加练1 一次函数&加练2 反比例函数-【一战成名新中考·乾坤卷】2024广西中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练答案及解析·广西数学 数 学 数学加练 加练一　一次函数 １．５ 【变式】（１）Ｃ　【解析】∵一次函数 ｙ＝ｋｘ＋２（ｋ＞０）中，ｋ＞ ０，ｂ＝２＞０，∴一次函数 ｙ＝ｋｘ＋２（ｋ＞０）的图象经过第一、 二、三象限，∵点Ｇ在第四象限，∴一次函数 ｙ＝ｋｘ＋２（ｋ＞ ０）的图象不可能经过点Ｇ． （２）ｙ＝２ｘ－２；（３）１ ２．Ｃ ３．Ａ　【解析】∵ｋ＝－２＜０，∴ｙ随 ｘ的增大而减小，又∵点 Ａ（－２，ｙ１），点Ｂ（４，ｙ２），点 Ｃ（－ ２ ３，ｙ３）是关于 ｘ的一次函 数ｙ＝－２ｘ＋ａ图象上的三点，且 －２＜－２３＜４，∴ｙ２＜ｙ３ ＜ｙ１． 【变式】Ａ　【解析】∵－２３＜０，∴ｙ随ｘ的增大而减小，∴当 ｘ２ ＞ｘ１时，ｙ２＜ｙ１，∴ ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ ＜０；当 ｘ２＜ｘ１时，ｙ２＞ｙ１，∴ ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ ＜０．综上所述，无论ｘ１，ｘ２大小关系如何， ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ ＜０． ４．Ｄ　【解析】如解图，分别延长两条光线，∵两条光线均经过 第二、四象限，∴ｋ１＜０，ｋ２＜０，在两个图象上分别取横坐标 为ｍ（ｍ＜０）的两个点Ａ和Ｂ，则Ａ（ｍ，ｋ１ｍ），Ｂ（ｍ，ｋ２ｍ），∵ ｋ１ｍ＜ｋ２ｍ，∴ｋ１＞ｋ２；当取横坐标ｍ＞０时，同理可得ｋ１＞ｋ２． 综上所述，ｋ２＜ｋ１＜０． 第４题解图 ５．解：（１）设ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）， 把（３７，６８）和（４０，７４）代入， 得 ３７ｋ＋ｂ＝６８， ４０ｋ＋ｂ＝７４{ ，解得 ｋ＝２，ｂ＝－６{ ， ∴ｙ＝２ｘ－６， ∵当ｘ＝４２时，ｙ＝７８， ∴第三档符合上述函数关系式， ∴ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝２ｘ－６； （２）当ｘ＝４５时，ｙ＝２×４５－６＝８４， ∴被污染的数据为８４； （３）不配套， 方法一：在ｙ＝２ｘ－６中，当ｘ＝３２时，ｙ＝２×３２－６＝５８， ∵６１－５８＝３（ｃｍ）， ∴把小丽的课桌高度降低３ｃｍ就可以配套了． 方法二：在ｙ＝２ｘ－６中，当ｙ＝６１时，６１＝２ｘ－６， 解得ｘ＝３３．５， ∵３３．５－３２＝１．５（ｃｍ）， ∴把小丽的椅子高度升高１．５ｃｍ就可以配套了． 加练二 反比例函数 １．ｍ＞－１ ２．Ａ　【解析】∵在反比例函数ｙ＝２ｘ中，ｋ＝２＞０，∴此函数图 象的两个分支分别位于第一、三象限，并且在每一象限内，ｙ 随ｘ的增大而减小，∵０＜ｘ１＜ｘ２，∴点（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）都在 第一象限，∴ｙ１＞ｙ２． 【全角度考法探究·坤卷１７题】－２１６　【解析】∵点 Ａ的 坐标为（－４，３），ＡＢ∥ｘ轴，ＡＢ＝１０，点 Ｂ在第一象限内， ∴ｋ１＝－１２，点Ｂ的坐标为（６，３），∴ｋ２＝１８，∴ｋ１·ｋ２＝ －２１６． ３．Ｂ　【解析】如解图，设ＡＤ交ｙ轴于点Ｊ，交ＢＥ于点 Ｋ，ＡＢ＝ ＣＤ＝２ｍ，ＤＫ＝ｂ，则ＤＥ＝ｍ．∵点 Ａ在双曲线 ｙ＝－８ｘ（ｘ＜ ０）上，∴Ａ（－４ｍ，２ｍ），∴ＡＪ＝ ４ ｍ，∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＤＫ∥ＢＣ，∴ＤＫＢＣ＝ ＥＤ ＥＣ＝ １ ３，∴ＢＣ＝ＡＤ＝３ｂ，∴ＡＫ＝２ｂ，则 ＪＫ＝２ｂ－４ｍ，∵ＪＦ∥ＤＥ，∴ ＪＦ ＤＥ＝ ＪＫ ＤＫ，∴ ＪＦ ｍ＝ ２ｂ－４ｍ ｂ ，∴ＪＦ＝ ２ｍｂ－４ ｂ ，∴ＯＦ＝ＯＪ－ＪＦ＝２ｍ－ ２ｍｂ－４ ｂ ＝ ４ ｂ，∴Ｓ△ＢＦＣ ＝ １ ２ＢＣ·ＯＦ＝ １ ２×３ｂ· ４ ｂ＝６． 第３题解图 　　 第４题解图 ４．２　槡３　【解析】如解图，连接ＰＣ，过点Ｃ作ＣＨ⊥ｘ轴于点Ｈ． 平移后的图象解析式为ｙ＝ ｋｘ＋２，可得Ａ（０， ｋ ２），Ｐ（－２，０）， Ｂ（－４，－ｋ２），∵△ＡＢＣ是等边三角形，ＰＡ＝ＰＢ，∴ＰＣ⊥ ＡＢ，∠ＡＣＰ＝∠ＢＣＰ＝３０°，∴ＰＣ＝ 　 槡３ＰＡ，∵∠ＡＰＣ＝∠ＡＯＰ ＝∠ＰＨＣ＝９０°，∴∠ＡＰＯ＋∠ＣＰＨ＝９０°，∠ＣＰＨ＋∠ＰＣＨ＝ ９０°，∴∠ＡＰＯ＝∠ＰＣＨ，∴△ＡＯＰ∽△ＰＨＣ，∴ＯＡＰＨ＝ ＯＰ ＣＨ＝ ＰＡ ＰＣ ＝１　 槡３ ，∴ＰＨ 槡＝３ＯＡ＝ 　 槡３ ２ｋ，ＣＨ 槡＝３ＯＰ＝２ 　 槡３，∴ＯＨ＝ 　 槡３ ２ｋ－ ２，∴Ｃ（ 　 槡３ ２ｋ－２，－２ 　 槡３），∵点Ｃ在反比例函数ｙ＝－ ｋ ｘ（ｘ                                                                  ＞ ３１ 乾卷加练答案及解析·广西数学 数 学 ０）的图象上，∴－２　槡３（ 　 槡３ ２ｋ－２）＝－ｋ，解得ｋ 槡＝２３． ５．Ａ　【解析】如解图，过点 Ａ作 ＡＦ⊥ＢＣ于点 Ｆ，连接 ＢＤ，设 Ａ（ａ，ｋａ），则Ｂ（－ａ，－ ｋ ａ），其中 ａ＞０，∵△ＡＢＣ为等腰三 角形，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＦ⊥ＢＣ，∴ＢＦ＝ＣＦ＝ａ－（－ａ）＝２ａ，∴ＢＣ ＝ＢＦ＋ＣＦ＝４ａ，∴点Ｃ的坐标为（３ａ，－ｋａ），设直线 ＡＢ的 解析式为ｙ＝ｍｘ，将Ａ（ａ，ｋａ）代入，得ｍａ＝ ｋ ａ，∴ｍ＝ ｋ ａ２ ，∴ 直线ＡＢ的解析式为ｙ＝ｋ ａ２ ｘ，∵ＡＢ∥ＣＤ，∴设直线 ＣＤ的解 析式为ｙ＝ｋ ａ２ ｘ＋ｂ，将点Ｃ（３ａ，－ｋａ）代入，得 ｋ ａ２ ×３ａ＋ｂ＝ －ｋａ，∴ｂ＝－ ４ｋ ａ，∴直线 ＣＤ的解析式为 ｙ＝ ｋ ａ２ ｘ－４ｋａ，由 ｋ ａ２ ｘ－４ｋａ＝ ｋ ｘ，得 ｘ＝２ａ＋ 　 槡５ａ或 ｘ＝２ａ－ 　 槡５ａ（舍去）， ∴Ｄ（２ａ＋　槡５ａ， ｋ ２ａ＋　槡５ａ ），∵ＡＢ∥ＣＤ，∴Ｓ△ＢＣＤ＝Ｓ△ＡＣＤ＝４ 　 槡５ －４，设ＡＢ与 ＣＤ间的距离为 ｈ，则有 Ｓ△ＢＣＤ＝ １ ２ＣＤ·ｈ＝ １ ２ＢＣ·（ｙＤ－ｙＢ），∴ １ ２×４ａ·（ ｋ ２ａ＋　槡５ａ ＋ｋａ）＝４ 　 槡５－４， 解得ｋ＝２． 第５题解图 ６．解：（１）选取的样本只有小红同学一个人的跳绳心率，不具 有代表性，因此第一次数据收集不合理； （２）当ｙ＝１４０时，即２１２－７９２０６３＋ｘ＝１４０， 解得ｘ＝４７， 答：学生需要跳绳４７秒才能达到１４０的心率； （３）当ｘ＝２００时，ｙ＝２１２－ ７９２０６３＋２００≈１８２， 由于１８２＞１７５， 因此小明同学运动过度，要缩短跳绳时间． 加练三　二次函数 １．Ａ ２．Ｂ　【解析】抛物线ｙ＝ｘ２的顶点坐标为（０，０），抛物线ｙ＝（ｘ －３）２的顶点坐标为（３，０），∵点（０，０）向右平移３个单位长 度可得到点（３，０），∴将抛物线 ｙ＝ｘ２向右平移３个单位长 度得到抛物线ｙ＝（ｘ－３）２． 【拓展】ｙ＝（ｘ＋２）２＋５ ３．Ｃ　【解析】当ｙ＝０时，有ｘ２－４ｘ＋３＝０，解得ｘ１＝１，ｘ２＝３， ∴ＡＢ＝２，∵Ｓ阴影 ＝Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝ＡＣ·ＡＢ＝６，∴ＡＣ＝３，∴平移后 新抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３＋３＝ｘ２－４ｘ＋６． 【全角度考法探究·乾卷１２题】２　【解析】设△ＡＤＰ的面 积为ｙｃｍ２，∵△ＡＢＣ是边长为４ｃｍ的等边三角形，动点Ｐ 以２ｃｍ／ｓ的速度运动，运动时间为 ｘｓ，∴在点 Ｐ从 Ａ→Ｃ 的过程中，易得ＡＰ＝２ｘｃｍ，ＡＤ＝ｘｃｍ，ＰＤ＝　槡３ｘｃｍ，则ｙ＝ １ ２ＡＤ·ＰＤ＝ １ ２ｘ· 　 槡３ｘ＝ 　 槡３ ２ｘ ２（０＜ｘ≤２），将ｙ 槡＝３代入可 解得ｘ 槡＝２（负值已舍去），∴ｔ１ 槡＝２ｓ；在点 Ｐ从 Ｃ→Ｂ的 过程中，如解图，连接 ＡＰ，易得 ＢＤ＝（８－２ｘ）×１２＝４－ｘ （ｃｍ），∴ＰＤ 槡＝３（４－ｘ）ｃｍ，∵ＡＤ＝ｘｃｍ，∴ｙ＝ １ ２ＡＤ·ＰＤ ＝１２ｘ·槡３（４－ｘ）＝－ 　 槡３ ２ｘ ２＋２　槡３ｘ（２＜ｘ＜４），将ｙ 槡＝３代 入可解得ｘ 槡＝２＋２或 ｘ 槡＝２－２（不符合题意，舍去），∴ｔ２ ＝（ 槡２＋２）ｓ，∴ｔ２－ｔ１ 槡 槡＝２＋２－２＝２（ｓ）． 解图 ４．９－ 　 槡１７ ２ 　【解析】由题意可知，将抛物线Ｃ绕点Ｏ顺时针旋转 ４５°得到图形Ｇ的对称轴为直线ｙ＝ｘ，绘制直线ｙ＝ｘ，设直线ｙ ＝ｘ与抛物线ｙ＝－ｘ２＋４在第一象限的交点为 Ｍ，则把 ＯＭ 绕点Ｏ顺时针旋转 ４５°得到 ＯＢ，如解图，联立得方程组 ｙ＝－ｘ２＋４， ｙ＝ｘ{ ， 解得 ｘ＝ 槡－１＋ １７２ ， ｙ＝－１＋ 　 槡１７{ ２ 或 ｘ＝－１－ 　 槡１７ ２ ， ｙ＝－１－ 　 槡１７{ ２ （舍 去），∴点 Ｍ的坐标为（－１＋ 　 槡１７ ２ ， －１＋　槡１７ ２ ），∴ＯＭ＝ －１＋　槡１７ ２ × 　 槡２＝ －　槡２＋ 　 槡３４ ２ ，即ＯＢ＝ －　槡２＋ 　 槡３４ ２ ，∵图象 Ｇ的对称轴为直线 ｙ＝ｘ，∴ＯＡ＝ＯＢ，∴Ｓ△ＯＡＢ＝ １ ２ＯＢ ２＝１２ ×（－ 　 槡２＋ 　 槡３４ ２ ） ２＝９－ 　 槡１７ ２ ． 第４题解图 ５．Ｄ　【解析】∵ｙ＝ 　 槡３ ２ｘ ２＋２　槡３ｘ＝ 　 槡３ ２（ｘ＋２） ２ 槡－２３，∴抛物线 的对称轴为直线ｘ＝－２，当ｘ＝－２时，ｙ＝－２　槡３，故点 Ａ                                                                       的 ４１ 乾卷加练·广西数学 数 学 　　 　 　数学加练 　 　 　　　　加练一　一次函数 （每年２道，８－１３分） ◆性质及平移，题位预估：７－９，１５ １．若点（２，ｋ）在一次函数ｙ＝２ｘ＋１的图象上， 则ｋ的值是　　　　． 【变式】（１）如图，点 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ为平面直角 坐标系中的四个点，一次函数ｙ＝ｋｘ＋２（ｋ＞ 变式图 ０）的图象不可能经过 （　　） Ａ．点Ｅ Ｂ．点Ｆ Ｃ．点Ｇ Ｄ．点Ｈ （２）若将直线 ｙ＝２ｘ＋１向下平移３个单位 长度，得到的直线是　　　　； （３）若将直线 ｙ＝２ｘ＋１先向上平移２个单 位长度，再向左平移　　　　个单位长度， 可得到直线ｙ＝２ｘ＋５． ２．已知一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ，ｂ是常数且 ａ≠ ０），ｘ与ｙ的部分对应值如下表： ｘ －２ －１ ０ １ ２ ３ ｙ ６ ４ ２ ０ －２ －４ 那么方程ａｘ＋ｂ＝０的解是 （　　） Ａ．ｘ＝－１　Ｂ．ｘ＝０　Ｃ．ｘ＝１　Ｄ．ｘ＝２ ３．已知点Ａ（－２，ｙ１），点Ｂ（４，ｙ２），点Ｃ（－ ２ ３， ｙ３）是关于ｘ的一次函数ｙ＝－２ｘ＋ａ图象上 的三点，则ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关系为 （　　） Ａ．ｙ２＜ｙ３＜ｙ１ Ｂ．ｙ１＜ｙ２＜ｙ３ Ｃ．ｙ３＜ｙ２＜ｙ１ Ｄ．ｙ３＜ｙ１＜ｙ２ 【变式】在一次函数 ｙ＝－２３ｘ＋ １ ３的图象上 任取不同两点 Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２），则 ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ 的正负情况是 （　　） Ａ． ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ ＜０ Ｂ． ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ ＞０ Ｃ． ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ ≤０ Ｄ． ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ ≥０ ４． 跨学科问题 如图表示光从空气进入水 中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐 标系，并设入水前与入水后光线所在直线的 解析式分别为ｙ１＝ｋ１ｘ，ｙ２＝ｋ２ｘ，则关于ｋ１与 第４题图 ｋ２的关系，正确的是 （　　） Ａ．ｋ２＜０＜ｋ１ Ｂ．ｋ１＜０＜ｋ２ Ｃ．ｋ１＜ｋ２＜０ Ｄ．ｋ２＜ｋ１＜０ ◆一次函数的实际应用，题位预 估：２４ ５． 情境化试题 【阅读材料】为了保护学生 的视力，学校的课桌、椅的高度都是按一定 的关系配套设计的．为了解学校新添置的一 批课桌、椅高度的配套设计情况，小明所在 的综合实践小组进行了调查研究，他们发现 可以根据人的身高调节课桌、椅子的高度， 且课桌的高度ｙ（ｃｍ）与对应的椅子高度（不 含靠背）ｘ（ｃｍ）符合一次函数关系，他们测 量了一套符合条件的课桌、椅子对应的四档 高度，数据如下表： 　　档次 高度　　 第一档 第二档 第三档 第四档 椅高ｘ／ｃｍ ３７．０ ４０．０ ４２．０ ４５．０ 桌高ｙ／ｃｍ ６８．０ ７４．０ ７８．０ 根据阅读材料，完成下列各题： （１）求ｙ与ｘ的函数关系式； （２）在表格中，第四档的桌高数据被墨水污 染了，请你求出被污染的数据； （３）小丽测量了自己新更换的课桌椅，课桌 的高度为６１ｃｍ，椅子的高度为３２ｃｍ，请你 判断它们是否配套．如果配套，请说明理由； 如果不配套，请你帮助小丽调整课桌或椅子 的高度使得它们配套                                                               ． ７４ 乾卷加练·广西数学 数 学 加练二　反比例函数 （每年１道，３分） ◆性质，题位预估：７－９，１５－１７ １．反比例函数 ｙ＝ｍ＋１ｘ 的图象在第一、三象 限，则ｍ的取值范围是 　　　　． ２．反比例函数ｙ＝２ｘ的图象上有两个点为（ｘ１， ｙ１），（ｘ２，ｙ２），且０＜ｘ１＜ｘ２，则关于 ｙ１与 ｙ２ 的关系，正确的是 （　　） Ａ．ｙ１＞ｙ２　　　　　Ｂ．ｙ１＜ｙ２ Ｃ．ｙ１＝ｙ２ Ｄ．不能确定 ◆ｋ的几何意义及相关计算，题位预估：１２ 或１８ 【全角度考法探究·坤卷１７题】如图，反比 例函数 ｙ＝ ｋ１ ｘ（ｘ＜０）的图象经过平行四边 形ＡＯＢＣ的顶点 Ａ，平行四边形 ＡＯＢＣ的顶 点Ｂ，Ｃ在第一象限，对角线ＡＢ∥ｘ轴，已知 点Ｂ在反比例函数ｙ＝ ｋ２ ｘ（ｘ＞０）的图象上， 且ＡＢ＝１０，点Ａ的坐标为（－４，３），则ｋ１· ｋ２的值为　　　　． 题图 ３．如图，矩形ＡＢＣＤ中，点Ａ在双曲线ｙ＝－８ｘ （ｘ＜０）上，点 Ｂ，Ｃ在 ｘ轴上，延长 ＣＤ至点 Ｅ，使ＣＤ＝２ＤＥ，连接ＢＥ交ｙ轴于点Ｆ，连接 ＣＦ，则△ＢＦＣ的面积为 （　　） 第３题图 Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ ４．如图，将反比例函数ｙ＝ｋｘ （ｋ＞０）的图象向左平移２个单位长度后记为 图象ｃ，ｃ与ｙ轴交于点Ａ，点Ｐ为ｘ轴上一点， 点Ａ关于点Ｐ的对称点Ｂ在图象ｃ上，以线段 ＡＢ为边向右侧作等边△ＡＢＣ，顶点Ｃ恰好在 反比例函数ｙ＝－ｋｘ（ｘ＞０）的图象上，则ｋ＝ 　　　　． 第４题图 　　　 第５题图 ５．如图，在平面直角坐标系中，点 Ａ，Ｂ分别落 在双曲线ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０）第一和第三象限的两 分支上，连接ＡＢ，线段ＡＢ恰好经过原点Ｏ， 以ＡＢ为腰作等腰三角形ＡＢＣ，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｃ 落在第四象限中，且ＢＣ∥ｘ轴．过点Ｃ作ＣＤ ∥ＡＢ交ｘ轴于点Ｅ，交双曲线第一象限的分 支于点Ｄ，若△ＡＣＤ的面积为４ 　 槡５－４，则 ｋ 的值为 （　　） Ａ．２　 　Ｂ．３　 　Ｃ．４　 　Ｄ．２　槡５ ◆反比例函数的实际应用，题位预估：２４ ６．【综合与实践】心率监测不仅能够对运动者 在锻炼过程中的身体状况进行有效监控与 衡量，也可最大限度避免运动强度过大造成 危险，确保体育运动的有效性与安全性．体 育运动时的心率受年龄、性别、运动项目、运 动时间等因素影响．某数学小组对此问题很 感兴趣，于是选取了相关因素进行项目 研究                                                                 ． ８４ 乾卷加练·广西数学 数 学 【提出问题】跳绳运动中心率ｙ（次／分）与运 动时间ｘ（秒）的关系． 【收集数据】第一次该小组收集小红同学跳 绳过程中的心率，每隔１０秒做一次记录并 绘制图象（如图①）． 【二次收集数据】小组讨论后，发现这样收集 数据不合理．于是进行第二次数据收集：随 机抽取１５位学生参与跳绳运动，让１５位学 生同时开始跳绳，每隔１０秒，记录他们的心 率，并计算此时他们心率的平均数，然后绘 制图象（如图②）． 小红同学跳绳过程中心率随时间变化曲线图 图① １５位学生跳绳过程中心率随时间变化曲线图 图② 第６题图 【建立模型】由图象可知，随着跳绳时间的增 加，心率趋于一个定值，该小组要寻找一个 函数模型分析跳绳过程中心率与时间的关 系，他们依次建立一次函数模型、二次函数 模型，但都与心率曲线不吻合，老师提醒他 们可以借助反比例函数图象的平移来建立 模型．小组借助计算机软件建立跳绳运动中 心率 ｙ随运动时间 ｘ的变化而变化的函数 模型：ｙ＝２１２－７９２０６３＋ｘ． 【解决问题】 （１）写出第一次数据收集不合理的理由（写 出一条即可）； （２）《义务教育体育与健康课程标准（２０２２ 年版）》提出要“科学设置运动负荷”，体育 课上，班级所有学生平均心率原则上在 １４０～１６０，以努力解决学生在体育课上“不 出汗”的问题．请你根据函数模型解析式，求 学生需要跳绳多少秒才能达到１４０的心率； （３）研究发现，运动时心率达到１７５，就是运 动过度．请你根据函数模型解析式，通过计 算，对跳绳２００秒的小明同学提出建议（写 出一条建议即可）                                                                       ． ９４