22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 第3课时　课件　 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数的的图像和性质 第3课时　二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 1.学会用描点法画二次函数的图象.（重点） 2.理解抛物线与抛物线的相互关系.（难点） 3.指出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.（重点） 学习目标 复习引入 猎豹图书 通过前面学习的知识，若函数的图象向下平移1个单位长度，可以得到函数的图象；若函数的图象向左平移1个单位长度，可以得到函数的图象.那么函数的图象如何平移，才能得到的图象呢？ 获取新知 请画出函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 解：先列表 描点、连线 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 2 4 x -2 -4 -6 y O -2 -4 直线= -1 开口向下； 对称轴是直线； 顶点坐标是 (-1，-1). -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 填出下表,画一画: 函数 图象的开口方向 图象的对称轴 图象的顶点坐标 向下 (0,0) 向下 (0,) 向下 (,0) 向下 (,) 向左平移1个单位长度 平移方法 1 1个单位长度 向下平移 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 思考：如何移动抛物线可以得到抛物线? 平移方法2 向左平移 向下平移 1个单位 1 个单位 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 图象的形状和开口方向均相同，可以通过互相平移得到. 上下 平移 左右 平移 上下 平移 左右 平移 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为： 上下平移， 常数项上加下减； 左右平移， 自变量左加右减, 二次项系数不变. 二次函数 与 的关系 将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的新抛物线为 (　　) A． B． C． D． 例题解析 B 二次函数 的图象和性质 猎豹图书 y O x 上 下 x=h x=h （h,k） a>0 a<0 （h,k） h k 思考：试着画出二次函数不同情况下的大致图象.（ 按的正负分类 ） 开口方向 对称轴 顶点坐标 二次函数的图象和性质 a>0 a<0 图象 h<0 h>0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当时，随增大而增大；当时，随增大而减小. 当时，随增大而减小；当时，随增大而增大. 向上 向下 直线 直线 （） 时，y最小值 时，y最大值 （） 例题解析 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长? 3 3 解：如图,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系. 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点， 因此，可设这段抛物线对应的函数为： 由这段抛物线经过点(3,0)可得: 解得: 因此: 当时，，即水管应长2.25m. 课堂小结 抛物线 与 的形状相同，位置不同. 二次函数 的图象和性质 图象特点 当，开口向上； 当，开口向下. 对称轴是， 顶点坐标是 平移规律 左右平移：自变量左加右减； 上下平移：常数项上加下减. 与的关系 课堂练习 1.(2025·璧山区月考)抛物线y＝－(x－1)2－3的顶点坐标是 (　 　) A.(－1，－3) B.(1，－3) C.(1，3) D.(－1，3) B 2.如图，二次函数y＝a(x＋2)2＋k的图象与x轴交于点A和点B (－1，0)，则下列说法正确的是(　 　) A.a＜0 B.点A的坐标为(－4，0) C.当x＜0时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴为x＝－2 D 3.若点A(－3，y1)，B(－2，y2)，C(2，y3)在二次函数y＝a2(x－1)2－5(a≠0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　 　) A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2 C.y2＞y3＞y1 D.y2＞y1＞y3 A 4.已知二次函数y＝a(x－1)2＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象是(　 　) B 5.(2025·开州区阶段练习改编)将二次函数y＝2(x－1)2＋1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的新图象的函数解析式为____________________. y＝2(x＋1)2－2 6.已知二次函数y＝(x－1)2－1，当—2≤x≤0时，y的最小值是_______，最大值是_______. [变式1] (2025·长寿区月考改编)已知二次函数y＝－(x＋1)2＋4，当－2≤x≤1时，y的取值范围是_____________. [变式2] 已知二次函数y＝－(x＋1)2＋4，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为___________. 0 8 0≤y≤4 －1－ 7.有下列关于二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)的结论：①该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0，1)；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上.其中正确结论的序号是____________. ①②④ 8.如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)，点C的横坐标的最小值为－3，则点D的横坐标的最大值为_______. 8 9.如图，二次函数y＝－(x－2)2＋k的图象经过点(3，3)，且与 一次函数y＝x的图象相交于点A. (1)求k的值及抛物线的顶点P的坐标； 解：将点(3，3)的坐标代入y＝－(x－2)2＋k， 得3＝－(3－2)2＋k， 解得k＝4， ∴y＝－(x－2)2＋4， ∴顶点P的坐标为(2，4). 9.如图，二次函数y＝－(x－2)2＋k的图象经过点(3，3)，且与 一次函数y＝x的图象相交于点A. (2)求点A的坐标； 解：由题意，得－(x－2)2＋4＝x， 解得x1＝0，x2＝. 当x＝时，y＝×＝， ∴点A的坐标为(，). 9.如图，二次函数y＝－(x－2)2＋k的图象经过点(3，3)，且与一次函数y＝x的图象相交于点A. (3)连接PO，PA，求△POA的面积. 解：如图，过点P作PB⊥x轴，交AO于点B. 当x＝2时，y＝×2＝1， ∴PB＝4－1＝3， ∴S△POA＝S△OBP＋S△ABP＝PB×(xA－xO)＝×3×＝. 10.如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位长度，则平移后的抛物线的函数解析式是(　 　) A.y＝(x＋1)2－1 B.y＝(x＋1)2＋1 C.y＝(x－1)2＋1 D.y＝(x－1)2－1　　 C 11.点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y＝(x－1)2＋n的图象上.若y1＜y2，则m的取值范围是(　 　) A.m＞2 B.m＞ C.m＜1 D.＜m＜2 B 12.当－3≤x≤1时，若抛物线y＝(x＋2)2－2与直线y＝n只有一个交点，则n的取值范围是_____________________. [变式] 已知函数y＝的图象如图所示， 若直线y＝kx－3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为________. －＜n≤或n＝－2 17 13.如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B.抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P. (1)求a，k的值. 解：在y＝－3x＋3中，当x＝0时， y＝－3×0＋3＝3； 当y＝0时，－3x＋3＝0，解得x＝1， ∴A(1，0)，B(0，3). ∵抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B， ∴ 解得 13.如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B.抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P. (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求出△ABM周长的最小值；若不存在，请说明理由. 解：存在.由(1)可知，y＝(x－2)2－1， ∴抛物线的对称轴为x＝2. 由抛物线的对称性，得C(3，0). ∵△ABM的周长为AB＋AM＋BM，AB为定值， ∴当AM＋BM最小时，△ABM的周长最小. 如图，连接BC交对称轴于点M，连接MA，则点M即为所求. ∵AM＝MC， ∴AM＋BM＝MC＋BM＝BC， ∴△ABM周长的最小值为AB＋BC. ∵A(1，0)，B(0，3)，C(3，0)， ∴AB＝＝，BC＝＝3， ∴△ABM周长的最小值为3＋. 13.如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B.抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P. (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使△ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 存在.设N(2，n). ∵A(1，0)，B(0，3)， ∴AB2＝12＋32＝10， BN2＝22＋(n－3)2＝n2－6n＋13， AN2＝(2－1)2＋n2＝1＋n2. 由题意，得AN2＋BN2＝AB2， 即1＋n2＋n2－6n＋13＝10， 解得n1＝1，n2＝2， ∴点N的坐标为(2，1)或(2，2). $$