加练4 三角形-【一战成名新中考·乾坤卷】2024广西中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练答案及解析·广西数学 数 学 ＝－ｘ２＋２ｘ＋４， ∴ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋４； 自变量ｘ的取值范围为０＜ｘ＜３；【解法提示】∵６－２ｘ＞０，ｘ ＞０，∴０＜ｘ＜３． ②∵ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋４＝－（ｘ－１）２＋５， ∵－１＜０，且０＜ｘ＜３， ∴当ｘ＝１时，ｙ的最大值为５； （３）如解图，连接ＦＧ， 第８题解图 ∵在（２）的条件下，且点 Ｆ位于△ＥＦＧ的面积最大时的 位置， ∴此时△ＥＦＧ的面积为５，ＣＦ＝１， ∵Ｓ四边形ＥＦＨＧ＝Ｓ△ＥＦＧ＋Ｓ△ＦＧＨ＝ １１ ２， ∴Ｓ△ＦＧＨ＝ １１ ２－５＝ １ ２， ∵Ｓ△ＦＧＨ＝ １ ２ＧＨ·ＣＦ＝ １ ２ＧＨ＝ １ ２， ∴ＧＨ＝１． ９．解：（１）∵Ｄ（０，４）， ∴ＯＤ＝４， ∵ＯＡ＝ＯＤ，点Ａ在ｘ轴的负半轴上， ∴Ａ（－４，０）， 把Ａ（－４，０），Ｄ（０，４）分别代入 ｙ１ ＝ａｘ ２ －３ｘ＋ｃ，得 １６ａ＋１２＋ｃ＝０， ｃ＝４{ ， 解得 ａ＝－１， ｃ＝４{ ， ∴该抛物线的解析式为ｙ１＝－ｘ ２－３ｘ＋４， 把Ａ（－４，０）代入ｙ２＝－ｘ＋ｂ，得４＋ｂ＝０， 解得ｂ＝－４； （２）存在． 在ｙ１＝－ｘ ２－３ｘ＋４中，令ｙ１＝０，得－ｘ ２－３ｘ＋４＝０， 解得ｘ１＝－４，ｘ２＝１， ∴Ｂ（１，０）， 如解图①，设直线ｙ２＝－ｘ－４与ｙ轴交于点Ｇ， 则Ｇ（０，－４），∴ＯＧ＝４， ∵Ａ（－４，０），∴ＯＡ＝４，∴ＯＡ＝ＯＧ， ∴△ＡＯＧ是等腰直角三角形，∴∠ＢＡＣ＝４５°， 当∠ＡＰ１Ｂ＝９０°时，如解图①，过点Ｐ１作Ｐ１Ｈ⊥ｘ轴于点Ｈ， ∵∠ＢＡＰ１＝４５°，∠ＡＰ１Ｂ＝９０°， ∴∠ＡＢＰ１＝４５°＝∠ＢＡＰ１， ∴Ｐ１Ａ＝Ｐ１Ｂ，即△ＡＢＰ１是等腰直角三角形， ∵Ｐ１Ｈ⊥ＡＢ， ∴ＡＨ＝ＢＨ，即点Ｈ是ＡＢ的中点， ∴Ｈ（－３２，０），∴点Ｐ１的横坐标为－ ３ ２， 当ｘ＝－３２时，ｙ２＝－（－ ３ ２）－４＝－ ５ ２， ∴Ｐ１（－ ３ ２，－ ５ ２）； 当∠ＡＢＰ２＝９０°时，则∠ＡＰ２Ｂ＝∠ＢＡＰ２＝４５°， ∴ＢＰ２＝ＡＢ＝５，∴Ｐ２（１，－５）， 综上所述，在直线ｙ２＝－ｘ－４上存在点 Ｐ使得△ＡＢＰ是等 腰直角三角形，点Ｐ的坐标为（－３２，－ ５ ２）或（１，－５）； 图① 　　　 图② 第９题解图 （３）∵ｙ１＝－ｘ ２－３ｘ＋４＝－（ｘ＋３２） ２＋２５４， ∴抛物线ｙ１＝－ｘ ２－３ｘ＋４的顶点为（－３２， ２５ ４），∴将抛物 线ｙ１在 ｘ轴上方的部分沿 ｘ轴翻折后，所翻折的部分的解 析式为ｙ＝（ｘ＋３２） ２－２５４（－４≤ｘ≤１）， 如解图②，当直线 ｙ３过点 Ａ时，直线 ｙ３与新图象有三个公 共点，把Ａ（－４，０）代入 ｙ３＝－ｘ＋ｎ，得４＋ｎ＝０，解得 ｎ＝ －４； 将直线ｙ３沿ｙ轴向下平移至刚好与翻折部分相切时，直线 ｙ３与新图象有三个公共点，翻折部分ｙ＝（ｘ＋ ３ ２） ２－２５４（－ ４≤ｘ≤１）与直线ｙ３＝－ｘ＋ｎ有唯一公共点，可得（ｘ＋ ３ ２） ２ －２５４＝－ｘ＋ｎ， 整理得ｘ２＋４ｘ－（ｎ＋４）＝０， 该方程应有两个相等的实数根，∴Δ＝１６＋４（ｎ＋４）＝０，解 得ｎ＝－８， ∴当直线ｙ３＝－ｘ＋ｎ与该新图象恰好有四个公共点时，－８ ＜ｎ＜－４． 加练四　三角形 １．Ａ　【解析】∵ＡＢ＝ＢＣ，∠Ｂ＝４８°，∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＝ １８０°－∠Ｂ ２ ＝６６°，∵ＡＤ⊥ＢＣ，∴∠ＢＡＤ＝９０°－∠Ｂ＝９０°－ ４８°＝４２°，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＤ＝６６°－４２°＝２４                                                                       °． ６１ 乾卷加练答案及解析·广西数学 数 学 ２．Ｄ　【解析】∵ＤＥ是ＡＢ的垂直平分线，∴ＡＥ＝ＢＥ，∴△ＢＥＣ 的周长＝ＢＥ＋ＣＥ＋ＢＣ＝ＡＥ＋ＣＥ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＣ，∵ＡＣ＝ １０，ＢＣ＝５，∴△ＢＥＣ的周长为１０＋５＝１５． ３．Ｂ　【解析】设 ＢＤ＝ｘ，则 ＣＤ＝２０－ｘ，∵△ＡＢＣ是等边三角 形，∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，∴在 Ｒｔ△ＢＥＤ中，ＢＥ＝ｃｏｓ６０°·ＢＤ ＝ｘ２，同理可得，ＣＦ＝ ２０－ｘ ２ ，∴ＢＥ＋ＣＦ＝ ｘ ２＋ ２０－ｘ ２ ＝１０． ４．Ａ　【解析】连接 ＢＤ，延长 ＤＥ交 ＢＣ于点 Ｇ，如解图，∵ ∠ＢＡＣ＝１２０°，ＡＢ＝ＡＣ，∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝３０°，∠ＢＡＤ＝６０°， ∵ＤＥ⊥ＡＢ，∴∠ＡＤＥ＝３０°，∵ＤＦ⊥ＢＣ，∴∠ＡＤＦ＝６０°，当 ＢＤ⊥ＡＣ时，ＢＤ最小，则∠ＤＢＧ＝６０°，∴∠ＢＧＤ＝∠Ｃ＋ ∠ＡＤＥ＝６０°＝∠ＤＢＧ，∴△ＢＤＧ是等边三角形，∴ＢＧ＝ＢＤ， ∵ＤＦ⊥ＢＣ，∴ＢＦ＝ＧＦ，∵ＢＥ⊥ＥＧ，∴ＥＦ＝１２ＢＧ＝ＧＦ，∴ △ＥＦＧ是等边三角形，∴∠ＥＦＧ＝６０°＝∠ＤＢＧ，∴ＥＦ∥ＢＤ， ∴ＥＦ⊥ＡＣ，此时ＥＦ最小，最小值为 １２ＢＧ＝ １ ２ＢＤ，∵∠ＡＢＤ ＝９０°－６０°＝３０°，∴ＡＤ＝１２ＡＢ＝２，∴ＢＤ＝ 　 槡３ＡＤ＝２ 　 槡３，∴ ＥＦ的最小值为 １２ＢＤ＝ 　 槡３． 第４题解图 ５． 　 ｍ２＋ｎ槡 ２　【解析】∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴∠Ａ＝∠Ｂ＝ ∠Ｃ＝６０°，∵折叠△ＢＤＥ得到△ＦＤＥ，∴△ＢＤＥ≌△ＦＤＥ， ∴Ｓ△ＢＤＥ＝Ｓ△ＦＤＥ，∠Ｆ＝∠Ｂ＝６０°＝∠Ａ＝∠Ｃ，∵ＤＥ平分等 边△ＡＢＣ的面积，∴Ｓ四边形ＡＣＥＤ ＝Ｓ△ＢＤＥ ＝Ｓ△ＦＤＥ，∴Ｓ△ＦＨＧ ＝ Ｓ△ＡＤＧ＋Ｓ△ＣＨＥ，∵∠Ａ＝∠Ｆ＝∠Ｃ，∠ＡＧＤ＝∠ＦＧＨ，∠ＣＨＥ＝ ∠ＦＨＧ，∴△ＡＤＧ∽△ＦＨＧ，△ＣＨＥ∽△ＦＨＧ，∴ Ｓ△ＡＤＧ Ｓ△ＦＨＧ ＝ （ ＤＧ ＧＨ） ２ ＝ｍ ２ ＧＨ２ ， Ｓ△ＣＨＥ Ｓ△ＦＨＧ ＝（ＥＨＧＨ） ２ ＝ ｎ ２ ＧＨ２ ，∴ Ｓ△ＡＤＧ Ｓ△ＦＨＧ ＋ Ｓ△ＣＨＥ Ｓ△ＦＨＧ ＝ Ｓ△ＡＤＧ＋Ｓ△ＣＨＥ Ｓ△ＦＨＧ ＝ｍ ２＋ｎ２ ＧＨ２ ＝１，∴ＧＨ２ ＝ｍ２ ＋ｎ２，解得 ＧＨ＝ 　 ｍ２＋ｎ槡 ２或ＧＨ＝－ 　 ｍ２＋ｎ槡 ２（舍去）． ６．４　【解析】如解图，过点 Ｐ分别作 ＰＤ⊥ＡＢ于点 Ｄ，ＰＥ⊥ＢＣ 于点Ｅ，过点Ａ作ＡＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，连接ＢＰ，∵△ＡＢＣ是等边 三角形，∴ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣ＝８，∠ＡＢＧ＝６０°，∴∠ＢＡＧ＝３０°，∴ ＢＧ＝１２ＡＢ＝４，∴ＡＧ＝ 　 槡３ＢＧ＝４ 　 槡３，∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＢＣ·ＡＧ＝ １ ２×８×４ 　 槡３＝１６ 　 槡３，∵Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＰ＋Ｓ△ＢＣＰ＝ １ ２ＡＢ·ＰＤ＋ １ ２ＢＣ·ＰＥ，∴ １ ２×８（ＰＤ＋ＰＥ）＝１６ 　 槡３，∴ＰＤ＋ＰＥ＝４ 　 槡３， ∵ＰＭ≥ＰＤ，ＰＮ≥ＰＥ，∴ＰＭ＋ＰＮ≥ＰＤ＋ＰＥ＝４ 　 槡３，∵ＰＭ＋ ＰＮ＝４　槡３，∴ＰＭ＋ＰＮ＝ＰＤ＋ＰＥ，此时点 Ｍ，Ｄ重合，点 Ｎ，Ｅ 重合，即ＢＤ＝ＢＥ，在 Ｒｔ△ＢＰＤ和 Ｒｔ△ＢＰＥ中，ＢＰ＝ＢＰ，ＢＤ ＝ＢＥ，∴Ｒｔ△ＢＰＤ≌Ｒｔ△ＢＰＥ（ＨＬ），∴∠ＤＢＰ＝∠ＣＢＰ＝ ３０°，∵ＢＣ＝８，∴ＰＣ＝１２ＢＣ＝４． 第６题解图 【全角度考法探究·坤卷１８题】３６２５　【解析】如解图，过点 Ｂ 作ＢＨ⊥ＡＣ于点 Ｈ，连接 ＨＥ并延长交 ＡＢ于点 Ｆ，过点 Ｈ作 ＨＧ⊥ＡＢ于点 Ｇ，∵ＢＨ⊥ＡＣ，ＢＥ⊥ＤＥ，∴∠ＢＨＣ＝∠ＢＥＤ，又 ∵∠ＢＣＨ＝∠ＢＤＥ，∴△ＢＣＨ∽△ＢＤＥ，∴ＢＣＢＤ＝ ＢＨ ＢＥ，∠ＣＢＨ＝ ∠ＤＢＥ，∴ＢＣＢＨ＝ ＢＤ ＢＥ，∠ＣＢＤ＝∠ＨＢＥ，∴△ＢＣＤ∽△ＢＨＥ，∴ ∠ＢＨＥ＝∠ＢＣＤ为定值，∴点 Ｅ在射线 ＨＦ上运动，∴当 ＡＥ ⊥ＨＦ时，ＡＥ的值最小，∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠ＣＢＨ＋∠ＨＢＦ＝ ９０°，∵∠ＢＣＨ＋∠ＣＢＨ＝９０°，∴∠ＨＢＦ＝∠ＢＣＨ＝∠ＢＨＦ，∴ ＦＢ＝ＦＨ，∵∠ＦＡＨ＋∠ＡＢＨ＝９０°，∠ＦＨＡ＋∠ＦＨＢ＝９０°，∴ ∠ＦＨＡ＝∠ＦＡＨ，∴ＦＨ＝ＦＡ，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ ＝３，ＢＣ＝４，∴ＡＣ＝ 　 ３２＋４槡 ２＝５，∴ＢＨ＝ＢＣ·ＡＢＡＣ ＝ １２ ５，∴在 Ｒｔ△ＡＢＨ中，ＡＨ＝ 　 ＡＢ２－ＢＨ槡 ２＝９５，∴ＧＨ＝ ＢＨ·ＡＨ ＡＢ ＝ ３６ ２５， ∵∠ＡＦＥ＝∠ＨＦＧ，∠ＡＥＦ＝∠ＨＧＦ＝９０°，ＡＦ＝ＨＦ，∴△ＡＥＦ ≌△ＨＧＦ（ＡＡＳ），∴ＡＥ＝ＨＧ＝３６２５，∴ＡＥ的最小值为 ３６ ２５． 解图 ７．解：（１）如解图所示，点Ｄ即为所求； 第７题解图 （２）作图依据：两点确定一条直线；到线段两个端点距离相 等的点在线段的垂直平分线上； （３）∵ＡＤ＝ＣＤ，等腰△ＡＢＣ的周长为２１，底边ＢＣ＝５， ∴等腰△ＡＢＣ的腰ＡＢ＝（２１－５）÷２＝８， ∴△ＢＣＤ的周长＝ＢＣ＋ＣＤ＋ＢＤ＝ＢＣ＋ＡＤ＋ＢＤ＝ＢＣ＋ＡＢ＝５ ＋８＝１３                                                                       ． ７１ 乾卷加练答案及解析·广西数学 数 学 【全角度考法探究·坤卷２１题】解：（１）∠ＡＢＣ的平分线如解 图所示； 解图 （２）如解图，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ， ∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＤＣ⊥ＢＣ，ＤＨ⊥ＡＢ， ∴ＣＤ＝ＤＨ＝３， ∴Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＢＣＤ＋Ｓ△ＡＢＤ＝ １ ２ＢＣ·ＣＤ＋ １ ２ＡＢ·ＤＨ＝ １ ２×３ＢＣ ＋１２×３ＡＢ＝ １ ２×３（ＢＣ＋ＡＢ）＝ １ ２×３×１６＝２４． ８．Ｃ　【解析】设这个秋千的绳索 ＡＣ长为 ｘ尺，则 ＡＤ＝ＡＣ＝ｘ 尺，∵ＢＥ＝ＤＦ＝５尺，ＣＥ＝１尺，∴ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＥ－ＢＥ＝ｘ＋１ －５＝（ｘ－４）尺，∵在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＤ２＝ＡＢ２＋ＢＤ２，∴ｘ２＝ （ｘ－４）２＋１０２，∴ｘ＝１４．５，∴这个秋千的绳索 ＡＣ的长是 １４．５尺． 【全角度考法探究·坤卷 １６题】２５　【解析】如解图，连接 ＡＥ，过点Ｂ作ＢＦ⊥ＡＥ于点Ｆ，∵点 Ｅ恰好在点 Ａ的正上方， ∴△ＡＤＥ是直角三角形，又∵ＤＥ＝５，ＡＥ＝１２，∴根据勾股定 理得，ＡＤ＝ 　 ＡＥ２＋ＤＥ槡 ２＝１３，∵ＡＤ∥ＢＥ，ＤＢ∥ＣＥ，∴∠ＤＡＢ ＝∠ＥＢＣ，∠ＡＢＤ＝∠ＢＣＥ，∴△ＡＢＤ∽△ＢＣＥ，∴ＡＤＢＥ＝ ＡＢ ＢＣ＝ ７ ６，又∵ＡＤ∥ＢＥ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＢＥＦ，∵∠ＡＥＤ＝∠ＢＦＥ＝ ９０°，∴△ＡＤＥ∽△ＥＢＦ，∴ＤＥＢＦ＝ ＡＥ ＥＦ＝ ＡＤ ＥＢ＝ ７ ６，∴ＢＦ＝ ３０ ７，ＥＦ ＝７２７，∴ＡＦ＝ＡＥ－ＥＦ＝１２－ ７２ ７＝ １２ ７，∵∠ＡＦＢ＝∠ＦＡＮ＝ ９０°，∴ＢＦ∥ＭＮ，∴∠ＢＡＮ＝∠ＡＢＦ，∴ｔａｎ∠ＢＡＮ＝ｔａｎ∠ＡＢＦ ＝ＡＦＢＦ＝ ２ ５． 解图 ９．解：由题意知，ＤＥ＝ＡＢ＝２０米，ＥＦ＝ＢＣ＝４０米， ∴ＤＦ＝ＤＥ＋ＥＦ＝２０＋４０＝６０（米）， 在Ｒｔ△ＤＦＧ中，ｔａｎ∠ＧＤＦ＝ｔａｎ３０°＝ＦＧＤＦ， ∴ＦＧ＝ＤＦ·ｔａｎ３０°＝６０×槡３３≈３４．６（米）， 在Ｒｔ△ＥＦＨ中，ｔａｎ∠ＨＥＦ＝ｔａｎ５０°＝ＦＨＥＦ， ∴ＦＨ＝ＥＦ·ｔａｎ５０°≈４０×１．１９＝４７．６（米）， ∴ＧＨ＝ＦＨ－ＦＧ≈４７．６－３４．６＝１３（米）， 答：信号发射塔高ＧＨ约为１３米． １０．（１）解：①依据１：三角形的中位线平行于第三边并且等于 第三边的一半； 依据２：直角三角形的两锐角互余； ②ＭＮ⊥ＡＢ；【解法提示】∵ＣＡ＝ＣＢ，∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠ＡＢＣ ＝４５°，∵点Ｐ，Ｎ分别是ＡＤ，ＡＢ的中点，∴ＰＮ∥ＢＣ，同理可 得ＰＭ∥ＡＣ，∴ＰＭ＝ＰＮ，∵ＡＣ⊥ＢＣ，∴ＰＭ⊥ＰＮ，∴△ＰＮＭ 是等腰直角三角形，∴∠ＰＮＭ＝４５°，∴∠ＡＮＭ＝∠ＡＮＰ＋ ∠ＰＮＭ＝∠ＡＢＣ＋∠ＰＮＭ＝９０°，∴ＭＮ⊥ＡＢ． （２）证明：连接ＢＤ，ＡＥ，如解图①， 第１０题解图① 由旋转知，∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＥ， ∵ＣＢ＝ＣＡ，ＣＤ＝ＣＥ， ∴△ＣＢＤ≌△ＣＡＥ（ＳＡＳ）， ∴∠ＣＢＤ＝∠ＣＡＥ，ＢＤ＝ＡＥ， ∵点Ｐ，Ｍ，Ｎ分别是ＡＤ，ＥＤ，ＡＢ的中点， ∴ＰＮ，ＰＭ分别是△ＡＢＤ，△ＡＤＥ的中位线， ∴ＰＮ＝１２ＢＤ，ＰＭ＝ １ ２ＡＥ，ＰＭ∥ＡＥ，ＰＮ∥ＢＤ， ∴ＰＭ＝ＰＮ，∠ＤＰＭ＝∠ＤＡＥ，∠ＰＮＡ＝∠ＤＢＡ， ∴△ＰＭＮ是等腰三角形， ∵∠ＤＰＮ＝∠ＤＡＢ＋∠ＰＮＡ＝∠ＤＡＢ＋∠ＤＢＡ， ∴∠ＭＰＮ＝∠ＤＰＭ＋∠ＤＰＮ＝∠ＤＡＥ＋∠ＤＡＢ＋∠ＤＢＡ＝ ∠ＣＡＢ＋∠ＡＢＣ， ∵∠ＢＣＡ＝９０°，∴∠ＣＡＢ＋∠ＡＢＣ＝９０°， ∴∠ＭＰＮ＝９０°，∴△ＰＭＮ是等腰直角三角形； （３）解：△ＭＰＮ的面积会发生变化，且△ＭＰＮ的面积存在 最大值与最小值，△ＭＰＮ面积的最大值为１６９８，最小值为 ４９ ８．【解法提示】由（２）知，△ＰＭＮ是等腰直角三角形，ＰＭ ＝ＰＮ＝１２ＢＤ，∴当ＢＤ最大时 ＰＭ最大，△ＰＭＮ的面积最 大，此时点Ｄ在ＢＣ的延长线上，如解图②， 图② 　 图③ 第１０题解图 ∴ＢＤ＝ＣＢ＋ＣＤ＝１０＋３＝１３，∴ＰＮ＝ＰＭ＝１３２，∴Ｓ△ＰＭＮ                                                                       的 ８１ 乾卷加练答案及解析·广西数学 数 学 最大值＝１２ＰＭ·ＰＮ＝ １ ２× １３ ２× １３ ２＝ １６９ ８；当 ＢＤ最小时 ＰＭ最小，△ＰＭＮ的面积最小，此时点 Ｄ在线段 ＢＣ上，如 解图③，∴ＢＤ＝ＢＣ－ＣＤ＝１０－３＝７，∴ＰＭ＝ＰＮ＝７２，∴ Ｓ△ＰＭＮ的最小值＝ １ ２ＰＭ·ＰＮ＝ １ ２× ７ ２× ７ ２＝ ４９ ８．综上所 述，△ＭＰＮ面积的最大值为１６９８，最小值为 ４９ ８． 加练五　平行四边形 １．Ｃ　【解析】如解图，延长ＥＭ交ＡＢ于点Ｆ，∵四边形ＡＢＣＤ是 平行四边形，∴ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＦＥ＝∠２，∵∠３＝∠４＝４５°，∠１ ＝３０°，∴∠ＡＦＥ＝∠１＋∠３＝３０°＋４５°＝７５°，∴∠２＝７５°． 第１题解图 ２．Ｃ　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ为平行四边形，∴ＣＤ＝ＡＢ＝８， ＡＤ＝ＢＣ＝６，ＣＤ∥ＡＢ，∴∠ＡＥＤ＝∠ＢＡＥ，∵∠ＤＡＢ的平分线 ＡＥ交 ＣＤ于点 Ｅ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＥ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＤ， ∴ＥＤ＝ＡＤ＝６，∴ＥＣ＝ＣＤ－ＥＤ＝８－６＝２． ３．Ｄ　【解析】设 ＢＣ＝ｘ，∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ，∵ＡＢＣＤ的周长为３０，∴ＢＣ＋ＣＤ＝ １５，∴ＣＤ＝１５－ｘ，∵ＡＥ⊥ＢＣ于点 Ｅ，ＡＦ⊥ＣＤ于点 Ｆ，∴ ＳＡＢＣＤ＝ＢＣ·ＡＥ＝ＣＤ·ＡＦ，∴５ｘ＝７．５（１５－ｘ），解得 ｘ＝９， ∴ＳＡＢＣＤ＝ＢＣ·ＡＥ＝９×５＝４５． ４．Ｂ　【解析】如解图，过点Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于点Ｍ，过点Ｃ作ＣＮ ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｎ，连接ＢＥ交 ＡＣ于点 Ｆ，由折叠 及平行四边形的性质可知 ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＥ，∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ＝ ∠ＥＣＡ，ＡＣ是ＢＥ的垂直平分线，∴ＣＦ⊥ＢＦ．∵∠ＤＡＢ＝６０°， ＡＤ＝２，∴ＡＭ＝１，ＤＭ＝　槡３，∴ＣＮ＝ＤＭ＝ 　 槡３，ＢＮ＝ＡＭ＝１， ∴ＡＮ＝ＡＢ＋ＢＮ＝４＋１＝５，∴在 Ｒｔ△ＡＣＮ中，ＡＣ＝ 　 ＡＮ２＋ＣＮ槡 ２＝　槡２５＋３＝２ 　 槡７，∵ＳＡＢＣＤ＝ＡＢ·ＤＭ＝ＡＣ· ＢＦ，∴４×　槡３＝２ 　 槡７ＢＦ，解得 ＢＦ＝ ２　槡２１ ７ ，∴在 Ｒｔ△ＣＢＦ中， ＣＦ＝ 　 ＢＣ２－ＢＦ槡 ２ ＝ 　 ２２－（２ 　 槡２１ ７ ）槡 ２ ＝４ 　 槡７ ７，易得四边形 ＡＤＥＣ为等腰梯形，∴在等腰梯形 ＡＤＥＣ中，ＤＥ＝ＡＣ－２ＣＦ ＝２　槡７－２× ４　槡７ ７ ＝ ６　槡７ ７． 第４题解图 ５．９２－８　槡１９　【解析】如解图，延长 ＤＡ到点 Ｍ，使 ＤＭ＝ＤＢ， 连接ＦＭ，ＣＭ，过点Ｃ作ＣＮ⊥ＡＤ于点Ｎ，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＢＣ 交ＢＣ的延长线于点 Ｈ，∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ∥ＣＤ，ＣＤ＝ＡＢ＝４，ＢＣ＝ＡＤ＝６，∴∠ＭＤＦ＝ ∠ＤＢＥ，又∵ＤＦ＝ＢＥ，∴△ＤＭＦ≌△ＢＤＥ，∴ＭＦ＝ＤＥ，∴ＤＥ ＋ＣＦ＝ＭＦ＋ＣＦ，∴当点 Ｍ，Ｆ，Ｃ三点共线时，（ＦＣ＋ＥＤ）２ 最小，最小值为ＣＭ２．∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＤＣＨ＝∠ＡＢＣ＝６０°，∴ ＣＨ＝１２ＣＤ＝２，ＤＨ＝ 　 槡３ＣＨ＝２ 　 槡３，∴ＢＨ＝ＢＣ＋ＣＨ＝６＋２＝ ８，∴ＢＤ＝ 　 ＢＨ２＋ＤＨ槡 ２＝２　槡１９，∴ＤＭ 槡＝２ １９，∵ＤＮ∥ＣＨ， ＣＮ⊥ＡＤ，ＤＨ⊥ＣＨ，∴四边形ＮＣＨＤ是矩形，∴ＤＮ＝ＣＨ＝２， ＣＮ＝ＤＨ＝２　槡３，∴ＭＮ＝ＤＭ－ＤＮ＝２ 　 槡１９－２，∴在Ｒｔ△ＣＭＮ 中，ＣＭ２＝ＭＮ２＋ＣＮ２＝９２－８　槡１９，∴（ＤＥ＋ＣＦ） ２的最小值 为９２－８　槡１９． 第５题解图 ６．解：设问１：如解图①所示，射线ＢＥ即为所求； 第６题解图① 设问２：如解图②所示，点Ｆ即为所求； 第６题解图② 设问３：如解图③所示，直线ＰＱ即为所求； 第６题解图③ 设问４：∵ＢＥ平分∠ＡＢＣ， ∴∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＣ， ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ＝４，ＡＤ＝ＢＣ， ∴∠ＡＥＢ＝∠ＥＢＣ， ∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ， ∴ＡＥ＝ＡＢ＝４， ∵ＡＢＣＤ的周长为２０， ∴ＡＢ＋ＡＤ＝１０， ∴ＡＤ＝６， ∴ＤＥ＝ＡＤ－ＡＥ＝６－４＝２                                                                       ． ９１ 乾卷加练·广西数学 数 学 加练四　三角形 （每年１－３道，３－２２分） ◆性质，预估题位：７ １．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，∠Ｂ＝４８°，ＡＤ⊥ ＢＣ于点Ｄ，则∠ＣＡＤ等于 （　　） Ａ．２４°　 Ｂ．４６°　 Ｃ．４８°　 Ｄ．６６° 第１题图 　　　 第２题图 ２．如图，等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＣ＝５， ＡＢ的垂直平分线ＤＥ交ＡＢ于点Ｄ，交ＡＣ于 点Ｅ，连接ＢＥ，则△ＢＥＣ的周长为 （　　） Ａ．８ Ｂ．１０ Ｃ．１２ Ｄ．１５ ３．如图所示，△ＡＢＣ是边长为２０的等边三角 形，点Ｄ是ＢＣ边上任意一点，ＤＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，则ＢＥ＋ＣＦ＝ （　　） Ａ．５ Ｂ．１０ Ｃ．１５ Ｄ．２０ 第３题图 　　 第４题图 ◆动点或折叠问题，预估题位：１２或１８ ４．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝４，∠ＢＡＣ＝ １２０°，点Ｄ是ＣＡ延长线上任意一点，分别过 点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＤＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，连 接ＥＦ，则ＥＦ的最小值为 （　　） Ａ．　槡３ Ｂ． 　 槡３－１Ｃ． ４　槡３ ３ Ｄ． 　 槡５－１ ５．如图，ＤＥ平分等边△ＡＢＣ的面积，折叠 △ＢＤＥ得到△ＦＤＥ，ＡＣ分别与ＤＦ，ＥＦ相交 于Ｇ，Ｈ两点．若 ＤＧ＝ｍ，ＥＨ＝ｎ，用含 ｍ，ｎ 的式子表示ＧＨ的长是　　　　． 第５题图 　　　　 第６题图 ６．如图，等边△ＡＢＣ的边长是８，点 Ｍ，Ｎ分别 是边ＡＢ，ＢＣ上的动点，且ＢＭ＝ＢＮ，点 Ｐ是 边 ＡＣ上的动点，连接 ＰＭ，ＰＮ．若 ＰＭ＋ ＰＮ＝４　槡３，则线段ＰＣ的长为　　　　． 【全角度考法探究·坤卷 １８题】如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，Ｄ 是 ＡＣ边上的动点，连接 ＢＤ，∠ＢＤＥ＝ ∠ＢＣＡ，且ＢＥ⊥ＤＥ，连接 ＡＥ，则 ＡＥ的最小 值为　　　　． 题图 ◆结合尺规作图，预估题位：２１ ７．如图，已知△ＡＢＣ是等腰三角形，ＡＢ＝ＡＣ． （１）现要在ＡＢ边上确定一点Ｄ，使点Ｄ到点 Ａ的距离与点Ｄ到点Ｃ的距离相等，请在图 中用尺规作图的方法作出它的位置并标出 字母；（不写作法，但保留作图痕迹） （２）简单说明你作图的依据； （３）在（１）的条件下，若等腰△ＡＢＣ的周长 为２１，底边ＢＣ＝５，请求出△ＢＣＤ的周长． 第７题图                                                                 ３５ 乾卷加练·广西数学 数 学 【全角度考法探究·坤卷 ２１题】如图，在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°． （１）过点 Ｂ作∠ＡＢＣ的平分线交 ＡＣ于点 Ｄ；（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字 母，不用写作法和证明） （２）在（１）的条件下，若 ＣＤ＝３，ＡＢ＋ＢＣ＝ １６，求△ＡＢＣ的面积． 题图 ◆锐角三角函数的应用，预估题位：１１，１５－１７ 或２３题 ８．（２０２４南宁青秀区期中）我国明代有一位杰 出的数学家提出一道关于“荡秋千”的数学 问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行 二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴， 终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长 有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在 地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺 （ＣＥ＝１尺），将秋千的踏板往前推两步（每 一步合五尺，即 ＥＦ＝１０尺），此时秋千的踏 板与人一样高，这个人的身高为５尺（ＤＦ＝ ５尺），则这个秋千的绳索ＡＣ长为 （　　） 第８题图 Ａ．１２尺 Ｂ．１３．５尺 Ｃ．１４．５尺 Ｄ．１５．５尺 【全角度考法探究·坤卷１６题】利用无人 机探照灯测量坡面的角度．如图，一架无人 机探照灯在点 Ｄ处，测得它的下边缘光线 ＤＡ落在坡脚点 Ａ处，上边缘光线 ＤＢ落在 斜坡点Ｂ处，此时无人机离地面１２米，将无 人机沿水平方向前进５米到达点Ｅ处，探照 灯的上下边缘光线ＥＣ，ＥＢ分别落在斜坡上 的Ｃ，Ｂ处，ＡＤ∥ＢＥ，ＤＢ∥ＣＥ，此时点 Ｅ恰 好在 Ａ的正上方，现测得 ＢＣ＝６７ＡＢ，则 ｔａｎ∠ＢＡＮ＝　　　　． 题图 ９．某数学活动小组运用所学的解直角三角形 知识测量楼房ＦＧ的楼顶安装的信号发射塔 外墙ＧＨ的高度，利用测角仪和米尺等工具 进行如下操作：在 Ａ处测得∠ＧＤＦ＝３０°，在 Ｂ处测得∠ＨＥＦ＝５０°，点 Ａ，Ｂ，Ｃ在一条直 线上，ＡＣ⊥ＣＧ于点Ｃ，ＤＦ⊥ＣＧ于点Ｆ，ＡＢ＝ ２０米，ＢＣ＝４０米，测角仪的高度（ＡＤ，ＢＥ） 为１．５米，请根据测量数据，求出信号发射 塔高ＧＨ．（结果精确到１米，参考数据：　槡３≈ １．７３，ｓｉｎ５０°≈０．７７，ｃｏｓ５０°≈０．６４，ｔａｎ５０°≈ １．１９） 　第９题图                                                                       ４５ 乾卷加练·广西数学 数 学 ◆几何探究，预估题位：２６题 １０．在综合与实践课上，老师让同学们以“两个 大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重 合，固定其中一个三角板，另一个三角板绕 直角顶点旋转”为主题开展数学活动． 如图①，△ＡＢＣ和△ＤＥＦ都是等腰直角三 角形，∠Ｃ＝∠Ｆ＝９０°，点Ｍ，Ｎ分别为ＤＥ， ＡＢ的中点． 如图②，将两个三角板重叠在一起，使点 Ｆ 与点Ｃ重合，记作点Ｃ，点Ｄ，Ｅ分别落在边 ＢＣ，ＡＣ上，连接 ＡＤ，记 ＡＤ的中点为点 Ｐ， 连接ＰＭ，ＰＮ，试判断线段 ＰＭ与 ＰＮ的数 量关系和位置关系． 图① 图② 　　 图③ 第１０题图 探究交流：“感恩”小组发现，ＰＭ＝ＰＮ，ＰＭ ⊥ＰＮ，并展示了如下的证明方法： ∵点Ｐ，Ｎ分别是ＡＤ，ＡＢ的中点， ∴ＰＮ∥ＢＤ，ＰＮ＝１２ＢＤ． ∵点Ｐ，Ｍ分别是ＡＤ，ＤＥ的中点， ∴ＰＭ∥ＡＥ，ＰＭ＝１２ＡＥ．（依据１） ∵ＣＡ＝ＣＢ，ＣＤ＝ＣＥ， ∴ＢＤ＝ＡＥ， ∴ＰＭ＝ＰＮ． ∵ＰＮ∥ＢＤ， ∴∠ＤＰＮ＝∠ＡＤＣ． ∵ＰＭ∥ＡＥ， ∴∠ＤＰＭ＝∠ＤＡＣ． ∵∠ＢＣＡ＝９０°， ∴∠ＡＤＣ＋∠ＣＡＤ＝９０°，（依据２） ∴∠ＭＰＮ＝∠ＤＰＭ＋∠ＤＰＮ＝∠ＣＡＤ＋ ∠ＡＤＣ＝９０°， ∴ＰＭ⊥ＰＮ． 反思拓展： （１）①上述证明过程中的“依据１”和“依据 ２”分别是什么？ ②试判断图②中ＭＮ与ＡＢ的位置关系，请 直接回答，不必证明； （２）“责任”小组在探究时，把△ＣＤＥ绕点 Ｃ逆时针方向旋转到如图③的位置，发现 △ＭＰＮ是等腰直角三角形，请你给出证明； （３）“坚持”小组的同学进行“固定变量”探 究，令ＡＣ＝１０，ＣＤ＝３，把△ＣＤＥ绕点 Ｃ在 平面内自由旋转，△ＭＰＮ的面积是否发生 变化？若不变，请直接写出△ＭＰＮ的面积； 若变化，△ＭＰＮ的面积是否存在最大值与 最小值？若存在，请直接写出△ＭＰＮ面积 的最大值与最小值                                                                       ． ５５