＥＦ为所求； 第４题解图 设问２：ＡＥ＝ＣＦ，证明如下： ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ，∠ＡＥＯ＝∠ＣＦＯ， ∵ＥＦ是ＡＣ的垂直平分线， ∴ＡＯ＝ＣＯ， 在△ＡＯＥ和△ＣＯＦ中， ∠ＡＥＯ＝∠ＣＦＯ， ∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ， ＡＯ＝ＣＯ { ， ∴△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ（ＡＡＳ）， ∴ＡＥ＝ＣＦ； 设问３：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＯＡ＝ＯＢ，∠ＡＢＣ＝９０°， 又∵∠ＢＯＣ＝１２０°， ∴∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝６０°． ∴∠ＡＣＢ＝３０°， ∵ＡＥ∥ＣＤ，ＢＤ∥ＣＥ， ∴四边形ＢＥＣＤ是平行四边形， ∵ＣＥ＝４， ∴ＡＣ＝ＢＤ＝ＣＥ＝４， ∴ＡＢ＝２； 设问４：由设问２知ＡＥ＝ＣＦ， ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，即ＡＥ∥ＣＦ， ∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形， ∵ＥＦ⊥ＡＣ， ∴四边形ＡＥＣＦ是菱形． 设ＡＥ＝ＣＥ＝ｘ，则ＤＥ＝８－ｘ， 在Ｒｔ△ＣＤＥ中，ｔａｎ∠ＤＥＣ＝ＤＣＤＥ＝ ＤＣ ８－ｘ＝ ４ ３， ∴ＤＣ＝４３（８－ｘ）． ∵ＣＥ２＝ＣＤ２＋ＤＥ２， ∴ｘ２＝［４３（８－ｘ）］ ２＋（８－ｘ）２， 解得ｘ＝５或ｘ＝２０（舍去）， ∴ＡＥ＝ＣＥ＝５， ∴四边形ＡＥＣＦ的周长为４×５＝２０                                                                       ． ０２ 乾卷加练答案及解析·广西数学 数 学 ５．任务一：证明：如题图②， ∵ＢＤ是斜边ＡＣ上的中线， ∴ＡＤ＝ＣＤ， 又∵ＤＥ＝ＢＤ， ∴四边形ＡＢＣＥ是平行四边形， 又∵∠ＡＢＣ＝９０°， ∴平行四边形ＡＢＣＥ是矩形， ∴ＢＥ＝ＡＣ， ∵ＤＥ＝ＢＤ＝１２ＢＥ， ∴ＢＤ＝１２ＡＣ； 任务二：Ａ； 任务三：解：∵ＡＢ＝１２，ＡＣ＝ＣＤ＝６， ∴ＢＣ＝６，∵Ｅ为ＣＤ的中点，∴ＣＥ＝１２ＣＤ＝３， 如解图，过点Ｆ作ＦＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，过点Ｇ作ＧＩ⊥ＡＢ于点Ｉ， 过点Ｇ作ＧＪ⊥ＦＨ于点Ｊ，交ＣＤ于点Ｋ， 则四边形ＨＩＧＪ为矩形，∴ＧＩ＝ＨＪ，ＧＪ＝ＨＩ， ∵ＣＤ⊥ＡＢ，ＦＨ⊥ＡＢ，∴ＦＨ∥ＣＤ， 又∵Ｆ是ＡＤ的中点，∴ＦＨ＝１２ＣＤ＝３，ＡＨ＝ＣＨ＝ １ ２ＡＣ＝３， 同理，ＧＩ＝１２ＣＥ＝ ３ ２，ＢＩ＝ＣＩ＝ １ ２ＢＣ＝３， ∴ＦＪ＝ＦＨ－ＨＪ＝ＦＨ－ＧＩ＝３２，ＧＪ＝ＨＩ＝ＣＨ＋ＣＩ＝６， ∴在Ｒｔ△ＦＧＪ中，ＦＧ＝ ＦＪ２＋ＧＪ槡 ２＝ 槡３ １７２ ． 第５题解图 ６．解：（１）３；【解法提示】∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴∠Ａ＝９０°， ＡＢ＝ＣＤ＝５，ＢＣ＝ＡＤ＝４，由折叠的性质得 Ｃ′Ｄ＝ＣＤ＝５，∴ ＡＣ′＝ 　 Ｃ′Ｄ２－ＡＤ槡 ２＝ 　 ５２－４槡 ２＝３． （２）由（１）得ＡＣ′＝３，∴ＢＣ′＝ＡＢ－ＡＣ′＝２， 由折叠的性质得Ｃ′Ｅ＝ＣＥ， 设ＢＥ＝ｘ，则Ｃ′Ｅ＝ＣＥ＝４－ｘ， 在Ｒｔ△ＢＥＣ′中，ＢＥ２＋ＢＣ′２＝Ｃ′Ｅ２， ∴ｘ２＋２２＝（４－ｘ）２，解得ｘ＝３２， 即ＢＥ＝３２，∴ＣＥ＝４－ ３ ２＝ ５ ２， 连接ＥＥ′，如解图①， 第６题解图① 由平移的性质得Ｅ′Ｅ＝ＢＣ′＝２，ＥＥ′∥ＡＢ∥ＣＤ，Ｄ′Ｅ′∥ＤＥ， ∴△ＦＥＥ′∽△ＦＣＤ′∽△ＥＣＤ， ∴ＥＦＥＥ′＝ ＣＥ ＣＤ＝ ５ ２ ５＝ １ ２， ∴ＥＦ＝１２ＥＥ′＝１； （３）　槡８５或 　 槡５．【解法提示】如解图②，当Ａ，Ｅ，Ｃ′三点共线且 点Ｅ在 ＡＣ′上时，过点 Ｄ作 ＤＭ⊥ＢＣ交 ＣＢ的延长线于点 Ｍ，则四边形ＤＭＢＣ′为矩形，∴ＢＭ＝Ｃ′Ｄ＝５，ＤＭ＝ＢＣ′＝２， ∴ＣＭ＝９，∴ＣＤ＝ ＤＭ２＋ＣＭ槡 ２ 槡＝ ８５；如解图③，当Ａ，Ｃ′， Ｅ三点共线且点Ｅ在ＡＣ′的延长线上时，过点 Ｄ作 ＤＮ⊥ＢＣ 交ＢＣ的延长线于点Ｎ，则ＤＮ＝ＢＣ′＝２，ＢＮ＝Ｃ′Ｄ＝５，∴ＣＮ ＝１，∴ＣＤ＝ 　 ＤＮ２＋ＣＮ槡 ２＝　槡５．综上所述，ＣＤ的长为 　 槡８５ 或 　 槡５． 图② 　　 图③ 第６题解图 加练七　菱形 １．５　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，ＡＣ＝６，∴ＡＣ⊥ＢＤ，ＤＯ＝ ＢＯ，ＡＯ＝ＯＣ＝１２ＡＣ＝３，∵Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ＝ １ ２×６ＢＤ ＝２４，∴ＢＤ＝８，∴ＢＯ＝１２ＢＤ＝４，在 Ｒｔ△ＡＯＢ中，由勾股定 理得ＡＢ＝ 　 ＡＯ２＋ＢＯ槡 ２＝ 　 ３２＋４槡 ２＝５． ２．１０ｃｍ　【解析】如解图，连接 ＢＥ，∵ＢＤ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＢＥＤ＝９０°，在 Ｒｔ△ＡＢＥ中，ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝４５＝ ＢＥ ＡＢ，设 ＢＥ ＝４ｘ，ＡＢ＝５ｘ，则 ＡＥ＝３ｘ，∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＢ＝ ＡＤ，∵ＤＥ＝１，∴５ｘ＝１＋３ｘ，解得 ｘ＝１２，∴菱形 ＡＢＣＤ的周 长为４ＡＢ＝４×５×１２＝１０（ｃｍ）． 第２题解图 ３．７５°　【解析】如解图，连接 ＢＤ，记 ＡＢ与 ＤＣ′的交点为 Ｐ， ∵四边形 ＡＢＣＤ为菱形，∴ＡＢ＝ＡＤ，∵∠Ａ＝６０°，∴△ＡＢＤ 为等边三角形，∠ＡＤＣ＝１２０°，∠Ｃ＝６０°，∴∠ＢＤＣ＝６０°， ∵ＤＣ′是ＡＢ的垂直平分线，∴Ｐ为 ＡＢ的中点，ＤＰ为∠ＡＤＢ 的平分线，则∠ＡＤＰ＝∠ＢＤＰ＝３０°，∴∠ＰＤＣ＝９０°，由折叠 的性质得到∠ＣＤＥ＝∠ＰＤＥ＝４５°，在△ＤＥＣ中，∠ＤＥＣ                                                                       ＝ １２ 乾卷加练·广西数学 数 学 加练五　平行四边形 （每年１道，８－１０分） ◆性质，预估题位：４－７ １．将一副三角尺在ＡＢＣＤ中按如图所示的方 式摆放，∠１＝３０°，则∠２的度数为 （　　） Ａ．５５°　　Ｂ．６５°　　Ｃ．７５°　　Ｄ．８５° 第１题图 　　 第２题图 ２．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＤＡＢ的平 分线ＡＥ交ＣＤ于点Ｅ，ＡＢ＝８，ＢＣ＝６，则ＥＣ 等于 （　　） Ａ．１ Ｂ．１．５ Ｃ．２ Ｄ．３ ３．如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＥ⊥ＢＣ于点 Ｅ，ＡＦ⊥ ＣＤ于点 Ｆ．若 ＡＥ＝５，ＡＦ＝７．５，且ＡＢＣＤ 的周长为３０，则ＡＢＣＤ的面积为 （　　） 第３题图 Ａ．２５ Ｂ．３５ Ｃ．４０ Ｄ．４５ ◆折叠、动点问题，预估题位：１２或１８ ４．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，∠ＤＡＢ＝６０°， ＡＢ＝４，ＡＤ＝２，把平行四边形沿直线 ＡＣ折 叠，点Ｂ落在点 Ｅ处，连接 ＤＥ，则 ＤＥ的长 度为 （　　） Ａ．９４ Ｂ． ６　槡７ ７ Ｃ． 　 槡５ Ｄ． ３　槡７ ４ 第４题图 　　 第５题图 ５．如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝６，∠ＡＢＣ＝ ６０°，Ｅ是边 ＢＣ上的一个动点，Ｆ是对角线 ＢＤ上的一个动点，且 ＢＥ＝ＤＦ，连接 ＤＥ， ＣＦ，则（ＤＥ＋ＣＦ）２的最小值为　　　　． ◆结合尺规作图，预估题位：２１ ６．如图，已知ＡＢＣＤ． 第６题图 设问１：作∠Ｂ的平分线交ＡＤ于点Ｅ；（尺规 作图，保留作图痕迹，不写作法） 设问２：点Ｍ是ＢＣ边的中点，仅用一把无刻 度的直尺画出ＡＤ边的中点Ｆ；（保留作图痕 迹，不写作法） 设问３：连接 ＡＣ，作 ＡＣ的垂直平分线 ＰＱ； （保留作图痕迹，不写作法） 设问４：在设问１的基础上，若ＡＢＣＤ的周 长为２０，ＣＤ＝４，求ＤＥ的长                                                                 ． ６５ 乾卷加练·广西数学 数 学 加练六　矩形 （每年０－２道，６－１３分） ◆折叠、动点问题，预估题位：１２或１８ １．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝６，点Ｅ， Ｆ分别在边ＡＢ，ＣＤ上，点Ｍ为线段ＥＦ上一 动点，过点Ｍ作ＥＦ的垂线分别交边ＡＤ，ＢＣ 于点Ｇ，Ｈ．若线段 ＥＦ恰好平分矩形 ＡＢＣＤ 的面积，且ＤＦ＝１，则ＧＨ的长为　　　　． 第１题图 ２．如图，点Ｅ是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ上一点，将 矩形ＡＢＣＤ沿ＤＥ折叠，点Ａ恰好落在ＢＣ上 的点Ｆ处，点 Ｇ，Ｈ分别在 ＡＤ，ＡＢ上，且 ＦＧ ⊥ＤＨ，若ｔａｎ∠ＡＤＥ＝１２，则 ＧＦ ＤＨ的值为 （　　） 第２题图 Ａ．２３　　 Ｂ． ４ ５　 　Ｃ． ３ ４　 　Ｄ． ３ ５ ３．如图，将矩形ＡＢＣＤ折叠，使点Ｄ落在ＡＢ上 点Ｄ′处，折痕为 ＡＥ；再次折叠，使点 Ｃ落在 ＥＤ′上点Ｃ′处，折痕为ＢＦ，延长ＦＣ′交ＡＥ于 点Ｇ．若ＡＢ＝８，ＡＤ＝５，则ＦＧ的长为 （　　） 第３题图 Ａ．５　槡２ Ｂ． 　 槡２９ Ｃ． ２０ ３ Ｄ．４ ◆结合尺规作图，预估题位：２１ ４．已知矩形ＡＢＣＤ． 设问１：如图①，连接 ＡＣ，利用尺规作线段 ＡＣ的垂直平分线，垂足为点 Ｏ，交边 ＡＤ于 点Ｅ，交边ＢＣ于点Ｆ；（要求：尺规作图并保 留作图痕迹，不写作法，标明字母） 第４题图① 设问２：在设问１的条件下，猜想线段 ＡＥ与 ＣＦ的数量关系，并证明； 设问３：如图②，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ 相交于点Ｏ，过点Ｃ作ＢＤ的平行线交ＡＢ的 延长线于点 Ｅ，若∠ＢＯＣ＝１２０°，ＣＥ＝４，求 ＡＢ的长； 第４题图② 设问４：在设问１的条件下，连接 ＡＦ，ＣＥ，若 ＡＤ＝８，ｔａｎ∠ＤＥＣ＝４３，求四边形 ＡＥＣＦ的 周长． 第４题图③                                                                 ７５ 乾卷加练·广西数学 数 学 ◆矩形的判定及性质，预估题位：２３ ５．阅读下列材料，完成相应任务． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半． 如图①，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＤ是 斜边ＡＣ上的中线．求证：ＢＤ＝１２ＡＣ． 分析：要证明 ＢＤ等于 ＡＣ的一半，可以用 “倍长法”将 ＢＤ延长一倍．如图②，延长 ＢＤ到点Ｅ，使得ＤＥ＝ＢＤ，连接ＡＥ，ＣＥ．可 证四边形ＡＢＣＥ是矩形，由矩形的对角线 相等得 ＢＥ＝ＡＣ，将直角三角形斜边上的 中线与斜边的数量关系转化为矩形对角 线的数量关系，进而得到ＢＤ＝１２ＡＣ． 任务一：请你按材料中的分析写出证明 过程； 任务二：上述证明方法中主要体现的数学思 想是　　　　； Ａ．转化思想　　　Ｂ．类比思想 Ｃ．数形结合思想 Ｄ．从一般到特殊思想 任务三：如图③，点Ｃ是线段ＡＢ上一点，ＣＤ ⊥ＡＢ，点 Ｅ是线段 ＣＤ的中点，分别连接 ＡＤ，ＢＥ，点Ｆ，Ｇ分别是ＡＤ和ＢＥ的中点，连 接ＦＧ．若ＡＢ＝１２，ＡＣ＝ＣＤ＝６，求ＦＧ的长． 图① 　 图② 　 图③ 第５题图 ◆几何探究，预估题位：２６ ６．综合与实践 【问题背景】 如图①，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝４，点 Ｅ为边ＢＣ上一点，沿直线 ＤＥ将矩形折叠， 使点Ｃ落在ＡＢ边上的点Ｃ′处． 【问题解决】 （１）填空：ＡＣ′的长为　　　　； （２）如图②，展开后，将△ＤＣ′Ｅ沿线段ＡＢ向 右平移，使点Ｃ′的对应点与点 Ｂ重合，得到 △Ｄ′ＢＥ′，Ｄ′Ｅ′与ＢＣ交于点Ｆ，求线段ＥＦ的 长； 【拓展探究】 （３）如图①，将△ＤＣ′Ｅ绕点Ｃ′旋转至Ａ，Ｃ′， Ｅ三点共线时，请直接写出ＣＤ的长． 图① 　 图② 第６题图 备用图                                                                       ８５